Brückenschaltungen - von Johannes Vrana

BRÜCKENSCHALTUNGEN (BRÜ)
DANIEL DOLINSKY UND JOHANNES VRANA
Inhaltsverzeichnis
1. Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Auswertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1. Abgleichbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Ohmsche Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3. Ohmscher Widerstand der Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4. Widerstand der Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5. Widerstand des Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Versuchsaufbau
Abbildung 1. Versuchsaufbau
Beschreibung: Obige Abbildung zeigt die sogenannte Allgemeine Brückenschaltung. Hier
wird an die Punkte a und c eine Spannung (Gleich- oder Wechselspannung) angelegt. Der Strom
iG in der Brückendiagonalen zwischen b und d kann dann mit einem Meßgerät mit Innenwiderstand ZG gemessen werden. Die Schaltung wird als abgeglichen bezeichnet wenn iG = 0.
Die jeweils vorgenommenen Abwandlungen (Wheatstonesche Brücke etc.) entsprechen in
Aufbau und Bezeichnungen den Abbildungen der Versuchsanleitung.
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http://www.vrana.net - [email protected].
1
2
2 Auswertungen
2.1 Abgleichbedingungen
2.1.1 Kapazitiv.
Z1
=
Z2
R4 =
1
R1
1
+ iωC1 · R2 −
i
ωC2
=
R3
R4
C1
R3 R2
iR3
+ R3 R2 iωC1 −
+ R3
R1
ωC2 R1
C2
Realteil:
R4
R2 C1
=
+
R3
R1 C2
Imaginärteil:
R2 R1 =
1
ω 2C
1 C2
2.1.2 Induktiv.
Z1
=
Z2
R4 =
1
R1
−
i
ωL1
1
· (R2 + iωL2 )
=
R3
R4
L2 iR2 R3 iωL2 R3
R3 R2
+ R3
−
+
R1
L1
ωL1
R1
Realteil:
R2 L2
R4
=
+
R3
R1 L1
Imaginärteil:
R2 R1 = ω 2 L1 L2
2.2 Ohmsche Widerstände
R3
R1
=
R2
R4
R2 = RV
R4 = RH
R3 = RG − RH
RV : Vergleichswiderstand
RG : Gesamtwiderstand des Potentiometer
⇒ R1 =
fR1
RH : Gemessener Widerstand des Potentiometer
RG − RH
RG · RV
· RV =
− RV
RH
RH
2
2
2 RG · RV 2
f
f
f
RG
RV
RH
=
· 12 ·
+ 12 ·
+ (−1)2 ·
+ fR2 V
RH
RG
RV
RH
3
2.2.1 Widerstand des Schiebewiederstand bei (0, 5 ± 0, 05) V.
RV / Ω
RH / Ω
R1 / Ω
10 ± 0, 1 1, 73 ± 0, 012 568 ± 10
30 ± 0, 6 4, 88 ± 0, 015 585 ± 14
100 ± 1, 0 14, 49 ± 0, 025 590 ± 10
Der Meßfehler von RH addiert sich aus dem linearen Fehler des HelipotTM-Potentiometer von
0, 1% und dem Ablesefehler von 0, 01 Ω.
n=3
3
1 RV i = 581 Ω
·
n i=1
fR1 = 14 Ω
1
((−13)2 + 42 + 92 )
2
= 11, 53
≈ 12
s =
t
√ = 0, 76 ⇒ us = 8, 76 ≈ 9
n
u = u2s + f 2 = 16, 42 ≈ 17
⇒ R1 = (581 ± 17) Ω
Der Meßfehler liegt bei ca. ±3%, und die Meßwerte liegen alle innerhalb der Meßunsicherheit.
