Elektrizitätslehre

Elektrizitätslehre
Elektrostatik:
Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen:
Bei zwei Punktladungen gilt für die auf die Punktladungen selbst ausgeführten Kräfte (actio=reactio):
F2←1 = − F1←2
Dabei sind die Kräfte parallel zur Verbindungslinie der beiden Punktladungen. Sie sind vom Betrag gleich:
1
F2←1 = F1← 2 = γ e ⋅
γe =
1
r2 − r1
2
⋅ q1 ⋅ q2
ε 0 = 8,854 ⋅10−12
4πε 0
As
Vm
Daraus lässt sich das Coulombsche Gesetz bilden:
1
F2←1 = − F1← 2 =
⋅
q1 ⋅ q2
4πε 0 r2 − r1 3
⋅ ( r2 − r1 )
Wirken N Punkladungen qi an den Orten ri auf eine weitere Ladung q um Ort r , so gilt auf Grund der
Vektoraddition für die Kraft:
Fq ( r ) =
q
4πε 0
N
⋅∑
i =1
qi
r − ri
3
⋅ ( r − ri )
Elektrische Feldstärke (Superpositionsprinzip): (auch Gauß möglich!!!)
Die Ladungsverteilung von N Ladungen im Raum erzeugt ein Kraftfeld. Für die elektrische Feldstärke gilt
dabei:
E (r ) =
1
4πε 0
N
⋅∑
i =1
qi
r − ri
3
⋅ ( r − ri )
⎡V ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
Liegt ein Dipolfeld vor, so gilt:
E (r ) =
⎛ ( r − r1 ) ( r − r2 ) ⎞
⋅⎜
−
⎟
4πε 0 ⎜⎝ r − r1 3 r − r2 3 ⎟⎠
Q
−
+
Elektrische Arbeit:
W1,2 =
∫
F ( r ) dr
c ( P1 , P2 )
Normalerweise hängt ein Wegintegral von der Wahl des
verbindenden Weges ab. Ist ein Kraftfeld jedoch konservativ, so
hängt es nur von Anfangs- und Endpunkt ab. Ein Kraftfeld ist
konservativ, wenn gilt:
∂Fj
∂xi
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Stand: 05.02.2004
=
∂Fi
∂x j
i≠ j
1/15
Elektrische Spannung und Potential:
Elektrische Spannung ist die elektrische Arbeit pro Probeladung!
F = q⋅E
U12 =
W12
= ∫ Edr
q
c ( P1 , P2 )
Elektrostatische Felder sind stets konservativ, somit hängt die Spannung nur von den Punkten
P1 , P2 und nicht
vom verbindenden Weg c ab. Daraus folgt, dass bei elektrostatischen Feldern für jede geschlossene Kurve gilt:
∫ Edr = 0
c
P0 , so bezeichnet man die elektrische Spannung zwischen einem
beliebigen Punkt P und P0 als elektrisches Potential bezüglich P0 .
Wählt man einen festen Referenzpunkt
P0
P
P
P0
Φ (r ) = U10 = ∫ Edr = − ∫ Edr
Somit gilt für die Spannung zwischen zwei Punkten:
U12 = Φ (r1 ) − Φ (r2 )
Somit folgt:
P(r )
Φ (r ) = Φ (r0 ) −
∫
Edr
P0
Äquipotentialflächen:
Flächen, für die gilt
φ (r ) = const.
heißen Äquipotentialflächen. Somit gilt für die Spannung zwischen zwei
beliebigen Punkten auf der Fläche: U12 = φ ( r1 ) − φ ( r2 ) = 0 .
Die Elektrische Feldstärke E steht senkrecht auf allen Tangenten an die Äquipotentialfläche, d.h. die E
Feldlinien stehen senkrecht auf den Äquipotentialflächen.
