Gleichungen lösen und erfinden

Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.)
Gleichungen lösen und
erfinden
Fertige Stunden zu Termen, Variablen & Gleichungen
odik
Lernmeth
Nach der einz Klippert
von Dr. H
Downloadauszug
aus dem Originaltitel:
ik
t
a
m
e
h
t
Ma
ungen
n, Gleich
le
b
ia
r
a
V
› Terme,
nen
› Funktio
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LS 06
Terme, Variablen, Gleichungen
LS 06 Grundmenge, Lösungsmenge, Gleichungen –
kennenlernen und trainieren
Zeit Lernaktivitäten
Material
Kompetenzen
M1.A1–2
– mit neu gelernten Begriffen
umgehen
– verschiedene Fragestellungen
überprüfen und vergleichen
– Texte lesen und verstehen
– Überlegungen verständlich
präsentieren und Äußerungen
präsen
anderer
nderer überprüfen
– Fachsprache
Fachsprac anwenden
– helfen, argumentieren
argu
1
EA
15’
S beantworten die Fragen und lösen die Aufgaben.
2
GA
10’
Die S vergleichen und korrigieren ggf. ihre Lösungen.
3
EA
GA
20’
S lesen die Texte und diskutieren die neuen Begriffe.
4
GA
15’
Die S sortieren Lösungsmengen, Aussageformen und
Gleichungen passend und übertragen ihre Ergebnisse in
die Tabelle.
5
EA
10’
S erfinden zwei eigene Beispiele mit je einer Lücke.
M1.A5
6
GA
20’
Im Doppelkreis wird jeweils die Aufgabe des anderen gelöst.
M1.A5
Merkposten
Für den 4. Arbeitsschritt sollten unbedingt neue Gruppen
formiert werden.
Dadurch wird die
Gruppenmeinung,
die sich im 3. Arbeitsschritt gebildet hat,
überprüft und muss
noch einmal diskutiert werden.
n.
M22 sollte auf festes
Papier
kopiert,
ier kop
zerschnitten
hnitten und
gemischt
jeder
cht jede
Gruppe zur Verfügung stehen.
ehen.
M1.A3
M2, M1.A4
Erläuterungen zur Lernspirale
le
In dieser Lernspirale lernen die S die
e geb
gebräuchäuchhungslehre kennen
ennen und
nd
lichen Begriffe der Gleichungslehre
schiedliche Beispie
wenden sie auf unterschiedliche
Beispiele an.
Zum Ablauf im Einzelnen
Einzelnen:
eitsschritt: Die S bea
eiten die Fragen in EA.
1. Arbeitsschritt:
bearbeiten
Dabeii erkennen sie, dass m
man nicht von allen Äußerungen eindeutig entscheiden
ents
kann, ob sie wahr
er fals
oder
falsch sind. Bei Aussageformen ist der Wahrheitswer
heitswert abhängig von der Einsetzung.
en vergleich
2. Arbeitsschritt: In Gruppen
vergleichen die S iihre
Ergebnisse.
itt: D
3. Arbeitsschritt:
Die S lesen einzeln die TTexte, march die w
kieren sich
wichtigen Begri
Begriffe, notieren sich
ntuell Frage
e diskutieren sie in
eventuelle
Fragen. Anschließend
der Gruppe die neu
neuen Begriffe, formulieren diese in
eigenen Wor
en un
Worten
und finden Beispiele.
4. A
Arbeitsschritt: Die S bringen die gegebene
gegebenen Bevollen Zusamme
ang. Dazu
griffe in einen sinnvollen
Zusammenhang.
er Tabelle vorge
ben un
legen sie sie wie in d
der
vorgegeben
und
ragen sie anschlie
ßend in die Sch
übertragen
anschließend
Schülerhefte.
ge aller
alle Messer“
Messe und
d „v kann fliegen“ oder
„Menge
es mus
gänz werden.
Ähnliches
muss von den S er
ergänzt
5. Arbeits
chritt: Alle S erfinden zwei Beispiele in
Arbeitsschritt:
der Art der vorher
orhe bearbeiteten.
66. Arbe
Arbeitsschritt: Im Doppelkreis stellt jeweils ein
S des Außenkreises dem ihm gegenüber sitzenden
S des Innenkreises seine beiden Aufgaben, damit
dieser sie löst. Eventuell müssen Unklarheiten besprochen werden. Anschließend stellen die S des Innenkreises den S des Außenkreises ihre Aufgaben.
