¡ ¢ F £¤ ¥ t = ¥ p £ ¥ t §¦ i = ¨ i i = ¨ d i = 0 £¨ p

2.20 Impuls
/lap5.../mewae_act_scr_Kap2.20_s4_20_Nov_05
Wirkung einer Kraft auf einen Körper durch Angabe der F noch nicht eindeutig bestimmt: hängt
noch von
derF Körpereigenschaft m ab:
dv
a = dt = m Umschreiben dieser Gleichung (etwa entsprechend einer Trennung: was kommt von
außen? was betrifft Körper?):
Fdt v.aussen = mdv Koerper = d(mv)
(für m = const)
neue Größe eingeführt: p := mv
Impuls
F(t)dt = p Kraftstoß Fdt bewirkt Impulsänderung dp
p(t + t) = p(t) + F t
z.B. für F(t) = const: F t = p
Anmerkungen:
1.) Die relativistisch korrekte Definition für den Impuls lautet p = mv γ mit dem sogenannten
1
2
”Lorentzfaktor” γ = (1 − vc 2 ) − 2 . Mit v → c steigt γ viel stärker an als v. d.h. eine Kraft wird dann
vorwiegend dafür verwendet, um γ zu vergrößern.
2.) Widerstand gegen eine Beschleunigung a (”Träge Masse”) und Ansprechen auf ein
Gravitationsfeld (”schwere Masse”) sind also von der Geschwindigkeit v eines Körpers und damit
von γ abhängig. Der Körper verhält sich so, als hätte er in der Newtonschen Mechanik die Masse
m R = mγ, die man deshalb etwas unschön als die ’relativistische Masse’ des Körpers bezeichnet.
Die den Körper charakterisierende Größe ist natürlich seine Ruhemasse m.
Dieser Effekt wird aber erst bei Geschwindigkeiten ab einer Größenordnung von 1/10
derLichtgeschwindigkeit relevant (Bitte selbst einmal ausrechnen: wie groß muß v sein, damit die
exakte Definition des Impulses einen um 5% höheren Wert als die der Newtonschen Mechanik
ergibt, d.h. bei welchem v wird γ = 1, 05? )
Zwei nützliche Beziehungen für ein System von Teilchen:
p gesamt =
i
pi =
d
i dt
miri =
d
dt
i
miri =
d
dt
M k r sp = M k v sp = p sp
d.h. Der Impuls eines Körpers = Impuls seines Massenmittelpunktes (Schwerpunkts SP).
F ges =
Fi =
d
dt
pi =
d
dt
pi =
d
dt
p sp (=
d
dt
p ges )
Die Änderung der Summe der Einzelimpulse = der gesamten auf das System wirkenden Kraft.
insbesondere gilt für
F ges = 0
d
dt
pi = 0
p i = const
Diese Formel stellt den wichtigen Satz von der Erhaltung des Gesamtimpulses in einem
abgeschlossenen System dar:
2.21 Satz von der Erhaltung des Gesamtimpulses eines Systems:
In einem abgeschlossenen System (F ges = 0) ist die Summe der Einzelimpulse p i konstant (die
einzelnen p i können sich dabei natürlich sehr wohl ändern)
zur Veranschaulichung: Ballspiel im Boot(=Kahn)
1
t o = 0 : p Ko (t o ) = p B o (t o ) = 0
dann: Kraftstoß K = F(t)dt =
pi = 0
pB1 = pB0 + pB =
v
v
K
B
=
mB
mK
p B = − p K wegen
pB
p K 1 = p K 0 + p K = − p B
vB =
K
mB
, v K = − mKK
d.h. solange Ball in Luft: Ball und Kahn haben entgegengesetzte, gleichgroße Impulse.
Auffangen des Balls in t 2 :
p K2 = p K1 + p B 1 = 0
Kraftstoß beim Auffangen des
Balls (≈ Impulsübertrag ) stoppt das Boot wieder
(wenn Ball nicht aufgefangen wird: Boot behält
p 2K
p K1 . In realer Welt: Reibung wandelt W = 2m1K
in Wärme um ).
(zu überlegen: woher kommt der Kraftstoß , der den Ball beim Auffangen abbremst? Wovon
hängt die Dauer dieses Kraftstosses ab? )
Ein paar grotesk anmutende, aber prinzipiell lehrreiche weitere Beispiele, die z.T. schon bei der
Besprechung des 3. Newtonschen Axioms erwähnt wurden:
Jäger schießt auf Tier. Impulse, vor / während / nach dem Flug der Kugel?
oder: Mensch geht mit p m auf Erde: Erde erhält −p m nach hinten Mensch stoppt, ....
