u - Institut für Elektrische Maschinen, RWTH Aachen

Elektrotechnisches Praktikum II
Versuch 6: Schwingkreis
1 Versuchsinhalt
2
2 Versuchsvorbereitung
2.1 Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Freier ungedämpfter Schwingkreis
2.1.2 Freier gedämpfter Schwingkreis . .
2.2 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . .
2.2.1 Reihenschwingkreis . . . . . . . .
2.2.2 Parallelschwingkreis . . . . . . . .
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3
. 3
. 3
. 4
. 6
. 6
. 10
3 Versuchsdurchführung
3.1 Ungedämpfter Schwingkreis . . . . . . .
3.2 Gedämpfter Schwingkreis . . . . . . . .
3.2.1 Resonanzkurve . . . . . . . . . .
3.2.2 Dämpfung . . . . . . . . . . . . .
3.3 Demonstration: Erdschlusskompensation
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0 22.08.2005
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13
13
14
14
17
19
Schwingkreis
ETII V6
1 Versuchsinhalt
Frequenzselektive Schaltungen sind in der Elektrotechnik weit verbreitet. Sie werden
sowohl dazu verwendet, in Oszillatorschaltungen elektromagnetische Schwingungen
zu erzeugen, als auch, um aus breiten Frequenzspektren einzelne Frequenzen auszufiltern.
Die Grundform nahezu sämtlicher frequenzselektiver Schaltungen ist der Schwingkreis in seinen Ausführungen als Reihen- oder Parallelschwingkreis. Zunächst werden
dessen theoretische Grundlagen erläutert, anschliessend die wichtigsten Kenngrössen
von Schwingkreisen experimentell ermittelt. Den Abschluss des Versuchs bildet die
Demonstration einer Anwendung des Schwingkreisprinzips in der elektrischen Energietechnik.
2
Schwingkreis
ETII V6
2 Versuchsvorbereitung
2.1 Freie Schwingungen
2.1.1 Freier ungedämpfter Schwingkreis
Die Zusammenschaltung eines kapazitiven Energiespeichers (Kondensator) mit einem
induktiven Energiespeicher (Spule) wird als Schwingkreis bezeichnet (Bild 1). Setzt
man ideale, d.h. verlustlose Bauelemente voraus, entsteht durch die Zusammenschaltung ein schwingfähiges System, in dem die im Anfangszustand im Kondensator oder
in der Spule gespeicherte Energie nach dem Schliessen des Schalters S zwischen dem
elektrischen und magnetischen Energiespeicher ungedämpft hin und her pendelt. Die
Amplitude der dabei auftretenden sinusförmigen Ströme und Spannungen ist konstant.
S
i (t)
i (t)
L
C
u(t)
C
L
i(t)
Bild 1: Freier ungedämpfter Schwingkreis
Die Kennkreisfrequenz ω0 der Schwingung lässt sich aus der Schwingungsdifferenzialgleichung ermitteln, die aus den Kirchhoff’schen Gleichungen für den Schwingkreis
nach Bild 1 folgt.
iC (t) = C
diC (t)
d 2 uC (t)
duc (t)
⇒
=C
dt
dt
dt 2
(1)
diL (t)
duL (t)
d 2 iL (t)
⇒
=L
dt
dt
dt 2
(2)
uL (t) = L
Mit iC = −iL = i und uC = uL = u ergibt sich die Schwingungsdifferenzialgleichung
d 2 u(t)
1
+
u(t) = 0
dt 2
LC
3
(3)
Schwingkreis
ETII V6
mit der Lösung
oder alternativ nach i aufgelöst
u(t) = ub · sin(ω0 · t + ϕu )
(4)
1
d 2 i(t)
+
i(t) = 0
2
dt
LC
mit der Lösung
(5)
i(t) = bi · sin(ω0 · t + ϕi )
(6)
Die Kennkreisfrequenz des Schwingkreises ist
1
ω0 = √
LC
(7)
Die Konstanten ub, bi und ϕu , ϕi werden durch die Anfangswerte u(t0 ) und i(t0 ) festgelegt. Von Gleichung 4 ausgehend erhält man den Stromverlauf durch Einsetzen in
Gleichung 1, von Gleichung 6 ausgehend den Spannungsverlauf durch Einsetzen in
Gleichung 2.