Je nach Zeit kann diese Runde beliebig oft wiederholt werden.
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N
Notizen:
1
Klippert
Klippert Zeitgemäß unterrichten
Terme, Variablen, Gleichungen
LS 06.M1
06 Grundmenge, Lösungsmenge, Gleichungen
A1
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?
Aussage
wahr
falsch
20 % von 200 € sind 40 €.
Heute ist schönes Wetter.
100 % von 1500 kg sind 150 kg.
Berlin ist die Hauptstadt von Deutschland.
–7 – 18 = + 11
–7 – 18 = –25
Wenn man eine natürliche Zahl verdoppelt,
entsteht immer eine gerade Zahl.
Ein Fünftel von 100 ist 50.
A2
Ersetze in allen folgenden Aussageformen
geformen die Pün
Pünktchen
hen o
oder die Variable je einmal so, dass eine
ne wa
wahre
Aussage entsteht und einmal so, dass eine falsche A
Aussage entsteht.
Aussageform
sageform
Mit dieser Einsetzung
u g
entsteht eine wahre
ahre
Aussage:
Aus
Mit dieser Einsetz
Einsetzung
entsteht eine
e e ffalsche
Aussage:
ussage:
x + 7 = 110
Ich heiße ...
10 : n = – 2,5
ßt
Der Wochentag vor Mittwoch heißt
.......................................
25 % von 400 € sind y €.
( –4 ) : ( –1 ) = z
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( 4 + a ) · 5 = 25
2
Klippert Zeitgemäß unterrichten
LS 06.M1
Terme, Variablen, Gleichungen
A3
Lest die Texte zunächst in Einzelarbeit und versucht anschließend, euch die neuen Begriffe mit eigenen
Worten gegenseitig in der Gruppe zu erklären.
Eine mathematische Aussage ist ein
Satz, von dem eindeutig entschieden
werden kann,
ob er wahr oder falsch ist.
Beispiel für eine wahre Aussage: „Die
natürliche Zahl, die vor 12 steht, heiß
t 11.“
Beispiel für eine falsche Aussage: „11
+ 3 = 12“
halter) ersetzt, so handelt es sich nichtt um
Ist eine der Angaben durch eine Variable (Platz
eine Aussage, sondern um eine Aussageform.
· 5 = x“
Beispiele: „Das Doppelte von 5 ist .....“ oder „ 2
eiden
zt, entscheiden,
etzt,
man für die Variable etwas einset
Bei einer Aussageform kann man erst dann, wenn
falsch ist.
ob die dadurch entstandene Aussage nun wahr oder
ers t
fals hee Aussage; ersetz
ht eine falsch
tsteht
Zahl 11, so entste
die
durch
x
iel
Beisp
obigen
im
man
Beispiel: Ersetzt
ge.
Aussa
wahre
man hingegen x durch die Zahl 10, so entsteht eine
Zwei Terme,
die durch ein
Gleichheitszeichen verbunden
sind, bilden eine
Gleichung.
Eine Gleichung besteht
besteh aus
us zwei Termen, die durch
d
ein Gleichheitszeiche
eichen
n verbunden sind. Damit sind
sin
Gleichungen
en entweder Au
Aussage
agenn (3 + 5 = 8) oder Aussageformen (3 · x = 9).
Variablen
iable in Gleichungen werden
we den meist mit kleinen Buchstab
uc
en abgekürz
abgekür t: x, y, z, a, b, c, usw.
us Tritt in
einer Gleichun
Gle hungg dieselbe Variable
Var
mehrfach auf, so muss diese an jeder
jede Stelle,
lle, an der sie in der Gleichung vorkomm
vor mmt,
t, durch
du
dieselbe Zahl ersetzt werden.
n
Beispiel: In der Gl
Gleichung x + x = 4 muss x = 2 für jedes
des vork
vorkomm
mmende
ende x eing
eingesetzt werden, um eine
wahre Aussage
Auss
zu erhalten.
tzen darf,
e
g einse
chunng
Gl ichu
orm oder Glei
eform
agef
ssag
man in die Auss
Alle Zahlen bzw. Einsetzungen, diee
n.
mmeen.
samm
fasst man zu der Grundmenge zusa
en so darf man für die Variable
en Zahlen,
ichen
N der natürlich
ge
Men
die
nge
dme
Grun
die
Beispiel: Ist
en.
nur die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... einsetzen.