Oder: Mensch springt von Erde nach oben: er übt auf die Erde eine bestimmte Kraft über ein
bestimmtes Zeitintervall aus, dieser Kraftstoß beschleunigt ihn nach oben, erteilt ihm einen Impuls
p M . Nach dem 3. Newtonschen Axiom erhält die Erde den gleich großen, entgegengesetzten
Kraftstoß und damit einen gleich großen, aber entgegengesetzten Impuls p E wie der Mensch beim
Absprung!
Für diese Impulse gilt daher in t 0 (Unmittelbar nach dem Absprung:)
p E (t o ) = p E o = −p M (t o ) = −p M o
(Skizze)
danach werden die Impulse p M,E (t) durch die Schwerkraft verringert:
p M,E = FGrav.M,E t
p M,E (t) = p M,Eo + p M,E = p M,E (t 0 ) + F g EM,ME (t − t 0 )
in t 1 :
(Skizze)
in t 2 − dt
p M,E = −p M,Eo
=t 2
2
p M,E (t 1 ) = 0
(also unmittelbar vor dem Aufsprung)
p M,E (t 2 ) ≈ −p M,E (t 0 )
in t 2 : p M,E (t 2 ) = 0
Weiteres Beispiel:
Aufsteigen einer Rakete: Kraftstoß nach 3. Newton’schem Axiom durch nach hinten
ausströmenden Treibstoff hervorgerufen. Rakete verliert dadurch Masse. ( Die Wirkung anderer
Kräfte, insbesonders Gravitation, im Weiteren nicht berücksichtigt.) System in 2 Teilsysteme
zerlegt:
1.) Rakete mit Masse m R , v R (t) (Hülle und verbleibender Treibstoff),
2.) ausströmender Treibstoff, v Tr = const.
Wegen p ges = 0 muß p Tr = − p Rak sein
vR = vRex
v Tr = −v Tr e x
Rakete für hinreichend kleines dt
betrachtet, in dem m R + dm R ≈ m R ≈ const gilt
dp R = m R dv R in System, in dem Rakete zu Beginn von dt ruht:
in diesem dt wird eine Treibstoffmenge dm Tr ,die vorher in der Rakete (und damit im gewähltem
Bezugssystem) ruht, von v = 0 auf v = v Tr beschleunigt:
dv Tr = v Tr
dp Tr = dm Tr v Tr
dm Tr v Tr = −m R dv R
Wegen dp gesamt = 0
Wenn e x die Flugrichtung definiert:
−dm Tr v Tr e x + m R dv R e x = 0
mit dm Tr = −dm R
( Zunahme des ausgestoßenen Treibstoffes ist Abnahme der
Raketenmasse)
dm R v Tr = −m R dv R
v R (t)
v Ro
dlnm R
dm
− v Tr m RR
= dv R = −v Tr dlnm R
dv R = v R (t) − v Ro = −v Tr (lnm R (t) − lnm Ro ) = −v Tr ln
m R (t)
m
= v Tr ln Ro
mR o
m R (t)
v R (t) = v Ro + v Tr ln mmRRo(t)
R
m R (t) =... in t verbleibende Masse der Rakete
z.B.
Endgeschwindigkeit einer Saturnrakete (ohne Gravitation)
t o ...Start, v Ro = 0;
m Ro = 2, 45.10 6 Kg davon 1, 7.10 6 Kg Treibstoff( Kerosin
+Sauerstoff(flü)
v Tr = 3, 1.10 3 m/s (!)
m R (t End ) = 0, 75.10 6 Kg
[(so etwa
abschätzen:
kann man dann z.B.das Resultat für die Endgeschwindigkeit
1
10 −3 v E = 10 −3 v(t = t End ) = 3.1ln 2.45
≈
3.1
ln3.3
≈
3.1
lne(1
+
) = 3.1(lne + ln1.2)
0.75
5
2
3
x
x
mit ln(1 + x) = x − 2 + 3 ... ln1.2 = ln(1 + 0.2) ≈ 0.2 − 0.02 + ... ≈ 0.2
v E ≈ 3.1(1 + 0.2) 10 3 = 3.1 1.2 10 3 ≈ 4.10 3 m/s
( weitere Überlegungen: Wirkung der Grav. in der Zeit bis t E bei senkrechtem Steigen?
a) für G = const b) G = G(r)]
Stoßvorgänge:
Unterscheidung elastisch- unelastisch: beim elastischen Stoß bleibt die gesamte kinetische Energie
als kinetische Energie erhalten, beim inelastischen Stoß wird ein Teil der kinetischen Energie der
3
einlaufenden Teilchen beim Stoßprozess in eine andere Energieform umgewandelt
(Wärme,potentielle Energie, (Anregungsenergie im Atom etc.)
Lehrreiches Beispiel aus dem Alltag für inelastischen Stoß (oder: warum Physiker sich immer
angurten ...):
Kollision von 2 Fahrzeugen mit unterschiedlicher Masse, aber gleicher Geschwindigkeit.
