2015-1 Berufliche Oberschulen Bayern – Physik 12
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Berufliche Oberschulen Bayern – Physik 12. Klasse Fachabiturprüfung 2015 – Aufgabe I 1.0 In einem Biathlonverein werden die Kleinkalibergewehre routinemäßig überprüft. Das betrachtete Gewehr besitzt die Masse mG = 4,80 kg. Die verwendeten Kugeln haben jeweils die Masse mK = 2,6 g. Bei den folgenden Überlegungen werden die Masse der beschleunigten Luft sowie der Luftwiderstand vernachlässigt. 1.1.0 Bei einem ersten Test wird die Funktionsfähigkeit des Gewehrs überprüft. Dazu wird ein Schuss auf eine Zielscheibe abgefeuert. Während des Abschusses übt das Gewehr kurzzeitig einen Kraftstoß auf den Schützen aus, den sogenannten Rückschlag. Die Kugel verlässt den Lauf mit der Geschwindigkeit v K . Bei einem neuen Gewehr gilt für den Betrag dieser Geschwindigkeit v K = 380 ms . 1.1.1 Erläutern Sie, wie es zu dem Rückschlag kommt. (3 BE) 1.1.2 Während des Abschusses erfährt die Kugel im Lauf die mittlere Beschleunigung a. Der Lauf besitzt die Länge Δs = 66 cm. Berechnen Sie den Betrag a der mittleren Beschleunigung und die Dauer Δt der Beschleunigung der Kugel bei einem neuen Gewehr. (4 BE) 1.1.3 Berechnen Sie den Betrag des Kraftstoßes, den der Schütze während des Rückschlags spürt. (3 BE) 1.2.0 Um die aktuelle Abschussgeschwindigkeit der Kugel zu bestimmen, wird das Gewehr an einer Leine im Schwerpunkt des Gewehrs aufgehängt. Dieser befindet sich dann im Punkt A mit der Koordinate sA = 0 m (siehe Skizze). Der Schuss wird mithilfe einer Fernsteuerung ausgelöst. Unmittelbar nach dem Schuss fliegt die Kugel mit der Geschwindigkeit u K nach rechts und das Gewehr schwingt mit der Geschwindigkeit u G nach links. Eine Drehbewegung des Gewehrs tritt dabei nicht auf. Erreicht der Schwerpunkt des Gewehrs bei dieser Schwingung den Umkehrpunkt B, ist die Leine um den maximalen Winkel αm = 3,5° ausgelenkt. Die Höhe des Schwerpunktes hat dann gegenüber dem Punkt A um Δh zugenommen. Für die Pendellänge gilt ; = 1,1 m. uG ist der Betrag der Geschwindigkeit u G . 1.2.1 Zeigen Sie durch allgemeine Herleitung, dass für uG gilt: u G = 2g ⋅ ⋅ (1 − cos α m ) , wobei g der Betrag der Fallbeschleunigung ist. Erläutern Sie kurz den physikalischen Ansatz Ihrer Herleitung. 2015-1 (6 BE) 1.2.2 Berechnen Sie uG und ermitteln Sie den Betrag uK der Abschussgeschwindigkeit dieser Kugel. (4 BE) 1.2.3 Der Schuss wird zum Zeitpunkt t0 = 0 s ausgelöst. Der Schwerpunkt des Gewehrs befindet sich in diesem Moment im Punkt A mit sA = 0 m und bewegt sich mit der Geschwindigkeit u G des Betrags u G = 0, 20 ms nach links. Anschließend schwingt der Schwerpunkt harmonisch mit der Periodendauer T und der Amplitude sm = 6,7 cm. Leiten Sie ausgehend von der Zeit-Elongation-Gleichung dieser harmonischen Schwingung einen allgemeinen Zusammenhang zwischen T, uG und sm her. Berechnen Sie T und geben Sie die Zeit-Geschwindigkeit-Gleichung der Bewegung des Schwerpunkts für t ≥ 0 s mit eingesetzten Werten an. [Teilergebnis: T = 2,1 s] (6 BE) 1.2.4 Das Experiment wird an einem Schießstand durchgeführt. Eine spezielle Schutzwand befindet sich in der Entfernung e = 50,5 m vor der Mündung des Gewehrs. Der Betrag der Abschussgeschwindigkeit der Kugel ist u K = 0,37 km s . Der Lauf des waagerecht hängenden Gewehrs muss beim Abschuss mindestens die Höhe hm über dem horizontalen Erdboden haben, damit die Kugel nicht vor der vertikalen Schutzwand den Boden trifft. Berechnen Sie die Höhe hm. (4 BE) 2.0 Bei der Ionenimplantation werden z. B. Halbleiterwaver gezielt mit Atomen einer bestimmten Stoffart dotiert (z. B. Borionen). Die obenstehende Skizze zeigt den prinzipiellen Aufbau einer solchen Anlage. In der Ionenquelle werden einfach positiv geladene Borionen (B+) mit teils unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten erzeugt. Im anschließenden Beschleunigungskondensator werden sie beschleunigt. Der darauffolgende Geschwindigkeitsfilter sorgt mit der dahinter angeordneten Lochblen de L1 dafür, dass nur Ionen mit einer bestimmtenGeschwindigkeit v mit dem Betrag v in das Magnetfeld der Flussdichte B 2 (B 2 ⊥ v) gelangen. 