Eine Zahl aus der Grundmenge heißt Lösung einer Gleichung, wenn das Einsetzen dieser Zahl
die Gleichung zu einer wahren Aussage macht. Man sagt, die Zahl erfüllt die Gleichung.
di
Statt Lösung einer Gleichung sagt man zu einer Zahl, die eine Gleichung zu einer wahren
Sta
Aussage macht, auch erfüllende Einsetzung.
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Beispiel: 2 ist Lösung der Gleichung x + x = 4
Alle Lösungen einer Gleichung zusammengefasst ergeben die Lösungsmenge.
Die Lösungsmenge ist immer eine Teilmenge der Grundmenge.
Beispiel: Für die Gleichung |y| = 5 ist die Lösungsmenge L = {–5; +5}, sofern die
Grundmenge die Menge der ganzen Zahlen Z ist.
Ist die Lösungsmenge gleich der gesamten Grundmenge, so heißt die Gleichun
g allgemeingültig.
Beispiel: x + x = 2x
Diese Gleichung gilt für jede beliebige Zahl, die man für x einsetzt. Daher
ist die Gleichung allgemeingültig.
Ist die Lösungsmenge gleich der leeren Menge, so gibt es über dieser Grundme
nge keine
Lösung. Man sagt, die Gleichung ist nicht erfüllbar oder nicht lösbar.
Beispiel: x + 1 = x
Für diese Gleichung gibt es keine Lösung.
In diesem speziellen Fall ist es sogar egal, welche Grundmenge man zugrunde
legt!
3
Klippert
Klippert Zeitgemäß unterrichten
Terme, Variablen, Gleichungen
LS 06.M1
A4
Jeweils eine Grundmenge, eine Aussageform oder Gleichung und eine Lösungsmenge auf den Zettelchen
passen zusammen. Sortiert sie und tragt sie entsprechend in die Tabelle ein!
Zwei Angaben fehlen – findet sinnvolle Ergänzungen.
Grundmenge
Aussageform / Gleichung
Lösungsmenge
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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11
12
A5
Denkt euch anschließend zwei schöne eigene Beispiele (mit einer Lücke) aus.
13
14
4
Klippert Zeitgemäß unterrichten
LS 06.M2
Terme, Variablen, Gleichungen
Bogen zum Ausschneiden und Mischen
Ê
Alle Tiere des Waldes
x hat lange Ohren und bringt die
Ostereier.
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Alle Tiere des Waldes
Alle Hasen
Alle Vögel
Menge aller Küchengeräte
Mit y kann man rühren.
Menge aller Kochlöffel
Z
10 + x = 5
{ –5 }
N
2x + 3 = 11
{4}
Alle Zahlen von 1 bis 10
1 + x = 100
{}
Menge aller natürlichen Zahlen
einer als 5.
n ist kkleiner
{ 0, 1, 2, 3, 4 }
Alle Tiere
im r se
z hat immer
sein Haus dabei und ist
iemlich langsam.
ziemlich
A e Schnecken
Alle
Q
x + x = 2x
G (ge
(gesamte Grundmenge)
n man Kartoffe
n schä
Mit x kann
Kartoffeln
schälen.
Menge aller Schälmesser
Z
27 : y – 4 = – 1
{9}
Q
1
x–_
2=2
{_52 }
5
Klippert Zeitgemäß unterrichten
LS 07
Terme, Variablen, Gleichungen
LS 07 Gleichungen – Erarbeiten einer Lösungsstrategie
(Waagemodell)
Zeit Lernaktivitäten
Material
1
EA
15’
Die S versuchen, die Aufgabe zu lösen.
2
GA
25’
Die S stellen sich ihre Strategien vor und lösen die Aufgaben.
3
PI
20’
Die S tragen die Ergebnisse zusammen und vergleichen sie
untereinander.
4
GA
25’
Die S lösen Gleichungen und reaktivieren die Begriffe
Grundmenge, Lösungsmenge, allgemeingültige Gleichung,
nicht erfüllbar Gleichung.
