Musterlösung zum 14. Blatt 131. Aufgabe: Berechnen Sie folgende

Musterlösung zum 14. Blatt
131. Aufgabe: Berechnen Sie folgende Determinante und prüfen Sie, für welche λ ∈ R
diese = 0 ist.
m6
λ5
(1 − λ) sin(λ) (1 − λ) cos(λ)
−23
λ3
sin(λ)
m6 m1
λ2 +m1
− cos(λ)
sin(λ)
(m5 + 1)2
λ
1
1
m2
m7 λ 17
0
0
(m2 + 7)λ 1
cos(m4 ) − 2
−m3
1 2
0
0
λ + m7
λ
1
−7
0
1 √
0
0
0
0 m5 − 12
λ2
m5
8 0
0
0
0
m6 + 2
−λ
12
3 0
0
0
0
0
0
λ − m4
λ2 0
0
0
0
0
0
m2 + 3 λ + m3 (Abgabe: Determinante als Ausdruck in λ; die Menge der gesuchten λ in exakter Form.)
Lösung: Für M = 6186610. Dann ist zu berechnen folgende Determinante
λ5
sin(λ) · (1 − λ) cos(λ) · (1 − λ) 1 −23
λ3
sin(λ)
1 6
λ2 +6
− cos(λ)
sin(λ)
49 λ
1
1
1
0 17
0
0
8λ 1 cos(6) − 2
−8
1 2
0
0
λ
λ
1
−7
0
1 √
0
0
0
0
−6
λ2
6
8 0
0
0
0
3
−λ
12
3 0
0
0
0
0
0
λ−6
λ2 0
0
0
0
0
0
4
λ + 8
Die Matrix ist in (oberer) Blockdreiecksform: Auf der “Hauptdiagonalen” befinden sich
vier 2 × 2-Matrizen, deren Determinanten sich einfach berechnen lassen. Es ist dann deren
Produkt zu berechnen:
sin(λ) · (1 − λ) cos(λ) · (1 − λ) 8λ 1 −6 λ2 λ − 6 λ2 · 2 ·
·
− cos(λ)
λ λ 3 −λ 4
sin(λ)
λ + 8
Beachtet man die Identität
cos2 (λ) + sin2 (λ) = 1,
so erhält man das Produkt
(1 − λ) · 7λ2 · (−3λ2 + 6λ) · (−3λ2 + 2λ − 48).
Dies kann man weiter ausrechnen und erhält
3108λ4 − 2016λ3 − 1260λ5 + 231λ6 − 63λ7 .
Die Nullstellen lassen sich aus der vorherigen Darstellung leichter berechnen: Man erhält
als reelle Nullstellen λ = 0, λ = 1, λ = 2 sowie die reellen Nullstellen des quadratischen
Polynoms λ2 − 23 λ + 16. Die komplexen Nullstellen dieses quadratischen Polynoms sind
gegeben durch
r
1
1
1√
1
±
− 16 = ± i
143,
3
9
3
3
und diese sind nicht reell. Daher ist die Menge der λ ∈ R, so dass obige Determinante
= 0 ist, gegeben durch {0, 1, 2}.
132. Aufgabe: Sei a = m1 m4 m5 m6 m7 (die erste und die letzten vier Ziffern der
Matrikelnummer) und b = 19404. Berechnen Sie d = g. g. T.(a, b) mit dem euklidischen
Algorithmus und finden Sie ganze Zahlen x und y mit d = ax + by.
(Abgabe: d, x, y; die Folge r1 > r2 > · · · > rs > rs+1 = 0 der Reste, die beim euklidischen
Algorithmus entsteht; Folge ganzer Zahlen x1 , . . . , xs und y1 , . . . , ys mit ri = xi a + yi b.)
Lösung:
Für M = 6120972. Also ist a = 60972. Wir verwenden den erweiterten
euklidischen Algorithmus nach folgendem Schema:
60972
19404
60972 = 3 · 19404 + 2760 2760
84
19404 = 7 · 2760 + 84
72
2760 = 32 · 84
+ 72
12
84 = 1 · 72
+ 12
72 = 6 · 12
+
0
=
1 · 60972
=
0 · 60972
=
1 · 60972
=
−7 · 60972
=
225 · 60972
= −232 · 60972
+
0 · 19404
+
1 · 19404
+
−3 · 19404
+
22 · 19404
+ −707 · 19404
+
729 · 19404
Es ergibt sich also
r1 = 2760, r2 = 84, r3 = 72, r4 = 12, r5 = 0,
damit d = r4 = 12. Ausserdem
x1 = 1, x2 = −7, x3 = 225, x4 = −232,
y1 = −3, y2 = 22, y3 = −707, y4 = 729.
Damit x = x4 = −232 und y = y4 = 729.
133. Aufgabe: Sei a = m1 m2 m3 m4 die Zahl, die aus den ersten vier Ziffern Ihrer
Matrikelnummer besteht, und sei m = 7001. Berechnen Sie d = g. g. T.(a, m). Entscheiden Sie, ob [a]m im Restklassenring Zm ein (multiplikatives) Inverses besitzt. Falls ja,
berechnen Sie dieses.