2015-2 In diesem Magnetfeld werden ungewünschte Verunreinigungen des Ionenstrahls, die auch in der Ionenquelle entstanden sind, im Zusammenspiel mit der Lochblende L2 ausgefiltert. Danach werden die Ionen mithilfe eines Kondensators, der den Ionenstrahl vertikal ablenken kann, auf den Waver geführt. Ein B+-Ion besitzt die Masse mB = 1,8 ⋅ 10 –26 kg und trägt die Ladung qB = 1,6 ⋅ 10 –19 C. Die Gewichtskraft der Ionen kann vernachlässigt werden. Die gesamte Anlage befindet sich im Vakuum. Sämtliche elektrischen und magnetischen Felder können als scharf begrenzt, homogen und zeitlich konstant angesehen werden. 2.1 Es wird ein B+-Ion betrachtet, das mit vernachlässigbarer Anfangsgeschwindigkeit in den Beschleunigungskondensator gelangt. Aufgrund der anliegenden Beschleunigungsspannung UB wird es auf v = 1,5 ⋅ 10 5 ms beschleunigt. Zeigen Sie ausgehend von einem Zusammenhang zwischen Arbeit und Energie, dass für die notwendige Beschleunigungsspannung gilt m ⋅ v2 UB = B , 2q B und berechnen Sie UB. 2.2 2.3 2.4 (4 BE) Im Kondensator des Geschwindigkeitsfilters hat die elektrische FeldstärkV ke E den Betrag E = 10 m und die notwendige magnetische Flussdichte B1 den Betrag B1. Es werden Ionen betrachtet, die den Filter geradlinig (siehe Skizze) mit v = 1,5 ⋅ 10 5 ms durchfliegen. Benennen Sie alle Kräfte, die im Filter auf ein Ion wirken, geben Sie deren Richtungen an und berechnen Sie B1. Alle Ionen, die das Magnetfeld der Flussdichte B 2 durch die +Blende L1 erreichen, haben die gleiche Geschwindigkeit v. Neben den B -Ionen befinden sich auch Verunreinigungen, wie z. B. Bordifluoridionen (BF2+), im Ionenstrahl. Die BF2+-Ionen besitzen ebenfalls die Ladung qB, haben jedoch eine größere Masse als die B+-Ionen. Erläutern Sie, ausgehend von einer allgemeinen Herleitung, wie in diesem Teil der Anlage die Verunreinigungen ausgefiltert werden, sodass nur die B+-Ionen in den Ablenkkondensator gelangen. Der Ionenstrahl besteht nach dem Passieren der Blende L2 ausschließlich aus B+-Ionen mit v = 1,5 ⋅ 10 5 ms . Der Strahl gelangt im Punkt O senkrecht zur elektrischen Feldstärke in das elektrische Feld des Ablenkkondensators. Der Punkt O ist der Ursprung des eingezeichneten Koordinatensystems. Der Ablenkkondensator hat die Länge ;, den Plattenabstand d und ist an eine Spannungsquelle mit der Spannung UA angeschlossen. Zeigen Sie, dass für die Ablenkung yE des Ionenstrahls am Ende des Ablenkkondensators bezüglich dieses Koordinatensystems gilt: y E ∼ UA 2015-3 (5 BE) (5 BE) (6 BE) (50 BE) Tipps und Hinweise zu Aufgabe I Tipps zu Teilaufgabe 1.1 r 1.1.1: Das Wechselwirkungsgesetz oder der Impulserhaltungssatz führt Sie hier zum Ziel. r 1.1.2: Überlegen Sie, mit welcher Bewegungsart sich die Kugel im Lauf des Gewehrs bewegt. Nutzen Sie die entsprechenden Gleichungen aus der Formelsammlung zur Lösung. r 1.1.3: Der Schütze spürt den Kraftstoß des Gewehres. Diesen können Sie aber nur indirekt über den Betrag des Kraftstoßes auf die Kugel berechnen, denn beide Beträge sind gleich groß. Tipps zu Teilaufgabe 1.2 r 1.2.1: Der Energieerhaltungssatz der Mechanik führt Sie hierbei