Grundlagen der Physik

Gravitation.nb
*UXQGODJHQGHU3K\VLN
Vorlesung im Fachbereich VI der Universität Trier
Fach: Geowissenschaften
Sommersemester 2001
'R]HQW
'U.DUO0ROWHU
'LSORP3K\VLNHU
)DFKKRFKVFKXOH7ULHU
7HO
)D[
(0DLOPROWHU#IKWULHUGH
,QIRV]XU9RUOHVXQJXQWHUKWWSZZZIKWULHUGHaPROWHUJGS
Version: 1.0
21.04.01
/LWHUDWXU
•
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•
6WURSSH: 3K\VLN,
Hanser Fachbuchverlag, 1999, ISBN 3-446-21066-0
+HULQJ0DUWLQ6WRKUHU: 3K\VLNIU,QJHQLHXUH,
Springer, Berlin; VDI, 1999, ISBN 3-540-66135-2
3DXO$7LSOHU: 3K\VLN,
Spektrum Akademischer Verlag, 2000, ISBN 3-86025-122-8
*HUWKVHQ: 3K\VLN,
Springer Verlag, 1999, ISBN 3-540-65479-8
%URQVWHLQ6HPHQGMDMHZ: 7DVFKHQEXFKGHU0DWKHPDWLN,
Verlag Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-2005-2
-UJHQ(LFKOHU: 3K\VLN,
Vieweg Verlag, 1993, ISBN 3-528-04933-2
+DQV-3DXV: 3K\VLN,
Hanser Verlag, 1995, ISBN 3-446-17371-4
.ODXV:HOWQHU: 0DWKHPDWLNIU3K\VLNHU,
Vieweg Verlag (nur noch als CD-ROM, ISBN 3-528-06775-6, erhältlich!)
6WHSKHQ:ROIUDP: 7KH0DWKHPDWLFD%RRN,
Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-64314-7
Gravitation.nb
Gravitation
'DV*UDYLWDWLRQVJHVHW]
Å 9RUEHPHUNXQJHQ
Im Jahre 1686 formulierte Newton aufgrund experimenteller Beobachtungen (fallender Apfel!) das nach
ihm benannte Gravitationsgesetz, das die Kraft angibt, die zwei Körper mit den Massen P1 und P2 im
Abstand r aufeinander ausüben.
Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet:
P1 P2
) = g þþþþþþþþ
U2þþþþþ
[1]
Die Gravitationskonstante g konnte Newton noch nicht angeben. Die Kraft (die ja eigentlich ein Vektor
ist) wirkt entlang der Verbindungslinie der beiden Massenschwerpunkte.
Wie kam Newton zur Formulierung dieses Gesetzes? Versuchen wir seine Gedanken auf der Basis des
damaligen Wissens nach zu vollziehen:
Es war bereits bekannt, dass die Erde einen Körper mit einer Kraft anzieht, die seiner Masse proportional
ist:
F=mg
[2]
Aufgrund des actio = reactio Prinzips schloss Newton, dass der Körper die Erde mit der gleichen Kraft
anzieht.
Die Kraft, mit der sich zwei Körper anziehen, muss daher proportional zu beiden Massen sein:
F ~ P1 P2
[3]
Ausserdem war aufgrund astronomischer Beobachtngen klar, dass die Kraft mit wachsendem Abstand
er beteiligten Körper abnimmt, etwa nach einem Potenzgesetz:
1
F ~ þþþþ
UQþ
[4]
So stellte sich nur noch die Frage nach dem Exponenten n.
Um den Exponenten einzugrenzen, verglich Newton die Kraft, die ein Körper K an der Erdoberfläche
erfährt mit der Kraft, die der Mond (M) auf seiner Bahn um die Erde erfährt:
P.
). = P. J = g 0( þþþþ
U.þþþþQþ
[5]
P0
)0 = PP D = g 0( þþþþ
U 0þþþþQþ
[6]
Pþþ war bereits bekannt.