(Abgabe: d; die Folge r1 > r2 > · · · > rs > rs+1 = 0 der Reste; Invertierbarkeit Ja/Nein;
falls ja: ganze Zahl x mit [a]m ·[x]m = [1]m ; ganze Zahlen x1 , . . . , xs mit [ri ]m = [xi ]m ·[a]m .)
Lösung: Für M = 6221270. Also ist a = 6221. Wir benutzen den euklidischen Algorithmus nach folgendem Schema:
7001
7001
7001 = 1 · 6221 + 780 780
6221 = 7 · 780 + 761 761
780 = 1 · 761 + 19
19
761 = 40 · 72 + 1
1
72 = 72 · 1
+ 0
=
1 · 7001
=
0 · 7001
=
1 · 7001
=
−7 · 7001
=
8 · 7001
= −327 · 7001
+
0 · 6221
+
1 · 6221
+ −1 · 6221
+
8 · 6221
+ −9 · 6221
+ 368 · 6221
Also
r1 = 780, r2 = 761, r3 = 19, r4 = 1, r5 = 0,
damit d = r4 = 1. Da a und m daher teilerfremd sind, ist [a] in Zm invertierbar. Ausserdem
gilt
[780]
[761]
[19]
[1]
=
=
=
=
[−1] · [6221] = [7000] · [6221],
[8] · [6221],
[−9] · [6221] = [6992] · [6221],
[368] · [6221].
Damit ist [6221]−1 = [368] in Z7001 .
Ps
i
134. Aufgabe:
Sei NP =
eine natürliche Zahl mit
i=0 ai 10
P den Ziffern
s
ai ∈ {0, 1, . . . , 9}. Sei Q = i=0 ai die Quersumme von N und Q± = si=0 (−1)i ai die
alternierende Querumme von N . Zeigen Sie:
a) N ist durch 3 teilbar genau dann, wenn Q durch 3 teilbar ist.
b) N ist durch 9 teilbar genau dann, wenn Q durch 9 teilbar ist.
c) N ist durch 11 teilbar genau dann, wenn Q± durch 11 teilbar ist.
Lösung:
a) Für jedes i ∈ N ist 10i ≡ 1 mod 3, also
N=
s
X
i=0
i
ai 10 ≡
s
X
ai = Q mod 3.
i=0
Also ist N durch 3 teilbar genau dann, wenn N ≡ 0 mod 3, was äquivalent ist zu
Q ≡ 0 mod 3, was wiederum bedeutet, dass Q durch 3 teilbar ist.
b) Folgt genau wie in a), denn für jedes i ∈ N gilt 10i ≡ 1 mod 9.
c) Es ist 10 ≡ −1 mod 11, und daher gilt 10i ≡ (−1)i mod 11 für jede natürliche Zahl i.
Damit folgt nun
s
s
X
X
i
N=
ai 10 ≡
(−1)i ai = Q± mod 11.
i=0
i=0
135. Aufgabe: Einem Bauern gehört ein rechteckiges Feld mit den Seitenlängen 200m
und 125m. Der Bauer möchte nun in gleichen Abständen Pfähle auf den Seiten seines
Feldes setzen, um dieses zu umzäunen. Wir fordern noch, dass in den Eckpunkten Pfähle
gesetzt werden sollen. Wieviele Pfähle muss der Bauer minimal setzen, und welchen
Abstand haben diese dann voneinander?
Lösung: Es seien m, n ∈ N, die die Anzahl der Längeneinheiten eines rechteckigen
Feldes angeben sollen. Wenn der Bauer nun im gleichen Abstand d Pfähle setzen will,
wobei natürlich in den Eckpunkten des Rechtecks zu setzen sind, muß für diesen Abstand
d gelten:
d | m und d | n .
Also ist d ein gemeinsamer Teiler von m und n. Damit möglichst wenig Pfähle zu setzen
sind, muß der Abstand zwischen ihnen möglichst groß sein, d.h. d muß dann der größte
gemeinsame Teiler von m und n sein. Es stehen also an je zwei Seiten unseres Rechtecks
m
+1 beziehungsweise nd +1 Pfähle. Zählen wir nur die Pfähle, die nicht in den Eckpunkten
d
stehen, so sind das
m
n
m
n
m+n
−1 +
−1 +
−1 +
−1 =2·
−4
d
d
d
d
d
Pfähle, addiert man noch die Eckpfähle, so benötigen der Bauer insgesamt
2·
m+n
m+n
−4+4=2·
d
d
Pfähle, um sein Feld mit möglichst wenig Pfählen zu umzäunen.
In unserem Fall heißt das: Der Abstand der Pfähle, so daß ihre Anzahl möglichst gering
= 26.
ist, beträgt g. g. T.(200, 125) = 25. Die Anzahl der Pfähle ist also 2 · 200+125
25