5’
Per Losverfahren wird in jeder Gruppe eine Aufzeichnung
ausgewählt und vom L benotet.
5
Kompetenzen
M1.A1
– mit Variablen arbeiten
–
Lösungsstrategie entwickeln
M1.A2, Folien
und anwenden
Tafel oder
– die Grenzen des Modells
Overheaderkennen
projektor
– Lösungswege beschreiben und
M1.A3
begründen
e
Merkposten
Erläuterungen zur Lernspirale
In dieser Lernspirale lernen die S das Waagemodell
kennen. Sie wenden es an und stellen fest, dass die
Lösbarkeit einer Gleichung von der Grundmenge
abhängen kann.
Zum Ablauf im Einzelnen:
n Einzelarbeit
Einzelarbei
1. Arbeitsschritt: Die S bearbeiten in
die Aufgabe M1.A1.
leichen die S iihre
2. Arbeitsschritt: In Gruppen ver
vergleichen
isse und entwickeln
wickeln eine Strategie.
S tegie. Die AufErgebnisse
aben M1.A2 werd
n bearbeitet.
gaben
werden
3. Arbeitsschritt: D
Die S stellen ihre Ergebnisse
ilfe der Folien im Plenum vor. Aufgetretene
mithilfe
erigkeiten können besprochen werden.
Schwierigkeiten
beitssc
: Die S wende
n die ne
4. Arbeitsschritt:
wenden
neue Strategie
.A3) un
an (M1.A3)
und überlegen zu jeder Aufgabe eine
assen e Grun
dmenge, übe
hung
passende
Grundmenge,
über der die Gleichung
lösbar ist.
ist Die S müssen
üssen darauf hingewiesen werden, dass zum
um Sc
lte
Schluss eine zufällig ausgewählte
Aufzeichnun
rch kan
n
Aufzeichnung vom L benotet wird
wird. Dadurch
kann
erreicht werden,
w
rsuche ordentliche,
rdent
dass alle S versuchen,
fehl
oduzie en.
fehlerfreie Aufzeichnungen zu produzieren.
els Losverf
hren w
5. Arbeitsschritt: Mittels
Losverfahren
wird von
ine Lösu
ng eingesam
melt und vom
jeder Gruppe eine
Lösung
eingesammelt
rt. Die Note ka
n für die ganze Gruppe
L korrigiert.
kann
gelte
eser Phase auch die Zugelten, weilil besonders in d
dieser
sammen
eit, die Kooper
sammenarbeit,
Kooperation und die Kommunikation wicht
g sind.
wichtig
Im 2. Arbeitss
Arbeitsschritt
stellen
en die S iihre
Ergebnisse
ebnisse möglichst
m
auf FFolien
en dar.
M1.A2 kann
nn auf
Folien
olien kkopiertt und
anschließend
zerschließ
schnitten
it
an verschiedene
Gruppen verteilt
werden.
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Notizen:
6
Klippert Zeitgemäß unterrichten
LS 07.M1
Terme, Variablen, Gleichungen
07 Eine Lösungsstrategie für Gleichungen
A1
Klara hat sich für ihren Geburtstag etwas Besonderes ausgedacht: Sie versteckt immer die gleiche Anzahl
Gummibärchen in kleinen Säckchen. „Wer rausbekommt, wie viele Gummibärchen in so einem Säckchen
sind, der bekommt eine Originalpackung Gummibärchen geschenkt!“
„Ph“, Paul guckt überheblich. „Nichts leichter als das! Es sind natürlich ....“
Kannst du auch sagen, wie viele Bärchen Klara verpackt hat? Wie gehst du bei der Lösung vor?
Umformungen
mformu
einer
er Gleichung,
bei denen
enen sich
die Lösungssungsmenge nicht
ändert, heißen
Äquivalenzumformungen.
mation:
Information:
Die Lös
ngsmenge ein
Lösungsmenge
einer Gleichung ändert sich nicht, wenn eine oder m
mehrere der folgenden
mform gen du
Umformungen
durchgeführt werden:
• Auf be
leichen Zahlen addieren
ddieren o
beiden Seiten der Gleichung die gleichen
oder subtrahieren;
• auf b
eichung d
leiche Vielfache der
er Va
beiden Seiten der Gleichung
das gleiche
Variablen addieren oder subtrahieren.
ng mit der g
hen Zahl (auße
• beide Seiten der Gleichung
gleichen
(außer 0) multiplizieren oder durch die gleiche Zahl
dividieren;
g mit dem gleich
• beide Seiten der Gleichung
gleichen Vielfachen der Variablen (außer 0x) multiplizieren oder
eiche Vielfache
e divid
durch das gleiche
dividieren.
