ruhemasse umgewandelt

ExperimentalPhysik III WS12/13
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Vorl. #07 (16. Nov. 2012)
Wiederholung:
Ruder Filme
Effekte durch Lorentz-Kontraktion, endlichen Lichtlaufzeit, Doppler-Effekt, Aberration
scheinbare Längenänderungen, Krümmungen, Drehungen
Doppler-Effekt
klassischer Doppler-Effekt (Wellenausbreitung in Medium)
⇒ Relativitätsprinzip verletzt
relativistischer Doppler-Effekt
longitudinaler Dopplereffekt (Bewegung entlang Beobachtungsrichtung)
transversaler Dopplereffekt (Bewegung quer zu Beobachtungsrichtung) (nur Zeitdilatation)
Farbverschiebungen
Abberation von Licht (Astronomie)
Relativistische Dynamik
Impulserhaltung und rel. Impuls
r
r
Gedankenexperiment -> Relativistischer Impuls p = m(v)v = γ (v)m0 v
vorher:
nachher:
v1
I.5.b. Energieerhaltung und rel. Energie
Gedankenexperiment
Beschleunigung eines Körpers in konstantem Kraftfeld
⇒ Körper gewinnt kinetische Energie
(potentielle Energie wird in kin. Energie umgewandelt)
r r
= ∫ F ⋅ ds
F
v
(nicht einfach E kin = 12 mv 2 da sich ja "Masse" ändert)
⇒
E kin
⇒
? dp
ds
dE kin = Fds =
ds = m0 d ( γv) = m0 vd ( γv) = m0 v(vdγ + γdv)
dt
dt
(
⇒
⇒
⇒
⇒
)
1 = γ2 1− v2 / c2
0 = 2 γdγ 1 − v 2 / c 2 − γ 2 / c 2 2vdv
c 2 dγ = v 2 dγ + γvdv
Trick:
(
)
dE kin = m0 c 2 dγ
E kin = m0 c 2 [γ (v) − γ (0)] = γm0 c 2 − m0 c 2
Einsteins revolutionäre Interpretation: E = γm0 c 2 ist die Gesamtenergie
⇒
E = E kin + m0 c 2
(Gesamtenergie für ein sich bewegendes Teilchen)
Bemerkung:
• klassischer Limes v → 0 : E kin = m0 c 2 γ − m0 c 2 ≈ m0 c 2 1 + 1 / 2(v / c) 2 + ... − m0 c 2 = 12 m0 v 2
[
]
⇒ E kin = m0 v gilt nur näherungsweise bei kleinen Geschwindigkeiten
1
2
2
• rel. Limes v → c : E kin = m0 c 2 γ − m0 c 2 → ∞ ⇒ die maximale Geschwindigkeit eines
Teilchens mit endlicher Ruhemasse ist immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit
v2
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Vorl. #07 (16. Nov. 2012)
I.5.c Relativistische Energie-Impuls-Beziehung und Viererimpuls
(Dispersions-Relation)
klassisch:
r
r
p2
E ( p) =
2m
SRT:
E = γm0 c 2
⇒
E 2 = γ 2 m0 c 2
(
Trick:
⇒
⇒
)
2
γ 2 = 1 + γ 2 (v / c ) 2
r
m02 c 2 γ 2 = m02 c 2 + γ 2 m02 v 2 = m02 c 2 + p 2
2
r
E 2 = (m0 c 2 ) + c 2 p 2
2
r
r
E ( p ) = (m0 c 2 ) + c 2 p 2
andere Schreibweise
(E / c )2 − pr 2 = (m0 c )2
⇒
r
Viererimpuls: pˆ = (E / c, p x , p y , p z )
ist Lorentz-invariant ⇒ (E / c, p x , p y , p z ) ist ein Vierervektor
⇒
(E / c )2 − pr 2
⇒
die Ruhemasse m0 ist Lorentz-invariant
Bemerkung:
• m(v) = m0 γ (v) ist nicht Lorentz-invariant
r
• m0 = 0 ⇔ E ( p) = cp ⇔ v = c !
es können also masselose Teilchen mit Energie UND Impuls existieren!
Beispiele: Photonen, Neutrions (im Standardmodell)
Was ist Masse?
Masse charakterisiert die Energie-Impuls-Beziehung
relativistisches Teilchen = masseloses Teilchen ( m0 = 0 , v = c )
r
r
E ( p) = c p
massebehaftetes Teilchen ( m0 > 0 , v < c )
r
2
r
r
p2
→0
E ( p) = m0 c 2 + c 2 p 2 ⎯v⎯
⎯→
2m 0
(
)
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Vorl. #07 (16. Nov. 2012)
I.5.d Kraft und Energie-Impuls-Erhaltung
(Darstellung in Demtröder 1, Kap. 4.4.5, hat mir gut gefallen)
klassisch:
r dpr
F=
dt
r
r
F = 0 ⇔ E = const , P = const
SRT:
rˆ
Viererkraft: F = γ⎛⎜ m0 c dγ , Fx , Fy , Fz ⎞⎟
dt
⎝
⎠
rˆ dprˆ
F=
dτ
r̂
r
F : Viererkraft, p̂ : Viererimpuls, τ : Eigenzeit
( dτ = 1 dt )
γ
rel. Energie-Impuls-Erhaltung
rˆ
r̂
F = 0 ⇔ P = const
• Zeitanteil = Energiesatz:
r
E ges = E ( p ) + E pot + ... = const
(Gesamtenergie inklusive anderer Energiefomenen!)
r
r
• Raumanteil = Impulssatz Pnachher = Pvorher
I.5.e Anwendungsbeispiele
Äquivalenz von Masse und Energie
Masse kann in jede andere Energieform umgewandelt werden, und umgekehrt:
1 kg =ˆ m0c2 = 1017 J
Vergleich: Weltjahresenergieverbrauch ca 4×1020 J =ˆ 4 t / Jahr
Fusion
Bindungsenergie = Masseänderung
p:
mp = 938.27 MeV/c2
n:
mn = 939.56 MeV/c2
4
He: mHe = 3727 MeV/c2
2n + 2p → 3754 MeV/c2
⇒
Bindungsenergie zum
Bilden von 4He: 26 MeV/c2
Energiegewinnung durch Fusion (leichte Kerne)
und Kernspaltung (schwere Kerne)
Kernspaltung