Potential einer Punktladung (Coluombpotential):
Q am Ort rQ
φ (r ) = φ (r0 ) +
Q ⎛ 1
1
⎜
−
4πε 0 ⎜ r − rQ r0 − rQ
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
φ (r ) =
1
4πε 0
⋅
Die Äquipotentialflächen sind hier konzentrische Kugeloberflächen
Q
(Potential im Unendlichen gleich 0)
r − rQ
K (rQ , R0 ) mit R0 =
Q
⋅
1
4πε 0 φ0
Potential einer Ladungsverteilung:
N
1
i =1
4πε 0
φ (r ) = ∑
⋅
qi
r − ri
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Dielektrizitätskonstante DEK (elektrische Permittivität):
ε = ε0 ⋅εr
Typische Zahlenwerte:
ε r = 1, 0005...
Plastik/Öl: ε r = 1,5 − 10
Wasser: ε r = 81 (kleine Frequenzen)
3
3
Spezialkeramik: ε r = 10 − 5 ⋅10
Luft:
ε 0 = DEK des Vakuums
ε r = relative DEK
Dielektrische Verschiebung:
D(r ) = ε ⋅ E (r )
D ist nur von erzeugender Ladung bestimmt! D(r ) =
Im Vergleich zu
1
4π
N
q
∑ r − r (r − r )
i
i =1
3
i
i
D beinhaltet E die Materialeinwirkung!
Q an einem beliebigen Ort r0 und eine beliebige Hüllfläche, die ein Kontrollvolumen
V umschließt. H = ∂V
Für eine Ladung
∫ Dda = Q
für r0 ∈ V
∫ Dda = 0
für r0 ∉ V
∂V
∂V
Gaußsches Gesetz für beliebige Verteilung von Punktladungen:
∫ Dda = Q(V ) = ∑ q
ri ∈V
∂V
Wobei
Ladungen sitzen auf der Oberfläche eines
Leiters:
i
σ = D⋅n
Q(V ) die in V enthaltene Gesamtladung ist!
Kontinuierliche Ladungsverteilung:
Raumladungsdichte:
ρ ( r ) = lim
ΔV → 0
Q ( ΔV ( r ) )
ΔV ( r )
Raumladungsverteilung:
∫ Dda = Q(V ) = ∫ ρ ( r )d r
3
∂V
für jedes Kontrollvolumen V
V
Oberflächenladungsdichte:
σ ( r ) = lim
ΔA → 0
Q ( ΔA ( r ) )
ΔA ( r )
Oberflächenladungsverteilung:
∫ Dda = Q(S ∩ V ) = ∫ σ ( r )da
∂V
für jedes Kontrollvolumen V , das die
S ∩V
Fläche S schneidet.
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Influenz:
Leiter:
Leiter sind Äquipotentialflächen (bzw. Gebiete) wegen dielektrischer Abschirmung der Raumladung.
Î feldfrei E = 0
D=0
Wird der neutrale Leiter einem äußeren E-Feld ausgesetzt, so wird eine Oberflächenladung
Somit gilt:
σ
induziert.
E = 0 (Im inneren des Leiters)
E ⊥ Leiteroberfläche (von Außen)
D⋅N =σ
auf der Leiteroberfläche im Limes von Außen
Kapazität:
L2
L1
L2
ε
∫ Edr
L1
E
+Q
U12 = Φ1 − Φ 2 =
−Q
Φ1
Q=
∫ Dda
(mit Kontrollvolumen, so dass L1 ⊆ V )
∂V
Φ2
C :=
Q
U12
ÎC=
∫ ε ⋅ Eda
C = f ( ε , geometrie )
∂V
L2
∫ Edr
L1
Plattenkondensator:
C =ε⋅
A Q
=
d U
E=
U
d
σ =D=
Q
A
Kugelkondensator:
C = ε ⋅ 4π ⋅
ab
b−a
a
Radius innere Kugel
b
Radius äussere Kugel
Kondensatoraggregate:
Parallele Dielektrika
E = const.
Serielle Dielektrika
N
D = const.
N
C p = ∑ Ci
1
1
=∑
CS i =1 Ci
Das Gesetz für die Parallelschaltung von
Kondensatoren gilt auch für parallelgeschichtete
Dielektrika.
