Theoretische Physik 4 Thermodynamik und Statistische Physik Prof. Dr. Eric Lutz Universität Erlangen-Nürnberg Inhaltsverzeichnis 1 Thermodynamische Konzepte 1.1 Was ist Thermodynamik? . . . . . 1.2 Thermodynamische Systeme . . . . 1.3 Thermodynamischer Zustand . . . 1.3.1 Mikro- und Makrozustände 1.3.2 Zustandsgleichung . . . . . 1.3.3 Gleichgewichtszustand . . . 1.4 Thermodynamische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 4 5 6 7 2 Energie und der erste Hauptsatz 2.1 Mechanische Energie: Arbeit . . . . . . . . . . . 2.1.1 Arbeit durch Bewegung . . . . . . . . . . 2.1.2 Arbeit durch Volumenänderung . . . . . . 2.2 Thermische Energie: Wärme . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Wärmemessung: Kaloriemetrie . . . . . . 2.2.3 Chemische Energie: Teilchenzahländerung 2.2.4 Der erste Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 9 10 10 10 10 11 3 Mathematisches Werkzeug I 3.1 Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Integrierender Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Mehrere Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 16 17 4 Entropie und der zweite Hauptsatz 4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Messung der Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Responsefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Entropie bei einer Temperaturänderung . . . . . . . . 4.5.3 Entropie bei einer Temperatur- und Volumenänderung 4.5.4 Entropie bei einer Temperatur- und Druckänderung . 4.6 Dritter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 18 18 21 23 24 24 25 25 26 26 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Thermodynamische Konzepte Grundbegriffe der Thermodynamik, wie System, Zustand, Gleichgewicht und Temperatur, werden eingeführt und diskutiert. 1.1 Was ist Thermodynamik? 1. Die Thermodynamik wurde Mitte des 19. Jahrhunderts entwickelt. I Ziel: Beschreibung und Verbesserung von Dampfmaschinen: Newcomen 1711, Watt 1788 Der Name Thermodynamik“ spiegelt diesen Ursprung wieder: therme = Wärme, ” dynamis = Bewegung, Kraft 2. Hat zu einer genauen Untersuchung des Begriffs Wärme“ geführt. Wärme ist ” eine Energieform I zufällige (ungeordnete) Bewegung von Atomen und Molekülen (Wärme ist keine Flüssigkeit, wie vorher angenommen). Arbeit (aus der Mechanik bekannt) bezieht dagegen sich auf nicht-zufällige (geordnete) Bewegung. 3. Thermodynamik ist gegenwärtig eine allgemeine Theorie der Energieübertragung und umwandlung. Bsp.: Wärme in Arbeit, aber auch chemische/elektrische Energie in Wärme. Sie ist außerdem eine Theorie der dabei eng verbundenen Stoffumwandlungen (Phasenübergänge oder chemische Reaktionen). 4. Thermodynamik wird erfolgreich angewandt auf die Beschreibung von: a) Kühlschränken, Automotoren und Heizkraftwerken b) Flüssigkeiten, Magneten und Supraleitern c) Wolken und Photosynthese d) Neutronensternen und schwarzen Löchern Die zwei zentralen Begriffe der Thermodynamik sind Energie und Entropie, aus denen alle anderen Größen (z.B. Druck und Temperatur) abgeleitet werden können. Die Thermodynamik basiert auf zwei allgemeinen Gesetzen (Hauptsätze): 1. Hauptsatz: Energie bleibt erhalten und kann in verschiedenen Formen umgewandelt werden (insb. 3 Wärme ist eine Energieform). 2. Hauptsatz: Wärme kann nicht vollständig in andere Energieformen umgewandelt werden (Entropie kann nicht zerstört werden). 