Die Erdbeschleunigung g=9,81 þþþþ
V
Die Radial (Zentripetal)-Beschleunigung a des Mondes auf seiner Bahn um die Erde konnte Newton aus
Gravitation.nb
dem bekannten Abstand (U0 60 Erdradien) und der Umlaufzeit (28 Tage) aus dem Zusammenhang
zwischen Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung
D = w2 U
zu
-
a = 2.6 10
3
P
þþþþ
V2þþ
ermitteln.
Newton setzte nun die Gleichungen [5] und [6] ins Verhältnis, so dass sich sämtliche Massen und die
(bislang unbekannte) Gravitationskonstante g herauskürzten:
U0
þþþþJD = þþþþ
U.þþþþ2 þ .
2
[7]
So stellte sich nur noch die Frage, was als Abstand des Körpers an der Erdoberfläche von der Erde
einzusetzen ist. Da man sich idealerweise die gesamte Masse im Schwerpunkt der Körper vereinigt
vorstellen kann, scheint es plausibel, als Abstand den Erdradius 5( einzusetzen:
Q
60 5(
9.81
Q
I þþþþþþþþ
þþþþþþþþþ 3773
5(þþþþþ M = 60 = þþþþþþþþ
2.6 10-3
[8]
Der Vergleich der Zahlen 3773 und 60Q ergibt ziemlich exakt n = 2.
Spätere Untersuchungen zeigten dann, dass der Wert 2 für den Exponenten mit grosser Genauigkeit gilt.
Å 'LH*UDYLWDWLRQVNRQVWDQWH
Die zur Vervollständigung des Gravitationsgesetztes erforderliche Proportionalitätskonstante g konnte
Newton nur sehr grob abschätzen.
Erst im Jahr 1797 gelang es Cavendish mit einem ausgeklügelten Experiment (der sogenannten
Gravitationswaage) die Anziehungskraft zweier Massen direkt zu messen und daraus die fehlende
Proportionalitätskonstante zu bestimmen.
Man erhält auf diese Weise den Wert:
g = (6.6720 ± 0.0004)·10
-
11
1 Pþþþþþ ].
[ þþþþþþþþ
2
2
kg
P
Kennt man die Erdbeschleunigung g = 9.81 [ þþþþ
V2þþ ] und den Erdradius 5( = 6370[km], so lässt sich aus der
Gleichung [5] die Erdmasse berechnen:
0( = þþþþJþ 5( 2 = 5.98 ¼ 1024 [kg]
g
Die Genauigkeit dieses Wertes hängt natürlich von der Genauigkeit der Gravitationskonstante und der
Erdbeschleunigung ab. Ausserdem ist die Erde keine Kugel, sondern an den Polen "HWZDVDEJHSODWWHW".
Die Erbeschleunigung g lässt sich sehr genau aus der Schwingunsdauer von Pendeln bestimmen, dazu
kommen wir im Abschnitt 6FKZLQJXQJHQXQG:HOOHQ.
Gravitation.nb
*UDYLWDWLRQVIHOGVWlUNH
Wir können das Gravitationsgesetz (am Beispiel der Erde) wie folgt interpretieren:
Auf einen Probekörper der Masse m wirkt ausserhalb der Erdkugel eine Kraft, die auf den Erdmittelpunkt
hin gerichtet ist und mit Entfernung vom Mittelpunkt umgekehrt zum Abstandsquadrat abnimmt:
»¸
0þþ P þþþU̧þ
) HU̧L = -g þþþþ
U2
U
[9]
Dabei ist þþþþU̧U nichts anderes als ein Vektor der Länge 1 (Betrag 1), der vom Erdmittelpunkt zum
Probekörper zeigt.