A2
A
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Wendet dies
dieses Wissen jetzt systematisch beim Lösen der folgenden Aufgaben an!
Aufgabe
Gleichung und Lösung
p
a) Beispiel:
Gleichung:
3x + 1 = x + 9 | –x
2x + 1 = 9
| –1
2x = 8
|:2
x=4
4 Bärchen sind in einem Sack.
7
Klippert
Klippert Zeitgemäß unterrichten
Terme, Variablen, Gleichungen
LS 07.M1
b)
c)
3x + 2 = 4x + 1
d)
6x + 4 = 8x + 2
Das Waagemodell
modell fun
funktioniert
tioniert leider n
nicht immer. Seht euch die folgende Aufgabe genau an. Was denkt
ie passend
leichung auf und löst sie. Was fällt euch auf?
ihr? Stellt die
passende Gleichung
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e)
8
Klippert Zeitgemäß unterrichten
LS 07.M1
Terme, Variablen, Gleichungen
A3
Löst die folgenden Aufgaben. Überlegt euch jeweils, wie die Lösungsmenge bei den verschiedenen
Grundmengen aussieht. Denkt daran, dass euer Lösungsweg verständlich sein muss.
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Was auch immer
ihr macht: Die
Waage muss
immer im Gleichgewicht bleiben!
Ziel des Umformens ist es,
die Gleichung
einfacher, d. h.
leichter lösbar
zu machen.
9
Klippert
Aufgabe
Grundmenge = N
Grundmenge = Z
Grundmenge = Q
2x + 5 = 24
L=
L=
L=
5a + 33 = 4a – 20
L=
L=
L=
2z – 6 = 2z – 3
L=
L=
L=
5x – 12 = 24 + x
L=
L=
L=
x + x = 2x
L=
L=
L=
Klippert Zeitgemäß unterrichten
LS 08
Terme, Variablen, Gleichungen
LS 08 Gleichungen lösen – Aufgaben erfinden
Zeit Lernaktivitäten
Material
1
EA
10’
Die S bearbeiten die Aufgaben.
M1.A1
2
GA
10’
Die S vergleichen ihre Ergebnisse und diskutieren ihr
Vorgehen.
3
GA
15’
Gemeinsam bestimmen die S die Bedeutung der Variablen.
4
GA
15’
Die S entwickeln eigene Aufgaben und schreiben diese
einschließlich Lösung und Lösungsweg auf ein Blatt.
5
GA
25’
Die einzelnen Gruppen durchlaufen die anderen Gruppentische und bearbeiten die Aufgaben, die sie dort finden.
6
PI
15’
Jede Gruppe stellt eine Aufgabe vor; eventuelle Probleme
werden gelöst.
M1.A2a)
Kompetenzen
– Lösungsverfahren anwenden
– Ergebnisse anderer verstehen
und überprüfen
– Lösungsweg verständlich
darstellen
M1.A2b), je
Gruppe 1
DIN-A4-Blatt
Erläuterungen zur Lernspirale
In dieser Lernspirale üben die S Äquivalenzumformungen von Gleichungen. Sie denken sich eigene
Aufgaben aus und lösen diese.
Zum Ablauf im Einzelnen:
Dabe
1. Arbeitsschritt: Die S bearbeiten M1.A1. Dabei
soll ihnen deutlich werden, dass Äquivalenzum
Äquivalenzumg zielgerichtet
elgerichtet durchgeformungen nicht unbedingt
n. Auch we
n man umstä
führt werden müssen.
wenn
umständzw. unerw
schte Umform
gen vo
liche bzw.
unerwünschte
Umformungen
vornimmt,
eibt die Lösungs
menge die glei
bleibt
Lösungsmenge
gleiche.