1.2 Thermodynamische Systeme Die Thermodynamik beschreibt makroskopische Systeme, die aus vielen Teilchen bestehen, z.B. Moleküle in einem Gas, Flüssigkeiten oder Atome im Festkörper. Typisches Beispiel: Ideales Gas mit Kolben oder auch Kaffee in einer Tasse 1 Mol Gas enthält 6 · 1023 Teilchen. Ein thermodynamisches System wird durch Wände von der äußeren Umgebung abgegrenzt: • offene Systeme können Energie und Materie austauschen Bsp.: offene Tasse Kaffee • geschlossene Systeme können nur Energie (keine Materie) austauschen. Bsp.: Tasse Kaffee mit Deckel • isolierte Systeme: weder Energie- noch Materieaustausch möglich Bsp.: Kaffee in Thermoflasche (in guter Näherung) 1.3 Thermodynamischer Zustand Die Eigenschaften eines Systems (die seinen Zustand definieren) werden durch Angaben von numerischen Parametern (Zustandsvariablen) charakterisiert. 1.3.1 Mikro- und Makrozustände • In der (klassischen) Mechanik: Zustand eines Massenpunktes I 6 Variablen: 3 Orts- und 3 Geschwindigkeitskoordinaten Für ein System mit 1023 Teilchen I 6 · 1023 Parameter notwendig um den Zustand mechanisch vollständig zu beschreiben. Dieser Mikrozustand ist nicht zugänglich, weil diese mikroskopischen Variablen nicht messbar sind. I makroskopische Systeme können nicht rein mechanisch beschrieben werden! • In der Thermodynamik: Zustand eines Systems I makroskopische Variablen, wie Volumen V , Druck p, Teilchenzahl N , Energie 4 E (aus der Mechanik bekannt), aber auch Temperatur T , innere Energie U , Entropie S (die es in der Mechanik nicht gibt). V, p, T sind direkt messbare Größen, U und S nicht. Nur Unterschiede ∆U und ∆S zwischen zwei Zuständen sind (indirekt) messbar. Der Makrozustand lässt sich vollständig mit nur wenigen Zustandsvariablen festlegen (vollständig = zwei Systeme mit denselben Werten der Zustandsvariablen sind ununterscheidbar). Bsp.: Größe eines Kristalls Mikroskopisch: Abstände zwischen 1023 sich bewegender Teilchen Makroskopisch: 3 Parameter Lx , Ly , Lz (alle einfach messbar) = Zeitmittel der mikroskopischen Längen über die Dauer der Messung I die Kenntnis der mikroskopischen Struktur ist nicht erforderlich Extensive Variablen sind mengenproportional, z.B. Volumen V , Masse m, innere Energie U , Teilchenzahl N . Intensive Variablen sind mengenunabhängig, z.B. Druck p, Temperatur T , Dichte ρ = N/V . (Grafik) 1.3.2 Zustandsgleichung In der Regel sind nur wenige Zustandsvariablen unabhängig. Eine eindeutige Beziehung g(X1 , X2 , ..., Xn ) zwischen n Zustandsvariablen Xi nennt man eine Zustandsgleichung. I Zustandsgleichung empirisch bestimmt in der Thermodynamik Beispiele: • ideales Gas: g1 (p, V, T, N ) = pV − N kT = pV − nRT = 0 (1.1) • van-der-Waals Gas: g2 (p, V, T, N ) = p + V − an2 V2 |{z} nb |{z} − nRT = 0 (1.2) Eigenvolumen innerer Druck • elastischer Draht: g3 (f, L, T ) = f −(a0 + a1 T )( |{z} L −L0 ) = 0 |{z} Länge Zugkraft 5 (1.3) • idealer Paramagnet: g4 (M, H, T ) = M |{z} − Magnetisierung C T H |{z} =0 C: Curie-Konstante (1.4) Magnetfeld 1.3.3 Gleichgewichtszustand Die Thermodynamik befasst sich mit Gleichgewichtszuständen. Gleichgewicht besteht, wenn kein Energieaustausch mit der Umgebung oder innerhalb eines Systems stattfindet. Die Zustandsvariablen sind dann zeitunabhängig und im ganzen System gleich. • Mechanisches Gleichgewicht Druck: p= Kraft F = Fläche A (1.5) Gas im mechanischen Gleichgewicht mit Luft, wenn F1 = F2 ⇒ p1 = p2 (1.6) • Thermisches Gleichgewicht Kaffee ist im thermischen Gleichgewicht mit Luft, wenn T1 = T2 (1.7) die Temperatur charakterisiert das thermische Gleichgewicht, wie der Druck das mechanische Gleichgewicht. Die Temperatur der Luft bleibt konstant auch wenn mehrere (heiße) Tassen vorhanden sind. Die Luft spielt die Rolle eines Wärmebades (= ein (fast) unendliches System, dessen Eigenschaften konstant bleiben). Achtung: Zustandsgrößen sind oft nur im Gleichgewicht definiert. • schnelle Bewegung des Kolbens löst eine