Wahrscheinlichkeitsrechnung - robert

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Wahrscheinlichkeitsrechnung (mit dem Zufall rechnen)
Zufallsgerät Würfel: Jeder Schüler wirft mit einem Würfel 25-mal, der Tischnachbar führt eine Strichliste für
die gewürfelten Ergebnisse in der folgenden Tabelle:
1
2
3
4
5
6
Bezeichnungen Summe
Die Ergebnisse von allen Schülerversuchen werden in einer gemeinsamen Tabelle gesammelt:
1
2
3
4
5
6
Bezeichnungen Summe
Wahrscheinlichkeitsrechnung (mit dem Zufall rechnen)
Zufallsgerät Würfel: Jeder Schüler wirft mit einem Würfel 25-mal, der Tischnachbar führt eine Strichliste für
die gewürfelten Ergebnisse in der folgenden Tabelle:
1
2
3
4
5
6
Bezeichnungen Summe
Die Ergebnisse von allen Schülerversuchen werden in einer gemeinsamen Tabelle gesammelt:
1
2
3
4
5
Seite 1 von 18
6
Bezeichnungen Summe
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Jeder Schüler wirft mit einem Würfel 25 Mal, der Tischnachbar führt eine Strichliste für die gewürfelten Ergebnisse in der folgenden Tabelle:
1
││││
4
4
25
2
│││││
5
5
25
3
││││
4
4
25
4
│││││
5
5
25
5
││││
4
4
25
6
│││
3
3
25
Bezeichnungen
Strichliste
Absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit
(als Bruch)
16%
20%
16%
20%
16%
12%
Relative Häufigkeit
(in Prozent)
Summe
25
25
1
100%
Die Ergebnisse von allen Schülerversuchen (16 x 25 = 300) werden in einer gemeinsamen Tabelle gesammelt:
1
48
48
300
2
51
51
300
3
49
49
300
4
52
52
300
5
53
53
300
6
47
47
300
16%
17%
16,7%
17,3%
17,7%
15,7%
Bezeichnungen
Absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit
(als Bruch)
Relative Häufigkeit
(in Prozent)
Summe
300
1
100%
Die Schüler sollen erkennen:
Bei einem Wurf mit einem Würfel gibt es 6 mögliche Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5, 6. Diese 6 Ergebnisse bilden
die Ergebnismenge E = {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6}
Bei einer großen Anzahl von Versuchen sieht man, dass alle Zahlen des Würfels in etwa gleich oft vorkommen. Man sagt:
Alle Ergebnisse besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich 1/6. Das bedeutet: in 1/6 oder 16,7% aller
Würfe kann man zum Beispiel die Augenzahl 6 erwarten.
Ein Ergebnis oder mehrere Ergebnisse werden zu einem Ereignis zusammengefasst.
Beispiel:
Aus welchen Ergebnissen besteht das Ereignis „eine Zahl größer als 2 zu würfeln“? Die dazugehörigen Ergebnisse lauten {3 ,4 ,5 ,6}
Aufgabe:
Notiere die jeweiligen Ergebnisse für folgende Ereignisse:
(1) Die geworfene Augenzahl ist gerade.
(2) Die geworfene Augenzahl ist ohne Rest durch 3 teilbar.
(3) Die geworfene Augenzahl ist eine 6.
(4) Die geworfene Augenzahl ist keine 6.
(5) Die geworfene Augenzahl ist kleiner als 5.
(6) Die geworfene Augenzahl ist kleiner als 7
(7) Die geworfene Augenzahl ist größer als 6.
