8 Gravitation - STARK Verlag

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8
Gravitation
Die Bewegungen aller acht Planeten und deren Monde, der Zwergplaneten und
Planetoiden sowie der Kometen des Sonnensystems lassen sich mit dem Gravitationsgesetz (8.1) und den daraus ableitbaren Kepler’schen Gesetzen beschreiben.
Unter Verwendung genauer Daten über die momentane Lage und Geschwindigkeit dieser Himmelskörper lassen sich mit diesen Gesetzen auch genaue Prognosen über deren Lage in der Zukunft bzw. in der Vergangenheit treffen und so
beispielsweise Sonnenfinsternisse exakt vorhersagen.
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8.1
Das Gravitationsgesetz
Die Bewegungen aller Himmelskörper (z. B. Bahn des Mondes um die Erde, Bahn
der Erde um die Sonne) und die Gewichtskraft, die wir auf der Erde erfahren, sind
auf das gleiche Grundphänomen zurückzuführen: Abgesehen von elektromagnetischen und mechanischen Kräften ziehen sich alle Körper aufgrund ihrer Massen
gegenseitig an. Diese Anziehung ist bei den meisten Körpern, mit denen wir im
Alltag zu tun haben, so gering, dass man nichts davon spürt.
Erst bei Körpern mit sehr großen Massen (wie z. B. der Erde und anderen Himmelskörpern) ist die Anziehungskraft so groß, dass ihre Wirkung deutlich wird.
Die gegenseitige Anziehungskraft aller Massen wird als Gravitationskraft,
Schwerkraft oder Gewichtskraft bezeichnet.
Haben die Schwerpunkte zweier Körper A und B mit den Massen mA und mB den
Abstand r, so gilt für die gegenseitige Anziehungskraft FG (Gravitationskraft) der
beiden Körper das Gravitationsgesetz:
FG = γ ⋅
mA ⋅ mB
r2
(8.1)
mit
3
γ = 6,67 ⋅ 10−11 m 2
kg s
γ heißt Gravitationskonstante.
Einheiten: [FG] = N; [mA] = [mB] = kg; [r] = m
Abb. 52
Selbstverständlich sind die Anziehungskräfte auf die Körper A und B bis auf die
Orientierung gleich (vgl. S. 30 „actio gegengleich reactio“), auch wenn die Massen von A und B sehr ungleich sind (vgl. Beispiel auf S. 30 f.).
Beispiel
Die Schwerpunkte (≈ Mittelpunkte) von Mond (Masse mM = 7,35 · 1022 kg)
und Erde (Masse mE = 5,97 · 1024 kg) haben im Durchschnitt die Entfernung
384 000 km.
Mit welcher Kraft F ziehen sich Erde und Mond gegenseitig an?
Gravitation  77
Lösung:
(8.1)
F = FG =
8.2
γ⋅
mM ⋅ mE
=
r2
=
6,67 ⋅10−11
22
24
m3 ⋅ 7,35 ⋅ 10 kg ⋅ 5,97 ⋅10 kg =
2
2
kg ⋅ s
(384 000 km)
=
6,67 ⋅10−11
22
24
m3 ⋅ 7,35 ⋅ 10 kg ⋅ 5,97 ⋅10 kg =
2
8
2
⋅
⋅
kg s
(3,84 10 m)
=
6,67 ⋅ 7,35 ⋅ 5,97
m3 ⋅ kg ⋅ kg
⋅ 10−11 ⋅ 1022 ⋅ 1024 ⋅10−16
=
(3,84)2
kg ⋅ s 2 ⋅ m 2
=
19,8 ⋅1019
kg ⋅ m (2.3)
= 1,98 ⋅ 1020
s2
N
Die Planetengesetze von Kepler
Johannes Kepler entdeckte nach einer jahrelangen, mühsamen Auswertung der
umfangreichen Beobachtungsdaten von Tycho Brahe, drei Gesetze zur Beschreibung der Planetenbahnen.
Regel
1. Kepler’sches Gesetz
Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen. In einem der beiden Brennpunkte der Ellipsen steht die Sonne.
Was ist eine Ellipse?
Angenommen es sind zwei Punkte F1
und F2 gegeben. Der Mittelpunkt der
Strecke [F1F2] heiße M. Dann ist die
Menge aller Punkte P, für die gilt
PF1 + PF2 = konstant,
eine Ellipse mit den Brennpunkten F1
und F2.
Angenommen die Sonne steht im
Brennpunkt F1 (vgl. Abb. 53). Die
Streckenlänge a = AM heißt große
Halbachse und die Streckenlänge
b = BM kleine Halbachse der Ellipse.
Abb. 53