M 1 = 10t, m 2 = 1t
v 1 = −v 2 , v = v 1,2 = 50km/h
Frage: Welche Kräfte treten in beiden Fahrzeugen beim Zusammenstoß auf?
Ansatz zur Lösung: v sp des Systems von m 1 und m 2 bleibt durch den Zusammenstoß
unverändert.
Wenn Zusammenstoß unelastisch (d.h. Verformungsarbeit bei ’Beschleunigung’ von v 1,2 auf v sp
wird nicht als W pot gespeichert, sondern in Wärme umgewandelt): m 1 und m 2 bewegen sich
danach mit v sp . Der Geschwindigkeitsunterschied für 1 und 2 v 1,2 und damit a 1,2 und F 1,2 können
dann berechnet werden.
Annahme: Deformation beider Fahrzeuge beträgt zusammen 1,1 m.
Methode: vom Schwerpunkt-System aus betrachtet (r ∗i v ∗i mit i = 1, 2 ...Ortsvektoren und
Geschwindigkeit der beiden Fahrzeuge im Schwerpunktssystem (CM))
∗
∗
∗
∗
i m i r i = 0 und
i p i = 0 verwendet. Dazu müssen zunächst r 1,2 und v 1,2 aus den Werten im
Laborsystem von r 1,2 , v 1,2 und der Geschwindigkeit r sp berechnet werden. Es war:
m ges r sp =
i m i r i = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 r 1 +m 2 r 2
d 2
v sp = mp 11 +p
r sp =
m ges
+m 2
dt
4
5.10
49
7
v = 50km/h = 3,6.10
3 (≈ 3,5 = 5 .10) ≈ 10m/s
4
3 .14
v sp = 10 .14−10
ex
11.10 3
v sp = v sp = 126
≈ 11, 5m/s
11
im SP-System:
p ∗1 = −p ∗2 , aber daher auch v ∗2 > v ∗1 da m 2 < m 1
Dann im SP-System: v ∗1,2 = v 1,2 − v sp
v ∗1 = v 1 − v sp = (14 − 11, 5)e x , |v ∗1 | = 2, 5m/s
v ∗2 = v 2 − v sp = (−14 − 11, 5)e x , |v ∗2 | = 25, 5m/s
Wo liegt der SP in dem Moment, in dem sich die Fahrzeuge berühren (sie haben aber dann noch
1,1 m, um in SP-System zur Ruhe zu kommen )?
wegen
m i r ∗i = 0 im SP-System ist immer:
s∗1
s ∗2
=
m2
m1
mit s ∗i = |r ∗i |, d.h.
auch die 1,1 m, über die die Fahrzeuge durch die Deformation auf v ∗1,2 = 0 verzögert werden,
s∗
werden in diesem Verhältnis aufgeteilt: s 1∗ = mm 21 , s ∗1 + s ∗2 = 1, 1m,
2
s ∗1 = 0, 1m, s ∗2 = 1m
Nach dem Unfall bewegen sich die Fahrzeuge gemeinsam mit v ∗1,2 = 0 d.h. mit v 1 = v 2 = v sp
Im SP-System: v ∗1,2 = v ∗1,2 − v ∗sp über die Strecke s ∗1,2
a1
a2
a 1 (=
≈ 101
a ∗1 )
a 2 (= a ∗2 ) =
=
=
2
v ∗2
2 s2
4
( v ∗1 ) 2
2 s ∗1
2
v ∗1
2 s ∗1
=0
=
2,5 2
0,2
= 6, 25.5 ≈ 31m/s 2 ≈ 3g
=
25,5 2
2
= 325m/s 2 ≈ 33g
v ∗ bestimmt a: schweres Auto bewegt sich langsamer in SP: schweres Auto bei gleichem v
sicherer.
Aber: ohne Gurten: s ∗1,2 ≈ 1 cm (Deformation Kopf + Windschutzscheibe)
a 1 = 10a 1 = 30g, a 2 = 100a 2 = 3300g
Bitte überlegen: wie sieht die Bilanz aus, wenn der Stoß nicht inelastisch, sondern elastisch
abläuft?
Stöße zwischen zwei Teilchen:
Bes. Bedeutung in Atom- und Kernphysik: Streuversuche: ein Teilchen durchläuft das Potential
des anderen. Aus der beobachteten Ablenkung zieht man Rückschlüsse über Art und räumliche
Verteilung des Potentials. Zufolge fundamentaler Gesetze der Atomphysik (Heisenberg’ sche
Unschärferelation, Dualismus, de-Broglie-Beziehung ) können umso feinere Strukturen untersucht
werden, je höher die Gesamtenergie beim Zusammenstoß ist (’Hochenergiephysik’≡Physik der
Elementarteilchen). Unabhängig davon, was bei einer Wechselwirkung zwischen 2 Teilchen im
einzelnen geschieht, gilt immer Energie- und Impulserhaltung: (in der Praxis werden allerdings
relativistische Formeln benötigt!)
