Blatt 9 (Komplexe Zahlen)

Mathematik II – Übungsblatt 9
SS2015
Prof. Dr. Wolfgang Konen
Bereiten Sie die Aufgaben für Termine ab dem 18.05.15 so vor, dass Sie in der Lage sind, Ihre Lösungen vorzutragen. (18.05.15: nur Aufgabe 9.1)
Übungsblatt 9
Komplexe Zahlen
In den nachfolgenden Aufgaben bezeichnet i jeweils die imaginäre Einheit.
Aufgabe 9.1 Rechnen mit komplexen Zahlen
Berechnen Sie:
a)
b)
c)
d)
e)
6+4i –(5 - 2i)
4i – 5 + i(1 – i)
|4 + 6i| – |4 – 6i|
3  2i
3  2i
i
5  2i
Hinweis: Der Bruch zweier komplexer Zahlen „Zähler durch Nenner“ wird berechnet, indem man mit dem komplex-konjugierten Nenner erweitert:
z
z1
z z *
 1 2
z2 z2  z2 *
Aufgabe 9.2 Darstellungsformen komplexer Zahlen
Ergänzen Sie die jeweils fehlenden Darstellungsformen
kartesische
Form
Polarform
trigonom. Form
Exponentialform
i
a)
2e i
b)
cos( 32  )  i sin( 32  )
c)
-3 + 6i
4 – 12i
d)
e)
Aufgabe 9.3
a) Man berechne Real- und Imaginärteil von
z1  (1  3  i)
b) Gegeben ist
© Konen
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und
 1

z2  
(1  i) 
 2

z  8  8i 3 . Man berechne
Fachhochschule Köln
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z.
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Mathematik II – Übungsblatt 9
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Prof. Dr. Wolfgang Konen
Bereiten Sie die Aufgaben für Termine ab dem 18.05.15 so vor, dass Sie in der Lage sind, Ihre Lösungen vorzutragen. (18.05.15: nur Aufgabe 9.1)
Aufgabe 9.4 Lösung algebraischer Gleichungen
Man bestimme für z alle Lösungen zk
Zeichnen Sie die zk
a)
C in kartesischer Form.
C in der komplexen Ebene!
z 6  64  0
b)
(2  2 3  i)z  8e i
c)
z2  i
Aufgabe 9.5
 sei eine beliebige reelle Zahl. Bestimmen Sie die zwei komplexen Lösungen der folgenden
Gleichung mittels quadratischer Ergänzung:
z 2  (  2i)z  1  i  0
Ermittlen Sie Real- und Imaginärteile von
Exponentialform
z  r e
i
z1,2C. Stellen Sie beide Lösungen auch in der
dar.
Aufgabe 9.6 Graphisches Rechnen mit komplexen Zahlen
Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen:
z1 = 1 - 5 i ;
z2 = 4 + 3 i .
a) Addieren und subtrahieren Sie die Zahlen graphisch in der Gaußschen Zahlenebene.
Zeichnen Sie die konjugiert komplexe Zahl zu z1 ebenfalls ein.
b) Man stelle z1 und z2 in Exponentialform dar. Bilden Sie nun
z12 ,
3
z1 ,
z1  z 2
ebenfalls mit graphischen Methoden.
Aufgabe 9.7 Additionstheoreme
Leiten Sie die "normalen" Additionstheoreme
cos(   )  cos cos   sin sin 
sin(   )  sin cos   cos  sin 
aus der Eulerschen Formel (Satz S 11-4) her.
© Konen
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