Das Gesetz für die Reihenschaltung von
Kondensatoren gilt auch für seriellgeschichtete
Dielektrika.
i =1
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Stand: 05.02.2004
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Elektrostatische Feldenergie:
Energie in aufgeladenem Kondensator:
Wel =
Q2 1
1
= CU 2 = UQ
2C 2
2
Energiedichte des E-Feldes:
wel =
Wel 1
1
1 2
= E D = ε E2 =
D
2
2
2ε
V
allg.: wel =
1
E⋅D
2
Stationäre Ströme:
Stromstärke:
I ( A) = lim
Δt → 0
ΔQ ( A) dQ ( A)
=
Δt
dt
Stromdichte:
I ( A) = ∫ jda
A
jα = ρα ⋅ vα = qα ⋅ nα ⋅ vα
k : verschiedene Spezies von Ladungsträgern
k
k
α =1
α =1
j (r , t ) = ∑ jα (r , t ) = ∑ qα ⋅ nα (r , t ) ⋅ vα (r , t )
qα : Ladung pro Träger
nα : Trägerdichte der Spezies α
vα : Driftgeschwindigkeit der Spezies α
Stationär :
k
k
k
α =1
α =1
j (r ) = ∑ jα (r ) = ∑ qα ⋅ nα (r ) ⋅ vα (r )
ρ (r ) = ∑ qα ⋅ nα (r )
α =1
Ladungstransport im elektrischen Feld:
Transport ohne Stoßprozesse:
1
m ( v22 − v12 ) = q ⋅ U12
2
Transport mit Stoßprozessen:
Mittlere Driftgeschwindigkeit:
Für Spezies α = 1...k
vα ( E ) = sgn(qα ) ⋅ μα ⋅ E
τα
mα *
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μ=
qα ⋅τ α
mα *
mittlere Stoßzeit
effektive Masse der Träger
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Ohmsches Gesetz:
I = G ⋅U12
k
j = ∑ qα ⋅ nα ⋅ μα ⋅ E
elektrischer Leitwert
α =1
G =σ ⋅
k
σ = ∑ qα ⋅ nα ⋅ μα
A
l
α =1
U12 = R ⋅ I
⇒ j =σ ⋅E
elektrischer Widerstand
(lokale Form)
R=
1
G
R=
1 l
l
⋅ = ρ⋅
σ A
A
Elementare Schaltungen aus Widerständen:
Parallelschaltung
Reihenschaltung
N
RS = ∑ Ri
N
1
1
=∑
RP k =1 Rk
i =1
N
GP = ∑ Gk
k =1
Elektrische Netzwerke aus galvanisch gekoppelten Gleichstromkreisen:
Spannungsquelle
Stromquelle
Ri
Ik
I
Ii
U0
Uk
RL
I0
U k = U 0 − Ri ⋅ I k
U k = U 0 − Ri ⋅ I k
U0
Ri
mit U 0 = Ri ⋅ I 0
I max =
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Ri
Uk
RL
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Elektrische Leistung und Energieübertragung:
Pel = qi ⋅ vi ⋅ E
Leistungsumsatz pro 1 Träger der Spezies i:
pel = j ⋅ E
Elektrische Leistungsdichte:
(Verlust-) Leistungsdichte bei ohmscher Driftbewegung: pel = σ ⋅ E
Verlustleistung am ohmschen Widerstand:
Pel = U ⋅ I = R ⋅ I 2 =
2
=
1 2
⋅U
R
1
σ
2
⋅ j = ρ⋅ j
2
dim ( Pel ) = VA = W (att)
Elektrische Energieübertragungsstrecke:
UV = U E − RL ⋅ I
Übertragungswirkungsgrad: η
= 1 − RL ⋅
PE
U E2
Magnetostatik:
Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld:
Lorentzkraft:
(
FL = q ⋅ v × B
)
Elektromagnetische Kraft (genügt Superpositionsprinzip):
Leistung im B-Feld: Pmag = 0
(
Fem = q ⋅ E + v × B
)
⇒ v = const.
Bewegung im homogenen Magnetfeld:
v = const.