Seite 2 von 18
{2 ,4 ,6}
{3 ,6}
{6}
{1, 2, 3 ,4 ,5}
{1, 2, 3 ,4}
{1, 2, 3 ,4 ,5, 6}
{}
3 Ergebnisse
2 Ergebnisse
1 Ergebnisse
5 Ergebnisse
4 Ergebnisse
6 Ergebnisse
0 Ergebnisse
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis
MERKE:
Alle Ergebnisse, die zu einem Ereignis gehören, heißen günstige Ergebnisse. Sind alle Ergebnisse gleich
wahrscheinlich, so gilt:
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses P(E) =
Anzahl der günstigen Ergebnisse (g)
g
⇒ P(E) =
Anzahl der möglichen Ergebnisse (m)
m
Nun lassen sich leicht die Wahrscheinlichkeiten für die zuvor gestellten Aufgaben finden:
zu (1): günstigen Ergebnisse:
{2 ,4 ,6}
möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: E = {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6}
g 3 1
= = = 50%
m 6 2
möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: E = {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6}
3 Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich:
zu (2): günstigen Ergebnisse:
{3 ,6}
2 1
= = 33,3%
6 3
möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: E = {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6}
2 Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich:
zu (3): günstigen Ergebnisse:
{6}
{1, 2, 3 ,4 ,5}
{1, 2, 3 ,4}
Wahrscheinlichkeit:
5
= 83,3%
6
möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: E = {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6}
5 Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich:
zu (5): günstigen Ergebnisse:
Wahrscheinlichkeit:
1
= 16,6%
6
möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: E = {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6}
1 Ergebnis günstig, 6 Ergebnisse möglich:
zu (4): günstigen Ergebnisse:
Wahrscheinlichkeit:
Wahrscheinlichkeit:
4 2
= = 66,6%
6 3
zu (6): günstigen Ergebnisse: {1, 2, 3 ,4 ,5, 6} möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: E = {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6}
4 Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich:
Wahrscheinlichkeit:
6 Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich:
Wahrscheinlichkeit:
(sicheres Ereignis)
zu (7): günstigen Ergebnisse:
{}
6
= 1 = 100%
6
möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: E = {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6}
0 Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich:
Wahrscheinlichkeit:
(unmögliches Ereignis)
Buch, S. 116-118
Seite 3 von 18
0
= 0 = 0%
6
Mehrstufige Zufallsversuche
Aufgabe:
In einem Gefäß befinden sich 3 rote, 4 blaue und 1 grüne Kugel. Es wird eine Kugel gezogen, die Farbe
notiert und dann wieder zurückgelegt. Dann wird wieder eine Kugel gezogen und deren Farbe notiert.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man erst eine blaue und dann eine grüne Kugel zieht.
Um eine bessere Übersicht über diesen 2-stufigen Zufallsversuch zu erhalten, zeichnet man ein sogenanntes Baumdiagramm:
P(Rot , Rot ) =
4
8
P(Rot , Blau) =
3 4 12
3
⋅ =
=
= 18,75%
8 8 64 16
1
8
P(Rot , Grün) =
3 1 3
⋅ =
= 4,6875%
8 8 64
3
8
P(Blau , Rot ) =
4 3 12
3
⋅ =
=
= 18,75%
8 8 64 16
4
8
P(Blau , Blau) =
4 4 16 1
⋅ =
= = 25%
8 8 64 4
1
8
P(Blau , Grün) =
4 1 4
1
⋅ =
=
= 6,25%
8 8 64 16
3
8
P(Grün , Rot ) =
4
8
P(Grün , Blau) =
1 4
4
1
⋅ =
=
= 6,25%
8 8 64 16
1
8
P(Grün , Grün) =
1 1
1
⋅ =
= 1,5625%
8 8 64
3
8
S
3 3
9
⋅ =
= 14,0625%
8 8 64
3
8
4
8
1
8
1 3
3
⋅ =
= 4,6875%
8 8 64
Die Ergebnismenge für das zweimalige Ziehen einer Kugel wäre also:
E = {rr ; rb ; rg ; br ; bb ; bg ; gr ; gb ; gg}
Achtung: Da es unterschiedlich viele Kugeln sind, ist nicht jedes dieser 9 Ergebnisse gleich wahrscheinlich!
Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „1. Kugel blau, 2. Kugel grün“ zu bekommen, muss man die Einzelwahrscheinlichkeiten des Pfades multiplizieren, also:
P(bg) =
4 1
4
1
⋅ =
=
= 6,25%
8 8 64 16
MERKE:
Multiplikationsregel:
Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades
Seite 4 von 18
Weitere Beispielaufgaben zu diesem 2-stufigen Zufallsexperiment und zur Multiplikationsregel:
Bestimme die Wahrscheinlichkeit:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
Erst eine grüne Kugel und dann noch einmal eine grüne Kugel zu ziehen.
1 1
1
= 1,5625%
P(Grün , Grün) = ⋅ =
8 8 64
Erst eine blaue Kugel und dann eine rote Kugel zu ziehen.
4 3 12
3
=
= 18,75%
P(Blau , Rot ) = ⋅ =
8 8 64 16
Erst eine rote Kugel und dann eine blaue Kugel zu ziehen.
3 4 12
3
P(Rot , Blau) = ⋅ =
=
= 18,75%
8 8 64 16
Zwei blaue Kugeln zu ziehen.
4 4 16 1
P(Blau , Blau) = ⋅ =
= = 25%
8 8 64 4
Zwei rote Kugeln zu ziehen.
3 3
9
P(Rot , Rot ) = ⋅ =
= 14,0625%
8 8 64
Buch, S. 120
Additionsregel:
Aufgabe:
Ein Gefäß enthält 3 rote und 5 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide gezogenen Kugeln die gleiche Farbe besitzen.
Zeichne dazu auch ein Baumdiagramm.
5
8
5
8
3
8
P(Schwarz , Schwarz) =
5 5 25
⋅ =
= 39,0625%
8 8 64
3
8
5
8
P(Schwarz , Rot ) =
5 3 15
⋅ =
= 23,4375%
8 8 64
P(Rot , Schwarz) =
3 5 15
⋅ =
= 23,4375%
8 8 64
3
8
P(Rot , Rot ) =
3 3
9
⋅ =
= 14,0625%
8 8 64
Das Ereignis „beide gezogene Kugeln besitzen die gleiche Farbe“ hat folgende Ergebnismenge:
E = {rr ; ss}
Multipliziert man jetzt entlang der Pfade die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse, so erhält
man:
3 3
9
⋅ =
= 14,0625%
8 8 64
5 5 25
P(Schwarz , Schwarz) = ⋅ =
= 39,0625%
8 8 64
P(Rot , Rot ) =
Seite 5 von 18
Um die Gesamtwahrscheinlichkeit für beide Ergebnisse zu erhalten, muss man die Einzelwahrscheinlichkeiten der Ergebnisse addieren, also:
P(rr , ss) =
3 3 5 5
9 25 34
⋅ + ⋅ =
+
=
= 53,125%
8 8 8 8 64 65 64
MERKE:
Additionsregel:
Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der
Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades
Weitere Beispielaufgaben zu diesem 2-stufigen Zufallsexperiment und zur Additionsregel:
Bestimme die Wahrscheinlichkeit:
a.) Beide Kugeln besitzen eine unterschiedliche Farbe.
3 5 5 3 15 15 30
P(rs , sr ) = ⋅ + ⋅ =
+
=
= 46,875%
8 8 8 8 64 65 64
b.) Mindestens eine Kugel ist rot.
3 5 5 3 3 3 15 15 9
39
P(rs , sr , rr ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
+
+
=
= 60,9375%
8 8 8 8 8 8 64 65 64 64
c.) Mindestens eine Kugel ist schwarz.
3 5 5 3 5 5 15 15 25 55
P(rs , sr , ss) = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
+
+
=
= 85,9375%
8 8 8 8 8 8 64 65 64 64
Buch, S. 121, S. 124, S. 125
Seite 6 von 18
Ziehen einer Kugel mit bzw. ohne Zurücklegen
Aufgabe:
1.)
In einem Gefäß befinden sich 3 schwarze und 2 weiße Kugeln.
Tim zieht nacheinander 2 Kugeln. Bevor er die zweite Kugel
zieht, legt er die zuerst gezogene Kugel wieder in das Gefäß
zurück.
a.)
b.)
c.)