Wir können das Kraftfeld auch graphisch veranschaulichen, indem wir an einzelnen Punkten die
Kraftvektoren antragen:
[email protected]
E
ú Graphics ú
Man kann sich nun auch vorstellen, dass dieses Kraftfeld auch dann vorhanden ist, wenn sich kein
3UREHN|USHU darin befindet.
Es liegt daher nahe, eine Formulierung für das Kraftfeld zu finden, die unabhängig vom Vorhandensein
eines Probekörpers ist.
Dazu dividieren wir die Gleichung [9] durch m und definieren das Ergebnis als *UDYLWDWLRQVIHOGVWlUNH:
Gravitation.nb
Kraft
Gravitationsfeldstärke = þþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþ
þþþþþþþþþþþþþþþþ
þþþþþþþþþþ
Masse des Probekörpers
»»¸
»Ḑ HU̧L = þþþþþ
)
0 U̧ P
P = -g þþþþ
U2þþ þþþUþ [ þþþþ
V2þ ]
[10]
Die Gravitationsfeldstärke besitzt die Einheit einer Beschleunigung und die gleiche
»¸
Abstandsabhängigkeit wie die Gravitationskraft ) und natürlich das gleiche Feldbild.
Üblicherweise veranschaulicht man solche Vektorfelder, indem man statt der einzelnen Kraft- oder
Beschleunigungsvektoren deren Verbindungslinien zeichnet, die die Richtung der Feldvektoren
kennzeichnet. Die räumliche Dichte der Feldlinien ist dann ein Mass für die Stärke des Feldes:
[email protected])HOGOLQLHQD
E
ú Graphics ú
Mit zunehemendem Abstand von der Erdoberfläche wird die Dichte der Feldlinien und damit die
Gravitationsfeldstärke geringer!
Zum Schluss untersuchen wir noch, wie sich die Gravitationsfeldstärke innerhalb einer Masse verhält,
wenn man beispielsweise in einen tiefen senkrechten Schacht hinabsteigt.
Gravitation.nb
[email protected])HOGLQQHQD
R
r
E
ú Graphics ú
Die obigen Betrachtungen gelten dann weiterhin für den inneren, in der Graphik gelb markierten Teil der
Erdkugel mit der Masse:
9L
U3
U 3
0L = 0 þþþþ
9þ = 0 þþþþ
53þþ = 0 H þþþþ
5þ L
[11]
Für diese Masse ergibt sich eine Anziehungskraft (Betrag!) von
0 Pþþ U.
P
)L = g 0L þþþþ
U2þ = g þþþþþþþþ
53
[12]
Man kann zeigen, dass die darüber befindliche Kugelschale keine Nettokraft auf die Probemasse ausübt,
indem man die aus jeweils gegenüberliegenden Masseteilen resltierenden Kräfte vergleicht: sie heben
sich gegenseitig auf.
Es ergeben sich daher zusammenfassend folgende Kraft bzw. Gravitationsgesetzte (wenn man
berücksichtigt, dass folgender Zusamenhang zwischen Erdbeschleunigung und Gravitationskonstante
0(
gilt : g = g þþþþ
5þ2þþþþ ):
U5
0 Pþþ U
)L = g þþþþþþþþ
53
0
U
DL = g þþþþ
53þþ U = J þþþþ
5þ
[13]
U!5
P
)D = g 0 þþþþ
U2þ
0þþ = J þþþþ
52þþ
DD = g þþþþ
U2
U2
[14]
Gravitation.nb
Im ,QQHUQ eines kugelförmigen Körpers nimmt die Gravitationsfeldstärke proportional zum Abstand
vom Mittelpunkt zu.
Im bXVVHUHQ nimmt sie umgekehrt zum Quadrat der Entfernung vom Mittelpunkt ab.
3RWHQWLHOOH(QHUJLHXQG*UDYLWDWLRQVSRWHQWLDO
In der Nähe der Erdoberfläche ist die Gravitationsfeldstärke nahezu konstant und hat den Wert
P
g = 9.81 þþþþ
V2þþ .
