Ubungen zur Vorlesung `PCTC I`

Blatt 3: Übungen zur Vorlesung ’PCTC I’ (WS 09/10)
Abgabetermin bis Dienstag, 3.11.09, 16:00 Uhr (Briefkasten vor Dekanat)
Aufgabe 9:
Teilchen im Kasten.
Für ein π-Elektron in einem Molekül, das aus q konjugierten C-C-Doppelbindungen besteht, kann als
grobe Approximation das Modell eines Elektrons im eindimensionalen, linearen Kasten benutzt werden siehe Skizze:
R2 C - CH = CH - CH = CH · · · CH = CH - CR2
=
ˆ R2 C - [CHCH]q−1 - CR2
(a) Leiten Sie einen Ausdruck für die erlaubten Energieniveaus eines π Elektrons in einem ”Kasten”, der
aus 2q Kohlenstoffatomen besteht, ab. Nehmen Sie dabei einen durchschnittlichen C-C-Abstand von r0
an.
(b) Die Antwort auf (a) ist:
n
~2 π 2
(
)2
En =
2
2me r0 2q − 1
Benutzen Sie diesen Ausdruck, um die beiden tiefsten Energieniveaus E1 von Butadien und Carotin (22
Kohlenstoffatome) zu berechnen (r0 = 1.37 Å).
(c) Angenommen, die π-Elektronen besetzen die Energieeigenzustände paarweise. Was sind die Energien
der höchsten besetzten Zustände von Butadien und Carotin? Was sind die Energien der tiefsten nichtbesetzten Zustände der beiden Moleküle?
(d) Wenn diese Moleküle Licht absorbieren, wird ein Elektron vom höchsten besetzten Zustand in den tiefsten nichtbesetzten Zustand befördert. Was sind die Frequenzen des absorbierten Lichtes und in welchem
Teil des elektromagnetischen Spektrums liegen sie?
Aufgabe 10:
Teilchen im Würfel.
Ein Elektron liege in einem ”quantum dot” (z.B. würfliger Kasten). Die Energie eines Elektrons (Masse
m) in einem würfligen Kasten (Würfellänge: L) lautet (~ = 1)
Enx ,ny ,nz =
(n2x
+
n2y
+
n2z )
π2
2mL2
Mache eine Tabelle mit den 3 Quantenzahlen ni = 1, 2, ..(i : x, y, z), der Länge des Quantenzahlvektors
π2
|~n|, und der Energie in Einheiten von 2mL
2 . Zeichne eine Energieleiter (Orbitalniveauschema) zwischen
E = 0 und 15.5 (d.h. suche nach allen Kombinations-Möglichkeiten von nx , ny , nz bis zu E = 15.5).
Aufgabe 11:
Harmonischer Oszillator.
Der Hamilton-Operator für einen harmonischen Oszillator lautet (benutzen Sie ~ = 1)
Ĥ = −
~2 d2
1
+ D · x2 .
2
2m dx
2
√
Dm 2
Setze ψ = e− 2 x in die Schrödingergleichung ein und zeige, dass ψ tatsächlich eine Eigenfunktion
ist. Welchen Wert hat der Eigenwert? Jetzt erst Zahlen einsetzen: Was kommt für den Eigenwert mit
m = 2, D = 1.00 heraus? (Alles in atomaren Einheiten rechnen!)
Aufgabe 12:
Heisenberg’sche Unschärferelation.
Schätze das Unschärfe-Produkt ∆x · ∆p für ein Elektron (Masse m) im Kasten der Länge L im Quantenzustand n ab (mit Energie En = ....). Für großes n oszilliert die Wellenfunktion ψn = sin(nπx/L)
1
rasch: im Mittel ist ψ(x)∗ · ψ(x) gleich 0.5. Dadurch vereinfachen sich die Berechnungen zu den Erwartungswerten (d.h. überall wo ψ(x)∗ · ψ(x) vorkommt, setze die Zahl 0.5 ein). Also ist dann x̄ = L/2;
(∆x)2 =< (x − L/2)2 · 0.5 > / < 0.5 >; p̄ = 0; (∆p)2 = 2mEn . Geben Sie ∆x · ∆p in Einheiten von n an.
Aufgabe 13:
Darstellungsmatrizen.
√
√
Gegeben ist die Orthonormalbasis c1 = cos(lx)/ π, c2 = sin(lx)/ π im Definitionsbereich x ∈ [0, 2π] mit
d
l= ganze Zahl. Gib die 2 × 2-Darstellungsmatrizen [Â] = {Aij } an für die beiden Operatoren (a) Â2 = 1i dx
,
d2
(b) Â1 = − dx2 . Benutze für die Matrixelemente die Integralformel Dij =< ci |Âcj >. Zeige, dass mit den
berechneten Dij die folgende Entwicklungsformel gilt:
X
Â|cj >=
|ci > ·Dij
i
Hinweise/Hilfestellungen:
Lehre zu PCTC I (3. Sem.): http://www.tc.chemie.uni-siegen.de/jaquet/lehre3-jaquet-WS0910.html
Es sind pdf-Dateien zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen und physikalisch-chemischen Problemstellungen zusammengestellt. Drucken Sie sich, wenn nötig, die entsprechenden Dateien aus. Lesen
Sie die Kapitel für die jeweiligen Aufgabenstellungen.
weitere Literatur:
Atkins, Physikalische Chemie (Kap. 11-13, 2. Auflage)
Zachmann, Mathematik für Chemiker, Verlag Chemie
Zurmühl, Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker, Springer
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