Übung 9

Klassische Elektrodynamik (SS 2004)
Übung 10
28.6.2004
mündliche Aufgaben
Problem 55
(Induktion)
Eine kleine kreisförmige Drahtschleife (Radius a) befindet sich im Abstand z über dem Mittelpunkt einer
großen kreisförmigen Drahtschleife (Radius b). Die von den Drahtschleifen gebildeten Flächen sind parallel und
senkrecht zur gemeinsamen Symmetrieachse der beiden Schleifen.
(a) Nehmen Sie an, dass in der großen Schleife der Strom I fließt. Berechnen Sie den magnetischen Fluss durch
die kleine Schleife. (Die kleine Schleife sei so klein, dass in ihr das Magnetfeld als konstant angenommen
werden kann.)
(b) Nehmen Sie an, dass der Strom I in der kleinen Schleife fließt. Berechnen Sie den magnetischen Fluss
durch die große Schleife. (Die kleine Schleife sei so klein, daß sie als magnetischer Dipol betrachtet werden
kann.)
(c) Berechnen Sie die Induktionskoeffizienten L12 und L21 , und zeigen Sie daß L12 = L21 .
Problem 56
(Divergenz und Rotation von ebenen Wellen)
Zeigen Sie explizit, dass
(a) ∇ × Aeik·r = ik × Aeik·r
(b) ∇ · Aeik·r = ik · Aeik·r
Problem 57
(Zeitmittel)
In komplexer Schreibweise gibt es eine einfache Vorschrift, um das zeitliche Mittel des Produktes zweier
zeitabhängiger, reeller Felder zu berechnen:
(a) Falls f (r, t) = A cos(k · r − ωt + δa ) und g(r, t) = B cos(k · r − ωt + δb ), zeigen Sie dass hf gi = (1/2)<(f˜g̃ ∗ ),
wobei f˜ = A exp(i(k · r − ωt + δa )), g̃ = B exp(i(k · r − ωt + δb )) und Stern bezeichnet die komplexe
Konjugation.
(b) Benutzen Sie dies, um das zeitliche Mittel der Energie- und Impulsdichte einer monochromatischen ebenen
Welle zu berechnen.
schriftliche Aufgaben
Problem 58
(Maxwell’scher Spannungstensor der ebenen Welle)
Bestimmen Sie alle Elemente des Maxwell’schen Spannungstensors einer ebenen, monochromatischen Welle, die
sich in z-Richtung ausbreitet und in der x-Ebene linear polarisiert ist. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis und
beachten Sie dabei, dass der Maxwell’sche Spannungstensor die Impuls-Flussdichte darstellt. Wie hängt in
diesem Fall die Impuls-Flussdichte mit der Energiedichte zusammen?
Problem 59
(Kugelwelle)
Eine Kugelwelle wird durch
sin ϑ
1
sin(kr − ωt) eϕ
E(r, ϑ, ϕ, t) = A
cos(kr − ωt) −
r
kr
mit ω/k = c beschrieben.
(a) Zeigen Sie, dass E alle vier Maxwell-Gleichungen im Vakuum erfüllt und finden Sie das zugehörige magnetische Feld.
(b) Berechnen Sie den Poynting-Vektor. Mitteln Sie S über einen vollen Zeit-Zyklus um die Intensität der
Welle zu erhalten. Zeigt sie in die erwartete Richtung? Fällt sie, so wie es sein soll, wie r −2 ab?
(c) Intergrieren Sie I · da über eine Kugeloberfläche, um die abgestrahlte Leistung zu berechnen.
(d) Überprüfen Sie, ob sowohl lokal als auch global Energieerhaltung gegeben ist.