Zusätzliche Aufgaben zu ¨Ubungen zur Theoretischen Elektrodynamik
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Zusätzliche Aufgaben zu Übungen zur Theoretischen Elektrodynamik Aufgabe 1 Eine Kugel (Radius R) hat die Volumsladungsdichte ρ(r) = kr2 . Bestimmen Sie das elektrische Feld innerhalb und außerhalb der Kugel. Aufgabe 2 Ein elektrischer Dipol (Ladungen ±q im Abstand d) befindet sich in einem homogenen elektrischen Feld E. Dipol und Feld stehen im Winkel θ aufeinander. Berechnen Sie die elektrostatische Wechselwirkungsenergie zwischen Dipol und Feld. Welches Drehmoment wirkt auf den Dipol? Aufgabe 3 Eine Ladung q befindet sich im Zentrum einer Kugelschale (innerer und äußerer Radius a und b), die aus einem Dielektrikum (Dielektrizitätskonstante ) besteht. Bestimmen Sie das elektrische Feld im gesamten Raum, und berechnen Sie die induzierte Polarisationsladung σb an den Grenzflächen des Dielektrikums. Aufgabe 4 Das Potential an der Oberfläche einer Kugel ist gegeben durch V0 = k sin2 θ , wobei k eine Konstante ist. Bestimmen Sie das Potential innerhalb und außerhalb der Kugel, sowie die Oberflächenladungsdichte σ(θ) auf der Kugel. Benutzen Sie die Entwicklung des Potentials nach Legendrepolynomen, wobei für das Potential innerhalb und außerhalb der Kugel gilt Vin (r, θ) = Vout (r, θ) = ∞ X l=0 ∞ X l=0 Al rl Pl (cos θ) Bl Pl (cos θ) . rl+1 Nehmen Sie in der Rechnung an, dass keine weiteren Ladungen vorhanden sind. [Anmerkung: Die ersten drei Legendrepolynome lauten P0 (x) = 1, P1 (x) = x und P2 (x) = (3x2 − 1)/2]. Aufgabe 5 Ein Koaxialkabel (unendlich langer Zylinder) besteht aus einem inneren Leiter mit der Stromdichte kr (0 < r < a), und einer unendlich dünnen Leiterschicht bei b > a. Für den Gesamtstrom durch den inneren Leiter Iin und die äußere Leiterschicht Iout gilt Iin = −Iout = I, sodass das Magnetfeld außerhalb des Koaxialkabels verschwindet. Berechnen Sie das Magnetfeld des Leiters sowie die Energie pro Einheitslänge, die im Magnetfeld gespeichert ist. Aufgabe 6 Bestimmen Sie das Magnetfeld einer rechteckigen Leiterschleife (Kantenlänge a, Strom I) am Punkt (0, 0, z). Benutzen Sie das Ergebnis für einen Draht B = (µ0 I)/(4πr)[sin θ2 − sin θ1 ], das in der Vorlesung hergeleitet wurde.