Druckwelle aus I ein einheitlicher Druck kann nicht mehr definiert werden. • Kaffee mit Eiswürfel I keine eindeutige Temperatur des Kaffees definierbar 6 1.4 Thermodynamische Prozesse Die Thermodynamik beschreibt idealisierte Prozesse, die quasistatisch und ohne Reibung (Energieverlust) erfolgen. • Eine quasistatische Zustandsänderung wird so langsam ausgeführt, dass der Prozess in guter Näherung aus einer Folge von Gleichgewichtszuständen besteht. Bsp.: L τKolben L ' = τrelax τrelax vKolben = vGas langsam bedeutet τKolben (1.8) Schallgeschwindigkeit (1.9) (1.10) τKolben : Zeitskala für die Parameteränderung τrelax : Relaxationszeit im Gas oder vKolben vGas = mittlere Geschwindigkeit der Gasmoleküle (' 400 ms−1 ) d.h. vKolben . 10 ms−1 = quasistatisch So ein Prozess ist (quasi)reversibel = er besteht aus einer umkehrbaren Folge von Gleichgewichtszuständen (Grafik) Bei endlicher Reibung ist die Zustandsänderung nicht umkehrbar: Alle Prozesse in der Natur sind irreversibel. Die Thermodynamik beschränkt sich auf reversible Transformationen, weil: • sie mathematisch einfach zu beschreiben sind I normale Differentialrechnung • es keine allgemeine Theorie für Nichtgleichgewichtsprozesse gibt • in der Regel reversible Prozesse gute Abschätzungen liefern Man unterscheidet verschiedene Prozesse: 1. isotherm: 2. isochor: 3. isobar: T konstant V konstant p konstant 4. adiabatisch (isentrop): (dT = 0) (dV = 0) (dp = 0) kein Wärmeaustausch 7 (δQ = 0) 2 Energie und der erste Hauptsatz Während einer Zustandsänderung tauscht ein System Energie und/oder Materie mit der Umgebung aus. In diesem Kapitel wollen wir drei wichtige Energieformen diskutieren: mechanische, thermische und chemische Energien. Der erste Hauptsatz wird mathematisch formuliert. 2.1 Mechanische Energie: Arbeit Gesamtenergie = äußere Energie + innere Energie • äußere Energie E: (makroskopische) Bewegungsenergie, z.B. kinetische und potentielle Energie • innere Energie U : übrige“ Energie = (mikroskopische) kinetische und potentielle ” Energie der mikroskopischen Teilchen des Systems Die Arbeit charakterisiert den mechanischen Energieaustausch. 2.1.1 Arbeit durch Bewegung Z W = W >0 F dx infinitesimal: δW = F dx F: angelegte Kraft (2.1) wenn Arbeit am System geleistet wird (Energie nimmt zu) • potentielle Energie: F = mg Z z2 W = mg dz = mg(z2 − z1 ) = ∆Ep (2.2) z1 • kinetische Energie: F = m dv dt Z x2 dv dv dv dx W =m dx aber dx = dt = v dv dt dt dt x1 dt Z v2 1 v dv = m v22 − v12 = ∆Ek W =m 2 v1 8 (2.3) (2.4) 2.1.2 Arbeit durch Volumenänderung (Grafik) Wenn die Grenze des Systems geändert wird. F (A dx) = −pa dV A F mit dV = A dx und pa = = äußerer Druck A δW > 0 wenn dV < 0 (Kompression) δW = −F dx = − (2.5) (2.6) (2.7) Für eine reversible Transformation ist p = pa und δWrev = −p dV . Bei endlicher Reibung ist die Transformation irreversibel und pa = p + pR (Kompression) und pa = p − pR (Expansion). pR : Reibungsdruck“ (pR > 0) ” Wir haben also: K Kompression: δW = −p dV − pR dV = δWrev + δWirr mit K δWirr = −pR dV > 0 dV < 0 (2.9) Expansion: δW = −p dV + pR dV = δWrev + δWirE (2.10) mit E δWirr weil (2.8) = pR dV > 0 weil dV > 0 (2.11) Für eine irreversible Transformation ist die geleistete Arbeit immer größer als die reversible Arbeit: δW ≥ δWrev = −p dV (2.12) Für einen reversiblen Prozess ist die Arbeit die Fläche unter der p-V -Kurve: (Grafik 2.1) Z V2 W =− p dV (2.13) V1 Die Arbeit hängt vom Prozess (Pfad) ab! WA 6= WB (2.14) Die Volumenänderung Z V2 dV = V2 − V1 (2.15) V1 9 dagegen hängt nur von den Zuständen 1 und 2 ab. Volumen ist eine Zustandsgröße: wir schreiben eine infinitesimale Änderung dV . Arbeit ist keine Zustandsgröße: wir schreiben δW I es gibt keine Arbeit ohne Prozess. 