In diesem, nahezu homogenen Feld hatten wir bereits die potentielle Energie wie folgt definiert:
(S = P J K
wobei der Nullpunkt (willkürlich) bei h=0 (Erdoberfläche) festgelegt wurde.
Wir wollen diesen Begriff des Potentials nun im Bezug auf dass allgemeine Gravitationsgesetz
verallgemeinern.
Wir müssen uns daher die Frage stellen, welche Arbeit aus dem Kraftgesetz
»¸
0 Pþþþ þþþþU̧
) = -g þþþþþþþþ
U2 U
¸
folgt, wenn wir einen Körper an den Ort U transportieren.
¸
Den Ursprung von U legen wir in den Erdmittelpunkt (Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt!). Die Arbeit
wird üblichweise so berechnet, dass der Ausgangspunkt des Transports im Unendlichen liegt (dies ist
eine reine Definitionssache!).
Das Arbeitsintegral lässt sich am einfachsten auswerten, wenn der Transport entlang einer Kraft- oder
Feldlinie stattfindet:
»¸
U 1
1 U
0
W = -¾ ) Ç U̧ = g P 0 ¾ þþþþ
U2þ Ç U = g P 0 @- þþþþ
U D = -g P þþþþUþþ .
Š
Š
[15]
Das negative Vorzeichen in [15] bedeutet, dass man Arbeit gewinnt, wenn man einen Körper aus dem
¸
Unendlichen zum Ort U transportiert. Dies entspricht der Erfahrung, da die Gravitationskraft eine
anziehende Kraft zwischen Massen ist.
Man definiert die potentielle Energie daher so, dass der Energienullpunkt im Unendlichen liegt. Nach
Gleichung [15] gilt daher:
0þþ (r > R)
( S HUL = -g P þþþþ
U
[16]
Die potentielle Energie im Erdinnnern erhält man aus der Kraftbeziehung der Gleichungen [12] oder [13]
und unter Berücksichtigung, dass das Potential an der Erdoberfläche sich aus Gleichung [16] zu
0þþ ergibt:
(S H5L = -g P þþþþ
5
Gravitation.nb
U »»»¸
( S HU < 5L = ( S H5L + 9- ¾5 ) L Ç U̧=
0
P0 U
= -g P þþþþ
5þþ + g þþþþþþþþ
53 þþ ¾5 U Ç U
[17]
0þþ + þþþþ
1
U2
1
0þþ
= -g P þþþþ
g P 0 þþþþ
g P þþþþ
U
2
53þþ - þþþþ
2
5
Die potentielle Energie im Erdinnern ergibt sich daraus zu:
P 0þþ H-3 + H þþþþUþ L2 L (r ˆ R)
( S HUL = þþþþ12 g þþþþþþþþ
5
5
[18]
Sehen wir uns die Abhängigkeit der potentiellen Energie vom Radius zum Massenmittelpunkt im
Zusammenhang an:
$EELOGXQJ
Der Nullpunkt liegt gemäss unserer Defintion bei r=Š!
Im Erdinnern wächst die potentielle Energie proportional zu U 2 , im Äusseren dagegen proportional zu þþþþ1U þ .
Befreien wir die Definitionen in den Gleichungen [16] und [18] wieder von den speziellen Eigenschaften
des Probekörpers m, so gelangen wir zur Defintion des Gravitationspotentials F der Erde:
Gravitation.nb
potentielle Energie
Gravitationspotential = þþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþ
þþþþþþþþþþþþþþþþ
þþþþþþþþþþ
Masse des Probekörpers
(
P
F= þþþþPþSþ [ þþþþ
kgþþ ] oder [ þþþþ
V2þþþ ]
2
0þþ H3 - H þþþþUþ L2 L , (r ˆ R)
FL HUL = - þþþþ12 g þþþþ
5
5
[19]
0þþ , (r > R)
FD HUL = -g þþþþ
U
Die Flächen konstanten Potentials nennt man bTXLSRWHQWLDOIOlFKHQ.
