R - ELSA Bonn

2.10. Gravitation
Newton
befasste sich mit der ''Welt'' von R. Descartes (1596-1650)
Sonne und Planeten Wirbel
in einer Flüssigkeit
a) Gravitationsgesetz
(Newton 1665)
Alle Massen ziehen
einander an!
F=F(m1, m 2, r,..) ; r
Abstand zwischen m1, m2
Wie sieht F explizit aus?
Aus Beobachtungen:
1) Erdoberfläche: g= konstant, F~ m2
1
2) Reaktionsprizip
F 1/2 = ?F 2/1 ¸ F i m 1
Ein Umlauf: T =
Ann.: Newton: Planet kreist um die Sonne
mit v auf zirkularer Bahn
2^R
v
Newton kannte das 3.Keplersche Gesetz für Planetenbahnen R 3 i T 2
mit
Tu
R u
3
R
v
R2
v2
oder
oder
R2
v2
T2 u
R2 u
R
v2
oder
1
R2
u
v2
R
Durch andere Überlegungen hatte Newton die
Zentrifugalkraft als
Er kam damit zum Schluss:
Gravitationskraft
F=G
m 1 6m 2
R2
Fc u
Fc u
1
R2
v2
R
etabliert.
Im Gleichgewicht zwischen
m 1 und m 2
Zentripetalkraft(Gravitation):
u R12
Mit G als Gravitationskonstanten!
b) Messung der Gravitationskonstanten G mit der Drehwaage
Gemessen von Henry Cavendish, publiziert 1798
Torsionsfaden mit Spiegel (senkrecht zur Bildebene)
M=1.5kg, m=15g, L=26m, r=5cm,
_ = 5cm
s
Drehwaage so empfindlich,
dass es eine
Gleichgewichtslage gibt, die
mit Gravitation zwischen
den Kugeln ungleich 0 ist.
Ist t, die Messzeit, klein gegen die Schwingungszeit T der
Drehwaage, können Näherungen bei der Berechnung
gemacht werden.
m6a =
¸a=
G=
26d
t2
a6r 2
26M
Mit Zahlenwerten eines früheren Versuchs
in einem leeren Hörsaal
G = 0.0560.0560.1560.05
6066061.562626
mit t=60s
d = 0. 5 6 a 6 t 2
26G6m6M
r2
J=
d
_
G=
2J =
S
L
d=
S6_
26L
r 2 6S6_
t 2 6M626L
= 6. 68 6 10 ?11 m 3 6 s ?2 6 kg ?1
c) Gavitationsfeld
Kraft von
Gravitationsfeld
Masse m Q
bewirkt ein
?
G6m Q
6 er F = ?
r2
mQ
G6m Q
auf m:
6 er 6 m
r2
Kraftfeld,
in dem die Masse m die die Kraft
Q
erfährt
Bewegt man die Masse m von r=
K ¸ r0
r0
leistet die Gravitation Arbeit.
r0
W= X Fdr = ?G 6 m Q 6 m 6 X
K
Umgekehrt:
G6m Q 6m
r
r2
= G 6 m Q6
m
r0
K
Arbeit muß geleistet werden gegen
die Gravitationskraft
Diese bleibt als potentielle Energie
von m im Gravitationsfeld
E pot ÝrÞ = ?
dr
?
G6m Q
r
Potential
z.B.: m bewegt sich im Potentialfeld von mQ
Festlegung des Nullpunktes:
Die Gravitation ist ein Beispiel
einer konservativen Kraft.
Änderung der potentiellen Energie
=
oder vektoriell
d.h.: Aus einem Potentialfeld
Kraftfeld
(Modell für die Erde)
r in Erdradien
Wo ist der Mond?
d) Die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung
1. Keplersches Gesetz
Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen,
in deren Brennpunkt die Sonne steht
2. Keplersches Gesetz
Flächensatz: Der Ortsvektor überstreicht in gleichen
Zeiten gleiche Flächen
dr
Konstante Flächengeschwindigkeit
<->Drehimpulserhaltung
3. Keplersches Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten
verhalten sich wie
die Kuben der großen Halbachsen
T 21
T 22
=
a 31
a 32
Zweiteilchensystem mit inneren Kräften
Wie sieht es mit dem Schwerpunkt aus?
rs =
m 1 6 r 1 +m 2 6 r 2
m 1 +m 2
66
¸ rs = 0
Wo ist die Dynamik?
Schwerpunkt bewegt sich gleichförmig!
In der Relativbewegung:
ersetzen:
Setzt man
verhält sich also wie Teilchen mit der Masse
Gravitation zwischen zwei Himmelskörpern:
66
m1 6 r 1
= ?G 6
m 1 6m 2
r2
r 1? r 2
r
= ?G 6
= ?G 6
m 1 6m 2
r2
r 2? r 1
r
= G6
66
m2 6 r 2
66
oder W 6 r = ?G 6
m 1 6m 2
r2
m 1 6m 2
r2
m 1 6m 2
r2
r
r
r
r
r
r
Zentralkraft:
Drehimpuls:
erhalten, Bewegung, Ebene
xÝtÞ = rÝtÞ 6 cosÝ®ÝtÞÞ, yÝtÞ = rÝtÞ 6 sinÝ®ÝtÞÞ
Polarkoordinaten:
Energiesatz:
konstant
Aufgelöst nach
.2
r
¸
2ÝE?UÞ
W
. 2
? r 6®
2
.2
=r
mit ''Division'' unter Nutzung von
.
r
®6r 2
.
2ÝE?UÞ6W
=
L2
mit UÝrÞ =
?A
r
?
1
r2
. 6
®=
mit
und aÝ®Þ =
dr
dt
d®
dt
1
rÝ®Þ
mit
Ýda/d®Þ + Ýa ?
2
1
p
Þ =
2
P2
p2
6
L
W6r 2
2ÝE?UÞ
W
r=
?
L2
W 2 6r 2
Trick, um zur Bahnkurve zu kommen
=
dr
¸
d®
¸
p=
L2
A6W
wird gelöst durch:
und P =
rÝ®Þ =
wir setzen:
1+
2E6L
W6A2
p
1+P6cosÝ®?® 0 Þ
und erhalten
mit
und
a
¸
1.Fall
2. Fall
d.h. c> a :Hyperbel aus E>0
d.h. c< a Ellipse aus E<0