⇒ Schraubenlinie mit Radius R =
Gyrationsfrequenz: Ω =
q⋅B
m
Kraft auf kontinuierlicher Stromverteilung (N verschiedene Spezies Ladungsträger):
v⊥
Ω
Ω = 2π f
fL ( r ) = j ( r ) × B ( r )
Kraft & Drehmoment auf stromführende Leiter:
FLeiter =
∫ j (r )× B (r ) d r
3
Leiter
Linienförmige Leiter (Drähte):
FDraht = − I ⋅ ∫ B ( r ') × dr '
C
Drehmoment auf Leiterschleife:
M = ( r − r0 ) × F
M = r − r0 ⋅ F ⋅ sin α
Drehmoment auf beliebig geformte Ebene Leiterschleife mit eingeschlossener Fläche A:
M = I ⋅ A (ϕ ) × B
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A = 2R × b
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Magnetisches Moment:
μ = μ0 ⋅ μr
m = μ⋅I ⋅A
magnetische Permeabilität
κ = μ r -1 magnetische Suszeptibilität
magnetische Feldstärke: H =
B
μ
Î M = m× H
m
magnetisches Moment
M
Magnetisierung
V
Volumen
Permanentmagnete:
Ringströme tragen gleichorientierte magnetische Momente bei. Im Inneren heben sich die Ringströme auf.
Magnetisierung: M = n ⋅ m0
(
)
Drehmoment auf Dauermagnet: M = V M × H = m × H
m = M ⋅V
Quellenfreiheit des B-Feldes:
Es gibt keine magnetischen Monopole! Î Keine magnetischen Ladungen!
Divergenzsatz:
∫ Bda = 0
∂V
Erzeugung magnetischer Felder:
Amperesches Durchflutungsgesetz:
∫ Bdr = μ ⋅ I ( A)
∂A
μ = μr ⋅ μ0
Magnetische Feldstärke:
B = μ⋅H
Magnetisierbare Materie:
∫ Hdr = I ( A)
∂A
Allgemeine Form des Durchflutungsgesetzes:
∫ Hdr = ∫ jda
∂A
A
Materialgesetz:
Analogie Elektrostatik – Magnetostatik:
elektr. Kraft ⎧⎪ E ⎫⎪ material abhängige
⎧ruhende ⎫
Kraft auf ⎨
⎬ Probeladung ⇒
⎨ ⎬
Größen
Lorentzkraft ⎩⎪ B ⎭⎪
⎩bewegte ⎭
nur von
⎧Ladungsverteilung σ ⎫ Gauß
⎪⎧ D ⎪⎫
Wirkung von ⎨
⇒⎨ ⎬
⎬
⎩Stromverteilung j
⎭ Ampere ⎩⎪ H ⎭⎪ Quelle abhängig
D =ε ⋅E
B = μ⋅H
⎪⎧ D ⎪⎫
⎧Q ⎫
∫∫ ⎨⎪ B ⎬⎪da = ⎨⎩0 ⎬⎭
⎩ ⎭
⎧0 ⎫
⎪⎧ E ⎪⎫
dr
=
⎨
⎬
⎨
∫ ⎪ H ⎪ ⎩ I ⎬⎭
⎩ ⎭
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Klassifikationen:
μ r < 1 ⇒ κ < 0, aber κ
Diamagnetismus
1
Durch Induktion atomarer Ringströme (Feld nötig!)
μ r > 1 ⇒ κ > 0, aber κ
Paramagnetismus
1
Orientierung vorhandener atomarer magnetischer Dipole (Feld nötig!)
μr
Ferromagnetismus
1 ⇒ κ
1
Bildung magnetischer Domänen (Weißsche Bezirke) auch ohne äußeres Feld
Hysteresekurve:
B
Br
−Hc
Br
Remanenz
Hc
Koerzitivkraft
H
Hc
− Br
Magnetisch weiche Werkstoffe
H c , Br klein Î leicht ummagnetisierbar
Magnetisch harte Werkstoffe
H c , Br groß Î schwer ummagnetisierbar
Berechnung magnetischer Felder und Kräfte aus einer Stromverteilung:
Amperesches Gesetz:
∫ Hdr = ∫∫ jda
∂A
A
I
Unendlich langer gerader Draht
H=
Kräfte zwischen zwei parallelen
geraden Drähten
dF12
μ ⋅ I1 ⋅ I 2
=−
⋅ e12
ds
2π a
2π r
⋅ eϕ
Feldberechnung mit Hilfe der Biot-Savartschen Gesetze:
Ist Folge von
∫ Bda = 0 und ∫ Hdr = I :
∂V
H (r ) =
1
4π
∫
V
∂A
j ( r ') × ( r − r ')
r −r '
3
d 3 r ' = ∫ dH ( r , r ')
V
Bei linienförmigen Stromleitern:
I
H (r ) =
4π
∫
C
ds × ( r − s )
r −s
3
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I
=
4π
λ1
∫
λ0
ds
× ( r − s (λ ))
dλ
dλ
3
r − s (λ )
Stand: 05.02.2004
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Magnetische Kreise:
Magnetisierbarer Kern mit Luftspalt:
B − Feld stetig!