1. Zentraler elast. Stoß zweier Kugeln (im Labor-System mit v 2 = 0):
Zentral= eindimensional, v 1 ist auf Schwerpunkt von m 2 gerichtet, keine Querkomponenten des
Impulses treten beim Stoß auf
gesucht wird: Geschwindigkeiten v 1 , v 2 (m 1 , m 2 , v 1 ) nach dem Stoß
p −Erhaltung: m 1 v 1 = m 1 v 1 + m 2 v 2
2
2
E-Erhaltung:
m 1 v 21
2
aus (a):
m 2 v 2 = m 1 (v 1 − v 1 )
m1v1
2
=
+
(a)
m2v2
2
(b)
(c)
m2v2
m 2 v 2 = m 1 (v 21 − v 1 ) = m 1 (v 1 − v 1 )(v 1 + v 1 )
aus (b):
2
2
m 2 v 2 = m 2 v 2 (v 1 + v 1 )
2
v 1 = v 2 − v 1 (d)
v2 = v1 + v1
in (c) eingesetzt:
m 2 v 2 = m 1 (v 1 − v 2 + v 1 ) = 2m 1 v 1 − m 1 v 2
v 2 (m 2 + m 1 ) = 2m 1 v 1
1v1
v 2 = m2m1 +m
2
5
aus (a) m 1 v 1 = m 1 v 1 − m 2 v 2 = m 1 v 1 − m 2 (v 1 + v 1 ) = (m 1 − m 2 )v 1 − m 2 v 1
(aus (d) v 2 = v 1 + v 1 )
v 1 (m 1 + m 2 ) = (m 1 − m 2 )v 1
2
v 1 = mm 11 −m
+m 2 v 1
Betrachtung von Grenzfällen:
v1
v2
m 1 −v 1 ...Umkehr ∼ 0
m2
m2 = m1 0
v1
m2
2v 1
m1 v1
’Geschwindigkeitstausch’
prallt elastisch nach vorne ab
2. Nicht-zentraler elastischer Stoß
Ablenkwinkel von m 2 θ ≠ 0 wenn v 1 nicht auf Schwerpunkt von m 2 gerichtet ist.
p-Erhaltung:
p 1 +p 2 =p 1 +p 2
E-Erhaltung:
p 21
2m 1
p2
2
p
p
2
+ 2m22 = 2m1 1 + 2m2 2 +Q
(Q auch oft mit entgegengesetztem Vorzeichen definiert)
Q=0
alle Energie des Endzustandes=W kin : elastischer Stoß
Q>0
’innere’ Energie, Anregung v. Atomen, Molekülen
(setzt innere Struktur des Stoßpartners voraus)
hier jetzt elastische Stöße im ’Laborsystem’ betrachet:
(ein Stoßpartner ruht, v 2 = 0, p 2 = 0))
p 1 = p 1 + p 2 (p −Erh.)
p 21
2m 1
=
2
p1
2m 1
2
p2
2m 2
+
(E-Erh.)
Wegen p-Erhaltung: Ebene durch p 1 , p 2 muß p 1 enthalten!
(p ein = 0 = p aus )
Geeignete Darstellung: auslaufende Teilchen p 1 , p 2 in kart. Koord.-System betrachtet:
x2 + y2 = p2
2
(p 1 − x) 2 + y 2 = p 1 in E-Satz eingesetzt
p 21
(x 2 +y 2 )
(p +x) 2 +y 2
= 2m 2 + 1 2m 1
2m 1
2
p 21
m1
2p 1
m2
6
=
= 2v 1
x2
m2
+
y2
m2
+
p 21
m1
−
2p 1 x
m1
+
x2
m1
+
y2
m1
= x 2 ( m12 +
1
m1
) + y 2 ( m12 +
1
m1
)+
p 21
m1
−
2p 1
m1
x
mit µ =
x2
µ
+
y2
µ
m1m2
m 1 +m 2
”reduzierte Masse”
− 2v 1 x = 0
µ
x 2 + y 2 − 2v 1 µx = 0
Quadratisch ergänzen: (x − v 1 µ) 2 = x 2 − 2v 1 µx + v 21 µ 2
(x − v 1 µ) 2 − v 21 µ 2 + y 2 = 0
(x − v 1 µ) 2 + y 2 = v 21 µ 2
→ Darstellung auf Kreis mit M = (v 1 µ, 0); r = v 1 µ
Daraus z.B.: maximaler Ablenkwinkel:
sin ϑ max =
7
v1µ
p 1 −v 1 µ
=
µ
m 1 −µ
=
1
−1
m1
µ
= ... =
m2
m1
für m 2
m1