2.2 Thermische Energie: Wärme 2.2.1 Definition Energie kann geändert werden ohne mechanische Arbeit (d.h. ohne makroskopische Bewegung). Diese Art von Energieaustausch wird Wärme Q genannt. mikroskopisch: Änderung der mikroskopischen Bewegung der Teilchen des Systems makroskopisch: wenn eine Temperaturdifferenz besteht (zwischen System und Umgebung oder zwischen System A und B) Q > 0 wenn Wärme dem System zugeführt wird (Energie nimmt zu). Ähnlich zur Arbeit hängt die Wärme vom Prozess ab (sie ist keine Zustandsgröße). 2.2.2 Wärmemessung: Kaloriemetrie Man definiert die Wärmekapazität C als Wärmemenge, die dem System zugeführt werden muss, um die Temperatur um 1◦ zu erhöhen. Z T2 δQ Q C= = lim oder δQ = C dT ⇒ Q= C(T ) dT (2.16) ∆T →0 ∆T dT T1 Man unterscheidet: δQ CV = dT V δQ Cp = dT p δQ CH = dT H δQ CX = dT X bei konst. V (2.17) bei konst. p (2.18) bei konst. H (2.19) bei konst. X (2.20) 2.2.3 Chemische Energie: Teilchenzahländerung Geschlossene Systeme tauschen Energie nur in Form von Arbeit oder Wärme aus. Offene Systeme können auch Materie austauschen, z.B. bei einer chemischen Reaktion der Form A+B → C (2.21) 10 Die entsprechende Teilchenzahländerung dNi (i = A, B, C) führt dann zu einer Energieänderung X δEC = µi dNi , (2.22) i wobei µi = chemisches Potential (Energieänderung pro Teilchen, d.h. die Energie, die benötigt wird um ein zusätzliches Teilchen der Sorte i hinzuzufügen). µi = δEC wenn dNi = 1 und dNj6=i = 0 (2.23) µ ist eine intensive Größe und misst den Widerstand“ des Systems gegen eine Teilchen” zahlerhöhung. Analogie: δW = p(−dV ) (2.24) p ist eine intensive Größe, die den Widerstand “ gegen eine Volumenreduzierung misst. ” 2.2.4 Der erste Hauptsatz Die Gesamtenergie eines Systems bleibt erhalten: ∆E = ∆Ea + ∆U (Mayer 1842, Joule 1844, Helmholtz 1847) (2.25) wobei ∆Ea = ∆Ek + ∆Ep = äußere Energie (I makroskopische Bewegung) (2.26) ∆U = Q + W + EC = innere Energie (I mikroskopische Bewegung der (2.27) Teilchen h∆ek i + h∆ep i) (2.28) Die Thermodynamik befasst sich fast ausschließlich mit der inneren Energie U . Für eine infinitesimale Änderung: dU = δQ + |{z} thermisch δW |{z} mechanisch (2.29) + δEC |{z} chemisch Obwohl Wärme Q, Arbeit W und chemische Energie EC keine Zustandsgrößen (und deshalb vom Prozess abhängig) sind, ist die Summe U eine Zustandsvariable. Z 2 ∆U = dU I hängt nur von den Zuständen 1 und 2 ab (siehe Kap. 4) 1 (2.30) Für allgemeine reversible Prozesse gilt: X X dU = δQ − p dV + µi dNi + Xj dYj i j wobei Xj = intensive Größe und Yj = extensive Größe Beispiele: 11 (2.31) Φ dq E dP H dM f dL Φ: elektrisches Potential E: E-Feld H: H-Feld f : Zugkraft q: Ladung P : Polarisation M : Magnetisierung L: Drahtlänge 12 3 Mathematisches Werkzeug I Reversible thermodynamische Prozesse lassen sich mithilfe der einfachen Differentialrechnung beschreiben. Wir wollen in diesem Kapitel wichtige Begriffe (vollständiges Differential, integrierender Faktor) einführen. 3.1 Differential Wir betrachten eine Funktion f (x, y) von zwei Variablen x und y. (Grafik) Infinitesimale Änderungen dx und dy führen zu der Änderung: df df df = dx + dy dx y dy x (3.1) Da die Reihenfolge der Ableitungen keine Rolle spielt, gilt: ∂ ∂f ∂ ∂f ∂2f ∂2f = = = ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x (f stetig) (3.2) df : vollständiges (= totales = exaktes) Differential. Beispiel: f (x, y) = 2x3 y 2 + y 3 (3.3) ∂f = 6x2 y 2 ∂x (3.4) ∂ ∂f = 12x2 y ∂y ∂x ∂f = 4x3 y + 3y 2 ∂y ∂ ∂f = 12x2 y ∂x ∂y (3.5) Wir betrachten ein allgemeines Differential δf = A(x, y) dx + B(x, y) dy (3.6) Gibt es eine Funktion f (x, y), sodass δf = df ? 