Übung 4 - hikari - Universität Bonn

Atome, Moleküle, Kondensierte Materie
Übung 4
Sommersemester 2011 Universität Bonn
Abgabe bis Do. 5.5.2011 18:00h
in die Ablagen neben Raum 262 HISKP
Aufgabe 4.1: Kurzfragen (10 Punkte)
Es reicht ein Satz, eine Skizze, ggf. auch Stichwörter.
(a) Zeigen Sie anhand einer ebenen Welle Ψ(x) = eikx , dass der Operator −ih̄∇ der Impulsoperator ist.
(b) In den letzten Jahren wurde der Welle-Teilchen-Dualismus nicht nur für mit sich selbst interferierende Elektronen und Atome sondern auch schwere Moleküle wie etwa dem Fußballförmigen Fullerenen nachgewiesen. Berechnen Sie die de-Broglie-Wellenlänge für ein C60 Molekül mit einer Geschwindigkeit von 200 m/s!
(c) Die Schrödingergleichung ist kontinuierlich. Warum erhält man für das Wasserstoffatom dennoch diskrete Lösungen in Form von Quantenzahlen? Begründe physikalisch.
(d) Wodurch sind die minimale und maximale Wellenlänge einer spektralen Serie im H-Atom
gegeben?
(e) Welche Relationen gibt es zwischen den Quantenzahlen n, l, m?
(f) Welche Quantenzahlen n, l, m gehören zu den Zuständen 2s, 3p und 4f?
(g) Was versteht man unter Entartung?
(h) Gib den Entartungsgrad im H-Atom für beliebiges n an.
(i) Warum kann man die Wellenfunktionen des H-Atoms als Produkt aus Radialteil und Winkelanteil schreiben?
(j) Erklären Sie, warum die Radiallösung R1,0 (r) des Wasserstoffatoms zwar für r → 0 divergiert,
die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Kern (d.h. bei r = 0) aber dennoch Null ist.
Aufgabe 4.2: Wasserstoffspektrum in der Astronomie (2 Punkte)
In der Astronomie wird Spektroskopie verwendet, um Informationen über Sterne zu gewinnen.
Die Fraunhofer-Linien sind Absorptionslinien im Spektrum, die durch Absorption in der Gasatmosphäre entstehen. Für einen Stern wird aus der Absorption geschlossen, dass 10−8 der H-Atome
im Zustand n = 2 sind. Welche Temperatur hat die Atmosphäre des Sterns?
Aufgabe 4.3: Vertauschbarkeit von Operatoren (3 Punkte)
Wenn zwei Operatoren sukzessiv auf eine Wellenfunktion wirken, sind sie im allgemeinen nicht
vertauschbar. Dies wird oft ausgedrückt über den Kommutator:
[A, B] := AB − BA .
Sind die Operatoren A, B vertauschbar, so gilt [A, B] = 0.
(a) Berechnen Sie den Kommutator für beliebige Komponenten des Drehimpulsoperators [Li , Lj ].
Tipp: Benutze die Komponentenschreibweise Li = ijk rj ∂k .
(b) Geben Sie ein Beispiel für einen weiteren nicht verschwindenden Kommutator.
(c) Welcher fundamentale physikalische Zusammenhang steckt dahinter, wenn zwei Operatoren
nicht vertauschbar sind?
Aufgabe 4.4: Kugelflächenfunktionen (5 Punkte)
Die Kugelflächenfunktionen sind eine orthonormale Basis der Funktionen auf der Kugeloberfläche.
(a) Zeigen Sie die Othogonalität (d.h. verschwindendes Skalarprodukt) für Kugelflächenfunktionen
mit verschiedenem m.
(b) Wie hängt m mit der Periodizität in ϕ zusammen?
(c) Zeigen Sie, dass die Kugelflächenfunktionen Yl,m Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators
Lz sind und berechnen Sie den Eigenwert. Die Kugelflächenfunktionen sind außerdem Eigenfunktionen zu L2 . Wie lautet der zugehörige Eigenwert? Wie sind Lz und L2 anschaulich zu
erklären?
Tipp: Benutzen sie für Lz die Darstellung in Kugelkoordinaten.
Aufgabe 4.5: Radialteil des Wasserstoffatoms (5 Punkte)
(a) Wie lautet der Ausdruck, mit der die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in einer
Kugelschale bei einem Radius r mit Dicke d berechnet werden kann?
(b) Skizzieren Sie die radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Elektrons im H-Atom für die
Zustände 1s, 2s und 2p.
(c) Berechnen Sie den Ortserwartungswert hri und die Ortsunschärfe h∆ri für die Zustände 2s
und 2p. Und tragen Sie die Werte in das Diagramm aus (b) ein.
Die explizite Form der Radialfunktionen für ein Elektron des H-Atoms finden sie z.B. im Demtröder
oder im Internet.
Tipp: h∆ri2 = hr2 i − hri2
Aufgabe 4.6: Feldionisation (5 Punkte)
Sie versuchen, ein Wasserstoffatom durch Anlegen eines externen elektrischen Feldes zu ionisieren.
Das effektive Potential für das Elektron ist dann eine Überlagerung aus elektrische Feld und atominternem Coulomb-Potential.
(a) Skizzieren Sie das entstehende effektive Potential für das Elektron im Wasserstoffatom.
(b) Nehmen Sie vereinfachend an, dass sich durch das externe Feld die Lage der Energieniveaus
im Atom nicht verändert. Welche Spannung benötigt man, um den 1s Zustand zu ionisieren? Begründen Ist es realistisch, die benötigte Feldstärke durch ein konstantes E-Feld zu
erreichen? Begründen Sie und überlegen Sie sich eine Alternative.
(c) Warum ist es möglich, dass Ionisation auch schon bei geringeren Feldstärken auftritt?
(d) Überlegen Sie, wie sich die zur Ionisation benötigte Feldstärke ändert, wenn man statt eines
Atoms ein H2 Molekül betrachtet.