Übungsblatt 4 vom 6.5.2008

Fakultät für Informations- und
Kognitionswissenschaften
Wilhelm-Schickard-Institut für Informatik
Arbeitsbereich Technische Informatik
Prof. Dr. W. Rosenstiel
Technische Informatik 1
Sommersemester 2008
Übungsblatt 4
Abgabe: 20. Mai 2008 in der Vorlesungspause
Aufgabe 1: Maschenanalyse
[5 Punkte]
In dieser Aufgabe sollen Sie schrittweise einen allgemein anwendbaren Algorithmus zur Maschenanalyse
eines Widerstandsnetzwerkes durchführen. Dadurch lassen sich die Ströme und Spannungen in allen
Zweigen des Netzwerkes bestimmen.
Um ein Netzwerk vollständig zu analysieren, muß ein Gleichungssystem aufgestellt werden, das aus
mehreren Maschen gewonnen wird. Da es zahlreiche Möglichkeiten gibt, die Maschen zu wählen, verfährt man im allgemeinen wie folgt. Dieses Vorgehen führt auch immer zur minimalen Anzahl benötigter
Maschen:
• Es wird ein vollständiger Baum über die Knoten des Netzwerkes gelegt. Hierbei ist wichtig:
– Es handelt sich um einen Baum, d. h. es existieren keine Schleifen, somit kann in dem Baum
kein Strom fließen.
– Der Baum ist vollständig, d. h. alle Knoten sind enthalten.
Alle übrigen Verbindungsstrecken sind die Verbindungszweige.
• Nimmt man zu dem Baum jeweils einen der Verbindungszweige hinzu, so ergibt sich eine Masche,
in welcher ein Maschenstrom fließen kann. Somit sind alle Maschen bestimmt. Die Richtung der
Maschenströme wird frei gewählt.
• Man stellt nun für alle Maschen die Maschengleichungen nach der Kirchhoffschen Maschenregel
auf. Durch Umsortieren nach den Maschenströmen ergibt sich ein Gleichungssystem der Form:





