ETH Zürich

Kapitel 9: Quantenmechanik
9.1 Das klassische Atom-Modell
9.2 Beugung einer Welle
9.3 Licht als Welle
9.4 Die Quantisierung des Lichts
9.5 Die Wellennatur der Teilchen
9.6 Röntgenbeugung
9.7 Elektronenbeugung
9.8 Die Schrödinger-Gleichung
9.9 Die Unschärferelation
9.10 Der Tunneleffekt
9.11 Das Wasserstoffatom
9.12 Eigendrehimpuls des Elektrons
9.13 Das EPR-Paradoxon
9.14 Eine weitere Unschärferelation
Wednesday, May 29, 13
1
9.1 Das klassische Atom-Modell
•
Ende des 19. Jahrhunderts: viele experimentelle Daten über
die Linienspektren von isolierten Atomen und Molekülen.
• Linienspektren = Charakteristika, mit denen man Atome
oder Moleküle identifizieren kann.
• Atommodell von Thompson (1903)
FAtom = Kugel mit einer
gleichmässig verteilten positiven und
negativen Ladung.
• Streuexperiment von Rutherford (1910):
Streuexperimente mit α-Teilchen (= zwei
Protonen und zwei Neutronen)
FAtom besteht aus einem positiv
geladenen Kern
mit einer äusseren Elektronenhülle.
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2
Zwei Arten von Linienspektren
• Emissionspektrum: die Wellenlänge des vom Atom
emittierten Lichtes.
FHeisse Gasatome werden angeregt und das emittierte
Licht wird analysiert (z.B. mit einem Prisma, das das Licht
in Farben zerlegt).
• Absorptionsspektrum: die Wellenlänge des vom Atom
absorbierten Lichtes.
FWeisses Licht durch Dampf des gewählten Elements.
Die Absorption erscheint als schwarze Linie.
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3
Absorption von Natriumdampf
• Demonstrationsexperiment: Zwei Kohlestäben mit einem
mit Natriumkarbonat gefüllten Loch
FLichtbogen mit Hilfe eines elektrischen Stromes.
FElektroden emittieren ein kontinuierliches Spektrum.
FGleichzeitig verdampft das Natrium. Die NatriumAbsorptions-Linie ist sichtbar !
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4
Spektrum von atomarem Zink
• Demonstrationsexperiment:
FEine Messing- und eine Kohlelektrode, um Lichtbogen zu
erzeugen.
FWir beobachten die einzelnen Emissionslinien des Zinks.
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5
Linienspektren von Atomen
• Die sichtbaren Linien des
atomaren Wasserstoffs
(in
Kontinuierliche
Spektren
Prinzip das einfachste Atom
1zu beschreiben!):
1: Glühlicht
2: Wichtige Fraunhoferlinien
Wellenlänge λ
2
700
600 Wasserstoffs
500
• 800
Vergleich
des
mit 450
Na und Fe:
Linienspektren
400
380
400
380
H
Na
Fe
800
700
600
500
450
Absorbtionsspektrum
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Wellenlänge λ
6
Balmer-Rydberg-Formel
• Balmer (Schweizer Lehrer an der Uni Basel, 1885): Eine
sehr genaue empirische Formel. Später von Rydberg
verbessert.
Wellenlänge:
m,n = ganze Zahlen
1
1⎞
⎛ 1
= R⎜ 2 − 2 ⎟
⎝m n ⎠
λ
Rydberg-Konstante:
R = 1,097 × 10 m
7
−1
Frequenz:
c
1⎞
⎛ 1
ν = = Rc ⎜ 2 − 2 ⎟
⎝m n ⎠
λ
Rc ≈ 3290THz
Für ein festes m liefert die Balmer-Rydberg-Formel eine Serie
von Linien (als Funktion der Zahl n)
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7
Für m=2: die Balmer-Serie
1
1⎞
⎛ 1
= R⎜ 2 − 2 ⎟
⎝m
λ
n ⎠
n=5, 6, …
n=4
n=3
Die Linien nähern
sich , wenn die Zahl n
zunimmt.
Wellenlänge λ
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8
Lyman- und Paschen-Serie
Andere Linienspektren: die sogenannte Lyman-Serie und Paschen-Serie, die den
Zahlen m=1 und m=3 entsprechen. Sie sind nicht sichtbar!
m=3
m=1
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9
Das Bohrsche Atom-Modell
• Niels Bohr (1913): Die Theorie des einfachsten AtomSystems (Wasserstoff-Atom mit Z=1, A=1)
FForm der elektrischen Kraft ähnlich derjenigen der
Gravitationskraft
FVoraussage mit Hilfe der klassischen Mechanik: das
Elektron im Wasserstoffatom bewegt sich um das Proton
wie ein Planet um die Sonne !
m p ≈ 2000me
Annahme: das Proton befindet sich in Ruhe und das
Elektron bewegt sich um das Proton
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10
Energie des Atoms
• Die (klassische) Energie des Atoms
E = Ekin + E pot
1 2
1 e2
= meve −
2
4πε 0 r
• Annahme: Wasserstoff → symmetrisch → Bahn ist ein Kreis


meve2
1 e2
1 e2
2
Fe =
=
⇒ meve =
2
r
4πε 0 r
4πε 0 r
1⎛ 1 e ⎞
E(r) = − ⎜
2 ⎝ 4πε 0 r ⎟⎠
2
• Klassische Energie des Systems,
wenn das Elektron sich auf
einem Kreis mit Radius r um das
Proton bewegt
E(r)<0 : das Elektron-Proton-System ist “gebunden”! Das Elektron wird ständig
um das Proton kreisen.
Wie können die Linienspektren erklärt werden?
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11
Geniale Postulate von Niels Bohr (1913)
1. Postulat der stationären Zustände:
Der Radius der Elektronenbahn ändert sich
nicht kontinuierlich, sondern sprunghaft →
Radius nimmt diskrete Werte (Annahme in
grossem Widerspruch zur klassischen
Mechanik)
Niels Bohr
(1885-1962)
2. Postulat der Frequenz:
Frequenz υ
Bei diesem Quantensprung wird
elektromagnetische Strahlung abgegeben
oder aufgenommen, deren
Frequenz zur Differenz der
Energien dieser beiden Zustände
proportional ist:
ν ∝ ( E m − En )
Wednesday, May 29, 13
E m − En )
(
=
h
Anregung
Plancksche
Konstante!
12
Energie des Wasserstoff-Atoms
• Vergleich mit der empirischen Balmer-Rydberg-Formel
Emission:
1
1⎞
⎛ 1
ν = (E n − E m ) = Rc ⎝ 2 − 2 ⎠
h
m
n
En
hcR
⎛ 1⎞
= Rc ⎜ − 2 ⎟ ⇒ En ≡ − 2
⎝ n ⎠
h
n
n=1,2,3,..
• Die Energie der Elektronenbewegung im Atom ist
quantisiert.
FKlassische Mechanik: keine Grenzen für den möglichen
Werten für die Energie des Elektrons in einem Atom
FIm Gegensatz dazu: Linienspektren zeigen, dass die
Energie eines Elektrons in einem Atom auf bestimmte
Werte beschränkt ist!
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13
Quantisierung und die Plancksche-Konstante
• Energie des Wasserstoff-atoms (experimentell bestimmt)
hcR
13,6 eV
En ≡ − 2 = −
n
n2
(n = 1,2, 3,...)