H − Feld springt! (Im Spalt sehr groß!)
A
Kernquerschnitt
lk
Kernlänge
μk
ls
Spaltbreite
μs ≈ 1
1
Magnetfeld bur im Kern und Spalt ungleich Null. Î Keine Streufelder auserhlab; innerhalb Kern und
Spalt homogenes Feld.
Bs = Bk = B
Î
Hs
Hk
B = μk ⋅ μ0 ⋅ H k
=
μk
⇒ Hs
μs
B=
Hk
Rm = Rmk + Rms =
B = μ s ⋅ μ0 ⋅ H s
w ⋅ I ⋅ μ0
lk
l
+ s
μk
lk
+
μs
ls
μ0 ⋅ μ k ⋅ A μ0 ⋅ μ s ⋅ A
Allgemeiner magnetischer Kreis:
Analogie elektrischer / magnetischer Stromkreis:
Elektrischer Kreis
∫
jda = 0
KNOTENREGEL
∂V
Def.:
Magnetischer Kreis
∫ jda = I ( A)
Def.: ∫ Bda = Φ ( A )
A
∫
Ik =
∫ Bda = 0
∂V
A
∫ Bda
Φk =
jda
Ak
∑I
Ak
∑Φ
=0
k
k
k
=0
k
∫
Edr = U e
Masche
MASCHENREGEL
∫
Hdr = I ⋅ w
Masche
K2
K2
∫
Def.:
Edr = U
Def.:
U lk =
Kk
∫
∑
m
Vm / lk =
Edr
Kk
∫ Hdr
Kl
Kl
k∈Masche
∫ Hdr = V
K1
K1
∑
U lk = ∑ U e, j
k∈Masche
j
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Stand: 05.02.2004
Vm / lk = ∑ I j ⋅ w j
j
10/15
j =σ ⋅E
1
I=
⋅U
Rel
B = μ⋅H
LINEARES
φ=
WIDERSTANDSGESETZ
U = Rel ⋅ I
1
⋅ Vm
Rm
Vm = Rm ⋅ Φ
j
B
U
Vm
E
H
Rel
Rm
σ
μ
Ue
I ⋅w
I
Φ
Rm =
Rmj =
Vm
Φ
lj
μ0 ⋅ μ j ⋅ Aj
Induzierte elektrische Felder und Spannungen:
(
FL = q V × B
Eind =
)
(
FL
= V ×B
q
)
Bewegte Leiterschleife:
U ind = −
d Φ ( A)
dt
Allgemein gültige Darstellung:
U ind =
⎛
⎞
⎝At
⎠
d
∫ (V × B )dr = − dt ⎜⎜ ∫ Bda ⎟⎟
() ()
()
∂A t = C t
ACHTUNG: Nicht jede Bewegungsinduktion lässt sich gemäß U ind = −
d
dt
∫ B ( r )da beschreiben! (Z.B.:
A( t )
UnipolarMaschinen)
Galvanomagnetismus (Hall-Effekt):
In leitfähigem, ruhendem Medium bewegen sich freie Ladungsträger (Ladung q , Geschwindigkeit v )
(
)
unter Einfluss von Magnetfeld B Î Lorentzkraft: FL = q ⋅ v × B Î „elektromotorische Kraft“
EH = v × B (zusätzliches E-Feld, Hall-Feld)
heuristisches Modell für Stromtransport:
U H = RH ⋅ I ⋅ B ⋅
d
A
σ = q ⋅ n ⋅ μel
(
)
(
j = σ ⋅ E + EH = σ ⋅ E + RH ⋅ j × B
für μel* ⋅ B
Hallsonde:
Hallspannung:
j = σ ⋅v
(
)
1:
j = σ ⋅ E + μel* ⋅ B × E
)
μel* = α ⋅ μel
1
(Hall-Konstante)
q⋅n
Stand: 05.02.2004
RH ≈
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11/15
Ruheinduktion:
U ind = −
d Φ ( A)
dt
∂B
( r , t ) da
∂
t
A
U ind = − ∫
Leiterschleife C = ∂A zeitlich unveränderlich!!