13 • Ja, wenn A(x, y) = • Nein, wenn bar. I ∂A ∂y x df dx y = ∂B ∂x y , ist δf = df ein totales Differential und ist integrierbar: df und B(x, y) = dy ∂A ∂y x x 6= ∂B ∂x y , ist δf kein exaktes Differential und ist nicht integrier- Integrabilitätsbedingung: ∂A ∂B = (notwendig und hinreichend) ∂y x ∂x y (3.7) Beispiele: (1) δf = y dx + x dy A(x, y) = y Integrabilitätsbedingung: ⇒ df = δf ∂A ∂y B(x, y) = x =1= x ∂B ∂x (3.8) (3.9) y ist ein totales Differential Integration entlang x: f (x, y) = xy + g(y) (3.10) Integration entlang y: f (x, y) = xy + h(x) (3.11) I (2) f (x, y) = xy + c mit c = g(y) = h(x) δf = 2y dx + x dy A(x, y) = 2y Integrabilitätsbedingung: ⇒ ∂A ∂y B(x, y) = x =2 x (3.12) ∂B ∂x (3.13) =1 (3.14) y δf ist kein exaktes Differential und ist nicht integrierbar Integration entlang x: f (x, y) = 2xy + g(y) (3.15) Integration entlang y: f (x, y) = xy + h(x) (3.16) I inkonsistent 14 (3) δf = (x + y) dx + x dy Integrabilitätsbedingung: ⇒ df = δf ∂A ∂y =1= x ∂B ∂x B(x, y) = x (3.17) (3.18) y ist ein totales Differential Integration entlang x: Integration entlang y: f (x, y) = I A(x, y) = x + y x2 + xy + g(y) 2 f (x, y) = xy + h(x) f (x, y) = x2 + xy + c mit g(y) = c 2 h(x) = (3.19) (3.20) x2 +c 2 (3.21) Eigenschaften: 1. Das Integral Z b df = f (b) − f (a) (3.22) a hängt nur von den Endpunkten a und b und nicht vom Integrationsweg ab. 2. Für jeden geschlossenen Weg gilt: I Z a df = df = f (a) − f (a) = 0 (3.23) a 3. Wenn das exakte Differential df gegeben ist, kann die Funktion f (x, y) bestimmt (integriert) werden. Wichtig: • Zustandsgrößen werden durch exakte Differentiale beschrieben I sie hängen nicht vom Prozess (Weg) ab 15 Beispiel: Volumen V = V (p, T ) dV = ∂V ∂p dp + T ∂V ∂T dT (3.24) p nRT Für das ideale Gas: pV = nRT ⇒ V = p ∂V ∂V nRT nR B(p, T ) = A(p, T ) = =− 2 = ∂p T p ∂T p p Check: ∂A ∂p T nR =− 2 = p ∂B ∂T (3.26) (3.27) p I I (3.25) Z Volumen ist eine Zustandsgröße und V1 dV = 0 dV = (3.28) V1 • Arbeit ist keine Zustandsgröße und kann nicht durch ein exaktes Differential beschrieben werden (I Arbeit hängt vom Prozess ab) Beispiel: Arbeit δW = −pdV = A1 (p, T ) dT + B1 (p, T ) dp (3.29) Für das ideale Gas: A1 = −pA = −nR B1 = −pB = ∂B2 nR ∂A1 =0 = Check: ∂p T ∂T p p I I δW ist kein exaktes Differential und δW 6= 0 nRT p (3.30) (3.31) (3.32) 3.2 Integrierender Faktor Ein unvollständiges Differential δu = A(x, y) dx + B(x, y) dy mit ∂A ∂y 6= x ∂B ∂x (3.33) y kann manchmal mithilfe eines integrierenden Faktors λ(x, y) in ein vollständiges Differential verwandelt werden, sodass ∂(λA) ∂(λB) df = λ(x, y) δu mit = (3.34) ∂y ∂x x y Es gibt keine allgemeine Methode um λ zu bestimmen. Ausnahme: für zwei Variablen gibt es immer einen integrierenden Faktor (Pfaff 1814). 16 Beispiel : δu = y dx − x dy ist kein vollständiges Differential, weil ∂A ∂B =1 = −1 ∂y x ∂x y 1 y 1 aber df = 2 δu = 2 dx − dy ist vollständig, weil x x x (1) I ∂(A/x2 ) ∂y x 1 √ = 2 = x ∂(B/x2 ) ∂x der integrierende Faktor ist λ(x, y) = 1/x2 (2) (3.36) y f (x, y) = − und (3.35) Für die Arbeit δW ist 1/p der integrierende Faktor, weil 1 δW = −dV ein vollständiges Differential ist. p y +c x (3.37) (3.38) (3.39) 3.3 Mehrere Variablen Eine Gleichung f (x, y, z) = 0 lässt sich auch schreiben: ∂x ∂x dy + dz (1) x = x(y, z) mit dx = ∂y z ∂z y ∂z ∂z dx + dy (2) z = z(z, y) mit dz = ∂x y ∂y x (3.40) (3.41) Aus (1) uns (2) erhalten wir: ( ) ∂x ∂x ∂z ∂z ∂x dx = + dx dy + ∂y z ∂z y ∂y x ∂z y ∂x y (3.42) gilt für all dx und dy. Insbesondere: • für dy = 0 I • für dx = 0 I ∂x ∂z ∂x ∂y y ∂x ∂y ∂z ∂x =1 =− z z und y ∂y ∂z ∂x ∂z y x 17 ∂z ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z = y 1 ∂z ∂x y (3.43) oder (3.44) x = −1 y (3.45) 4 Entropie und der zweite Hauptsatz In diesem Kapitel führen die Entropie als neue Zustandsgröße ein und besprechen ihre Eigenschaften. Wir formulieren den zweiten (und dritten) Hauptsatz und erhalten die Grundgleichung der Thermodynamik. 