−18
hcR
=
13,6
eV
=
2,18
×
10
J
• Die Plancksche-Konstante
h ≈ 6,626 × 10 −34 Js
Schon im Strahlungsgesetz
von Planck angetroffen !
• Wasserstoff-atom: Quantisierung der Energie
des Elektrons
• Wärmestrahlung: Quantisierung der Energie der
atomaren Oszillatoren (Siehe Kap. 7)
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Universität Humboldt
14
370
Physik, FS 2013, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich
Erklärung der Serien des Wasserstoffsatoms
Die Zahl n wird oft als Hauptquantenzahl bezeichnet (Siehe Kap. 9.11).
Erklärung der Serien des Wassersto↵atoms: Die graphische Darstellung
der Übergänge von atomarem Wassersto↵ ist in Abb. 9.10 gezeigt. Wir erkennen die drei wichtigsten Serien, die ultraviolette Lyman-Serie mit m = 1, die
sichtbare Balmer-Serie mit m = 2 und die infrarote Paschen-Serie mit m = 3.
Graphische Darstellung der Übergange:
En = −
n
1
5
4
Lyman-Serie
sichtbar
-1,51
2
-3,40
Paschen-Serie
m=4
= 91,2 nm
Ionisation bei
m=3
Infrarot
Lyman-Serie
m=2
Pfund-Serie
434 nm
violett
Brackett-Serie
486 nm
blaugrün
m=1
> 750 nm
0
3
Paschen-Serie
656 nm
rot
E/eV
-0,85
Balmer-Serie
Ultraviolett
< 400 nm
Balmer-Serie
13,6 eV
n2
1
1⎞
⎛ 1
= R⎜ 2 − 2 ⎟
ultraviolett
⎝
⎠
λ
m
n
Abbildung 9.11: Erlaubte
Die Energieniveaus des Elektrons im Wassersto↵ und die entsprechenden
Abbildung 9.10: Graphische Darstellung der Übergänge von atomarem Wassersto↵. Die Zahl m entspricht dem Endzustandsniveau des Elektrons.
1
-13,60
sichtbar
infrarot
Energieniveaus (d.h. Energie der stationäre
Zustände)
und
Übergänge
im
Wassersto↵atom.
Übergänge sind in Abb. 9.11 gezeigt. Die schon bekannten Serien und auch
Wednesday, May 29, 13
15
9.2 Die Beugung einer Welle
• Huygens (1678): Entwicklung eines einfachen
Mechanismus, um die Ausbreitung des Lichts
zu verfolgen.
FHuygens kannte die Natur des Lichts nicht
FEr wusste nicht:
• Licht = elektromagnetische Welle
Christiaan
• Die Frequenzen, die AusbreitungsHuygens
(1629-1695)
geschwindigkeit, usw…
• Prinzip von Huygens = eine wertvolle Theorie für das
Verständnis optischer Phänomene
F Basiert auf einer geometrischen Konstruktion:
Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt für
eine kugelförmige Elementarwelle betrachtet werden. Nach
einer Zeit t wird die neue Position der Wellenfront durch
die Summe der einzelnen Elementarwellen gegeben.
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16
Interferenz von Wasserwellen
• Demonstrationsexperiment: Interferenz von Wasserwellen
in einer Wasserwanne.
Zwei synchron periodisch in Wasser eintauchende punktförmige
Stifte erzeugen kreisförmige Wellenzüge (Huygens).
Die Kreiswellen interferieren konstruktiv und destruktiv.
2
0
Konstruktive
Interferenz
Q2
2
3
Wednesday, May 29, 13
r= 3
Q2
Q1
Q1
Abbildung 6.1: Interferenz zweier Kugelwellen mit fester Phasenbeziehung.
λ
17
Das Prinzip von Huygens
Jeder Punkt einer Wellenfront kann als
Ausgangspunkt für eine kugelförmige
Elementarwelle (“wavelet”) betrachtet
werden.
λ
x = vΔt
Nach einer Zeit Δt wird die neue Position
der Wellenfront durch die Summe der
einzelnen Elementarwellen gegeben.
Beispiel: Radiowellen in Bergen
starkes Signal
Wellenfront
schwaches
Signal
Wellenfront zur späteren Zeit
Ausbreitungsgeschwindigkeit = v
Wednesday, May 29, 13
18
374
Physik, FS 2013, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Beugung an einem Spalt
• Gedankenexperiment: Eine ebene Welle, die auf einen
Spalt fällt. Das Phänomen heisst “Beugung”.
Physik, FS 2013, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
• Breite des Spalts: a≈λ oder a<λ
• Prinzip von Huygens: jeder Punkt des Spalts
wirkt als eine Quelle einer sich ausbreitenden
Elementarwelle.
a⌧
➡ Breite des Spaltes ≈ Wellenlänge: der
Spalt entspricht einer einzelnen Quelle !
• Die ebene Welle, die auf den Spalt fällt, wird
sich nachher als konzentrische Kreise
ausbreiten.
a⌧
• Breite des
Spalts: a>λ
• Jeder Punkt des
Spalts wirkt als
Quelle von
Elementarwellen!
Wednesday, May 29, 13
373
undurchsichtiger Schirm
a
Spalt der Breite a
a⇡6
Abbildung 9.13: Wasserwellen der Wellenlänge
auf einen Spalt. Für die Breite a gilt a ⇡ .
in einer Wellenwanne fallen
2. Wenn die Breite a viel grösser als die Wellenlänge ist (a
), können
wir jeden Punkt des Spalts als Quelle von Elementarwellen betrachten.
a⇡2
9.2.3
a⇡6
Position des ersten Minimums
Wir bestimmen die Position des ersten Minimums eines Interferenzmusters. Wir können den Spalt in kleine Teile unterteilen, die als Quelle für
eine Elementarwelle wirken. Wir können z.B. 1000 Teile betrachten. Siehe Abb.
9.15.
Wir betrachten die Quelle #1 oben am Spalt und die Quelle #501 in der Mitte
des Spalts. Wenn der Gangunterschied zwischen diesen Quellen gleich einer
19
halben Wellenlänge ist, werden sich die Wellen auslöschen.
Abbildung 9.14: Beugung am Einzelspalt.
Bestimmung des ersten Minimums
• Definition: Beugung = Ablenkung der Wellen an
einem Hindernis, wie z.B. an der Kante eines Spalts
Winkel=θ
a≈λ
a≈6λ
376
Physik, FS 2013, Prof. A. Rubbia (ETH Zü
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php
•
Bestimmung des Minimums:
F Gangunterschied zwischen zwei Quellen = eine halbe
Wellenlänge → destruktive Interferenz
a
sin
2
=
sin
a
sin
Wednesday, May 29, 13
F →
2
=
a
0
=
a
a sin
=
Kein Minimum
Die Beugung verschwindet
1
2
3
4
5
6
a
499
500
501
502
503
I
/2
tun
ich
nR
gd
in
es M
m
imu
s
#
998
999
1000
20
Abbildung 9.15: Bestimmung des Winkels eines Minimums bei der Beug
Beugung am Doppelspalt
378
Physik, FS 2013, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
• Gedankenexperiment: Beugung am Doppelspalt
Intensität
• Annahme: a<<λ
Beide Löcher sind Quellen
einzelner Elementarwellen,
die sich als Kugelwellen
ausbreiten.
erstes Nebenmaximum
zentrales Maximum
aa <<
⌧ λ
• Die resultierende Welle ist
in jedem Punkt gleich der
Summe der beiden
Wellen.