zum Ziel. r 1.2.2: Hierbei hilft Ihnen der Impulserhaltungssatz weiter. r 1.2.3: Stellen Sie allgemein die Zeit-Elongation-Gleichung dieser Schwingung auf und ermitteln Sie daraus die Zeit-Geschwindigkeit-Gleichung. Sehen Sie sich den Term an, der die maximale Geschwindigkeit wiedergibt. Mit diesem können sie nun die Periodendauer ermitteln. Vergessen Sie nicht, danach noch die Zeit-Geschwindigkeit-Gleichung mit eingesetzten Werten anzugeben. r 1.2.4: Überlegen Sie sich zunächst, auf welcher Art von Bahn sich die Kugel nach dem Verlassen des Gewehrs bis zum Auftreffen auf den Boden bewegt. Nutzen Sie die Bewegungsgleichungen, um die Höhe hm zu berechnen. Tipp zu Teilaufgabe 2.1 r Aufgrund der Aufgabenstellung müssen Sie die Formel mit dem Arbeit-Energie-Prinzip herleiten. Tipp zu Teilaufgabe 2.2 r Im Geschwindigkeitsfilter überlagern sich ein elektrisches und ein magnetisches Feld. Daraus resultieren die auf die bewegten Ionen wirkenden Kräfte. Da nur die Richtung der magnetischen Flussdichte bekannt ist, müssen Sie sich zuerst die Richtung der zugehörigen Kraft überlegen. Der Vergleich der beiden Kraftbeträge führt danach zum gesuchten Betrag der Flussdichte B1. Tipp zu Teilaufgabe 2.3 r Die unterschiedlichen Ionen unterscheiden sich nur durch ihre Masse. Nutzen Sie eine Kräftebetrachtung in diesem Teil der Anlage für eine Herleitung eines Zusammenhangs zwischen dem Radius des Kreisbogens und der Masse der Ionen. Ziehen Sie daraus die entsprechenden Schlussfolgerungen. Tipp zu Teilaufgabe 2.4 r Leiten Sie zunächst die Bahngleichung der Ionen im Ablenkkondensator her und nutzen Sie diese für den nachzuweisenden Zusammenhang. 2015-4 Lösung zu Aufgabe I 1.1 Möglichkeit 1: Erläuterung auf Basis des Wechselwirkungsgesetzes Nach dem Newton’schen Wechselwirkungsgesetz wirken Kräfte zwischen zwei Körpern (hier zwischen Kugel und Gewehr) immer wechselseitig. Diese sind entgegen gerichtet und besitzen den gleichen Betrag: • Auf die Kugel wirkt eine Kraft F Kugel , durch die diese im Lauf beschleunigt wird. • Auf das Gewehr wirkt eine Kraft F Gewehr , die zu FKugel entgegen gerichtet ist, aber denselben Betrag hat. Die Kraft F Gewehr spürt der Schütze während der Beschleunigungszeitdauer als Rückschlag. Möglichkeit 2: Erläuterung auf Basis des Impulserhaltungssatzes Nach dem Impulserhaltungssatz verändert sich der Gesamtimpuls durch einen Stoßvorgang nicht. Beim Abschuss der Kugel handelt es sich um einen solchen Stoßvorgang. Der Gesamtimpuls ergibt sich hierbei aus der Summe der Impulse von Kugel und Gewehr. Vor dem Schuss ist dieser null, weil sich Gewehr und Kugel in Ruhe befinden. Während der Beschleunigungsphase der Kugel erhöht sich die Geschwindigkeit der Kugel und damit auch deren Impuls. Der Impuls der Kugel ist nach vorn in Schussrichtung gerichtet. Da sich der Gesamtimpuls nicht ändert, also immer null bleibt, muss das Gewehr einen betragsmäßig ebenso großen Impuls erhalten, der aber dem Impuls der Kugel entgegen gerichtet ist. Diese Impulsänderung des Gewehrs spürt der Schütze als Rückschlag. 1.1.2 Für den Zusammenhang zwischen dem Betrag a der mittleren Beschleunigung der Kugel und dem Betrag vK der Geschwindigkeit am Ende des Laufs gilt: v 2K = 2a ⋅ Δs ⇒ a= v 2K 2 Δs ( 380 ms ) = 2 2 ⋅ 0,66 m = 0,11 ⋅ 10 6 m s2 Für die Berechnung der Beschleunigungsdauer der Kugel gibt es zwei Möglichkeiten. Möglichkeit 2: Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit Möglichkeit 1: Zusammenhang zwischen Zeit und Ort Δs = ⇒ Δt = = 1 a ⋅ ( Δt) 2 2 2 Δs a 2 ⋅ 0,66 m 0,11 ⋅ 10 6 m s2 = 3,5 ms 2015-5 v K = a ⋅ Δt v ⇒ Δt = K a 380 ms = 0,11 ⋅ 10 6 m s2 = 3,5 ms