Zeichne ein Baumdiagramm.
Trage die Wahrscheinlichkeiten an die Äste des Baumdiagramms an.
Bestimme die Ergebnismenge.
Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
2.)
Beide Kugeln sind schwarz.
Beide Kugeln sind weiß.
Die erste Kugel ist schwarz, die zweite Kugel weiß.
Mindestens eine Kugel ist schwarz.
Keine Kugel ist weiß.
Auch Ina zieht nacheinander 2 Kugeln. Sie legt aber die zuerst
gezogene Kugel nicht wieder in das Gefäß zurück.
a.)
b.)
c.)
Zeichne ein Baumdiagramm.
Trage die Wahrscheinlichkeiten an die Äste des Baumdiagramms an.
Wie viele Ergebnisse sind möglich?
Bestimme jetzt die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
Beide Kugeln sind schwarz.
Beide Kugeln sind weiß.
Die erste Kugel ist schwarz, die zweite Kugel weiß.
Mindestens eine Kugel ist schwarz.
Keine Kugel ist weiß.
Seite 7 von 18
Ziehen einer Kugel mit bzw. ohne Zurücklegen
Aufgabe:
1.)
In einem Gefäß befinden sich 3 schwarze und 2 weiße Kugeln.
Tim zieht nacheinander 2 Kugeln. Bevor er die zweite Kugel
zieht, legt er die zuerst gezogene Kugel wieder in das Gefäß
zurück.
a.)
b.)
c.)
Zeichne ein Baumdiagramm.
Trage die Wahrscheinlichkeiten an die Äste des Baumdiagramms an.
Bestimme die Ergebnismenge.
3
5
Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
Beide Kugeln sind schwarz.
Beide Kugeln sind weiß.
Die erste Kugel ist schwarz, die zweite Kugel weiß.
Mindestens eine Kugel ist schwarz.
Keine Kugel ist weiß.
Die Ergebnismenge lautet: E = {ss ; sw ; ws ; ww}
2.)
zu a.)
P(E) =
zu b.)
P(E) =
zu c.)
P(E) =
zu d.)
P(E) =
zu e.)
P(E) =
3 3
9
⋅ =
= 36%
5 5 25
2 2
4
⋅ =
= 16%
5 5 25
3 2
6
⋅ =
= 24%
5 5 25
3 3 2 3 2 3
9
6
6
21
⋅ + ⋅ + ⋅ =
+
+
=
= 84%
5 5 5 5 5 5 25 25 25 25
3 3
9
⋅ =
= 36%
5 5 25
3
5
2
5
c.)
Zeichne ein Baumdiagramm.
Trage die Wahrscheinlichkeiten an die Äste des Baumdiagramms an.
Wie viele Ergebnisse sind möglich?
Bestimme jetzt die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
Beide Kugeln sind schwarz.
Beide Kugeln sind weiß.
Die erste Kugel ist schwarz, die zweite Kugel weiß.
Mindestens eine Kugel ist schwarz.
Keine Kugel ist weiß.
Die Ergebnismenge lautet: E = {ss ; sw ; ws ; ww}
Seite 8 von 18
3
5
2
5
Ziehen mit Zurücklegen
(Additonsregel)
Auch Ina zieht nacheinander 2 Kugeln. Sie legt aber die zuerst
gezogene Kugel nicht wieder in das Gefäß zurück.
a.)
b.)
2
5
2
4
3
5
2
5
2
4
3
4
1
4
zu a.)
P(E) =
zu b.)
P(E) =
2zu c.) P(E) =
zu d.)
P(E) =
zu e.)
P(E) =
3 2
6
⋅ =
= 30%
5 4 20
2 1
2
⋅ =
= 10%
5 4 20
3 2
6
⋅ =
= 30%
5 4 20
3 2 2 3 3 2
6
6
6 18
⋅ + ⋅ + ⋅ =
+
+
=
= 90%
5 4 5 4 5 4 20 20 20 20
3 2
6
⋅ =
= 30%
5 4 20
Seite 9 von 18
Ziehen ohne Zurücklegen
(Additionsregel)
Zahlenbingo
Arbeitsauftrag:
Beim „Zahlenbingo“ wird mit zwei unterschiedlichen Würfeln gewürfelt und dann die Augensumme gebildet.