Physik, FS 2013, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
erstes Nebenmaximum
379
Schirm
• Konstruktive Interferenz
(Siehe
Kap.5):
=
Abbildung
9.17: Die
AmplitudeGangunterschied
der Wasserwellen für die Beugung
am Doppelspalt. Beim Schirm
wird die Amplitude der 1
Wasserwellen gemessen.
ein ganzzahliges Vielfaches
der Wellenlänge
k x=n
2 entsteht, muss gelten:
2 n
Damit im Punkt P ein Maximum der Intensität
x=
=n
n = 0, 1, 2, . . .
k
x = d sin # = n
n = 0, 1, 2, . . .
(Maxima) ,
x = d sin
d sin
Wednesday, May 29, 13
=n
(Maxima)
P
#
(9.43)
d
x
wobei # der Winkel zwischen dem Gang und der Normalen auf den Schirm ist.
Für ein Minimum in P muss der Gangunterschied ein halbzahliges Vielfaches
der Wellenlänge betragen:
1✓ 1 ◆
= x =nd sin+# = n + 2
2
(Minima)
(Minima) ,
n = 0, 1, 2, . . .
(9.44)
D
Abbildung 9.18: Bestimmung des Winkels des ersten Maximums.
21
9.3 Licht als Welle
• Historisch: Gibt es eine Theorie des Lichts ?
der elektromagnetischen Wellen ?
• Young (1801): Erster experimentelle Nachweis
von Interferenzeffekten für Licht.
Das Licht verhält sich als eine Welle!
Thomas Young (1773-1829)
F Wellentheorie des Lichts auf eine feste experimentelle Basis gestellt.
F Erste Bestimmung der Wellenlänge des sichtbaren Lichts.
• Demonstrationsexperiment: Ausbreitung des Lichts durch
zentrales Beugungsmaximum
einen Einzelspalt
Licht vom Laser
Nebenmaximum
645nm
Breite des Spalts:
a
100µm
Wednesday, May 29, 13
155
22
9.4 Quantisierung des Lichts
• Der photoelektrische Effekt: (Erste Beobachtung H. Hertz, 1879)
•
FLicht mit der Frequenz ν fällt auf eine metallische
Oberfläche. Wenn die Frequenz gross genug ist, so werden
aus der Oberfläche Elektronen herausgeschlagen.
Die klassische Maxwellsche Theorie kann das Phänomen nicht
erklären! Ist Licht wirklich eine Welle ??
• Im Widerspruch mit der
klassischen Wellentheorie des
Lichts:
Welle, im Raum verteilt
- Intensitätsproblem: Die maximale
kinetische Energie der
herausgeschlagenen Elektronen ist von
der Intensität des Lichts unabhängig!
- Frequenzproblem: Für Frequenzen
kleiner als eine minimale Frequenz tritt
der photoelektrische Effekt nicht auf. Dies
gilt unabhängig von der Intensität des
Lichts!
• Demonstrationsexperiment: Photoelektrischer Effekt
Wednesday, May 29, 13
23
Photonentheorie des Lichts
• Einstein (1905): eine wichtige Annahme über die Natur des
Lichts (in scharfem Kontrast zur Wellentheorie des Lichts)
•
F Elektromagnetische Welle sind nicht kontinuierlich im Raum verteilt,
sondern in kleinen Paketen quantisiert
F Elektromagnetische Wellen entstehen aus der Bewegung einer
endlichen Zahl von im Raum lokalisierten Quanten (wie Teilchen), die
nur als Ganzes absorbiert oder emittiert werden können.
F Diese Quanten werden als Photonen (γ) bezeichnet.
Elektromagnetische Wellen sind deshalb als Strahlung
von Elementarteilchen (die Photonen) zu betrachten.
Die Energie eines einzelnen Photons ist
ν = Frequenz der elektromagnetischen Welle, λ = Wellenlänge,
c = Lichtgeschwindigkeit, h = Plancksche Konstante
Wednesday, May 29, 13
24
hc
2 · 10
25
10
15
10
9
1 µm
10
6
1 mm
1m
1 km
1 Mm
3
100
103
106
10
1 ZHz
1 EHz
1 PHz
1 THz
1 GHz
1 MHz
1 kHz
1021
1018
1015
1012
109
106
103
⇤/Hz
E/eV
1 nm
12
10
1 GeV
1 MeV
1 keV
1 eV
1 meV
109
106
103
100
10
3
1 µeV
10
1 neV
6
10
J m = 1,2 eV · µm
9
1 peV
10
12
Physik, FS 2009, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
hc
E = hν =
λ
1 pm
1 fm
/m
360
c = λν
Abbildung 10.41: Das elektromagnetische Spektrum in Funktion der Wellenlänge , der Frequenz ⇤ und der Energie E.
Das elektromagnetische Spektrum
Beispiel: sichtbares Sonnenlicht
Eviolett =
Annahme:
N
hc
1,2 eV µm
= 3 eV
0,4 µm
PSonne = 150 W/m
2
150 W/m2
(2 eV) (1,602 · 10
Erot =
E
19
J)
hc
1,2 eV µm
= 1,7 eV
0,7 µm
2 eV
= 4,7 · 1020 m
2
s
1
• Demonstrationsexperiment: Photonenzähler
Wednesday, May 29, 13
25
Erklärung des Photoelektrischen Effekts
• Erklärung des Vorgangs:
- Ein Photon trägt eine Energie E=hν auf die Oberfläche.
- Die Energie wird von einem einzelnen Elektron absorbiert.
- Austrittsarbeit A: Die benötigte Energie, um ein Elektron aus einem
ungeladenen Festkörper zu lösen.
Physik,
FS 2013, Prof.
A. Rubbia
(ETH Zumgewandelt.
ürich)
- Die übrige Energie wird
in kinetische
Energie
des Elektrons
E = h = A + Ek
•Erklärung des Intensitätsproblems:
Lichtintensität ↗, Anzahl der Photonen ↗ und damit Anzahl von herausgeschlagenen
Elektronen↗
•Erklärung des Frequenzproblems:
•Wenn die Frequenz des Lichts ν<ν0: h 0 =
Kein einziges Photon hat die Energie, die zur
Emission erforderlich ist (unabhängig von der
Intensität des Lichts!)
Wednesday, May 29, 13
A
Metall
Aluminium
Beryllium
Kupfer
Gold
Eisen
Blei
Nickel
Platin
Silber
Zink
Zeichen
Al
Be
Cu
Au
Fe
Pb
Ni
Pt
Ag
Zn
A/eV
4,08
5,0
4,7
5,1
4,5
4,14
5,01
6,35
4,73
4,3
Tabelle 9.5: Austrittsarbeit A für verschiedene26M
Energie, Impuls und Ruhemasse des Photons
• Teilchennatur des Photons:
Wenn das Photon mit einem Elektron
wechselwirkt (z.B. Photoabsorption,
Rayleigh-Streuung, ComptonStreuung), verhält es sich wie ein
“Teilchen” mit einer Energie E und
einem Impuls p, die mit dem Elektron
ausgetauscht werden können
(Erhaltung der Energie und des
Impulses gilt!).