2.1.2 Freier gedämpfter Schwingkreis
Bei realen Bauelementen treten im Gegensatz zu 2.1.1 ohmsche Verluste auf. Diese
bewirken eine Dämpfung der Schwingung, da dem System laufend elektrische und
magnetische Energie entzogen und in Wärme umgesetzt wird.
In der Ersatzschaltung können diese Verluste durch einen ohmschen Widerstand parallel (Bild 2) oder in Reihe zu den idealen Bauelementen Spule und Kondensator berücksichtigt werden.
iL(t)
iC(t)
iR(t)
u(t)
C
L
R
Bild 2: Freier gedämpfter Schwingkreis
4
Schwingkreis
ETII V6
Für die in Bild 2 gewählte Ersatzschaltung gilt
diC (t)
d 2 u(t)
=C·
dt
dt 2
(8)
diL (t) 1
= · u(t)
dt
L
(9)
diR (t) 1 du(t)
= ·
dt
R dt
(10)
L (t)
R (t)
+ didt
+ diCdt(t) = 0 ergibt sich nunmehr als
Mit iR (t) + iL (t) + iC (t) = 0 und folglich didt
Schwingungsdifferenzialgleichung des verlustbehafteten Kreises
d 2 u(t)
1 du(t)
1
+
·
+
· u(t) = 0
2
dt
RC dt
LC
(11)
Deren Lösung ist
mit der Abklingzeit
u(t) = ub · e−t/τ · sin(ω t + ϕu )
(12)
τ = 2RC
(13)
und der Eigenkreisfrequenz
ωd =
s
1
1
−
= ω0 ·
LC (2RC)2
5
s
1−
1
(ω0 · τ )2
(14)
Schwingkreis
ETII V6
u
τ=
u1
t2 −t1
ln(u1 )−ln(u2 )
u2
t1
t2
t
Bild 3: Freie gedämpfte Schwingung
Auch beim gedämpften Schwingkreis stellt sich eine sinusförmige Schwingung ein,
deren Amplitude jedoch mit der Abklingzeit τ abklingt und deren Eigenfrequenz (Gleichung 14) kleiner als die Kennkreisfrequenz (Gleichung 7) des ungedämpften Schwingkreises ist (Bild 3). Dieser Zusammenhang gilt in gleicher Weise für einen gedämpften
Reihenschwingkreis.
Die Konstanten ub und ϕu bestimmen sich wiederum aus den Anfangsbedingungen des
Kreises.
2.2 Erzwungene Schwingungen
Speist man einen Schwingkreis aus einer Wechselspannungs- oder Wechselstromquelle, so stellen sich erzwungene Schwingungen ein, denn die Frequenz der Spannungen
und Ströme muss der Frequenz der anregenden Spannungs- oder Stromquelle folgen.
Die Amplitude der Ströme bi und Spannungen ub weist einen ausgeprägten Frequenzgang auf.
Das Resonanzverhalten von Schwingkreisen lässt sich sehr einfach mit der komplexen
Wechselstromrechnung beschreiben. Die zugehörigen Kenngrössen werden im Folgenden für den Reihenschwingkreis abgeleitet und anschliessend auf den Parallelschwingkreis übertragen.
2.2.1 Reihenschwingkreis
Der im Reihenschwingkreis vorteilhaft seriell angeordnete ohmsche Widerstand fasst
analog zum vorangegangenen Kapitel die Verluste von Spule und Kondensator zusammen.
6
Schwingkreis
ETII V6
I
R
U
UC
R
ω
UL
U
U
UL
L
ϕ
UC
C
I
a)
UR
b)
Bild 4: Ersatzschaltung (a) und Zeigerdiagramm (b) eines Reihenschwingkreises
Speist man die Schaltung in Bild 4a aus einer starren Quelle mit sinusförmiger Spannung (Effektivwert U = const) und variabler Kreisfrequenz ω , so ergibt sich für den
Betrag des Stromes
I(ω ) =
U
Z(ω )
(15)
Z steht für den Scheinwiderstand des Reihenschwingkreises
Z(ω ) =
r
1 2
)
ωC
(16)
R
·U
Z(ω )
(17)
R2 + (ω L −
Mit den Spannungskompontenen
UR (ω ) = R · I(ω ) =
UL (ω ) = ω L · I(ω ) =
UC (ω ) =
ωL
·U
Z(ω )
1
1
· I(ω ) =
·U
ωC
ω C · Z(ω )
(18)
(19)
und der Maschengleichung
U = [R + j(ω L −
7
1
)] · I
ωC
(20)
Schwingkreis
ETII V6
lässt sich das Zeigerdiagramm (Bild 4b) zeichnen.