4
2.2.2 Widerstand der Glühbirne bei (3 ± 0, 05) V.
RV / Ω
RH / Ω
R1 / Ω
10 ± 0, 1 13, 29 ± 0, 024 65, 2 ± 1, 1
100 ± 1, 0 80, 40 ± 0, 10 24, 4 ± 2, 1
200 ± 4 90, 78 ± 0, 11 20, 3 ± 2, 7
Der Meßfehler von RH addiert sich aus dem linearen Fehler des HelipotTMPotentiometer von
0, 1% und dem Ablesefehler von 0, 01 Ω.
n=3
3
1 RV i = 36, 6 Ω
·
n i=1
fR1 = 2, 7 Ω
1
(28, 62 + (−12, 2)2 + (−16, 3)2 )
2
= 24, 82
≈ 25
t
√ = 0, 76 ⇒ us = 18, 86 ≈ 19
n
u = u2s + f 2 = 19, 05 ≈ 20
⇒ R1 = (37 ± 20) Ω
Der Meßfehler liegt bei ca. ±55% und ist daher nicht mehr akzeptabel. Außerdem liegen nicht
alle Werte innerhalb dieser Meßunsicherheit.
s =
5
2.2.3 Widerstand der Glühbirne bei unterschiedlichen Spannungen.
RH
I12
=
IGes
R1 + RV
I12 = I1 = IV
I=U·
1
1
+
R1 + RV
RG
R1 + RV
I = I1 · 1 +
RG
I1 =
U
fI1 =
·
R1 + RV
12
U
R1 + RV
·
fU
U
2
+
(−1)2
fR2 1 + fR2 V
·
(R1 + RV )2
6
U/ V
0, 5 ± 0, 05
1, 0 ± 0, 05
2, 0 ± 0, 05
3, 0 ± 0, 05
4, 0 ± 0, 05
5, 0 ± 0, 05
RV = (10 ± 0, 1) Ω
RH / Ω
32, 63 ± 0, 05
27, 88 ± 0, 04
18, 10 ± 0, 029
13, 07 ± 0, 024
10, 56 ± 0, 021
9, 23 ± 0, 020
R1 / Ω
20, 6 ± 0, 5
25, 9 ± 0, 6
45, 2 ± 0, 8
66, 5 ± 1, 1
84, 7 ± 1, 4
98, 3 ± 1, 6
I/ A
0, 0163 ± 0, 0017
0, 0279 ± 0, 0015
0, 0362 ± 0, 0011
0, 0392 ± 0, 0009
0, 0422 ± 0, 0009
0, 0462 ± 0, 0009
Abbildung 2. Verhalten des Widerstands der Glühbirne bei erhöhtem Stromfluß (RV = (10 ± 0, 1) Ω)
Bei geringem Stromfluß verhält sich die Glühbirne wie ein Ohmscher Leiter (konstanter Widerstand), bei höherem Stromfluß erwärmt sich die Glühwendel, was eine Abbremsung des
Elektronenflußes und ein starkes Ansteigen des Widerstands der Glühbirne nach sich zieht.
7
U/ V
0, 5 ± 0, 05
1, 0 ± 0, 05
2, 0 ± 0, 05
3, 0 ± 0, 05
4, 0 ± 0, 05
5, 0 ± 0, 05
RV = (200 ± 4) Ω
RH / Ω
91, 03 ± 0, 11
91, 19 ± 0, 11
91, 02 ± 0, 11
90, 72 ± 0, 11
90, 23 ± 0, 11
89, 44 ± 0, 10
R1 / Ω
20 ± 4
19 ± 4
20 ± 4
20 ± 4
22 ± 4
24 ± 4
I/ A
0, 0023 ± 0, 0004
0, 0046 ± 0, 0008
0, 0091 ± 0, 0014
0, 0131 ± 0, 0020
0, 0180 ± 0, 0025
0, 0224 ± 0, 0029
Abbildung 3. Verhalten des Widerstands der Glühbirne bei erhöhtem Stromfluß (RV = (200 ± 4) Ω)
2.3 Ohmscher Widerstand der Spulen
U = (0, 5 ± 0, 05) V
RV = (10 ± 0, 1) Ω
R1 / Ω
L/ H
RH / Ω
0, 0012 ± 0, 0001 97, 44 ± 0, 01 0, 26 ± 0, 18
0, 0023 ± 0, 0001 94, 67 ± 0, 01 0, 56 ± 0, 20
8
2.4 Widerstand der Spulen
R3
Z1
=
Z2
R4
RG − RH
iωL1 + R1
=
iωL2 + R2 + RV
RH
R1 RH + iωL1 RH = (RG − RH )iωL2 + (RG − RH ) · (R2 + RV )
Realteil:
R1 RH = (RG − RH ) · (R2 + RV )
Imaginärteil:
