Lösungen zur Mechanik – Serie 9

Lösungen zur Mechanik – Serie 9
1. Ein Gummiball
(a) Für die potentielle Energie zu Beginn (Zustand 1) erhält man:
Etotal,1 = Epot,1 = m · g · h1 = 0.430 kg · 9.81
m
· 2.50 m = 10.546 J = 10.5 J
s2
(b) Für die totale mechanische Energie ergibt sich auf 1.70 m Höhe (Zustand 2):
Etotal,2 = Epot,2 + Ekin,2 = m · g · h2 +
m · v22
2
0.430 kg · 3.96 ms
m
= 0.430 kg · 9.81 2 · 1.70 m +
s
2
2
= 10.543 J = 10.5 J
(c) In diesem 3. Zustand erhalten wir schliesslich für die Gesamtenergie:
Etotal,3 = Ekin,3
0.430 kg · 7.00 ms
m · v23
=
=
2
2
2
= 10.535 J = 10.5 J
(d) Wir haben in den drei Zuständen jeweils dieselbe mechanische Gesamtenergie Etotal erhalten.
Mit anderen Worten: die Energie bleibt insgesamt erhalten. Während dem Fallen wandelt sie
sich einfach von potentielle in kinetische Energie um.
2. Noch ein fliegender Ball
(a) Beim Abwurf wird der Ball durch die Hand beschleunigt, d.h., sie verrichtet Beschleunigungsarbeit an ihm, führt ihm also kinetische Energie zu. Diese kinetische Energie wird beim
Aufstieg nach und nach in potentielle Energie umgewandelt. Der Ball wird langsamer, gewinnt
dafür aber an Höhe. Der Ball “verwendet” seine kinetische Energie dazu, Hubarbeit an sich
selbst zu verrichten.
Fällt der Ball wieder, so findet die Umwandlung in die umgekehrte Richtung statt. Die potentielle Energie geht wieder in kinetische Energie über.
Da der Ball bei diesen eher kleinen Geschwindigkeiten nur einen geringen Luftwiderstand
erfährt, sind seine Energieverluste klein. Vernachlässigbar wenig kinetische Energie wird in
innere Energie übergeführt.
(b) Gehen wir von der Energieerhaltung aus, so können wir die Energie unmittelbar nach dem
Abwurf (Zustand 1) und die Energie am höchsten Punkt (Zustand 2) gleichsetzen, wobei das
Nullniveau auf der Höhe des Abwurfes liegen soll. Es folgt:
Etotal,2 = Etotal,1
⇒
⇒
⇔
Epot,2 = Ekin,1
m · v12
2
2
v
h2 = 1
2·g
m · g · h2 =
| Energien bestimmen
| Formeln einsetzen
| : (m · g)
| Werte einsetzen
2
21.0 ms
= 22.48 m = 22.5 m
=
2 · 9.81 sm2
Demnach beträgt die maximal erreichte Steighöhe über Boden 24.48 m = 24.5 m.
1
(c) Zustand 3 ist der Moment, in welchem der Ball eine Höhe von 15.0 m über dem Abwurfpunkt
erreicht hat. Kinetische und potentielle Energie sind in diesem Zustand von Null verschieden.
Es ergibt sich:
Etotal,3 = Etotal,1
⇒
⇒
⇔
⇔
⇒
| Energien bestimmen
Ekin,3 + Epot,3 = Ekin,1
| Formeln einsetzen
m · v32
m · v12
+ m · g · h3 =
2
2
2
m · v12
m · v3
=
− m · g · h3
2
2
v32 = v12 − 2 · g · h3
q
v3 = v12 − 2 · g · h3
r
m 2
m
21.0
− 2 · 9.81 2 · 15.0 m
=
s
s
m
m
= 12.11
= 12.1
s
s
| − m · g · h3
|·
2
m
√
| ...
| Werte einsetzen
(d) Auf der Abwurfhöhe ist der Ball wieder gleich schnell wie beim Abwurf unterwegs.
Da sich der Ball wieder auf der Abwurfhöhe befindet, hat er nicht mehr oder weniger potentielle Energie als beim Abwurf. Dann muss aber wegen der Energieerhaltung auch die kinetische
Energie gleich gross sein, woraus die Antwort folgt.
