1 Die .alilei!Transformation

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Die Galilei-Transformation
Die Galilei-Transformation beschreibt den Übergang zwischen einem "ruhenden" Inertialsystem S und einem relativ dazu gleichförmig bewegtem Inertialsystem S 0. In beiden Systemen gelte das gleiche Zeitmaßt = t0. Nehmen
wir an, zum Zeitpunkt t = t0 = 0 fallen die Ursprünge
beider Koordinatensysteme zusammen, dann wird der Ursprung von S 0 in S beschrieben durch
~ (t) = ~ 0t mit
R
(1)
d ~
~0 =
R = konstant
(2)
dt
und umgekehrt gilt für den Ortsvektor des Ursprungs von
S im Koordinatensystem von S 0
~ 0(t) =
R
~ 0t
(3)
Betrachten wir die Ortskurve eines Massepunktes ~
r(t) in
S und die gleiche Ortskurve beschrieben in S 0 sei ~
r0(t).
Dann gilt
~
r(t) = ~
r 0(t) + ~ 0t bzw.
~
r 0(t) = ~
r(t)
~ 0t:
(4)
(5)
Für die Geschwindigkeiten ~ und ~ 0 des Massepunktes in
den beiden Bezugssystemen ergibt sich somit
d
d 0
d
d 0
~
r=~ = ~
r + ~ 0t = ~ 0 + ~
r = ~0 + ~ 0
dt
dt
dt
dt
also eine einfache Addition der Geschwindigkeiten. Durch
nochmaliges Ableiten erhalten wir den zusammenhang
zwischen den Beschleunigungen
d2
d2 0
~a = 2 ~
r = 2~
r = ~a 0:
dt
dt
(6)
Da wir in beiden Systemen die gleiche Beschleunigung
messen, müssen auch die angreifenden Kräfte gleich groß
sein
2
2
d
d
0,
~ =m ~
r
=
m
~
r
F
dt2
dt02
dies bezeichnet man als dynamische Äquivalenz: Wenn
in einem Bezugssystem S die Newtonsche Mechanik
gültig ist, so gilt sie auch in jedem dazu gleichförmig
bewegten System S 0. Die Maß
stäbe für Länge, Zeit und
Masse ändern sich nicht.
Ausblick: Die Newtonsche Mechanik ist nur für Geschwindigkeiten sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit
(c 300; 000 km/s) gültig. Bei hohen Relativgeschwindigkeiten muss stattdessen die spezielle Relativitätstheorie (SRT) zur Beschreibung der Dynamik herangezogen werden. Dabei ändern sich die Maß
stäbe für Länge,
Zeit und Masse als Funktion der Relativgeschwindigkeit.
Die Newtonsche Mechanik ergibt sich aus der SRT als
Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten.
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Himmelsmechanik
Die Keplerschen Gesetze (Johannes Kepler)
1. Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem
Brennpunkt die Sonne steht.
2. Der Fahrstrahl zwischen Sonne und Planet überstreicht in gleichen Zeiten ti gleiche Flächen Ai
(Flächensatz)
A1
=
t1
A2
= konstant
t2
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten T zweier Planeten
verhalten sich wie die Kuben der groß
en Halbachsena
ihrer Bahnen
T12
a31
= 3
2
T2
a2
()
T12
T22
= 3 = constant
3
a1
a2
(7)
Kepler hat die Planetenbahnen beschrieben, sich aber
keinen Spekulationen über die zugrundeliegende Dynamik,
also die wirkenden Kräfte, hingegeben. Mit den Methoden der Di¤erential- und Vektorrechnung können wir
einige Eigenschaften der zugrundeliegenden Kraft ableiten:
Aus dem 1. und dem 2. Gesetz folgt
~=1~
dA
2 r
~ dt =
1 ~
2 r
d
~
r dt = konstant (8)
dt
v dt
r
Die gelbe Fläche ist die Fläche des von ~
r und ~ dt
aufgespannten Parallelogramms, die dem Betrag des
Kreuzproduktes entspricht. Die vom Fahrstrahl r
~ ist grau
in der Zeit dt überstrichende Fläche dA
schra¢ ert. Die angesprochene Flächengeschwindigkeit
ist also durch
~
1 ~
dA
1
=2~
r ~ =
L = konstant
dt
2m
gegeben. Aus der Konstanz der Flächengeschwindigkeit
(Kepler 2) folgt
~
d dA
2
dt dt
!
d
=
(~
r ~)
dt
d
d
~
r
~ +~
r
~
=
dt
dt
d
d
d2 !
=
~
r
~
r +~
r
~
r=0
2
dt
| dt
{z dt }
=0
d2 ~
r
dt2
d.h. die Beschleunigung ~a =
und damit auch
die Kraft, liegt immer parallel zu ~
r. Es handelt sich
also um eine Zentralkraft.
Unter Annahme einer Kreisbewegung kann man
auch die Abhängigkeit der Kraft vom Abstand ableiten,
denn die radiale Beschleunigung auf der Kreisbahn
ist
2
4
a = ! 2r = 2 r.
(9)
T
Aus dem 3. Keplerschen Gesetz wissen wir, dass
1
C
=
T2
r3
gilt und damit folgt sofort
(10)
4 2C
F
4 2C
1
=
a=
r
=
/
:
3
2
2
m
r
r
r
Insgesamt folgt also, dass die anziehende Kraft zur
Sonne gerichtet ist und mit 1=r 2 abfällt. Weil F =
ma folgt auß
erdem, dass die Kraft proportional zur
Masse des Planeten ist. Über die Abhängigkeit von
der Masse des Zentralobjektes erfahren wir nichts,
vergleicht man aber z.B. die Erdbahn mit der Mondbahn, so wird klar, dass das Produkt beider Massen
in die Kraft eingeht.
Dies ist für alle Planeten annähernd erfüllt denn auß
er für Merkur
und Pluto ist die Exzentrizität " = a=b < 0:02
Es blieb Newton vorbehalten, die Keplerschen Gesetze
von einer Kraft ausgehend herzuleiten. Seine geniale Idee
bestand darin, die Anziehung zwischen Sonne und Planeten zu verallgemeinern: Er schlug eine universelle Kraft
vor, mit der sich alle Massen untereinander anziehen:
~ =
F
mM
G 2 ~er
r
(11)
m2
G = 6:674 10
:
2
kg
So konnte er z.B. zeigen, dass der Mond unter dem Ein‡uss der gleichen Kraft wie ein Apfel zur Erde fällt ("Beweis").
11 N
Aus den Keplerbahnen der Himmelskörper kann man mit
(11) nur die relativen Massen der Himmelskörper bestimmen, nicht die absoluten und daher auch nicht den
Wert der Gravitationskonstanten G. Dies muss in einem
terrestrischen Versuch mit bekannten Massen geschehen
(Cavendish Experiment).
Anwendungen:
1. Bestimmung der Erdmasse aus der Fallbeschleunigung g:(Erdradius 6370 km)
2. Bestimmung der Masse und Dichte von Jupiter
(Bahndaten von Io: r = 422 103 km, T = 1:5
105 s, Newton kannte den absoluten Bahnradius von
Io nicht, sondern wusste nur, dass der Bahnradius
das 5.6 fache des Jupiterradius ist. Damit konnte er
immerhin die Dichte des Jupiters bestimmen.)