Trägt man den Strom nach Gleichung (15) über der Kreisfrequenz ω der anregenden
Quelle auf, so ergibt sich die Resonanzkurve in Bild 5a mit ihrem Maximum bei ω0 =
√1 , der Kennkreisfrequenz des ungedämpften Schwingkreises. Bei ω 0 muss also auch
LC
UR (ω ) = I(ω ) · R maximal sein (UR,max = U). Die Schaltung wirkt dann rein resistiv, wie
auch aus dem Verlauf des Phasenwinkels ϕ in Bild 5b ersichtlich ist.
Ιmax
Ι
Ιmax
2
a)
0
ω
0
∆ω
ω
ω0
ω
ϕ
π/2
0
−π/2
b)
Bild 5: Stromverlauf (a) und Phasenwinkel (b) im Reihenschwingkreis
Bei kleineren Frequenzen (ω < ω0 ) verhält sich die Schaltung vorwiegend kapazitiv.
UC dominiert und der Strom eilt der Spannung vor (ϕ < 0). Die Spannung am Kondensator erreicht ihr Maximum bei
ωC = ω0 ·
r
8
1−
d2
2
(21)
Schwingkreis
ETII V6
wobei
d=
R
R
= R · ω0C =
ω0 L
Z0
(22)
1
= ω0 L
ω0C
(23)
als Dämpfungsgrad und
Z0 =
als Kennwiderstand des Schwingkreises bezeichnet werden.
Im Bereich höherer Frequenzen (ω > ω0 ) ist die Schaltung vorwiegend induktiv (ϕ > 0)
mit maximaler Spulenspannung bei
ω0
ωL = q
2
1 − d2
(24)
Die Wurzel aus dem Produkt der Gipfelkreisfrequenzen ωC und ωL ergibt wieder die
Kennkreisfrequenz des Stromes ω0 .
UR,L,C
U
UC
UL
1
UR
0
ωC ω0 ω L
ω
Bild 6: Verlauf der Spannungen im Reihenschwingkreis
Die Maximalwerte von UL (ωL ) und UC (ωC ) sind betragsgleich und u.U. wesentlich
grösser als die Quellenspannung U.
Statt des zuvor eingeführten Dämpfungsgrades d wird meist die Resonanzschärfe verwendet:
Q=
1
Z0
=
2d 2R
9
(25)
Schwingkreis
ETII V6
Mit 2Q ist die Spannungserhöhung an L und C im Resonanzfall ω = ω0 gegeben:
2Q =
UL (ω0 ) UC (ω0 )
=
U
U
(26)
Im Resonanzfall sind U L und U C betragsgleich, aber gegenphasig.
Die Resonanzschärfe lässt sich auch aus der Resonanzkurve des Stromes in Bild abmax
lesen. Es sei ∆ω = 2π ∆ f die Differenz der beiden Frequenzen, bei denen I auf I√
2
abgesunken ist. Diese beiden “Grenzfrequenzen”, nicht zu verwechseln mit ω L und
ωC , berechnen sich aus
1
|
ωC
(27)
r
(28)
∆ω = ω0 · d
(29)
R =| ω L −
zu
d
ω1,2 = ω0 · (± +
2
d
1 + ( )2 )
2
Daraus folgt
∆ω wird als Halbwertsbreite des Schwingkreises bezeichnet.
Die Resonanzschärfe
Q=
1
ω0
=
2d 2 · ∆ω
(30)
ist somit ein Mass für das Selektionsverhalten des Schwingkreises. Ein Reihenschwingkreis grosser Resonanzschärfe, d.h. mit niedrigen Verlusten, besitzt eine kleine Halbwertsbreite und damit eine schmale Stromresonanzkurve. Umgekehrt weist ein Schwingkreis niedriger Resonanzschärfe eine grosse Halbwertsbreite auf.