Photoabsorption
Rayleigh-Streuung
• Relativistische Beziehungen:
E = γ mc
2


p = γ mv
• Ruhemasse des Photons:
Compton-Streuung
http://tech.snmjournals.org/content/33/1/3/F1.expansion.html
2
⎛
⎞
v

E 2 − p 2 c 2 = γ 2 m 2 ( c 4 − v 2 c 2 ) = γ 2 m 2 c 4 ⎜ 1− 2 ⎟ = m 2 c 4
c ⎠
⎝
• Geschwindigkeit des Photons v=c:
E 2 − p2c2 = m 2c4 = 0
⇒ m = 0 und E = pc
Photon = masseloses Elementarteilchen
Seine Ruhemasse ist gleich null !
Wednesday, May 29, 13
27
Polarisation und der Spin des Photons
• Klassische Beschreibung: Polarisation
der elektromagnetischen Wellen mit zwei
unabhängige Richtungen)
388
•
Physik, FS 2013, Prof. A. Rubbia (ETH Z
Weil es zwei unabhängige mögliche Polarisationen einer elektromagnet
Welle gibt (d.h. z.B. vertikale oder horizontale Richtungen), kann de
Quantisierte Beschreibung:
des
Photons
des PhotonsInterner
nur zwei Freiheitsgrad
unabhängige Werte
annehmen.
Der Spin wird dah
Vektor
betrachtet,
der um
nur insich
Bewegungsrichtung
oder in entgegenge
→ der “Spin” = Vektorein
! (das
Photon
dreht
selbst !)
Bewegungsrichtung des Photons zeigen kann! Siehe Abb. 9.22.
Ein Vektor mit speziellen Eigenschaften!
Graphische Darstellungen:
c
Betrag des Spins “J = 1”
Nur zwei mögliche Richtungen:
– in Bewegungsrichtung (“Jz = +1”) oder
– in entgegengesetzer Bewegungsrichtung
des Photons (“Jz = –1”)
Wednesday, May 29, 13
Jz =
1
z
c
Jz = +1
28
9.5 Die Wellennatur der Teilchen
• Louis de Broglie (1924): Welle-Teilchen-Dualismus
Auch Elektronen, wie Photonen, besitzen Wellen- und
Teilcheneigenschaften.
• Wellen = breiten sich im Raum aus, sie interferieren,
können gleichzeitig an verschiedenen Stellen mit
verschiedener Stärke einwirken.
• Teilchen = kann zu einem Zeitpunkt nur an einem
bestimmten Ort anwesend sein. Besitzt Energie,
Impuls, Masse, Ladung, usw...
Louis-Victor-Pierre-Raymond,
7th duc de Broglie (1892-1987)
•
Einstein (1905): Für das Photon
•
de Broglie (1924): Für das Elektron müssen dieselben Gleichungen gelten!
Energie des
Elektrons
Wednesday, May 29, 13
Frequenz des
Elektrons
Impuls des
Elektrons
Wellenlänge
des Elektrons
29
Wellennatur des Elektrons
• Quantenobjekte: Wellen- und Teilchen-Eigenschaften
scheinen sich gegenseitig zu widersprechen. Quantenobjekte
(wie das Photon oder das Elektron) sind weder klassische
Wellen noch klassische Teilchen ! Bei Quantenobjekten
treten Phänomene auf, die im Widerspruch zu unserer
Erfahrung stehen.
• Komplementaritätsprinzip (Niels Bohr, 1927)
Wellen- und Teilcheneigenschaften können durch
verschiedene komplementäre Variablen beschrieben
werden.
h
E=h =
2
Neue Konstante: “h-quer”
Wednesday, May 29, 13
p=
h
=
2
h
hk
=
2
1,054 · 10
k
34
J·s
30
9.5.2 Elektron durch Doppelspalt
• Gedankenexperiment: ein Elektronenstrahl fällt auf einen
Doppelspalt. Durch welchen Spalt ist das Elektron gegangen?
Elektron der Wellenlänge
λ durch “Doppelspalt”
Schirm
λ ≈ a ⇒ Interferenz
Die Elektronen werden mit Hilfe
eines Schirms nachgewiesen.
Durch die Intensität des Lichts
auf dem Schirm wird die
räumliche Verteilung der
Elektronen bestimmt.
a
Interferenzmuster
Wednesday, May 29, 13
31
9.5.2 Elektron durch Doppelspalt
•
Teilchen- und Welleneigenschaften des Elektrons (nicht
relativistisch):
Ekin
Wellenlänge:
=
2
1
p
= me v 2 =
= eU
2
2me
h
= =
p
h
=
2me Ekin
390
hc
1,23 · 10
=
2
2me c eU
U
9
U=10kV ⇒ λ ≈
Wednesday, May 29, 13
m
2me eU
hc
Physik, FS 2013, Prof. A. Rubbia (ET
2me c2 Ekin
Intensität des
Elektronenstrahls
m
Wir erwarten Interferenzstreifen
auf dem Schirm, wenn d≈λ !
1,23×10–11
p=
Elektronenstrahl
#
d
Schirm
Abbildung 9.23: Das beim Auftre↵en von Elektronen auf einen32Do
Interferenz von Elektronen
C. Jönsson (1961): direkter Nachweis des Effekts
Interferenzstreifen
auf Schirm
Was passiert, wenn wir einzelne Elektronen durch die
Anordnung senden ? Die Elektronen werden zeitlich so
getrennt, dass sich zu einer bestimmten Zeit nur ein
einzelnes Elektron in der Anordnung befindet.
Wednesday, May 29, 13
33
Interferenz von Elektronen
10 Elektronen durch die Spalten
Obwohl alle Elektronen denselben Anfangszustand haben (gleicher
Impuls, gleiche Anfangsposition vor dem Spalt, ...), werden sie den
Schirm an verschiedenen Orten treffen!
(Im Widerspruch zur klassischen Mechanik!)
Wednesday, May 29, 13
34
Beobachtung des Aufbaus der Interferenzstreifen !
Wednesday, May 29, 13
35
Welcher Spalt? Wellennatur des Elektrons
• Zu einer bestimmten Zeit befindet sich nur ein einzelnes
Elektron in der Anordnung. Das Experiment zeigt aber, dass
ein Interferenzmuster entsteht !
FDas Elektron interferiert “mit sich selbst”.
FSeine “Wellenfunktion” spürt beide Spalten. Sie
„durchquert“ beide Spalten.
• Die “Wellenfunktion” des einzelnen Elektrons wird mit sich
selbst interferieren, und sie bestimmt wo mit welcher
Wahrscheinlichkeit die Elektronen auf den Schirm gelangen
FDas Elektron verhält sich wie eine im Raum
ausgedehnte Welle, wenn es durch die Spalten geht.
Wednesday, May 29, 13
36
9.6 Bragg-Bedingung - Röngtenbeugung
• Bragg-Bedingung: Voraussetzung für konstruktive
Interferenz von Wellen bei Streuung an einem
dreidimensionalen Gitter
• Bei bestimmten Wellenlängen und bestimmter
Orientierung der einfallenden Lichtwelle →
konstruktive Interferenz der gebeugten Lichtwelle
William Lawrence Bragg
(1890-1971)
Erklärung:
•
Kristall = Atome bilden die Bausteine
des Kristallgitters, und das Gitter hat
eine kubische Symmetrie.
Länge-Parameter = a
•
Licht fällt auf die Oberfläche des
Kristalls. Jedes Atom wirkt als
Beugungszentrum und spielt die
Rolle einer Quelle einer
Elementarwellen.
Wednesday, May 29, 13
a
37
10
m
Röngtenbeugung bei Kristallen
d.h., das Licht muss im Bereich der Röntgenstrahlen liegen (Siehe Kap.
8.18.2).