Rij
UM 1
IM 1
 ..   .. 
 . = . 
UM n
IM n
n×n







Die Matrix R ist hierbei quadratisch und symmetrisch. Zur Probe können Sie überprüfen, daß die
Diagonalelemente Rii die Summe der Widerstände in der Masche i enthält. Die restlichen Elemente
Rij stellen die Widerstände dar, die von den Maschenströmen i und j durchflossen werden. UM i ist
die negierte Summe der Spannungsquellen in der Masche i (Vorzeichen in Umlaufrichtung gezählt).
Durch Auflösen des Gleichungssystems lassen sich alle Maschenströme berechnen.
• Der Strom in einem bestimmten Zweig im Netzwerk läßt sich nun einfach durch die vorzeichenrichtige Addition aller Maschenströme, die durch diesen Zweig fließen, bestimmen.
Wenden Sie diesen Algorithmus in der folgenden Aufgabenstellung auf das Widerstandsnetzwerk gemäß
der Abbildung 1(a) (s. Rückseite) an:
Jürgen Sommer
Technische Informatik
6. Mai 2008
R
1
2R 2
3
+
2R
2U 0
4 R
6
R 5
7
R
R
-
+
U0
Abbildung 1: (a) Netzwerk (b) Baum (durchgehend) und Verbindungszweige (gestrichelt)
1. Zeichnen Sie das Widerstandsnetzwerk aus Abbildung 1 ab und tragen Sie in verschiedenen Farben den Baum und die Verbindungszweige ein. Im allgemeinen ist es unerheblich, welcher der
möglichen vollständigen Bäume gewählt wird, jedoch läßt es sich mit dem angegebenen Baum am
einfachsten rechnen, da sich die wenigsten Überschneidungen der Maschen untereinander ergeben.
2. Zeichnen Sie die 4 Maschenströme IM 1 . . . IM 4 mitsamt der von ihnen frei gewählten Stromrichtung in ihre Zeichnung ein.
3. Stellen Sie für alle 4 Maschen die Maschengleichungen nach der Kirchhoffschen Maschenregel auf.
Beachten Sie dabei die Vorzeichen und Richtungen der Maschenströme.
4. Lösen Sie das Gleichungssystem nach den Maschenströmen auf, die Sie zur Bestimmung von I6
und U6 am Widerstand 6 benötigen.
5. Berechnen Sie den Strom I6 und die Spannung U6 am Widerstand 6 allgemein in Abhängigkeit von
R und U0 und für R = 300 Ω, U0 = 12 V.
Aufgabe 2: Wheatstone–Brücke
[3 Punkte]
A
Rx
R1
I
+
U
D
B
−
R2
R3
C
Abbildung 2: Wheatstone–Messbrücke.
Die Wheatstone–Messbrücke aus Abbildung 2 ist eine Schaltung zur genauen Bestimmung eines unbekannten Widerstands Rx : Durch Variation des regelbaren Widerstands R3 wird die Schaltung so eingestellt, daß durch das Strommessgerät kein Strom mehr fließt. Mit dem eingestellten Widerstand R3 kann
nun Rx bestimmt werden. Geben Sie einen allgemeinen Ausdruck für Rx in Abhängigkeit von R1 , R2
und R3 an.
Jürgen Sommer
Technische Informatik
6. Mai 2008
Aufgabe 3: Kapazität von Kondensatoren
[2 Punkte]
Berechnen Sie die Gesamtkapazität zwischen den Klemmen A und B der Schaltung in Abbildung 3 für
die Einzelkapazitäten C1 = 14,31 µF, C2 = 13,53 nF und C3 = 14,16 µF.
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
C1
C2
C3
1
0
1
0
A
B
Abbildung 3: Schaltung mit Kondensatoren.
Aufgabe 4: Ersatzspannungs- und stromquellen
[3 Punkte]
Geben Sie für den in Abbildung 4 dargestellten Zweipol zwischen den Klemmen 1 und 2
1. eine äquivalente Stromquelle mit dem Strom I0 und dem Innenleitwert Gi (siehe Ersatzstromquelle
in Abb. 4 rechts unten) und
2. eine äquivalente Spannungsquelle mit Spannung U0 und Innenwiderstand Ri (siehe Ersatzspannungsquelle in Abb. 4 rechts oben) allgemein an.
3. Bestimmen Sie die Ersatzquellen nach 1. und 2. für U1 = 10 V, R1 = 1 kΩ und R2 = 2,2 kΩ.
U0
Ri
1
2
R2
1
2
U1
R1
1
Gi
2
I0
Abbildung 4: links ursprünglicher Zweipol, rechts Ersatzspannungsquelle (oben) und Ersatzstromquelle (unten)
Jürgen Sommer
Technische Informatik
6. Mai 2008
Aufgabe 5: Bewegte Ladung in magnetischem Feld
[4 Punkte]
Ein Elektron fliegt mit der Geschwindigkeit
v = 2,5 · 107 m
s in ein Magnetfeld der Länge
l = 9 cm und Stärke B = 1·10−3 T ein (siehe
Abbildung 1).
1. Wie groß ist die Kraft F des Magnetfeldes auf das Elektron nach Betrag und
Richtung?
h
v
2. Ergibt sich eine Kreis- oder Parabelbahn innerhalb des Magnetfeldes (Begründung)?
B
3. Unter welchem Winkel verläßt das
Elektron das Feld?
l
Abb. 1: Elektron in magnetischem Feld.
4. In welcher Entfernung h von der ursprünglichen Bahn befindet sich der
Austrittspunkt?
Hilfsangaben: Ladung des Elektrons: |e0 | = 1,602 · 10−19 C; Masse des Elektrons me = 9,109 · 10−31 kg; Zentripe2
talkraft Fz = m · vr
Jürgen Sommer
Technische Informatik
6. Mai 2008