2.2.2 Parallelschwingkreis
Speist man die Parallelschaltung eines Kondesators, einer Spule und eines ohmschen
Widerstandes, wie in Bild 7a gezeigt, aus einer sinusförmigen Stromquelle konstanter
Amplitude und variabler Frequenz, so ergeben sich analog zum Reihenschwingkreis
folgende Beziehungen:
U(ω ) =
10
I
Y (ω )
(31)
Schwingkreis
ETII V6
Y (ω ) =
IR (ω ) =
r
1 2
1
+ (ω C −
)
2
R
ωL
1
1
·U(ω ) =
·I
R
R ·Y (ω )
(33)
ωC
·I
Y (ω )
(34)
1
U(ω )
=
·I
ωL
ω L ·Y (ω )
(35)
IC (ω ) = ω C ·U(ω ) =
IL (ω ) =
I
L
ω
(32)
I
I
C
R
I
IC
U
I
ϕ
C
L
R
a)
b)
U
IR
I
L
Bild 7: Ersatzschaltung (a) und Zeigerdiagramm (b) eines Parallelschwingkreises
Die Spannung U erreicht ihr Maximum bei der Resonanzfrequenz
1
ω0 = √
LC
(36)
da dann der gesamte Quellenstrom I über R fliesst und
IC (ω0 ) = ω0C · R · I
IL =
1
·R·I
ω0 L
(37)
(38)
betragsgleich, aber gegenphasig sich zu Null ergänzen (Kreisstrom in der L-C-Masche).
11
Schwingkreis
ETII V6
IC und IL können wesentlich grösser als der eingeprägte Quellenstrom I sein. Sie erreichen ihr Maximum bei den zugehörigen Gipfelkreisfrequenzen ωC und ωL :
dIC
1
|ωC = 0 ⇒ ωC = q
· ω0
2
dω
1 − d2
dIL
|ω = 0 ⇒ ω L =
dω L
r
1−
d2
· ω0
2
(39)
(40)
Analog zum Reihenschwingkreis ergeben sich die Resonanzschärfe Q und der Dämpfungsgrad d des Parallelschwingkreises zu
Q=
Y0 · R
1
=
2d
2
(41)
1
ω0 L
(42)
mit dem Kennleitwert
Y0 = ω0C =
12
Schwingkreis
ETII V6
3 Versuchsdurchführung
3.1 Ungedämpfter Schwingkreis
• Bauen Sie zunächst einen Reihenschwingkreis aus folgenden Schaltungselementen auf:
Spule
1000 Wdg.
Kondensator 1 µ F
• Bestimmen Sie die Induktivität der Spule indem Sie sie mit einer Spannung einer
Frequenz von 400 Hz erregen und Strom und Spannung messen. Ermitteln Sie
rechnerisch die Kennfrequenz f 0 des als ungedämpft angenommen Systems.
Induktivität L
errechnete Kennfrequenz f 0
• Erregen Sie diesen Schwingkreis mit einer sinusförmigen Spannung von 15 V
variabler Frequenz. Oszillographieren Sie eine geeignete Grösse und suchen Sie
mittels Variation der eingeprägten Frequenz den Resonanzpunkt auf.
Hinweis: Achten Sie darauf, dass es sich bei dem verwendeten Funktionsgenerator nicht um eine ideale Spannungsquelle handelt.
gemessene Kennfrequenz f 0
• Vergleichen Sie das experimentell ermittelte Ergebnis mit dem berechneten und
begründen sie die Abweichung.
13
Schwingkreis
ETII V6
3.2 Gedämpfter Schwingkreis
3.2.1 Resonanzkurve
• Bauen Sie einen Reihenschwingkreis aus folgenden Schaltungselementen auf:
Spule
1000 Wdg.
Kondensator
1 µF
ohmscher Widerstand 100 Ω
• Bestimmen Sie zunächst rechnerisch die Kennfrequenz f 0 , die Gipfelfrequenzen
fL und fC sowie die Grenzfrequenzen f 1,2 .
f0
fL
fC
f1
f2
14
Schwingkreis
ETII V6
• Ermitteln Sie nun experimentell die Grenzfrequenzen f 1,2 , indem Sie den Schwingkreis mit einer Spannungsquelle variabler Frequenz erregen.