Da das Potential nur vom Radius r abhängig ist, sind die Äquipotentialflächen zwangsläufig
konzentrische Kugelflächen um den Erdmittelpunkt.
Im Gegensatz zur Gravitationsfeldstärke ist das Gravitationspotential keine vektorielle, sondern eine
skalare Grösse.
Es beschreibt die Gravitation jedoch in gleicher Weise wie die Feldstärke, ist matematisch jedoch
leichter zu handhaben.
'LH.HSOHUVFKHQ*HVHW]H
Basierend auf den Ideen des Kopernikus (1473 - 1543) und den astronomischen Beobachtungen des
Tycho Brahe (1546 - 1601) formulierte Johannes Kepler (1571 - 1630) folgende Gesetzmässigkeiten für
die Bewegung von Planeten:
1.: Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen,
in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
2.: Der von der Sonne zum Planeten gezogene Fahrstrahl überstreicht in
gleichen Zeiten gleiche Flächen ("konstante Flächengeschwindigkeit")
3.: Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die
dritten Potenzen der grossen Halbachsen ihrer Umlaufbahnen.
Newton lieferte die theoretische Erklärung dieser Gesetze, indem er zeigte, dass sie mit seinem
Gravitationsgesetz verträglich sind.
Allerdings war dadurch noch nicht ausgeschlossen, dass möglicherweise ein anderes Potenzgesetz für
die Gravitation die Keplerschen Gesetze ebenfalls untermauert.
1
Erst später konnte man beweisen, dass lediglich das þþþþ
U 2þþ Gesetz von Newton die Planetenbewegungen
vollständig erklärt.
Gravitation.nb
Å (LQIDFKH(UNOlUXQJGHUNHSOHUVFKHQ*HVHW]H
Zur exakten Erklärung der Keplerschen Gesetze benötigt man
GHQ(QHUJLHVDW]
P 0þþþ = (
(N + (S = const. “ þþ12þþ P Y 2 - g þþþþþþþþ
ges = const.
U
XQGGHQ'UHKLPSXOVHUKDOWXQJVVDW]
»¸
¸
»
U ™ P Y̧ = / = const.
Der mathematische Nachweis der Ellipsenbahnen ist etwas umfangreich und kann im Rahmen dieser
Vorlesung nicht erbracht werden.
Die Rechnungen zeigen, dass sich nur dann Ellipsenbahnen ergeben, wenn (ges < 0 ist (d.h. die
kinetische Energie des Planeten geringer ist als der Betrag der potentiellen Energie!)
Das 2.te Keplersche Gesetz der konstanten Flächengeschwindigkeit gilt immer dann, wenn man es mit
Zentralkräften zu tun hat (alle Kräfte weisen auf einen zentralen Punkt).
Solche Kräfte können keine Drehmomente erzeugen und damit kann sich der Drehimpuls des Systems
nicht ändern.
Eine mathematische Analyse des Drehimpulserhaltungssatzes zeigt, dass dieser gleichwertig mit dem
Gesetz der Flächenerhaltung ist.
$EELOGXQJ
Das 3.te Keplersche Gesetz lässt sich aus dem Kräftegleichgewicht der Zentripetalkraft
»»»»»»»¸
¸
) ZP = - P w2 U
und der Gravitationskraft
Gravitation.nb
»»»»»¸
P 0þþþ þþþþU̧
) * = -g þþþþþþþþ
U2 U
ableiten.
Setzt man die beiden Kräfte gleich, so erhält man:
0þþ
P w2 U = g P þþþþ
U2
2
und mit w = þþþþ
7þþþþ folgt dann:
p
7 þþ = þþþþþþþþ
4
þþþþ
U3
0þþ = const.
