Blatt 1

Prof. Dr. Enno Mammen
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Wintersemester 2016/2017
1. Hausaufgabenblatt
Aufgabe 1 (3+3+2 = 8 Punkte).
(a) Eine Maus bendet sich am oberen linken Ende eines einfachen Labyrinths. Das Labyrinth
ist unten abgebildet: die Linien entsprechen möglichen Wegen, Schnittpunkte entsprechen
Kreuzungen. Das Ziel der Maus ist der Käse ganz unten rechts. Wie viele mögliche Wege
gibt es für die Maus, zum Käse zu gelangen, wenn die Maus nur nach rechts und unten
gehen darf (d.h. in Richtung Käse)? Ein möglicher Weg ist mit Pfeilen abgebildet.
(b) In dem Labyrinth blockiert nun eine Katze eine Kreuzung (siehe Bild), sodass die Maus
diese nicht passieren darf. Wie viele mögliche Wege zum Käse gibt es nun für die Maus?
(c) Es sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable, X ∼ Bin(n, p) mit 0 < p < 1, n ∈ N.
Zeigen Sie die Rekursionsformel
P(X = k + 1) =
n−k
p
·
· P(X = k),
k+1 1−p
k = 0, 1, ..., n − 1.
Aufgabe 2 (3+3+1+1 = 8 Punkte).
Ein professioneller Würfelspieler interessiert sich für folgendes Problem:
Wie wahrscheinlich ist es, dass ich spätestens im n-ten Wurf die erste Sechs sehe?
Carla schlägt folgendes Modell vor:
Seien W1 , W2 , ... unendlich viele unabhängige, identische Würfel mit P(Wi = 6) = p. Y sei der
Wurf, in dem die erste Sechs gewürfelt wird. Der Spieler interessiert sich für P(Y ≤ n).
Anton hingegen schlägt folgendes Vorgehen vor:
Seien W1 , ..., Wn unabhängige, identische Würfel mit P(Wi = 6) = p und bezeichne mit X die
Anzahl der gewürfelten Sechsen. Der Spieler sucht P(X ≥ 1).
Die beiden diskutieren, wer recht hat.
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(a) Argumentieren Sie welche Verteilung aus der Vorlesung Y −1 hat. Berechnen Sie anschlieÿend P(Y ≤ n).
(b) Bestimmen Sie den Wahrscheinlichkeitsraum für Antons Modell und bestimmen Sie die
Verteilung von X . Berechnen Sie anschlieÿend P(X ≥ 1).
(c) Wer hat nun recht?
(d) Nehmen Sie an die Würfel seien fair, also p = 61 . Wie oft muss der Würfelspieler mindestens
würfeln um mit Wahrscheinlichkeit mindestens 0.9 eine Sechs zu würfeln?
Hinweis:
Sie dürfen benutzen, dass für q ∈ R \ {1} und n ∈ N:
Pn
k=0
qk =
1−q n+1
1−q
Aufgabe 3 (3+3+2 = 8 Punkte).
Sei (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Es seien weiter Bj , (j = 1, ..., J), J ∈ N, eine
disjunkte Zerlegung von Ω und A ∈ Ω mit P(A) > 0.
(a) Zeigen Sie, dass die bedingte Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, d.h. dass
für jede Menge B ∈ P(Ω) mit P(B) > 0 die Funktion
Q : P(Ω) → [0, 1], A 7→ P(A|B)
ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ ist.
(b) Zeigen Sie die Bayesformel:
P(Bi )P(A|Bi )
P(Bi |A) = PJ
j=1 P(Bj )P(A|Bj )
für 1 ≤ i ≤ J.
(c) Zeigen Sie die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit:
P(A) =
J
X
P(Bj )P(A|Bj )
j=1
Sie dürfen in Zweiergruppen abgeben. Der Abgabetermin ist
für Besucher der Freitagsübung: Mittwoch, 2.11.2016
für Besucher der anderen Übung: Donnerstag, 3.11.2016
Abgabe:
Homepage:
http://math.uni-heidelberg.de/stat/studinfo/teaching_stat/EWTS/index.html
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