4.1 Motivation Mathematisch: wir haben den ersten Hauptsatz X dU = δQ − p dV + Xi dYi (4.1) i Frage: Gibt es einen integrierenden Faktor X für die Wärme δQ, sodass δQ = X I dY |{z} (Analogie: totales Differential δW = −dV ) p (4.2) Y wäre dann eine Zustandsgröße. Physikalisch: beobachtete Prozesse in der Natur laufen spontan nur in einer Richtung ab. Beispiele: • Tasse Kaffee kühlt spontan und gibt dem Raum Wärme ab. Der umgekehrte Prozess ist Energie erhaltend (d.h. genügt dem 1. Hauptsatz), wird aber nicht beobachtet. • Der 1. Hauptsatz erlaubt auch, dass die Tasse spontan schwebt (größere potentielle Energie) und dabei kälter wird: Q = −∆Ep I wird auch nicht beobachtet. • Elektrische Energie kann komplett in Wärme verwandelt werden (elektrische Heizung). Wärme alleine reicht allerdings nicht aus, um Strom zu erzeugen. Die Asymmetrie dieser spontanen Prozesse wird vom 1. Hauptsatz nicht erklärt. I eine quantitative Erklärung liefert der 2. Hauptsatz. 4.2 Entropie Wir betrachten zunächst ein ideales Gas: pV = nRT Experiment von Gay-Lussac (1807) und Joule (1845): 18 (Grafik) • System ist thermisch isoliert: δQ = 0 (kein Wärmeaustausch mit der Umgebung) • Gas verrichtet keine Arbeit: δW = 0 (freie Expansion) Daraus folgt: dU = δQ + δQ = 0 und ∂U ∂U dU = dV + dT = 0 ∂V T ∂T V (4.3) Experimentelle Beobachtung: T1 = T2 d.h. dT = 0 ∂U = 0 : die innere Energie des idealen Gases hängt nicht von V ab. (4.4) ⇒ ∂V T Für ein ideales Gas ist also: dU = ∂U ∂T V dT Da aber dU = δQ − p dV , erhalten wir: ∂U δQ = = CV ⇒ dU = CV dT (4.5) ∂T V ∂T V Wir schreiben dU = A(T, V )dT + B(T, V )dV mit A(T, V ) = CV und B(T, V ) = 0: ∂A ∂B Integrabilitätsbedingung: =0= (4.6) ∂V T ∂T V I dU ist ein exaktes Differential (U ist eine Zustandsgröße). Wärme für ein ideales Gas: nRT δQ = dU + p dV = CV dT + dV = A1 (T, V )dT + B1 (T, V )dV V ∂B1 nR ∂A1 = 0 6= = Integrabilitätsbedingung: ∂V T ∂T V V I (4.7) (4.8) δQ ist kein vollständiges Differential (Q ist keine Zustandsgröße). Allerdings: δQ/T ist vollständig: δQ CV nR = dT − dV = A2 (V, T ) dT + B2 (V, T ) dV T T V ∂A2 ∂B2 Integrabilitätsbedingung: =0= ∂V T ∂T V (4.9) (4.10) (4.11) 19 I 1/T ist ein integrierender Faktor für die Wärme. Es gibt also eine neue Zustandsgröße (Entropie) S, sodass dS = δQ T (4.12) Im Gegensatz zu Q hängt S nicht vom Prozess ab: Z 2 δQ ∆S = S2 − S1 = 1 T (4.13) Für allgemeine reversible Prozesse haben wir also: dU = T dS − p dV + X µi dNi oder dS = i X µi dU p + dV − dNi T T T (4.14) i I Fundamentale (Grund)Gleichung der Thermodynamik (Gibbs 1876) (hängt nur von Zustandsgrößen ab). Um die Eigenschaften der Entropie zu untersuchen, betrachten wir nun irreversible Prozesse. (1) Irreversible Wärmeleitung (Grafik) ⇒ δQ2 = −δQ1 = δQ δQ1 δQ2 1 1 dS = dS1 + dS2 = + = δQ − T1 T2 T2 T1 Energie: dU = dU1 + dU2 = δQ1 + δQ2 = 0 (4.15) Entropie: (4.16) Experimentelle Beobachtung: Wärme fließt von warm nach kalt 1 1 d.h. δQ > 0 wenn T1 > T2 oder > ⇒ dS > 0 T2 T1 (4.17) (2) Irreversible Expansion eines Gases (Grafik) Für eine reversible Expansion: dU = δQrev + δWrev = T dS − p dV (4.18) 20 Für eine irreversible Expansion (z.B. mit Reibung): dU = δQ + δW (4.19) δW = −p dV + pR dV = δWrev + δWirr > δWrev mit (δWirr > 0) (4.20) Da dU nicht vom Prozess abhängt muss δQ < δQrev ⇒ dS > δQ T (4.21) Genauer: δQrev + δWrev = δQ + δW = δQ + δWrev + δWirr (4.22) δQrev δQ δWirr = + T T T (4.23) d.h. δQrev = δQ + δWirr ⇒ mit oder δQ + δSirr T = δWirr /T = irreversible Entropieproduktion. dS = δSirr (4.24) Mechanische irreversible Prozesse werden durch δWirr > 0 charakterisiert. Allgemeine irreversible Prozesse (thermische, chemische, elektromagnetische, ...) durch δSirr > 0 (Planck 1880). I macht die Thermodynamik zur universellen Theorie. 