• Messen Sie U, UR , UL und UC als Funktion der Frequenz im Bereich der Grenzfrequenz des Schwingkreises.
f [1/s]
U [V ]
UR [V ]
UL [V ]
UC [V ]
• Tragen Sie die aufgenommenen Messwerte in Bild 8 ein und ermitteln Sie hieraus
die Kennfrequenz f 0 , die Gipfelfrequenzen f L und fC sowie die Grenzfrequenzen
f1,2 .
f0
fL
fC
f1
f2
15
Schwingkreis
ETII V6
U 6
-
f
Bild 8: Resonanzkurve des gedämpften Reihenschwingkreises
16
Schwingkreis
ETII V6
3.2.2 Dämpfung
• Bauen Sie einen Parallelschwingkreis aus folgenden Schaltungselementen auf
und ermitteln Sie den zugehörigen Dämpfungsgrad. Benutzen Sie zusätzlich
einen Vorwiderstand von 1000 Ω
Spule
1000 Wdg.
Kondensator
1 µF
ohmscher Widerstand 1 kΩ
d nach Gleichung (41)
• Erregen Sie den Parallelschwingkreis mit einer periodischen Rechteckspannung
einer Frequenz f << f 0 und oszilloskopieren Sie den Verlauf des Eingangsstroms
i(t) im Schwingkreis (vgl. Bild 3).
• Übertragen Sie den Stromverlauf qualitativ in Bild 9 und ermitteln Sie aus dem
Oszilloskopbild die Abklingzeit τ des Einschwingvorgangs und daraus den Dämpfungsgrad d.
Zeitkonstante τ
Dämpfung d
17
Schwingkreis
ETII V6
I6
-
t
Bild 9: Qualitativer Stromverlauf
18
Schwingkreis
ETII V6
3.3 Demonstration: Erdschlusskompensation
Auch bei der elektischen Energieübertragung in Drehstromtechnik wird das Schwingkreisprinzip genutzt, und zwar zur Begrenzung des Fehlerstromes bei den zahlenmässig überwiegenden einpoligen Erdfehlern auf Freileitungen.
UR
Leitung
R
US
N
S
CK
UT
T
UNE
C K Koppelkapazität
C E Erdkapazität
CE
R
E
Bild 10: Vereinfachtes Modell eines Drehstromsystems, bestehend aus Spannungsquelle und leerlaufender Leitung (vgl. Versuch 7)
Drehstromsysteme sind dreiphasige Systeme nach Bild 10, deren sinusförmige Spannungsquellen “symmetrisch” sind, d.h. von gleicher Spannungshöhe (Effektivwert U)
und zeitlich um 120◦ verschoben, so dass gilt:
uR (t) =
uS (t) =
√
uT (t) =
√
√
2 ·U · sin(ω t)
2 ·U · sin(ω t + 120o )
2 ·U · sin(ω t + 240o )
Daraus folgt zu jedem Zeitpunkt
∑ u(t) = 0
19
Schwingkreis
ETII V6
Bei weiterhin vorausgesetztem symmetrischem Aufbau der Netzanlagen ist im Normalbetrieb somit die Sternpunktspannung UNE gleich Null.
Bei einem einpoligen Erdfehler z.B. im Leiter R des Netzmodells (Bild 10) fliesst bei
“freiem”, d.h. nicht mit Erde E verbundenem Sternpunkt N ein Fehlerstrom der Grösse
IF = 3ω CE ·U
Durch eine geeignet dimensionierte Spule LE zwischen Sternpunkt und Erde kann
dieser Strom zu Null kompensiert werden.
• Zeichnen Sie mit Hilfe des Ersatzspannungsquellenverfahrens die Ersatzschaltung des stark vereinfachten Netzes aus Bild 10 für den Fall eines einpoligem
Erdfehlers des Leiters R.
• Wie gross muss die Induktivität LE der Spule bei f = 50Hz sein? Nehmen sie für
CE den Wert aus dem Drehstromnetzmodell an.
• Überprüfen Sie dieses Ergebnis experimentell am Drehstromnetzmodell, indem
sie den Fehlerstrom IF in Abhängigkeit von der Spuleninduktivität messen und
in Bild 11 aufzeichnen.
• Warum lässt sich der Fehlerstrom selbst bei exakter Abstimmung nicht zu Null
kompensieren?
IF
[A]
0
2000 [mH]
1000
LE
Bild 11: Fehlerstrom IF in Abhängigkeit der Spuleninduktivität
20