Abb. 9.29 zeigt ein typisches Interferenzmuster, das erzeugt wird, wenn ein moBragg’sche
Reflexion mitfällt.
3cm• Demonstrationsexperiment:
nochromatischer
Röntgenstrahl auf ein kristallines
Silberbromid-Pulver
Man sieht
charakteristische Beugungspunkte, die sich um den Röntgenstrahl
Wellen
befinden. Diesen Punkten entsprechen die verschiedenen Ebenen von Atomen
im •
Kristall.
Struktur von Materialen: Bragg’sche Bedingung: a≈λ
Damit kann die Struktur von Materialen studiert werden. Solche UntersuchunTyp.z.B.
Abstand
gen sind
sehr zwischen
wichtig, um die Regularität von Halbleiter-Kristallen zu
–10den
Atomendie
a≈10
m: Bau von integrierten Schaltungen in elektronischen
kontrollieren,
für
Geräten verwendet werden.
Röntgenstrahlung: 100 eV < E < MeV
rtraahhll
t
S
gtteerr S
ug
ggeebbeeu
Film
Film
Röntgenstrahl
Röntgenstrahl
Beugungspunkt
Kristall
Kristall
Wednesday, May 29, 13
38
9.7 Elektronenbeugung
•
•
Davisson und Germer (1927):
Experimentelle Beobachtung der
Beugungs- und
Interferenzeffekten von
Elektronen.
elle
w
n
e
ron
t
k
e
l
er E
d
o
n
e
n
Photo
Elektronen werden durch einen
variablen Potentialunterschied
beschleunigt und auf einen Kristall
(Nickel- oder Goldkristall)
geschossen.
• Demonstrationsexperiment:
Elektronenbeugung
Photonen und Elektronen mit
derselben Wellenlängen
erzeugen ähnliche
Beugungsmuster →
Wellennatur der Teilchen !
Wednesday, May 29, 13
39
9.8.1 Elektron in einem Kasten
• Gedankenexperiment:
Potentialtopf mit unendlich
hohen Wänden ⇒ Ein
Volumen mit der Form eines
“Kastens”:
• Wir suchen die eindimensionale Lösung:
Breite des Kastens = d
Potential:
0
d
• Das Elektron wird gezwungen, im Kasten zu bleiben.
Wednesday, May 29, 13
40
Epot (x) = 1 für2mx < 0 oder x > d ,
(9.
il das ElektronElektron
ann
sich nie in diesen
BereichenKasten
befinden. Das Elektron m
in einem
Epot
(x) = 1 für x < 0 oder x > d ,
(9.
eshalb im Kasten
bleiben.
•dasBeschreibung
Bewegung
des Elektrons
im mit
Kasten:
nnder
Quantenmechanik
das Elektron
nicht
mehr
Hilfe
seines O
Elektron sich der
niekann
in diesen
Bereichen
befinden.
Das
Elektron
m
F
Klassische
Mechanik:
ektors
lokalisiert
werden.
Wir Position
müssen des
dasElektrons
Elektronmit
alsHilfe
einedes
Welle betracht
halb im
Kasten bleiben.
Ortsvektors
als Funktion
der Zeit
as Elektron
wird deshalb
mit Hilfe
einer Wellenfunktion beschrieben:
der Quantenmechanik
kannDas
dasElektron
Elektron
nicht
mehr
mitbetrachtet
Hilfe seines O
F Quantenmechanik:
muss
als eine
Welle
tors lokalisiert
müssen das Elektron als eine Welle betracht
werden !werden. Wir (
in 3 Dimensionen
= (r, t)
s Elektron
wird
deshalb
mit
Hilfe
einer
Wellenfunktion
Wellenfunktion:
Die Wellenfunktion des Elektrons beschrieben:(9.
• Definition:
in 1 Dimension
= (x, t)
(
in 3 Dimensionen
= (r, t)
Wellenfunktion:
(9.
Wir müssen für die Wellenfunktion
eine
Bedingung
finden,
die
der
Tatsa
in 1 Dimension
= (x, t)
ntspricht, dass das Elektron sich nie ausserhalb des Kastens befinden w
Wir •nehmen
an, dasswird
diegezwungen,
Wellenfunktion
des Elektrons
“Das Elektron
im Kasten
zu bleiben”:ausserhalb des Kast
r müssen für(Diese
die Wellenfunktion
eine wenn
Bedingung
finden, die der unendl
Tatsa
erschwindet
Annahme gilt nur,
das Kastenpotential
Fdass
die Wellenfunktion
ausserhalb
Kastens
spricht,
das Elektron verschwindet
sich nie ausserhalb
des des
Kastens
befinden w
och ist) !
r nehmen an, dass die Wellenfunktion des Elektrons ausserhalb des Kast
(x, t) = 0 gilt
fürnur,
x
0 oder
x d
(9.
schwindet (Diese Annahme
wenn
das Kastenpotential
unendl
h ist) !
Wednesday, May 29, 13
41
Elektron in einem Kasten
• Ansatz: eine harmonische stationäre Lösung für das
Elektron, die die Randbedingungen erfüllt.
F In Analogie zu stehenden WellenPhysik,
FS 2013, Prof.
A. Rubbia
(ETHund
Zürich)
faktorisieren
wir die
räumliche
die zeitliche Abhängigkeit der Wellenfunktion (Siehe Kap. 5)
Ansatz:
wobei A und B Konstanten sind, die bestimmt we
(x, t) = (A sin kx
+ B cos kx) ·
f (t)
Aus den Randbedingungen folgt, dass die Wellenfu
Punkten x = 0 und x = d verschwinden muss:
Zeit(
abhängigkeit
(0, t) = (0 + B)f (t)
Räumliche Abhängigkeit
• Randbedingungen
(d, t) = {A sin kd + B cos kd}
oder
(0, t)
= (0 + B)f (t)
(d, t)
= {A sin kd + B cos kd} f (t)
=0
=0
B = 0 und kd = n⇡ ,
wobei n als Quantenzahl bezeichnet wird. Es folg
“Quantisierte”
Wellenzahl:
kn = n
d
n=
Wednesday, May 29, 13
n = 1, 2, 3, . . .
kn = n
⇡
d
n = 1, 2, 3, .
Wir sehen, dass als Folge der Randbedingung der
Quantenzahl
des Elektrons
ein ganzzahliges
Vielfachesim
vonKasten
⇡/d sein! muss.
42
Elektron in einem Kasten
• Energie und Impuls des Elektrons im Kasten
(Welle-Teilchen-Dualismus – De Broglie Beziehung)
Impuls:
pn
hn
nh
kn =
=
2 d
2d
Energie:
p2n
En =
= n2
2me
h2
8me d2
Quantenzahl:
n = 1, 2, 3, . . .
(x)
Hängen von der Breite des Kastens ab!
Wednesday, May 29, 13
43
Energie des Elektrons im Kasten
• Grundzustandsenergie: Die Energie mit n=1 ist die
niedrigste Energie, die das Elektron im Kasten besitzen kann
h2
E1 =
8me d2
E1↗d↘
• Quantisierung: das Elektron kann nicht eine beliebige
Energie annehmen. Energie ist proportional zum Quadrat der
Quantenzahl und zum Inversen des Quadrats der Breite
En = n 2 E1
• Bewegung: Die Energie und der Impuls des Elektrons im
endlichen Kasten werden nie verschwinden, d.h. n>0 ! Das
Elektron kann im Kasten nie ruhen. Es besitzt immer eine
minimale kinetische Energie und wird sich immer bewegen.