L1 RH = L2 RG − L2 RH
L1 =
fL1
L2 RG
− L2
RH
2
2
2 L2 RG 2
f
fL2
fRG
RH
+ fL22
=
· 12 ·
+ 12 ·
+ (−1)2 ·
RH
L2
RG
RH
2.4.1 Widerstand der Spule mit L2 = (0, 0023 ± 0, 0001) H.
f / kHz
RH / Ω RV / Ω
15, 05 ± 0, 02 35, 85 ± 0, 01 7 ± 1
30, 3 ± 0, 2 34, 79 ± 0, 01 3 ± 1
45, 1 ± 0, 2 34, 42 ± 0, 01 10 ± 1
n=3
fRH = 0, 01
n
1 ·
RHi = 35, 02 Ω
n i=1
1
(0, 832 + (−0, 23)2 + (−0, 60))
2
= 0, 742
≈ 0, 8
s =
t
√ = 0, 76 ⇒ us = 0, 564 ≈ 0, 6
n
fRH = u2s + fR2 H = 0, 564 ≈ 0, 6
⇒ RH = (35, 0 ± 0, 6) Ω
L1 = (0, 0043 ± 0, 0004) H
9
2.4.2 Induktivität der halben Spule.
Da
N2
l
gilt, müßte die Induktivität, bei halber Windungszahl N, ein Viertel der Induktivität der
ganzen Spule sein.
L1 RH
L2 =
RG − RH
2
2
fR2 G + fR2
f
f
L1 RH
L
R
1
H
H
fL2 =
· 12 ·
+ 12 ·
+ (−1)2 ·
L
RG − RH
RH
(RG − RH )2
1
f / kHz
RH / Ω
RV / Ω
15, 0 ± 0, 2 11, 35 ± 0, 01 4, 0 ± 0, 1
29, 8 ± 0, 2 11, 10 ± 0, 01 8, 6 ± 0, 1
44, 9 ± 0, 2 11, 00 ± 0, 01 19, 1 ± 0, 1
n=3
fRH = 0, 01
n
1 ·
RHi = 11, 15 Ω
n i=1
1
(0, 22 + (−0, 05)2 + (−0, 15))
s =
2
= 0, 106
≈ 0, 11
t
√ = 0, 76 ⇒ us = 0, 080 ≈ 0, 09
n
fRH = u2s + fR2 H = 0, 081 ≈ 0, 09
L = µA
⇒ RH = (11, 15 ± 0, 09) Ω
L2
L2 = (0, 00054 ± 0, 00005) H ≈ Ganz
4
10
2.5 Widerstand des Kondensators
fC1
n=3
fRH = 0, 01
Z1
R3
=
Z2
R4
iωC2
RG − RH
=
iωC1
RH
C2 RH
⇒ C1 =
RG − RH
2
fR2 G + fR2
f
RH
R
H
H
2
2
=
· 1 ·
+ (−1) ·
RG − RH
RH
(RG − RH )2
f / kHz
RH / Ω
14, 8 ± 0, 2 68, 18 ± 0, 01
30, 9 ± 0, 2 68, 18 ± 0, 01
44, 1 ± 0, 2 67, 91 ± 0, 01
C1 = 1 µF
n
1 ·
RHi = 68, 09 Ω
n i=1
1
s =
(0, 092 + 0, 092 + (−0, 18))
2
= 0, 155
≈ 0, 16
t
√ = 0, 76 ⇒ us = 0, 118 ≈ 0, 12
n
fRH = u2s + fR2 H = 0, 118 ≈ 0, 12
⇒ RH = (68, 09 ± 0, 12) Ω
L2 = (2, 13 ± 0, 07) µF