2. Arbeitsschritt: In Gruppen vergleichen die S
ihre Ergebnisse un
und klären eventuell aufgetretene
erigkeiten
Schwierigkeiten.
er Variab
3. Arbeitsschritt: Zur Vertiefung der
Variablenfestmeinsam M1.A
legung bearbeiten die S gemeinsam
M1.A2a.
Die S denken sich eine eigene
4. Arbeitsschritt: Die
Auf-gabe auss (M1.A2b
(M1.A2b). Diese Aufgabe wird auf ein
eschrie en, auf der Rü
Blatt geschrieben,
Rückseite wird der Löungsw g und die
ie Lösungsm
sungsweg
Lösungsmenge notiert. Das Blatt
er Aufg
bense nach oben gut sichtbar
tbar
wird mit der
Aufgabenseite
Gr ppent
auf den Gruppentisch
gelegt.
Arbeit
ern n
nu
n Gru
5. Arbeitsschritt:
Die S wandern
nun in
Gruppen
ca. 7 M
nuten) von
in e
einem bestimmten Zeittakt (ca.
Minuten)
n die Aufgaben
A gaben der andeTisch zu Tisch und lösen
eichen ihr E
gebnis mit dem
ren Gruppen. Sie vergleichen
Ergebnis
eren sich Unvorgegebenen auf der Rückseite, no
notieren
e bzw. versuchen
versuche den Fehler
Feh zu finden. Je
terschiede
nach Zeit kann der L diese Phas
Phase abbrechen. Es ist
erf erlich, dass alle
all S alle Aufgaben bearnicht erforderlich,
beiten.
Arbeitss
6. Arbeitsschritt:
Jede Gruppe stellt die Aufgabe
vor, an deren Tisch die S gerade sitzen. Mittels Losverfahren wird ein S ausgewählt, der die Aufgabe,
den Lösungsweg und eventuelle Probleme an der
Tafel darstellt.
Merkposten
Merkpost
Im 5. Arbeits
Arbeitsschritt
sollte bereits
ereits 5
Minuten vor Abbru
Abbruch
Minute
gelost
werden, damit
elost w
derr S sic
sich auf die
Präsentation in
P
Schritt 6 vorbereiten
kann.
Kommen in Gleichungen Größen mit
Maßeinheiten vor,
so gibt es zwei Alternativen: Entweder
Sie lassen die S mit
Einheiten arbeiten
oder die S stellen die
Gleichungen ohne
Maßeinheiten auf,
rechnen zunächst
und formulieren
zum Schluss einen
Antwortsatz, in dem
die Einheit genannt
wird.
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Notizen:
10
Klippert Zeitgemäß unterrichten
LS 08.M1
Terme, Variablen, Gleichungen
08 Gleichungen lösen
A1
Formt die folgende Gleichung entsprechend den Anweisungen um! Denkt daran, dass Umformungen
nur dann äquivalent (gleichwertig) sind, wenn Ihr auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Operation
durchführt. Kontrolliert nach jeder Umformung, ob sich die Lösungsmenge auch nicht verändert hat!
Sie muss in diesem Beispiel immer L = {–10} sein. Falls die Probe plötzlich nicht mehr stimmt, habt ihr
euch beim Umformen verrechnet.
Du kannst
beliebig viele
Äquivalenzumformungen
durchführen,
manchmal führen
sie nicht zum Ziel,
aber falsch ist es
nicht!
Gleichung
Umformung
Umformungsanweisung
g
in Worten
Probe
4x + 30 = 2x + 10
|:2
halbieren
(–1 + 30 = 2 · (–10) + 10
4 · (–10)
–40 + 30 = –20 + 10
–10 = –10 (wahr!)
2x + 15 = x + 5
|
5 addieren
ddieren
–20 + 15 = –10 + 5
mm
–5 = –5 (stimmt!)
=
|
20 subtrahieren
=
|–x
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=
11
Klippert
Klippert Zeitgemäß unterrichten
Terme, Variablen, Gleichungen
LS 08.M1
A2
a) Bei Textaufgaben ist das (geschickte) Umformen der Gleichung das eine Problem. Vorher muss
man aber noch festlegen, welche Angabe im Text durch die Variable ausgedrückt werden soll.
Paul hat für die folgenden Texte passende Gleichungen aufgestellt.
Gib an, wofür die Variable jeweils steht.
Text
Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher
Zahlen ergibt 15.
Welche Zahlen sind das?