Taucht das Ergebnis in einem Bingo-Feld auf, darf man es durchstreichen. Das Feld, bei dem zuerst alle
Zahlen gestrichen wurden, hat gewonnen.
Fülle nun das 1. Bingofeld mit vier verschiedenen Zahlen aus. Spiele dann mit den Schülern deiner Gruppe
Zahlenbingo (Einer aus der Gruppe würfelt, die anderen streichen durch, danach Wechsel). Spiele dann das
2. Feld und anschließend das 3. Feld.
(1)
(2)
(3)
Welches Bingofeld ist am erfolgreichsten?
Welche Zahlen habt ihr eingetragen und warum?
Ist ein Bingofeld besser als ein anderes?
Welches Bingofeld ist das Beste – und warum?
Die beste StrategieN
Wählt neue Zahlen für das Bingofeld und spielt noch einmal Zahlenbingo.
Diskutiert: Welche Zahlen wähle ich für das optimale Bingofeld, um eine möglichst hohe Gewinnwahrscheinlichkeit zu haben?
Gibt es ein Bingofeld, das garantiert gewinnt?
Jetzt zurück zu der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Versuche die folgende Tabelle auszufüllen:
mögliche
Augensumme
Anzahl
Möglichkeiten
Wahrscheinlichkeit als Bruch
Wahrscheinlichkeit in Prozent
Zeichne nun für die Prozentangaben ein passendes Säulendiagramm (Blockdiagramm).
Seite 10 von 18
Zahlenbingo (Lösungen)
Jetzt zurück zu der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Versuche die folgende Tabelle auszufüllen:
mögliche
Augensumme
Anzahl
Möglichkeiten
Wahrscheinlichkeit als Bruch
Wahrscheinlichkeit in Prozent
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1
36
2,8
%
1
18
5,6
%
1
12
8,3
%
1
9
11,1
%
5
36
13,9
%
1
6
16,7
%
5
36
13,9
%
1
9
11,1
%
1
12
8,3
%
1
18
5,6
%
1
36
2,8
%
Zeichne nun für die Prozentangaben ein passendes Säulendiagramm (Blockdiagramm).
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Seite 11 von 18
(9)
(10)
(11)
(12)
Wahrscheinlichkeit mit Prozentsätzen
1.)
Eine Spielgeldmünze zeigt Zahl (Z) mit der Wahrscheinlichkeit von 70%. Die Münze wird zweimal
geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass:
a.)
b.)
c.)
d.)
Z
zweimal Zahl geworfen wird?
zweimal Wappen geworfen wird?
unterschiedliche Seiten oben liegen?
die gleiche Seite oben liegt?
0,7
Z
Zeichne ein Baumdiagramm!
0,7
a.)
P(E) = 0,7 ⋅ 0,7 = 0,49 = 49%
b.)
P(E) = 0,3 ⋅ 0,3 = 0,09 = 9%
c.)
P(E) = 0,7 ⋅ 0,3 + 0,3 ⋅ 0,7 = 0,42 = 42%
d.)
P(E) = 0,7 ⋅ 0,7 + 0,3 ⋅ 0,3 = 0,58 = 58%
0,3
S
0,3
0,7
Z
W
0,3
2.)
W
W
Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines schwarzen Lammes bei einer bestimmten Schafherde
beträgt 25%. In einer Herde sind 4 Lämmer geboren worden.