4.3 Zweiter Hauptsatz Wir können den 2. Hauptsatz so formulieren: (Carnot 1824, Clausius 1850, Kelvin 1851) Es gibt eine Zustandsgröße S, sodass. dS = δQ + δSirr T mit δSirr ≥ 0 (4.25) Insbesondere gilt die Clausius Ungleichung (Clausius 1865): dS ≥ δQ T (4.26) Entropie ist keine erhaltene Größe (im Gegensatz zur Energie): S nimmt für irreversible Prozesse zu. 21 Die Thermodynamik beschränkt sich auf quasireversible Prozesse für die δSirr δQ T ⇒ dS ' δQ T (4.27) Es gibt keine allgemeine Theorie um δSirr zu bestimmen. Mit dem 2. Hauptsatz postuliert man, dass T dS = δQ allgemein gilt (und nicht nur für das ideale Gas), d.h 1/T ist der integrierende Faktor für δQ für generische Systeme. Frage: Kann man dieses Postulat experimentell verifizieren? Grundgleichung für ein beliebiges Gas (δW = −p dV ): dS = dU p + dV T T (4.28) Wenn S eine Zustandsgröße ist, ist dS ein totales Differential, das die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Wir betrachten zunächst T und V als unabhängige Zustandsvariablen: S = S(T, V ) und U = U (T, V ) (4.29) dann ∂S ∂S 1 p dS = dT + dV = dU + dV ∂T V ∂V T T T ∂U ∂U dT + dV dU = ∂T V ∂V T (4.30) (4.31) Einsetzten von dU ergibt: 1 1 ∂U ∂U dT + + p dV = A(T, V ) dT + B(T, V ) dV dS = T ∂T V T ∂V T (4.32) Integrabilitätsbedingung für S: ∂A 1 ∂ ∂U = ∂V T T ∂V ∂T V T ∂B 1 ∂U 1 ∂ ∂U ∂p =− 2 +p + + = ∂T V T ∂V T T ∂T ∂V T V ∂T V Da dU auch ein vollständiges Differential gilt: ∂ ∂U ∂ ∂U = ⇒ ∂V ∂T V T ∂T ∂V T V ∂U ∂V =T T ∂p ∂T (4.33) (4.34) −p (4.35) V Die Existenz der Entropie als Zustandsgröße lässt sich durch eine experimentelle Verifizierung dieser Gleichung bestätigen! (+ Verallgemeinerung für magnetische, elektrische, 22 elastische, ... Systeme). Wichtige Bemerkung: Wir können die unabhängigen Zustandsvariablen frei wählen, z.B. für offene Systeme: (T, V, N ), (T, p, N ) oder (p, V, N ). Doch die Gleichungen dU = T dS − p dV + µ dN und dS = dU p µ + dV − dN T T T (4.36) zeigen, dass U = U (S, V, N ) und S = S(U, V, N ) I dies sind die natürlichen Variablen“ von U und S, denn sie enthalten die vollständige ” thermodynamische Information über das System: ∂U ∂U ∂U T = p= und µ = (4.37) ∂S V,N ∂V S,N ∂N S,V ∂S p ∂S µ ∂S 1 = = und − = (4.38) oder T ∂U V,N T ∂V U,N T ∂N U,V 4.4 Gleichgewichtsbedingungen (Grafik) Beim Ausgleich nimmt die Entropie zu, bis sie im Gleichgewicht den maximalen Wert erreicht I Entropie ist maximal im Gleichgewicht. U = U1 + U2 dU = dU1 + dU2 = 0 ⇒ dU1 = −dU2 (4.39) V = V1 + V2 ⇒ dV1 = −dV2 (4.40) N = N1 + N2 ⇒ dN1 = −dN2 (4.41) Da die Entropie additiv ist (Q ist additiv): dS = dS1 + dS2 dS = 1 1 − T1 T2 mit dSi = dU1 + dUi pi µi + dVi − dNi Ti Ti Ti p1 p2 − T1 T2 dV1 − µ1 µ2 − T1 T2 i = 1, 2 (4.42) dN1 = 0 (4.43) soll für alle dUi , dVi und dNi gelten: ⇒ I T1 = T2 p1 = p2 und µ1 = µ2 im Gleichgewicht sind intensive Parameter gleich. 