Allgemeine Form des Induktionsgesetzes:
Leiterschleife C ( t ) und Magnetfeld
U ind =
B ( r , t ) zeitlich veränderlich!!!
∂B
( r , t ) da
∂t
A( t )
∫ (V ( r , t ) × B ( r `, t ) ) dr − ∫
∂A( t )
U ind = −
d Φ ( A(t ))
dt
=−
d
dt
∫ B ( r , t )da
A( t )
Maxwellsche Hypothese: U ind wird generiert von induzierter "eingeprägter" Feldstärke Eind ( r , t )
U ind =
∫
∂A( t )
Eind ( r , t )dr = −
d
dt
∫ B ( r , t )da
A( t )
Induktivität:
I
Spule als Generator:
dΦ
dΨ
=−
dt
dt
Ψ ( t ) = w ⋅ Φ ( t ) verketteter Kraftfluss
U ind
RL
U ind = − w ⋅
G
Spule als Verbraucher:
U (t ) = w ⋅
L
dΦ
dI
dI
= w⋅ A⋅c ⋅ = L ⋅
dt
dt
dt
I
∼
U
L
Eigeninduktivität
Flußberechnung bei magnetsich gekoppelten Stromkreisen:
Ψ (t ) = L ⋅ I (t )
N
Ψ i ( t ) = ∑ Lij ⋅ I j ( t )
j =1
Lij =
wi ⋅ μi
4π
∫∫
Ai C j
drj × ( ri − rj )
ri − rj
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3
dai
L
Induktionsmatrix
Lii
Selbstinduktion
Lij
Gegeninduktion ( i ≠ j )
Stand: 05.02.2004
Lij = L ji
12/15
Ii ( t )
Transformator:
N
dI j ( t )
j =1
dt
U i ( t ) = Ri ⋅ I i ( t ) + ∑
⎛ R1
⎜
U (t ) = ⎜
⎜0
⎝
R2
Ui (t ) ~
Ri
Ui
Lij U ind ,i
0⎞
dI ( t )
⎟
⎟ I ( t ) + L ⋅ dt
R3 ⎟⎠
Spezialfall (N=2): Primär & Sekundärspule; kein Innenwiderstand;
U1 ( t ) = L11 ⋅ I1 ( t ) + L12 ⋅ I 2 ( t )
Spannungsübersetzung :
U2
M
|I 2 = 0 =
U1
L1
U 2 ( t ) = L21 ⋅ I1 ( t ) + L22 ⋅ I 2 ( t )
Stromübersetzung :
−I2
M
|U 2 =0 =
I1
L2
L11 = L1 ; L22 = L2 ; L12 = L21 = M
⎧< ⎫
L1 , L2 > 0; M ⎨ ⎬ 0
⎩> ⎭
Kopplungsfaktor :
K = Spannungsübers.* Stromübers. =
Magnetische Feldenergie:
I
Energie einer Stromdurchflossenen Spule:
Wmag = ∫ LI ' dI ' =
0
1 2
LI
2
Ψ = L ⋅ I = w⋅Φ
Bei N induktiv gekoppelten Spulen gilt:
Ψ = L⋅ I
⇒ Wmag
1
1 N
Wmag = ⋅ I T ⋅ L ⋅ I = ⋅ ∑ I i ⋅ Lij ⋅ I j
2
2 i , j =1
⎧ 1 LI 2 ⎫
⎪ 2
⎪
⎪1
⎪
= ⎨ ΨI ⎬
2
⎪
⎪
2
⎪⎩ 1 2 L Ψ ⎪⎭
N = 2:
⇒ Wmag =
1
1
1
L1 I12 + L2 I 2 2 + MI1 I 2
2
2
2
Energiedichte des Magnetfeldes (Spule&Kern):
1
H ⋅ B ⋅V
2
V = A ⋅ lK Volumen des Kerns
Wmag =
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Wmag
1
H ⋅B
V
2
falls B = μ ⋅ H ∧ μ = const.