Wednesday, May 29, 13
44
Die Schrödinger-Gleichung
• Schrödinger (1926): Wellengleichung für
die quantenmechanische Beschreibung
der Ausbreitung der Wellenfunktion eines
Teilchens (Analogie zur Wellengleichung für
klassische mechanische oder
elektromagnetische Wellen)
Erwin Schrödinger
(1887–1961)
• Schrödinger postulierte: Man muss die klassische EnergieImpuls-Beziehung benutzen, und die Energie und den
Impuls durch Operatoren, die auf die Wellenfunktion
wirken, ersetzen:
E=i
Wednesday, May 29, 13
t
p
i
=
i
x
,
y
,
z
45
Die Schrödinger-Gleichung
• Die Schrödinger Gleichung eines Teilchens in einem
Potential:
p2
– Die klassische Energie: E
+ Epot (r, t)
2m
(r, t)
– Die Wellenfunktion:
– Die quantisierte Gleichung:
• Energie:
E
• Impuls:
p
i
“i” → Wellenfunktion wird
komplexe Werte haben!
t
=
i
i
x
,
y
,
z
• Kinetische Energie:
p2
2m
1
=
2m
Wednesday, May 29, 13
i
2
=
2
2m
2
=
2
2m
2
x2
+
2
y2
+
2
z2
46
Die Schrödinger-Gleichung
• Die Schrödinger Gleichung eines Teilchens in einem
Potential:
i
t
(r, t) =
2
2m
2
(r, t) + Epot (r, t) (r, t)
Schrödinger-Gleichung
• Spezial Fall: Freies Teilchen in einer Dimension (Potential
verschwindet überall):
i
t
(x, t) =
2
2m
• Ansatz (komplexe ebene Welle):
i(kx
t)
(x, t) = Ae
Wednesday, May 29, 13
2
x2
(x, t)
2 2
mit
k
=
2m
47
Die stationären Zustände
• Die potentielle Energie ist zeitunabhängig: die
Wellenfunktion hat ein mit der Zeit periodisches Verhalten
i
• Ansatz:
t
=
(x, t) =
2
2m
2
+ Epot (r)
(r)
·
Räumliche
Abhängigkeit
(t)
Zeitabhängigkeit
• Die allgemeine Lösung der stationären Zustände:
i t
(r, t) = (r)e
E=
• Räumliche Abhängigkeit durch Lösung der zeitunabhängigen
2
Schrödinger-Gleichung
2
E (r) =
(r) + Epot (r) (r)
2m
Wednesday, May 29, 13
48
Interpretation der Wellenfunktion
• Was bedeutet die Wellenfunktion? wurde während des
ersten Teils des 20. Jahrhunderts viel diskutiert: ψ kann
komplexe Werte annehmen !
• Interpretation der Wellenfunktion von Max Born (die
heutzutage als die richtige angenommen wird):
FWellenfunktion beschreibt den Zustand des Elektrons. Ein
Elektron wird tatsächlich als ein “Teilchen” nachgewiesen.
FBetragsquadrat der Wellenfunktion * dV =
Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Volumen dV zu
finden:
| (r, t)|2 dV = (r, t)
(r, t) dV
FDas Impuls und die Energie werden auch durch die
Wellenfunktion beschrieben. E
p
i
t
Wednesday, May 29, 13
i
49
Physikalische Interpretation
• Das Elektron wird nicht mehr in einem bestimmten Punkt
des Raumes lokalisiert. Tatsächlich kann man nicht mehr
sagen, wo das Elektron sich befindet:
FDie Schrödinger-Gleichung sagt nicht voraus, wie sich das
Elektron als Funktion der Zeit bewegt. Sie sagt voraus, wie
die Wellenfunktion des Elektrons sich ausbreitet.
FDie Wellenfunktion sagt nicht voraus, wo das Elektron sich
befindet. Sie sagt voraus, was die Wahrscheinlichkeit ist,
das Elektron an einem bestimmten Ort zu finden.
• In der Quantenmechanik können wir deshalb nicht mehr
die Bahnkurve eines Elektrons definieren.
Wednesday, May 29, 13
50
Beispiel: Elektron im Kasten
| (x)|
2
(x)
| (x)|2 = (x)
(x)
Das Elektron ist im Raum nicht-lokalisiert. D.h., es gibt
verschiedene unabhängige entfernte Raumgebiete, in denen die
Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu finden, nicht verschwindet.
Wednesday, May 29, 13
51
Reduktion der Wellenfunktion
•
•
•
•
Ein Elektron kann im Raum nicht lokalisiert sein. → ein Elektron kann
sich in sehr entfernten Raumgebieten mit gleicher Wahrscheinlichkeit
befinden!
Was geschieht, wenn das Elektron nachgewiesen wird?
F Elektron wird sich als ein „Teilchen“ verhalten→ es wird immer an
einem bestimmten Punkt des Raumes nachgewiesen.
F Die Wellenfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit vor dem
Nachweis, das Elektron an einem bestimmten Punkt zu finden.
Nach dem Nachweis ist das Elektron lokalisiert. Wenn wir zur Zeit t
das Elektron an einem bestimmten Punkt nachweisen → das Elektron
muss sich zur Zeit t in diesem Punkt befinden→ Die Wahrscheinlichkeit,
das Elektron zur Zeit t an diesem Punkt zu finden, muss gleich 100% sein!
Reduktion der Wellenfunktion: Die Wellenfunktion wird sich
entsprechend ändern, wenn das Elektron an einem bestimmten
Punkt nachgewiesen wird. Die Reduktion ist spontan! Wenn die
Wellenfunktion vor dem Nachweis sehr ausgedehnt war, dann muss sie
spontan in einen Punkt kollabieren.
Wednesday, May 29, 13
52
Bemerkung zur Reduktion der Wellenfunktion
•
| (x)|2
| (x)|2
Wednesday, May 29, 13
Wenn wir die Wellenfunktion als
eine räumlich ausgedehnte Welle
betrachten ⇒ während ihrer
Reduktion muss sie sich mit
unendlicher Geschwindigkeit
durch den Raum (d.h. schneller
als die Lichtgeschwindigkeit)
bewegen.
• Deshalb können wir die
Wellenfunktion nicht als etwas
betrachten, das wirklich im
Raum ausgedehnt ist.
•
Die Reduktion der
Wellenfunktion ist noch
heutzutage das am wenigsten
verstandene Rätsel der
Quantenmechanik (Einstein
hat z.B. diese Erklärung als
nicht befriedigend betrachtet).
53
9.9 Die Unschärferelation
• Die eindimensionale Wellenfunktion eines freien Teilchen
(komplexe ebene Welle):
(x, t) = A ei(kx
t)
• Das Teilchen besitzt einen bestimmten Impuls p:
p =
i
x
= k
k=
p
Die Lokalisierung eines solchen Teilchens unmöglich ist!
| (x, t)|2 =
= A ei(kx
t)
A e
i(kx
t)
= |A|2 = konst.
• Harmonische ebene Wellen beschreiben ein Teilchen, das
räumlich und zeitlich unendlich ausgedehnt ist. Das freie
Teilchen ist zu jeder Zeit mit gleicher Wahrscheinlichkeit
an jedem Ort des Raumes!!
Wednesday, May 29, 13
54
Wellenpakete = lokalisiertes Teilchen
• Die Summe harmonischer Wellen mit verschiedenen
Wellenvektoren führt zu einem im Raum lokalisierten
Teilchen. Das Teilchen hat keinen eindeutigen Impuls mehr !