(e) Wäre der Luftwiderstand nicht vernachlässigbar klein, so wäre die Energie des Balls nicht
erhalten. Zwischen Ball und Luft würde Reibung stattfinden. Der Ball würde einen Teil seiner kinetischen Energie an die Luft abgeben. Wir sagen: Der Ball könnte nicht mehr als
abgeschlossenes System betrachtet werden.
(f) Für diese letzte Betrachtung wechseln wir das Nullniveau. Es soll neuerdings auf Bodenhöhe
sein. Zustand 4 sei unmittelbar vor dem Auftreffen des Balls am Boden.
Wenn wir nun die Energieerhaltung ansetzen, müssen wir den Reibungsverlust von V = 25 J
berücksichtigen. D.h., der Ball alleine ist kein abgeschlossenes System mehr, wir müssten
das System erweitern, damit es wieder abgeschlossen ist. Allerdings geht es auch ohne diese
Erweiterung, da der Energieverlust des Balls ja explizit angegeben ist. Es folgt:
Ekin,4 + V = Epot,1 + Ekin,1
⇒
⇔
⇔
⇒
| Formeln einsetzen
m · v12
m · v42
+ V = m · g · h1 +
| −V
2
2
m · v42
m · v12
2
= m · g · h1 +
−V
|·
2
2
m
2
·
V
√
| ...
v42 = 2 · g · h1 + v12 −
m
r
2·V
| Werte einsetzen
v4 = 2 · g · h1 + v12 −
m
s
m
m
m
m 2 2 · 25 J
−
= 20.7
= 21
= 2 · 9.81 2 · 2.00 m + 21.0
s
s
1.0 kg
s
s
Anmerkung: Erst bei dieser letzten Aufgabe mussten wir die Masse des Balls in die Rechnung
einsetzen. Ganz allgemein gilt in der Mechanik: Solange die Reibung vernachlässigbar klein
ist, also die sich bewegenden Objekte abgeschlossene Systeme bilden, sind die Beziehungen
zwischen Höhen und Geschwindigkeiten von Massen unabhängig.
2
3. Ein Fadenpendel
(a) Wenn wir mit dem Energieformalismus rechnen, sollte das Nullniveau sinnvollerweise bei der
tiefsten vorkommenden Lage der Kugel gewählt werden. Wir setzen die Energien der beiden
Zustände gleich:
⇒
⇔
⇒
Ekin,2 = Epot,1 + Ekin,1
| Formeln einsetzen
m · v12
m · v22
= m · g · h1 +
2
2
|·
2
m
√
v22 = 2 · g · h1 + v12
| ...
q
v2 = 2 · g · h1 + v12
| Werte einsetzen
r
m
m
m 2
m
= 2.9745
= 2.97
= 2 · 9.81 2 · 0.400 m + 1.00
s
s
s
s
(b) Setzen wir via Energiehaltung die Zustände 2 (h minimal, v maximal) und 3 (h maximal,
v = 0) miteinander in Beziehung:
Epot,3 = Ekin,2
⇒
⇔
m · v22
2
2
v
h3 = 2
2·g
m · g · h3 =
| Formeln einsetzen
| : (m · g)
| Werte einsetzen
2
2.9745 ms
=
= 0.45095 m = 45.1 cm
2 · 9.81 sm2
4. Bessere Autos?
(a) Berechnen wir die Veränderung der kinetischen Energie. Dabei müssen wir auf die richtigen
m
km
m
Einheiten achten (v1 = 72 km
h = 20 s und v2 = 44 h = 12.22 s ):
m · v22 − v12
m · v22 m · v12
−
=
Ekin,2 − Ekin,1 =
2
2
2
2 2
1 200 kg · 20 ms − 12.22 ms
= −150 370 J = −150 kJ
=
2
Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck, dass es sich um einen Energieverlust handelt. Solange Sie sich des Verlustes bewusst sind, dürfen Sie einen solchen Wert auch ohne dieses
Zeichen angeben.
Achtung! Vielleicht haben Sie intuitiv zuerst versucht, den Energieverlust aus der Differenz
der beiden Geschwindigkeiten zu bestimmen. Diese Vorgehensweise kann nicht funktionieren,
weil in der Berechnung der kinetischen Energie die Geschwindigkeit im Quadrat auftritt. Hier
die Rechnung, welche den Fehler aufzeigt:
202 − 12.222 = 400 − 149.4 = 250.6 6= (20 − 12.22)2 = 7.782 = 60.5
und allgemein:
v12 − v22 6= (v2 − v1 )2 = v22 − 2v2 v1 + v12
km
Zwischen 44 km
h und 72 h steckt wegen diesem Geschwindigkeitsquadrat deutlich mehr kikm
netische Energie als zwischen 0 km
h und 44 h .