2
p
2
[20]
g
Das Verhältnis des Quadrats der Umlaufzeit T zur dritten Potenz des Bahnradius ist unabhängig von der
Planetenmasse (M ist die Masse des Zentralgestirns, nicht die Masse des Planeten!).
Liegt statt einer Kreisbahn eine Ellipsenbahn vor, so ist der Bahnradius durch die grosse Halbachse a zu
ersetzten.
6DWHOOLWHQEDKQHQ
Die Keplerschen Gesetze gelten natürlich auch für künstliche Satelliten und deren Flugbahnen um die
Erde.
Es gilt insbesondere immer der bereits oben erwähnte Energiesatz, der die Flugbahn bestimmt:
0þþ = (
þþþþ12 P Y2 - g P þþþþ
ges
U
[21]
Darin ist m die Masse des Satelliten und M die Erdmasse.
Für einen Satelliten, der keine eigene Antriebsenergie besitzt, ist die Gesamtenergie konstant.
Wie bereits oben erwähnt, ergeben sich nur für (ges < 0 stabile Ellipsenbahnen um die Erde.
(ges > 0 führt zu Hyperbelbahnen,
(ges = 0 zu einer Parabelbahn.
Damit ein Körper das Gravitationspotential der Erde überwinden kann (d.h. den Erdanziehungsbereich
der Erde verlassen kann), muss ihm soviel kinetische Energie zugeführt werden, dass er nach r = Š
gelangt (dort ist definitionsgemäss die potentielle Energie gleich null!).
Startet der Körper auf der Erdoberfläche (r = R), muss ihm soviel potentielle Energie zugeführt werden,
dass seine Gesamtenergie (Gleichung [21]) gleich Null ist:
"##############
0
0 #
km
þþþþ12 P Y2 = g P þþþþ
2 g þþþþ
Uþþ “ Y =
5þþ 11.2 þþþþVþþþþ
[22]
Man bezeichnet diese Geschwindigkeit als die HUVWH)OXFKWJHVFKZLQGLJNHLW Y .
*
Soll ein Satellit eine stabile Erdumlaufbahn erreichen, muss seine Startgeschwindigkeit unterhalb dieser
ersten Fluchtgeschwindigkeit liegen!
Es gibt aber auch eine minimale Startgeschwindigkeit, die der Satellit besitzen muss, damit er nicht
wieder auf die Erdoberfläche zurück fällt.
Dies ist die Geschwindigkeit, die er für eine erdnahe Kreisbahn (r = R) benötigt.
Gravitation.nb
Sie lässt sich leicht aus dem Kräftegleichgewicht zwischen Zentripetalkraft und Erdanziehungskraft
herleiten:
P Y0 2
P0
)ZP = þþþþþþþþ
5 þþþþ = )* = g þþþþþþþþ
U2 þþ
“
0#
km
Y0 = "##########
g þþþþ
5þþ = 7.9 þþþþVþþþþ
[23]
Hier wurde als Bahnradius des Satelliten der Erdradius R angenommen.
Die folgende Abbildung zeigt die Zusammenhänge in der Übersicht:
$EELOGXQJ
Mit Startgeschwindigkeiten zwischen 7.9 km/s und 11.2 km/s ergeben sich Bahnen die zwischen einer
Kreisbahn und Ellipsenbahnen sehr hoher Exzentrizität liegen.
Aufgrund der starken Reibung in der unteren Erdatmosphäre sind stabile Satellitenbahnen jedoch erst ab
einer Höhe von ca. 200 km sinnvoll.
Die Umlaufzeit einer solch erdnahen Bahn beträgt ca. 1.5 h.
Um den Einfluss anderer Planeten im Sonnensystem (insbesondere der Sonne selbst) gering zu halten,
sollte die grosse Halbachse einer Ellipsenbahn den hundertsten Teil der Entfernung Sonne - Erde nicht
überschreiten.
Die Umlaufzeit einer solchen Bahn beträgt ca. 4 Monate.