(x, t) =
n (x, t) =
n
An ei(kn x
n t)
n
Lokalisiertes Teilchen
Summe der
3 gezeigten Wellen
Wednesday, May 29, 13
Summe der
5 gezeigten Wellen
Summe der
9 gezeigten Wellen
55
Unschärferelation von Heisenberg (1926)
• Unschärferelation für Position und Impuls
des Teilchens: Δx = Genauigkeit der Position
Δp = Genauigkeit des Impulses
x p
2
Werner Karl Heisenberg
(1901-1976)
Δx → 0 ⇒ Δp→∞
Δp → 0 ⇒ Δx→∞
Entweder wollen wir die Position des
Teilchens mit unendlicher Genauigkeit
messen, oder wir werden den Impuls messen.
Beispiel: Ein freies 10 eV-Elektron bewegt sich in die x-Richtung
Wir nehmen an, dass wir die Geschwindigkeit auf 1% genau messen können. Mit welcher
Genauigkeit kann man gleichzeitig den Ort des Elektrons messen?
px = me vx
Wednesday, May 29, 13
1,7 · 10
24
kg m/s
x
2 px
3 · 10
9
m
56
9.10 Der Tunneleffekt
• Definition: ein quantenmechanisches Phänomen, bei
dem ein Teilchen (z.B. ein Elektron) eine Potentialbarriere
durchqueren kann, die im klassischen Sinn für das
Teilchen undurchdringlich sein sollte
• Eine Potentialwand mit der Höhe V0 und der Dicke 2d. Von
links nähert sich ein Elektron mit der Gesamtenergie E.
Klassisch würde das Elektron reflektiert, wenn E<V0
E<V0
Elektron
Energie E
????
V0
2d
Kann das Elektron die Potentialwand durchqueren ?
Wednesday, May 29, 13
57
9.10 Der Tunneleffekt
• Elektron ist eine Welle:
FWenn E<V0, verschwindet die Wellenfunktion nicht plötzlich
in der Potentialwand, sondern nimmt exponentiell ab.
FWenn die Dicke der Potentialwand (Barriere) so ist, dass die
Wellenfunktion, obwohl exponentiell abfallend, noch nicht
vernachlässigbar ist, wenn das Teilchen das andere Ende
der Potentialbarriere erreicht, wird es nach der
Potentialbarriere weiterlaufen.
0
x< d
Epot (x) =
Elektron
Energie E
V0
0
d<x<d
x>d
V0
E<V0
Fortpflanzung der Welle
2d
Fortpflanzung der Welle
Exponentielle Abnahme
Wednesday, May 29, 13
58
9.10 Der Tunneleffekt
E<V0
E=V0
E>V0
ie
rg
ne
eE
d
en
m
eh
n
Zu
Wednesday, May 29, 13
59
Schrödinger-Gleichung im Fall E<V0
• Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung:
(x) 2m
+ 2 (E
2
x
2
• In der Potentialbarriere:
2
(x)
x2
V0 ) (x) = 0
k 2 = –2m(E–V0 )/
k 2 (x) = 0
(x) = Ae
kx
+ Be
2
>0
kx
„exponentiell verschwindend“
2
• Ausserhalb des Potentialtopfs:
K 2 = 2mE/
2
>0
(x) = Ce
iKx
Wednesday, May 29, 13
(x) 2mE
+ 2
(x) = 0
2
x
+ De
iKx
„fortpflanzend“
60
Allgemeine Lösung
• Einfallende, reflektierte und fortplanzende Welle
V0
2d
Epot (x) =
0
V0
0
x< d
d<x<d
x>d
R = Reflexionskoeffizient
T = Transmissionskoeffizient
(x) = Aekx + Be
Räumliche Abhängigkeit
der Wellenfunktion
= eiKx + Re
= T eiKx
Wednesday, May 29, 13
kx
iKx
|x|
x
x
<d
<
d
>d
61
Amplitude des Tunneleffekts
• Die resultierende Welle, die in den verschiedenen Bereichen
definiert wurden, must stetig sein. Die räumliche Ableitung der
Wellenfunktion wird in den Punkten x=d und x=–d angepasst.
• Die Amplitude der Transmissionswelle ist:
2kKe 2iKd
T =
2kK cosh 2kd i (K 2 k 2 ) sinh 2kd
• Die Wahrscheinlichkeit der Transmission ist:
2
|T | = T T =
(2kK)
2
2
(2kK) +
(K 2
+
2
2
k )
sinh2 2kd
Wenn kd gross ist, nämlich, wenn die Potentialbarriere entweder so
hoch und/oder so breit ist, dass der Transmissionskoeffizient klein ist:
Ein Elektron mit E=5 eV, V =6 eV, Breite der
(4kK)2
2
4kd
|T |
Wand 2d=0,7 nm: |T| ≈0.002
2 e
2
2
(K + k )
Exponentielle Abhängigkeit für d
2
Wednesday, May 29, 13
0
62
Anwendung: Das Tunnel-Mikroskop
• Die Oberflächen von Materialien werden mit sehr grosser
Genauigkeit studiert.
F Feine Metallnadel wird rasterförmig in einem Abstand von
etwa 1 nm über eine Oberfläche geführt.
F Der “Tunnelstrom” hängt sehr empfindlich (exponentiell) vom
Abstand zwischen Nadel und Oberfläche ab.
➡ dreidimensionales Rasterbild der Oberfläche
Wednesday, May 29, 13
63
9.11 Das Wasserstoffatom
• Die vollständige Lösung mit Hilfe der Schrödinger-Gleichung.
Proton befindet sich in Ruhe. Elektron bewegt sich um den
Kern.
• Wir suchen die stationäre Lösung des Elektrons
E (r) =
2
2m
2
(r)
e2 1
(r)
4 0r
Elektrische Wechselwirkung
• Ansatz: Kugelsymmetrie des Problems
(r)
R(r) Y ( , )
Radiale und Winkel-Abhängigkeit
Wednesday, May 29, 13
64
Wasserstoffatom
• Die Lösung ist mathematisch kompliziert.
• Wellenfunktion des Elektrons im Wasserstoffatom:
n m (r)
Laguerre-Polynome abhängig
Rn (r)Y
m(
, )
Kugelflächenfunktionen
• Drei unabhängigen Quantenzahlen: n, l und m
• Alle Zustände mit gleich n → gleiche Energie → eine “Schale”
• Radialer Anteil der Wellenfunktion Rnl→ n,l abhängig.
Er bestimmt die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in
verschiedenen Abständen vom Kern anzutreffen.
• Winkelabhängiger Anteil Ylm→ l,m abhängig.
Wednesday, May 29, 13
65
Schalenstruktur der Elektronen
• Hauptquantenzahl n: Zuständen mit gleicher n bilden eine
Schale
En =
E0
n2
mit
E0 =
1
(4
e4 me
2 2 2
)
0
13,6 eV
• Bahndrehimpuls-Quantenzahl I: Die Schalen werden weiter
unterteilt in Unterschalen mit dem gleichen Wert für l.
• Magnetische
m: Die
Unterschalen
weisen
auch
426 QuantenzahlPhysik,
FS 2013,
Prof. A. Rubbia (ETH
Zürich)
eine Entartung auf, je nach dem Wert der magnetischen
m = +`
Quantenzahl m.