wmag =
=
⎧μ 2 ⎫
⎪2 H ⎪
⎪
⎪
⎪ 1 2 ⎪
B ⎬
⇒ wmag = ⎨
μ
2
⎪
⎪
⎪1
⎪
⎪ H ⋅ B⎪
⎩2
⎭
Stand: 05.02.2004
13/15
M
L1 ⋅ L2
Elemente des Wechselstromkreises:
Wechselspannungsgenerator:
ϕ ( t ) = ωt + ϕ0
2π
dϕ
= 2π f = ω =
T
dt
Spannungs- & Stromverläufe:
u ( t ) = u ( t + k ⋅ T ) ∀k ∈
Zeigerdiagramm:
⎛ cos ϕu ⎞
u ( t ) = Uˆ ⋅ sin (ωt + ϕu ) ⇒ Uˆ = Uˆ ⋅ ⎜
⎟
⎝ sin ϕu ⎠
⎛ cos ϕi ⎞
i ( t ) = Iˆ ⋅ sin (ωt + ϕi ) ⇒ Iˆ = Iˆ ⋅ ⎜
⎟
⎝ sin ϕi ⎠
Ohmscher Widerstand:
Uˆ ⋅ sin (ωt + ϕu ) = R ⋅ Iˆ ⋅ sin (ωt + ϕi )
⇒ Uˆ = R ⋅ Iˆ ∧ Δϕ = ϕu − ϕi = 0 mod 2π
U = R⋅ I
Kapazität :
Induktivität :
π⎞
⎛
Uˆ ⋅ sin (ωt + ϕu ) = L ⋅ ω ⋅ Iˆ ⋅ sin ⎜ ωt + ϕi + ⎟
2⎠
⎝
π⎞
⎛
C ⋅ ω ⋅ Uˆ ⋅ sin ⎜ ωt + ϕu + ⎟ = Iˆ ⋅ sin (ωt + ϕi )
2⎠
⎝
π
⇒ Uˆ = ϖ L ⋅ Iˆ ∧ Δϕ = ϕu − ϕi =
2
π
⇒ Iˆ = ϖ C ⋅ Uˆ ∧ Δϕ = ϕu − ϕi = −
2
⎛π ⎞
Uˆ = ϖ L ⋅ D ⎜ ⎟ ⋅ Iˆ
⎝2⎠
1
⎛ π⎞
Uˆ =
D ⎜ − ⎟ ⋅ Iˆ
ϖC ⎝ 2 ⎠
⎛π ⎞
ϖ L ⋅ D ⎜ ⎟ Blindwiderstand/Reaktanz
2
1
⎛ π⎞
D⎜− ⎟
ϖC ⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
Blindwiderstand/Reaktanz
Wechselstromzeigerdiagramm in komplexer Darstellung:
Spannungs- & Stromzeiger: Uˆ = Uˆ ⋅ e jϕu
Iˆ = Iˆ ⋅ e jϕi
Momentanwerte:
j ωt +ϕ
U ( t ) = Uˆ ⋅ e jωt = Uˆ ⋅ e ( u )
j ωt +ϕ
I ( t ) = Iˆ ⋅ e jωt = Iˆ ⋅ e ( i )
Copyright by ~Gesus~
Stand: 05.02.2004
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Wechselstromelemente:
Widerstand: Z = R + jX
Widerstand
Induktivität
Kapazität
Leitwert: Y = G + jB =
Z
Y
Z
R
1
R
R
X L = jϖ L
XC = − j
1
ϖC
BL = − j
1
ϖL
BC = jϖ C
1
Z
ϖL
1
ϖC
⎧
⎫
⎛ Im ⎞
⎪arctan ⎜ Re ⎟ Re > 0
⎪
⎪
⎝
⎠
⎪
ϕ =⎨
⎬
⎪π + arctan ⎛ Im ⎞ Re < 0 ⎪
⎜
⎟
⎪⎩
⎪⎭
⎝ Re ⎠
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