23 (4.44) 4.5 Messung der Entropie Die Entropie (wie die innere Energie) ist nicht direkt messbar I es gibt keinen Entropie- (oder Energie-) meter. Es gibt zwei Strategien: Strategie 1: Man schreibt S als Funktion von messbaren Größen (Responsefunktion) I nicht immer so einfach. Strategie 2: Man führt neue Zustandsgrößen (thermodynamische Potentiale) ein, die messbar sind I in der Regel einfacher (siehe Kapitel 5). Struktur der Thermodynamik: 1. Mathematische Struktur der Hauptsätze (U und S): Gibbsche Grundgleichung I allgemeine Verbindungen zwischen Zustandsgrößen I systemunabhängig und deswegen universell 2. gemessene, systemabhängige Parameter, die die Antwort (Response) des Systems bei einer einer Änderung von T ,V ,p,N ,H,... charakterisieren. Ziel der Thermodynamik ist die Bestimmung der Zustandsgrößen, wenn äußere Parameter geändert werden: gemessene Eigenschaften → S oder U für den Anfangszustand → Grundgleichung (∆S oder ∆U ) → S oder U für den Endszustand → messbare Eigenschaften 4.5.1 Responsefunktionen • Temperaturänderung (thermische Koeffizienten): δQ Wärmekapazitäten: CX = X = V, p, H, ... dT X 1 ∂V Ausdehnungskoeffizient: αp = V ∂T p 1 ∂p Spannungskoeffizient: βV = p ∂T V • Druckänderung (mechanische Koeffizienten): 1 ∂V Kompressibilität: κT = − V ∂p T 24 (4.45) (4.46) (4.47) (4.48) • Magnetfeldänderung (magnetische Koeffizienten): ∂M Suszeptibilität: χT = ∂H T (4.49) Bemerkung: αp , βV , κT und χT lassen sich aus der Zustandsgleichung ableiten. Beispiele: ideales Gas: pV = nRT idealer Paramagnet: 1 T αp = M= C H T κT = χT = 1 p (4.50) C T (4.51) 4.5.2 Entropie bei einer Temperaturänderung Wir haben: δQ dT = CX T T Z T2 dT T2 ∆S = S2 − S1 = CX (T ) = CX ln T T1 T1 dS = Die Entropie ist nicht messbar; ihre Ableitung dS dT (4.52) für CX = konstant. = CX T (4.53) schon. 4.5.3 Entropie bei einer Temperatur- und Volumenänderung Wir haben: dS = 1 T ∂U ∂T dT + V 1 T ∂U ∂V ∂U ∂V + p dV (4.54) T mit ∂U ∂T ∂p ∂T = CV und V + p=T T ∂p ∂T (4.55) V Da V ∂T ∂V p ∂V ∂p = −1 mit T ∂V ∂p = −κT V (4.56) T und ∂T ∂V 1 V αp (4.57) αp 1 CV dT + dV T κT (4.58) = p 1 = ∂V ∂T p folgt dS = 25 Für das ideale Gas: αp = 1 T κT = 1 p 1 p dT dV CV dT + dV = CV + nR T T T V Z T2 Z V2 dT dV V2 T2 + nR ln ∆S = CV + nR = CV ln T V T V 1 1 T1 V1 und dS = (4.59) ⇒ (4.60) I man benötigt nur die Wärmekapazität und die Zustandsgleichung 4.5.4 Entropie bei einer Temperatur- und Druckänderung Analog findet man: Cp dS = dT − αp V dp T 1 αp = − V I ∂S ∂p (4.61) T 4.6 Dritter Hauptsatz Wir haben bis jetzt nur Entropiedifferenzen betrachtet. Der absolute Wert der Entropie kann mit dem 3. Hauptsatz bestimmt werden: lim S(T, X) = S(0) = S0 T →0 (Nernst 1906, S0 = 0 Planck 1911) (4.62) oder äquivalent: lim ∆S = 0 (4.63) T →0 Wichtige Folgerungen: 1. Wärmekapazitäten verschwinden für T → 0: Z T2 S2 (T2 , X) − S1 (T1 , X) = T1 CX (T ) dT T (4.64) Damit das Integral nicht divergiert für T1 → 0 muss CX (T ) → 0. Wir schreiben: CX (T ) = C(X) T a ZT2 CX (T ) C(X) dT = (T2χ − T1a ) T a bleibt endlich wenn a > 0 T1 Dieses Verhalten von CX (T ) wurde experimentell 1910-1912 bestätigt. 26 (4.65) 2. Der Ausdehnungskoeffizient αp verschwindet für T → 0. ∂S(T, X) Aus lim S(T, X) = S0 folgt lim =0 T →0 T →0 ∂X T I alle isothermen Prozesse sind adiabatisch (∆S = 0) für T → 0. 1 ∂V ∂S 1 Insbesondere: αp = =− →0 V ∂T p V ∂p T (4.66) (4.67) 3. Unerreichbarkeit des absoluten Nullpunktes Wir haben V αp = − ∂S ∂p T ∂ =− ∂p ZT Cp (p, T 0 ) dT 0 = − T0 0 ZT ∂Cp (p, T 0 ) dT 0 ∂p T0 (4.68) 0 mit Cp (p, T ) = C(p) T a Z V αp = − T ⇒ ∂ Cp (p, T ) = C 0 (p) T a ∂p C 0 (p) T 0a−1 dT 0 = − 0 ⇒ V αp = const. C(p, T ) S= Cp dT − V αp dp T C 0 (p) a T = const. · Cp (p, T ) a für T → 0 (4.69) (4.70) (4.71) Aus (4.72) folgt für eine adiabatische Expansion (dS = 0): V αp dT = T dp Cp I (4.73) Temperaturschritt wird immer kleiner für T → 0. (Grafik) (Grafik) 4. Das ideale Gas widerspricht dem 3.Hauptsatz S2 − S1 = CV ln T2 V2 + nR ln T1 V1 divergiert für T1 → 0. I Approximation des idealen Gases bricht zusammen. Quantenstatistik (Fermi + Bose) spielt eine Rolle. 27 (4.74)