Zeichne ein Baumdiagramm und bestimmte die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
Das 1. Lamm ist schwarz, das 2. weiß, das 3. schwarz und das 4. weiß
3 Lämmer sind weiß und 1 Lamm ist schwarz.
2 Lämmer sind weiß und 2 Lämmer schwarz.
3 Lämmer schwarz und 1 Lamm weiß.
4 Lämmer sind weiß.
Kein Lamm ist weiß
wwww
0,75
ok
wwws
wwsw
0,75
0,25
d
ok
wsww
0,75
ok
0,25
0,75
0,25
ok
ok
wsss
swws
swsw
0,75
0,25
d
0,25
ok
swww
0,75
0,25
wsws
wssw
d
S
wwss
d
0,75
ok
swss
ssww
ok
d
ssws
sssw
0,25
d
Seite 12 von 18
ok
ssss
a.)
P(wsws) = 0,75 ⋅ 0,25 ⋅ 0,75 ⋅ 0,25 ≈ 0,0352 ≈ 3,52%
b.)
P(wwws; wwsw ; wsww ; swww) =
0,75 ⋅ 075 ⋅ 0,75 ⋅ 0,25 ⋅ 4 = 0,1055 ⋅ 4 = 0,422 = 42,2%
c.)
P(wwss ; wsws ; wssw ; swsw ; ssww ; swws) =
0,75 ⋅ 0,75 ⋅ 0,25 ⋅ 0,25 ⋅ 6 = 0,0352 ⋅ 6 = 0,2112 = 21,12%
d.)
P(sssw ; ssws ; swss ; wsss) =
0,25 ⋅ 0,25 ⋅ 0,25 ⋅ 0,75 ⋅ 4 = 0,0117 ⋅ 4 = 0,0468 = 4,68%
e.)
P(wwww) = 0,75 ⋅ 0,75 ⋅ 0,75 ⋅ 0,75 = 0,3164 = 31,64%
f.)
P(ssss) = 0,25 ⋅ 0,25 ⋅ 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0039 = 0, 39%
Seite 13 von 18
Wahrscheinlichkeitsrechnung
1.)
Annahme: Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen ist etwa genauso groß wie für die Geburt eines Mädchens. Ein Ehepaar wünscht sich 3 Kinder. Zeichne ein Baumdiagramm und bestimme
die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
a.)
b.)
c.)
d.)
2.)
Eine Münze wird dreimal nacheinander geworfen. Zeichne ein Baumdiagramm und bestimme für jedes der angegebenen Ereignisse die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
i.)
j.)
3.)
beide Bauteile defekt sind.
mindestens ein Bauteil defekt ist.
das Gerät ohne defekt ist.
In einer Lostrommel sind 10 Lose, darunter 3 Gewinnlose, der Rest sind Nieten. Zuerst zieht Dirk ein
Los, dann zieht Leonie ein Los. Zeichne ein Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit für
folgende Ereignisse:
a.)
b.)
6.)
zwei Herzkarten
zwei schwarze Karten
zwei Asse
zwei Bildkarten
den Kreuz-Buben und den Pik-Buben
In einer Fabrik werden elektronische Geräte hergestellt. Auswertungen über einen längeren Zeitraum
haben ergeben, dass 3% der Teile einen Fehler am Bauteil A und 2% einen Fehler an Bauteil B aufweisen. Zeichne ein Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass:
a.)
b.)
c.)
5.)
zuerst Wappen, dann zweimal Zahl.
nicht dreimal Wappen.
der letzte Wurf ist Zahl.
mindestens einmal Wappen.
mehr Wappen als Zahl.
gleich oft Wappen und Zahl.
drei gleiche Ergebnisse.
höchstens zweimal Zahl.
erster Wurf ist Wappen.
höchstens dreimal Wappen.
Julian zieht aus einem gut gemischten Skatblatt zwei Karten. Nachdem er die erste Karte gezogen
hat, steckt er sie wieder zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er folgende Karten
zieht:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
4.)
Alle Kinder sind Mädchen.
Alle Kinder haben das gleiche Geschlecht.
Das erste Kind ist ein Mädchen, das zweite Kind ein Junge.
Das Ehepaar bekommt mindestens ein Mädchen.
Dirk zieht ein Gewinnlos (eine Niete).
Beantworte die gleiche Frage für Leonie.