Lena kauft mehrere Flaschen
Saft und eine Tafel Schokolade
zu 2 €. Eine Flasche Saft kostet
60 Cent. Insgesamt gibt sie 5 €
aus.
Gleichung
Die Variable ...
n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) = 15
0,6 · x + 2 = 5
Eine Zahl ist um 5 größer als das
Doppelte der Zahl.
z – 5 = 2z
Eine Zahl ist um 5 größer als das
Doppelte der Zahl.
_
In einer Schulklasse gibt es
8 Mädchen mehr als Jungen.
Insgesamt sind es 28 Kinder.
Konrad ist doppelt so alt wie
hr war.
Simon im letzten Jahr
mmen sind sie
e 19 Jahre alt.
Zusammen
n steht für die kleinste der drei
Zahlen.
y
2–5=y
x + ( x + 8 ) = 228
19 = 2 · ( a – 1 ) + a
b) Denkt euch geme
insam eine e
ne Textaufgabe ssein,
in, be
gemeinsam
eigene Aufgabe aus.. Das kan
kann eine
bei der eure
Mitschüler/-innen die Variablen benennen und eine
ne Gleichun
ufstellen müsse
Gleichung aufstellen
müssen. Ihr könnt aber auch
ne Aufgabe wä
nen Äquivalenzu
mform
eine
wählen, bei der eure Mitschüler/-innen
Äquivalenzumformungen
üben können. Schreibt
ert die Grundmen
die Aufgabe zzunächst in das freie Feld unten; notiert
Grundmenge und die Lösung dazu. Schreibt
ufga dann mit Angabe der Grundmenge
rund
die Aufgabe
auff ein DIN-A4DIN-A4-Blatt. Anschließend gebt ihr auf der
gsweg an
Rückseite die Lösung mit Lösungsweg
an. Schreibt so, d
dass die Mitglieder der anderen Gruppen eure
n! Tipp
Aufzeichnungen verstehen!
Tipp: Führt eine Probe du
durch, dann wisst ihr, ob ihr euch verrechnet habt.
© Klippert-Medien – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
Eure Aufgabe:
12
Klippert Zeitgemäß unterrichten
LS 09
Terme, Variablen, Gleichungen
LS 09 Übungen erarbeiten und präsentieren
Zeit Lernaktivitäten
1
EA
15’
Die S lesen die gezogene Aufgabe und versuchen,
einen Lösungsweg zu finden.
2
GA
45’
Die S vergleichen ihre Ergebnisse, diskutieren ihr Vorgehen
und stellen ihre Lösung einschl. Lösungsweg auf einem
Lernplakat dar.
3
GA
15’
In einem Museumsrundgang werden die Aufgaben präsentiert; alle machen sich Notizen zu den anderen Aufgaben.
4
PI
15’
Die S klären eventuelle Schwierigkeiten im Plenum.
Material
M1
je Gruppe 1
Plakat, Stifte
Kompetenzen
– Lösungsstrategie finden
– Überlegungen diskutieren
– Ergebnisse Anderer verstehen
und überprüfen
– Lösungsweg verständlich
darstellen
– Fachsprache
verwenden
chs
Erläuterungen zur Lernspirale
In dieser Lernspirale üben die S das bisher Gelernte
dlic dar.
und stellen den Lösungsweg verständlich
Zum Ablauf im Einzelnen:
1. Arbeitsschritt: Die Aufgaben a) bis f) von M
M1 werden gleichmäßig an die S verteilt. Jede
Jeder S erhäl
erhält per
ed
er Aufgaben un
Abzählen reihum eine
der
und versu
versucht,
sie zu lösen.
eitsschritt: In aufga
glei
2. Arbeitsschritt:
aufgabengleichen
Gruppen disren die S ihre Lösung
kutieren
Lösungswege bzw. finden einen
gemein
amen. Sie verg
gemeinsamen.
vergleichen und entwickeln eine
okume tion iihres Lösungsweges und der LöDokumentation
ng für das Plakat.
sung
3. Arbeitsschritt
Arbeitsschritt: In Misc
Mischgruppen (6 S mit versch
denen Aufgaben)
Aufga
schiedenen
gehen die S von einem Plakat zzum
um anderen;
ande
der S, der an der Produktio
Produktion des
jewe
ellt die Ü
jeweiligen Plakats beteiligt war, stellt
Überlegun
bnis der Grupp
e vor. Die andegungen und das Ergebnis
Gruppe
zen.
ren machen sich Notizen.
eits
: Even
uelle Schwierig
4. Arbeitsschritt:
Eventuelle
Schwierigkeiten bei
ösung
g derr Auf
der Lösung
Aufgaben können im Plenum geerden.
klärt werden.
