5. Gravitation

Mechanik – Gravitation
5.
Gravitation
5.1.
Drehimpuls und Drehmoment
−
Der Drehimpuls tritt bei Drehbewegungen an die Stelle des Impulses. Wir betrachten zunächst den Drehimpuls eines Teilchens (später werden wir den
Drehimpuls auch für rotierende starre Körper betrachten):
−
Wir definieren als Drehimpuls bezüglich des Ursprungs 0:
= r ⋅ p ⋅ sin( r , p) )
L = r×p
(also:
−
!
(1)
L
Untersuchung der so definierten Größe:
L steht ⊥ auf der Ebene, in der die Drehung erfolgt.
!
„Davonfliegen", keine Drehung um
den Ursprung
sin( r , p) = 0 ⇒ L = 0
sin( r , p) = 1 ⇒ L = r ⋅ p
„maximale Drehung“
⇒
Größe hängt plausibel mit der „Intensität“ der Drehbewegung zusammen!
28
Mechanik – Gravitation
−
Drehimpuls ist eine allgemeine Größe und nicht an die Existenz einer Rotation
gebunden, z.B.:
!
Auch hier existiert ein (konstanter) Drehimpuls:
L = p Lok ⋅ r ⋅ sin(p,
r )
L= p
−
b
Lok
⋅ b = const. !
Änderung von L :
dL
d
=
m⋅ r × r
dt
dt
(
dL
= r×F ≡ M
)
(2)
= m⋅ r× r + m⋅ r× r
(3)
dt
mit:
M ... Drehmoment
Maßeinheit: [M] = N m
SI
Das Drehmoment ist der Kraft beim Impuls analog! Zur Erinnerung:
dp
dt
=F
!
(3 - 7)
Plausibilitätserklärung: M = Kraft × wirksamer Kraftarm
Untersuchung der Größe:
!
r × F = 0 , d.h. L = const.
keine Änderung der
„Intensität der Drehung“
29
r × F = r ⋅ F → max .
Mechanik – Gravitation
maximale Änderung!
−
Zentralfeld (z.B. Gravitation):
!
F~ r
⇒
"
dL
= 0 , d.h. L = const.
M = r × F = 0 , d.h.
dt
#
Im Zentralfeld ist L = const. , sofern keine äußeren Drehmomente angreifen.
5.2.
!
Das Gravitationsgesetz
−
Newton 1665/66, „Apfel“
−
Wahrscheinliche Logik der Herleitung:
a) Beobachtung, dass alle Körper
gleich schnell fallen
$$
⇒ Beschleunigung, mx = Gravitationskraft ~ m des fallenden Körpers
b) Reaktionsprinzip
⇒ gegenseitige Anziehung; Gesetz sollte bezüglich m1 und m2 symmetrisch sein
c) Abstandsabhängigkeit? → Betrachtung der Mondrotation um die Erde:
Für den Mond muss die Gravitationskraft die notwendige Zentripetalbeschleunigung aufbringen;
Zentripetalbeschleunigung lt. Gl. (3 - 15):
2


m
2π
m
a=ω r=
⋅ 6,37 ⋅ 10 6 ⋅ 60 2 = 2,73 ⋅ 10 −3 2

s
s
 27,3 ⋅ 86
% 400 
%
2
(86400 s/Tag)
(Erdradius = 6370 km)
&
Auf der Erdoberfläche ist g ≈ 9,81
9,81
= 3600 = 60 2
2,73 ⋅ 10 −3
⇒
m
, also 3600 Mal größer:
s2
Gravitationskraft fällt mit
1
!
r2
30
Mechanik – Gravitation
⇒
Gravitationskraft
'
'
m ⋅m r
FG = − γ ⋅ 1 2 2 ⋅
r
r
(4)
γ ... Proportionalitätskonstante (Gravitationskonstante)
γ wird experimentell bestimmt (Drehwaage) zu:
γ = (6,6720 ± 0,0004) ( 10-11
−
Nm 2
kg 2
träge und schwere Masse:
Masse verkörpert
)
*
!
die Trägheit (Widerstand gegen Bewegungszustandsänderung) und
sie ist Gegenstand der Gravitationskraft
Dies zunächst zwei verschiedene Dinge!
Fallexperimente:
,
F = γ⋅
mS ⋅ M
r
2
= m T ⋅ x++
M ... Erdmasse
mS ... schwere Masse
mT ... träge Masse
Alle Körper haben (innerhalb von 10-12) gleiche Beschleunigung.
⇒
Träge und schwere Masse sind innerhalb dieser Grenzen gleich
(eigentlich proportional zueinander, entsprechende Festlegung von γ, s.o.)
Inzwischen hat Einstein die Gleichheit von träger und schwerer Masse postuliert
und als Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie genommen.
−
Obwohl Gravitation immer eine beiderseitige Anziehung ist, ist es oft zweckmäßig, für eine der Massen das Kraftfeld zu betrachten:
mit:
.
-G
F
.
 γ⋅M r 
= m ⋅− 2 ⋅  ≡ m ⋅G
r
 r
/
G
γ⋅M r
=− 2 ⋅
r
r
0
G ... Gravitationsfeldstärke







(5)
Also: Zu gegebenem G
1 -Feld ergibt sich Gravitationskraft auf m einfach als m ⋅ G2 .
31
Mechanik – Gravitation
5.3.
−
Potentielle Energie und Gravitationspotential
Wir wählen in Gl. (4 - 11) r1 = ∞ und bilden:
3r 4 4
r
1
mM
W = − ∫ Fd r = γmM ∫ 2 dr = − γ
r
r
∞
(6)
∞
Dies ist gleich Epot(r) - Epot(∞), vgl. (4 - 11).
−
Wenn wir vernünftigerweise Epot(∞) = 0 setzen, folgt
E pot (r ) = − γ
mM
r
(7)
für die potentielle Energie der Masse m im Schwerefeld der Masse M.
5
−
5
Gravitationspotential: Wir können analog zu FG → G auch Epot in eine munabhängige Größe umwandeln, das Gravitationspotential Φ
Es ist definiert:
Φ
also:
=
E pot
m
M
Φ (r ) = − γ
r
(8)
Darstellung:
5.4.
Planetenbewegung
Die KEPLERschen Gesetze (1609/21) lauten:
1.) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
!
2.) Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten
gleiche Flächen.
!
3.) Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen.
!
32
Mechanik – Gravitation
zu 1.) Ein Beweis soll hier nicht gegeben werden (geht mit Energiesatz).
Außerdem ist die Exzentrität der Planetenbahnen unseres Sonnensystems gering, die Bahnen sind in sehr guter Näherung Kreise.
Massenverhältnisse:
⇒
Erde/Sonne
~
1
Jupiter/Sonne
~
1
1 000
333 000
(schwerster Planet)
Sonne ruht praktisch
zu 2.) Dies folgt aus der Drehimpulserhaltung:
6
6
6
6
7
dr
dA
L = r × mv = m ⋅ r ×
= 2m ⋅
dt
8 dt
9r × d9r = Fläche MABC = 2 :
6
dA
also: Schnell Bewegung in Sonnennähe, langsame in der Ferne
zu 3.) (vereinfachter Beweis für vernachlässigbare Exzentrität) Auch für die Planeten gilt
(analog dem Fall Erde – Mond, vgl. <5.2.>):
Zentripetalkraft ... mω 2 r = γ
mit ω =
mM
... Gravitationskraft
r2
2π
folgt:
T
T2
4π 2
=
= const.
γ⋅M
r3
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