`=n
m=0
m=
n
`=1
`=0
Wednesday, May 29, 13
1
`
m = +1
m=0
m= 1
m=0
66
428
Physik, FS 2013, Prof
Der Grundzustand des Wasserstoffatoms
1,0,0 (r)
13,6 eV
E1
• Für n=1 und l=m=0:
= R1,0 (r)Y0,0 ( , ) =
E = –13.6eV
Bohr-Radius:
a0
4
0
2
me
e2
1
e
a30
0,529
r/a0
10
10
m
Wahrscheinlichkeit von 90%, das
Elektron innerhalb einer Kugel
mit Radius 2.7a0 zu finden.
(a)
n = 1,
= 0, m =0
Wednesday, May 29, 13
67
E = –13.6eV
Der erste angeregte Zustand: n=2
3,4 eV
• Für n=2: E2
l=0 oder 1.
• Drehimpulsquantenzahl:
(a)
E = –3.40eV
Fnl=0→Kein
= 1, = 0, m =0 Drehimpuls, m=0
F l=1→Elektron besitzt einen Bahndrehimpuls, m=–1, 0, +1
top view
(c)
top view
(
e)
top view
z
z
z
(g)
(b)
n = 2,
= 0, m =0
side view
n = 2,
= 1, m =1
(d)
side view
n = 2,
= 1, m =0
(f
side view
n = 2,
h)
= 1, m = –1
Ein nicht-verschwindender Drehimpuls = “umlaufendes Elektron”, d.h. eine
bewegte Ladung. Eine solche Ladung wird mit einem Magnetfeld wechselwirken!
Wednesday, May 29, 13
68
Drehimpuls and magnetische Wechselwirkung
• Zeeman (1895): Wechselwirkung zwischen
Bahndrehimpuls des Elektrons und B-Feld →
Spektrallinien von Atomen in einem sehr
starken Magnetfeld in verschiedene
Komponenten (Zeeman-Effekt).
Magnet ein
Magnet aus
m=–1,0,+1
Pieter Zeeman
(1865-1943)
m=+1
m=0
m=–1
Linienspektren
Wednesday, May 29, 13
69
Wenn zwei Photonen gleichzeitig emittiert werden, könn
9.13 Das
EPR-Paradoxon
einer beliebigen
Richtung
zeigen. Diese Spins sind aber k
nur eine Wellenfunktion, die beide Photonen und ihren S
• Einstein, Podolsky und Rosen (1935):
Gedankenexperiment mit zwei Photonen
(r 1 , Jz1 , r 2 , Jz2 , t)
FEine Quelle emittiert zwei Photonen gleichzeitig und in
wobei
r i die Ortsvektoren
Jz1 und
Jz2“korreliert”)
die Spins der
entgegengesetzer
Richtung und
(Photonen
sind
FBewegungsrichtung
Nach einer gewissensind.
Zeit t (in einem Abstand d=ct) wird
die Polarisation (d.h. Spin) eines der Photonen gemessen
FWas passiert ?
➡Die Messung eines Photons
wird den Zustand des anderen
Photons beeinflussen!
➡Dieser Einfluss ist spontan
und wirkt immer, auch wenn
Jz1
die Photonen sehr weit
voneinander entfernt sind.
Wednesday, May 29, 13
2
Jz2
1
Quelle
70
Das EPR-Paradoxon
• Die Polarisation eines Photons wird bestimmt, wenn die
Polarisation des anderen gemessen wird.
• Die Quantenmechanik sagt voraus:
F Photonen bewegen sich mit beiden Spinzuständen bis einer der
Spins gemessen wird.
F Die Wellenfunktion der beiden Photonen kollabiert dann spontan und
beeinflusst den Spin des anderen Photons, unabhängig von der
Entfernung zwischen beiden Photonen.
• Das wollten Einstein, Podolsky und Rosen nicht glauben.
• Experimenteller Beweis: Gisin (Universität Genf)
F Die nicht-lokalen Quantenkorrelationen
zwischen Photonen mit einem Abstand
von 10 km wurde nachgewiesen
F Die experimentellen Resultate sind in
ausgezeichneter Übereinstimmung mit
der Quantentheorie!
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Licht von einem weit entfernten Stern
• Am Abend beobachten wir die Sterne am Himmel. Was
passiert vom Standpunkt der Quantenmechanik?
F Der Stern emittiert Licht (Photonen) isotrop.
F Wellenfunktion eines einzelnen Photons breitet sich isotrop und
kugelförmig radial aus.
F Die Wahrscheinlichkeit, das Photon nachzuweisen, ist dieselbe
in jedem Punkt des Universums, der sich im gleichen Abstand
vom
befindet.
Physik,
FS 2013,Stern
Prof. A. Rubbia
(ETH Zürich)
439
S
E
F Vor dem Nachweis ist die
Wellenfunktion sehr
ausgedehnt.
F Wenn wir das Licht vom
Stern nachweisen, wird
die Wellenfunktion des
Photons, in unserem
Auge spontan kollabieren.
Abbildung 9.54: Ausbreitung der Wellenfunktion eines Photons, das von einem
weit entfernten Stern S emittiert wurde und auf der Erde E nachgewiesen wird.
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9.14 Eine weitere Unschärferelation
• Wir haben oft von der Energieerhaltung gesprochen. Viel in
der Physik basiert auf ihr.
• Unschä̈rferelation fü̈r die Energie und Zeit:
E t
Heisenberg
2
ΔE↗Δt↘
Es ist unmöglich die Energie E während eines Zeitintervalls
Δt mit einer Genauigkeit kleiner als ΔE, zu messen.
⇒ Energieerhaltung kann (während sehr kurzen
Zeitintervallen) verletzt werden, solange es nicht messbar ist !
• Folgerung: Quantenfluktuationen des Vakuums
F Elementarteilchen werden aus dem Vakuum während sehr kurzen
Zeitintervallen erzeugt. Sie leben nur während dem kleinen
Zeitintervall Δt und sich nachher vernichten.
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Alle Effekte wurden experimentell
nachgewiesen. Sie beweisen, dass
die Konzepte der Quantentheorie
eine richtige Beschreibung der
Natur ergeben.
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Das Unverständliche am
Universum ist, dass es
verständlich ist.
(Einstein)
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Zur Prüfung
• Schriftliche 2-Stunden lange Klausur. Sechs Aufgaben zur
Auswahl. Die vier besten zählen.
• Meine Erfahrung: Es ist viel besser den Stoff während des ganzen
Semesters zu studieren, und nicht alles für die Ferien aufzusparen...
• Erlaubte Hilfsmittel:
F Vorlesungsnotizen, Uebungen, und Lösungen
F Beliebige Bücher, Formelsammlung
F Taschenrechner oder PC/Tablett für lokale Anwendungen ohne Netz-Verbindung
(ACHTUNG: d.h. chat, blog, emails, surfen, usw. NICHT erlaubt!)
F Kein Handy, kein iPod/MP3-Player/... usw.
F Für Fremdsprachige: Wörterbücher
Die Prüfung findet am 16. August 2013 statt.
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Der Stoff für die Prüfung
• Umfang:
• Kapitel 1 bis 8, (inklusive) plus Übungen.
• Nicht geprüft wird:
– Das ganze Kapitel 9.
Falls Sie bei der Prüfungsvorbereitung Fragen haben, schreiben
Sie eine e-mail an den Übungschef Dr. A. Badertscher oder rufen Sie ihn an (Tel: 044 633 3876)
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Ich wünsche
Ihnen viel
Glück für die
Prüfung und in
Ihren weiteren
Studium.
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