© Klippert-Medien – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
Notizen:
13
Klippert
Klippert Zeitgemäß unterrichten
LS 09.M1
Terme, Variablen, Gleichungen
09 1001 Aufgabe
a)
Hase Hoppel hat einen quadratischen Stall mit der Seitenlänge
x. Karlchen möchte den Stall in eine Richtung um 6 m und in die
andere Richtung um 4 m vergrößern.
1. Stellt den Sachverhalt zeichnerisch dar!
2. Gebt einen Term zur Berechnung der neuen Rechteckfläche
an.
3. Der neue Stall ist nun 44 m2 größer als der ursprüngliche.
Wie lang und breit war der alte Stall?
b)
Paul und Martha lösen die Gleichung
2 · ( 4a – 5 ) = 5 · ( a – 2 )
mit unterschiedlichen Umformungen.
Die Grundmenge ist die Menge der ganzen Zahlen (G = Z).
Pauls Lösungsweg
Marthas Lösungsweg
2 · ( 4a – 5 ) = 5 · ( a – 2 )
(Distributivgesetz!)
8a – 10 = 5a – 10 |+10
8a = 5a
|-5a
a=0
Lösungsmenge:
L={ 0 }
2 · ( 4a – 5 ) = 5 · ( a – 2 )
(Distributivgesetz!)
(Distr
8a – 10 = 5a – 10 |+10
8a = 5a
|:a
8 = 5 Falsche Aussage!
Lösungsme
Lösungsmenge:
L={ }
Wass ist denn jetz
jetzt passiert?
Dass kann doch ni
nicht
ht sein
sein!
Fi
Findet
det den Fehle
Fehler! Was wurde nicht b
beachtet?
© Klippert-Medien – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
Mach
Macht euch zu eurer Diskussion Notizen,
tizen,
dami
damit ihr sie nachher wiedergeben
ben könnt.
c)
Figur ist aus Quadr
Quadraten mit der
Die folgende Figu
zusammengesetzt.
Seitenlänge a zusa
mmengese
1. Gebt den Term fü
für die Berechnung des
Flächeninhalts
der Figur an!
ächeninhalts d
2. Gebt
Umfangsterm der Figur an!
bt den Um
3. Stelltt eu
euch vor, der Flächeninhalt der
gesamten Figur
er ges
gur ist
36 cm2. Wie lang ist dann der Umfang?
mfang?
d)
e ne Zahl. Addiert 10 und verdoppelt das Ergebnis.
Denkt euch eine
Subtrahiert das
das Do
Doppelte der gedachten Zahl. Ihr erhaltet 20.
1. Stellt eine Gleichung zum Text auf und löst sie.
2.. Was fällt euch auf?
3. Könnt Ihr das erklären?
e)
Fritzchen Pfiffig ist heute schlecht in Form.
Er rechnet und macht dabei typische Fehler.
Ergänzt die fehlenden Arbeitsanweisungen.
Findet die Fehler und erklärt ihm, was er falsch gemacht hat.
f)
Der 12-jährige Malte fragt seinen Opa nach dessen Alter. Der
guckt verschmitzt und sagt: „Wäre ich 12 Jahre jünger, wäre ich
genau 5-mal so alt wie du jetzt bist!“
1. Stellt eine Gleichung zum Text auf und löst sie.
2. Ihr müsst euren Lösungsweg anderen Schülern und
Schülerinnen erklären können!
–3x + 7 = 2x – 13
–x + 7 = –13
–x = –6
x=6
14
?+10
4y – 5 + 3 = 6y + 14
4y – 2 = 6y + 14
–2y = 16
y = 18
Klippert Zeitgemäß unterrichten
Individuelle Förderung bei
gleichzeitiger Lehrerentlastung
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Terme, Variablen, Gleichungen – Funktionen
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18
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Autoren: Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.)
Illustrationen: Steffen Jähde
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