Technisch interessant ist die sogenannte geostationäre Umlaufbahn, eine Kreisbahn um die Erde bei der
der Satellit immer über dem gleichen Punkt der Erdoberfläche steht.
Seine Umlaufzeit muss dann genau der Zeit entsprechen, die die Erde für eine volle Umdrehung
benötigt, also 24 Stunden.
Aus dem 3.ten Keplerschen Gesetzt (bzw. Gleichung [20]) lässt sich die Höhe einer solchen Umlaufbahn
berechnen:
Gravitation.nb
7þþþþþ 42300 km
r = "#################
gM þþþþ
4 2
2
3
[24]
p
Zieht man davon den Erdradius ab, so ergibt sich für die Höhe der geostationären Bahn über dem
Erdboden ein Wert von ca. 35900 km.
Ein Satellit, der unser Sonnensystem verlassen soll, benötigt eine Startgeschwindigkeit, mit der er auch
das Gravitationsfeld der Sonne überwinden kann.
Eine ähnliche Überlegung wie bei der Herleitung der ersten Fluchtgeschwindigkeit liefert:
Y
**
=
‚!!!!!!! "####################
06 #
0(
km
2 g þþþþ
5þþþþ + þþþþUVþþþþ 43.63 þþþþVþþþþ
[25]
wobei 0( die Erdmasse, 06 die Sonnenmasse und UV der Abstand Sonne - Erde ist.
Diese Geschwindigkeit ist erforderlich, wenn man den Satelliten senkrecht von der Erdoberfläche in
Richtung der Verbindungslinie Sonne - Erde abgeschossen wird.
Macht man sich die Relativgeschwindigkeit der Erde zur Sonne in Höhe von 29.8 km/s zu Nutze und
schiesst den Satelliten tangential zur Erdmlaufbahn ab, so muss man lediglich die
Differenzgeschwindigkeit in Höhe von 13.8 km/s aufbringen.
Dieser Wert liegt nur geringfügig über der ersten Fluchtgeschwindigkeit.
=XVDPPHQIDVVXQJ
Å *UDYLWDWLRQ
P1 þPþþþþ2þþþ
F = g þþþþþþþþ
U2
*UDYLWDWLRQVJHVHW]
g: Gravitationskonstante
P1 , P2 :Massen
r: Abstand der Massen
»¸
»¸
) Pþþ ]
(Definition)
*UDYLWDWLRQVIHOGVWlUNH
D = þþþþ
Pþ [ þþþþ
V2
»»»»¸ ¸
¸
0
(kugelförm. Körper mit D D HU L = -g þþþþ
r ˜ R (aussen)
U 3þþ U
»»¸ ¸
0þþþþ U¸
Masse M und Radius R
D L HU L = -g þþþþ
r ˆ R (innen)
53
(
Pþþþþ ]
(Definition)
*UDYLWDWLRQVSRWHQWLDO F = þþþþPþSþþþ [ þþþþ
V2
0þþ
kugelförmiger Körper
FD HU L = -g þþþþ
r ˜ R (aussen)
U
2
0
U
þþþþþ I3 - þþþþ
FL HU L = -g þþþþ
25
5þ2þþþ M r ˆ R (innen)
2
Å 6DWHOOLWHQGHU(UGH
0þ(þþþþ # 7.9[ þþþþ
km
Minimale Startgeschwindigkeit Y0 = "############
g þþþþ
5(
Vþþþþþ ]
‚!!!!
km
Erste Fluchtgeschwindigkeit
Y = 2 Y0 11.2 [ þþþþ
Vþþþþþ ]
*
Zweite Fluchtgeschwindigkeit
Y
**
=
‚!!!!!!!! "#####################
0þ(þþþþ + þþþþ
0þ6þþþþ # 43.6 [ þþþþ
km
2g
þþþþ
5
U
Vþþþþþ ]
(
V