3
(b) Diese verloren gegangene kinetische Energie dürfte vor allem zu innerer Energie geworden
sein. Nebst einer geringen Erwärmung von Pneus, Strasse und umgebender Luft sind bei
diesem Vorgang vor allem die Bremsen des Autos heiss geworden.
(c) Offenbar schwierig umzusetzen, aber theoretisch absolut denkbar, wären Schwungräder innerhalb des Autos, welche beim Abbremsen beschleunigt würden und beim nächsten Losfahren
– z.B. an einer Ampel – ihre Bewegungsenergie sofort wieder an das Auto abgeben könnten.
Bei Fahrzeugen mit Elektromotoren kann der Antrieb beim Abbremsen direkt dazu verwendet
werden, um aus der kinetischen zumindest teilweise wieder elektrische Energie zu gewinnen
(Rekuperationsbremse). Was bei Eisenbahnlokomotiven längst schon Anwendung gefunden
hat, wird im Zuge der Entwicklung von Hybridautos (Autos mit sowohl Benzin, als auch
Elektroantrieb) nun auch auf der Strasse zu einem Thema.
Leider stellen wir nach wie vor fest, dass bei Autos mit herkömmlichen Verbrennungsmotoren
die gesamte kinetische Energie beim Abbremsen in innere Energie verloren geht. Es werden
keine Rückgewinnungsmechanismen eingesetzt. Hier gibt es noch Entwicklungspotential!
5. Die Wasserfontäne
(a) Betrachten wir eine kleine Portion Wasser mit Masse m in zwei Momenten: Erstens beim Verlassen der Düse (Zustand 1: keine Höhe, dafür Geschwindigkeit v1 ) und zweitens am obersten
Punkt (Zustand 2: keine Geschwindigkeit, dafür Höhe h2 ). Mit dem Energieerhaltungsprinzip,
angewendet auf diese Portion Wasser, folgt:
⇒
⇔
⇒
⇒
Ekin,1 = Epot,2
| Formeln einsetzen
m · v12
= m · g · h2
2
|·
2
m
√
v12 = 2 · g · h2
| ...
p
| Werte einsetzen
v1 = 2 · g · h2
r
m
m
km
v1 = 2 · 9.81 2 · 125 m = 49.52
= 178
s
s
h
Wie man beim Übergang von der dritten zur vierten Zeile sieht, fällt die Masse raus. Es
kommt also nicht darauf an, wie gross die Portion Wasser gewählt wird.
(b) Der Vorgang ist nicht reibungsfrei. Das Wasser ist erstens recht schnell unterwegs und verteilt
sich zweitens recht stark (der Strahl bricht auf dem Weg nach oben auf). Es entsteht ein nicht
zu vernachlässigender Luftwiderstand, der erfordert, dass dem Wasser zusätzliche kinetische
Energie mitgegeben werden muss, damit es trotzdem 125 m Höhe erreichen kann.
(c) Die Düse verrichtet ständig Beschleunigungsarbeit. Pro Sekunde werden 500 Liter Wasser,
m
das sind gerade 500 kg von 0 auf 216 km
h (= 60 s ) beschleunigt. Die sekündlich zugeführte
kinetische Energie beträgt somit:
2
500 kg · 60 ms
m · v2
Ekin =
=
= 900 000 J = 900 kJ
2
2
6. Eine Neuüberlegung für Theorie-Fans: Die Beschleunigung eines Autos
2
Nach der Zeit t wurde am Auto die Beschleunigungsarbeit WB = PB · t = m·v
verrichtet. Durch
2
Auflösen nach der Endgeschwindigkeit v erhalten wir daraus:
r
r
2 · PB · t
2 · PB √
=
· t
v=
m
m
Die Geschwindigkeitszunahme erfolgt bei konstanter Beschleunigungsleistung des Autos also nicht
gleichmässig, sondern mit einer Wurzelabhängigkeit von der Zeit t.
4