Bei der Herstellung von Stühlen können unabhängig voneinander drei verschiedene Fehlertypen auftreten. Man weiß, dass 4% aller Stühle Fehler am Gestell aufweisen, 6% am Polster und 2% in der
Lackierung. Ist ein Stuhl fehlerfrei, wird er regulär zum Preis von 240 € ausgeliefert, hat er genau einen Fehler, wird er als 2. Wahl verkauft (180 €), weist er mehr als einen auf, wird er für 120 € abgegeben.
a.)
Berechne mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass:
(1)
der Stuhl regulär verkauft wird,
(2)
er als 2. Wahl verkauft wird,
(3)
ein Stuhl mit mehreren Fehlern billiger abgegeben wird.
b.)
Die Firma stellt in einer Serie 1500 Stühle her. Mit welchen Einnahmen kann die Firma rechnen?
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Wahrscheinlichkeitsrechnung (Lösungen)
zu 1.)
J
J
M
a.)
1 1 1 1
⋅ ⋅ =
2 2 2 8
J
J
b.)
M
M
d.)
S
1 1 1
2 1
⋅ ⋅ ⋅2 = =
2 2 2
8 4
1 1 1
c.)
⋅ =
2 2 4
1 7
1− =
8 8
J
J
M
M
J
M
M
zu 2.)
W
W
a.)
W
c.)
W
W
e.)
W
g.)
W
S
i.)
W
1
8
4 1
=
8 2
3
8
2 1
=
8 4
1
2
W
W
W
W
W
W
a.)
zu 3.)
d.)
8 7
7
⋅
=
32 31 124
12 11 33
⋅
=
32 31 248
b.)
e.)
16 15 15
⋅
=
32 31 62
1 1
1
⋅
=
32 31 992
c.)
Seite 15 von 18
4 3
3
⋅
=
32 31 248
b.)
d.)
7
8
7
8
f.)
0
h.)
3
8
j.)
1
zu 4.)
ok
a.) 0,03 ⋅ 0,02 = 0,0006 = 0,06%
0,98
b.) 0,97 ⋅ 0,02 + 0,03 ⋅ 0,98 + 0,03 ⋅ 0,02 = 0,0494 = 4, 94%
ok
0,97
0,02
d
c.) 0,97 ⋅ 0, 98 = 0,9506 = 95,06%
S
0,03
0,98
ok
d
0,02
zu 5.)
d
G
2/9
G
3/10
7/9
N
3/9
b.)
zuerst Gewinn :⇒ G =
zuerst Niete :⇒ G =
G
N
6/9
N=
7
10
G=
S
7/10
3
10
a.)
N
Seite 16 von 18
2
9
3 1
=
9 3
7
9
6 2
N= =
9 3
N=
zu 6.)
G
P
L
0,98
ok
a.) (1) P(E) = 0,96 ⋅ 0,94 ⋅ 0,98 = 0,8844 = 88,44%
ok
0,94
0,02
ok
0,98
d
d
0,06
0,96
0,04
0,94
0,02
ok
0,98
ok
ok
0,06
0,04 ⋅ 0,94 ⋅ 0,98 = 0,1113 = 11,13%
0,04 ⋅ 0,94 ⋅ 0,02 +
0,04 ⋅ 0,06 ⋅ 0,98 +
0,04 ⋅ 0,06 ⋅ 0,02 = 0, 0043 = 0,43%
b.) E = 1500 ⋅ 0,8844 ⋅ 240 + 1500 ⋅ 0,1113 ⋅ 180
0,02
d
0,96 ⋅ 0,06 ⋅ 0,98 +
(3) P(E) = 0,96 ⋅ 0,06 ⋅ 0,02 +
d
S
(2) P(E) = 0,96 ⋅ 0,94 ⋅ 0,02 +
0,98
d
d
d
0,02
d
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+1500 ⋅ 0,0043 ⋅ 120
E = 349.209 €
b
r
b
K
N
g
N
w
N
b
K
r
r
K
N
g
N
w
N
b
r
K
s
s
N
g
N
w
N
K
K
N
N
N
s
N
K
K
s
N
K
K
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