Elektrostatik, Wellengleichung - ETHZ / Photonics

Elektromagnetische Felder & Wellen
Frühjahrssemester 2017
Photonics Laboratory, ETH Zürich
www.photonics.ethz.ch
Übung 3
Abgabe: 17.03. bzw. 21.03.2017
Elektrostatik, Wellengleichung
1
Eine elektrostatische Falle für geladene Partikel?
(35 Pkt.)
Ist es möglich, Ladungen in einer statischen Anordnung so zu positionieren, dass eine bewegliche
Testladung in einem Potentialmininum eingefangen wird?
(a) (3 Pkt.) Bestimmen Sie aus der Lorentzkraft die potentielle Energie einer Testladung Q in
einem elektrostatischen Potential φ.
Eine guter Vorschlag für eine Falle für ein geladenes Teilche wäre eine Kugelschale mit einer
endlichen, homogen verteilten Nettoladung mit gleichem Vorzeichen wie die Testladung. Wir
betrachten darum eine mit der Ladungsdichte ρ0 homogen geladene Kugelschale mit Innenradius
R1 und Aussenradius R2 . Die ortsabhängige Ladungsdichte lautet somit
ρ(r) = ρ0 θ(R2 − r)θ(r − R1 ).
(1)
Die Gesamtladung auf der Kugelschale sei Q und für das Potential gelte asymptotisch φ(r → ∞) = 0.
(b) (2 Pkt.) Bestimmen Sie die Ladungsdichte ρ0 .
(c) (5 Pkt.) Bestimmen Sie das Potential φ(r) ausserhalb der Kugelschale (r > R2 ).
Hinweis: Bedenken Sie stets die Symmetrie des Problems. In welche Richtung kann das
elektrische Feld lediglich zeigen?
(d) (5 Pkt.) Bestimmen Sie das Potential φ(r) in der Kugelschale selbst (R1 < r < R2 ).
(e) (5 Pkt.) Bestimmen Sie das Potential φ(r) im Innenraum der Kugelschale (r < R1 ).
(f) (5 Pkt.) Erstellen Sie einen dimensionslosen Graphen des Potentials φ(r) für den Fall R2 = 2R1
im Bereich r = 0 . . . 5R1 . Tragen Sie hierzu auf der Abszisse r/R1 auf. Normieren Sie die
Ordinate geeignet, indem Sie das Potential in Einheiten von Q/(4πε0 R1 ) auftragen.
(g) (3 Pkt.) Interpretieren Sie Ihren Graphen aus der vorhergehenden Teilaufgabe. Ist die
homogen geladene Kugelschale als Falle für geladene Partikel brauchbar?
(h) (7 Pkt.) Argumentieren Sie, warum es keine statische Ladungsanordnung geben kann, die ein
stabiles Potential erzeugt.
Hinweis: Bedenken Sie, welche Gleichung das elektrostatische Potential im quellfreien Gebiet
erfüllen muss.
1
2
Die einfachste sphärische Welle (55 Pkt.)
In der Vorlesung haben wir die homogene Wellengleichung in kartesischen Koordinaten gelöst
und ebene Wellen als Basis von Lösungen gefunden. Natürlich sind aufgrund der Linearität der
Maxwell’schen Gleichungen auch Superpositionen ebener Wellen Lösungen der Wellengleichung.
In Problemen mit sphärischer Symmetrie bietet es sich an, als Basisfunktionen sphärische Wellen
zu benutzen, die wir uns als geeignete Superpositionen ebener Wellen vorstellen können. In dieser
Aufgabe befassen wir uns mit der einfachsten sphärischen Welle mit dem elektrischen Feld
E(r, θ, φ, t) = A
sin θ cos(kr − ωt) − (kr)−1 sin(kr − ωt) nφ .
r
(2)
Wir nutzen die Gelegenheit, um uns mit den gängigen Differentialoperatoren in einem sphärischen
Koordinatensystem vertraut zu machen.
(a) (3 Pkt.) Zeigen Sie, dass die Flächen konstanter Phase Kugeln sind.
(b) (7 Pkt.) Bestimmen Sie die Divergenz von E(r, θ, φ, t) durch explizite Rechnung. Welches
Ergebnis erwarten Sie nach den Maxwell-Gleichungen?
Hinweis: Schlagen Sie die explizite Form des Divergenzoperators in sphärischen Koordinaten
falls nötig nach.
(c) (6 Pkt.) Formulieren Sie das zu E(r, θ, φ, t) gehörige komplexe Feld.
(d) (12 Pkt.) Zeigen Sie durch explizite Rechnung, dass Ihr komplexes Feld E(r, θ, φ) die quellfreie
Helmholtzgleichung erfüllt.
Hinweis: Konsultieren Sie ein geeignetes Nachschlagewerk, um den vektoriellen LaplaceOperator in sphärischen Koordinaten herauszufinden. Alternativ können Sie sich dank der
Identität ∇ × ∇ × A = ∇(∇ · A) − ∇2 A und Ihrem Ergebnis aus Teilaufgabe (b) mit dem
Rotationsoperator in Kugelkoordinaten behelfen.
(e) (10 Pkt.) Verwenden Sie eine geeignete Maxwell-Gleichung, um das zu E(r, θ, φ) gehörige
komplexe Magnetfeld B(r, θ, φ) zu berechnen.
(f) (8 Pkt.) Vergewissern Sie sich, dass die Felder E weit weg von der im Ursprung gelegenen
Quelle transversal sind, also lokal wie ebene Wellen erscheinen.
Hinweis: Betrachten Sie die am langsamsten abfallenden Terme der Felder.
(g) (6 Pkt.) Bestimmen Sie die abgestrahlte Leistung des Feldes, indem Sie die Intensität über
eine geeignet gewählte geschlossene Oberfläche integrieren.
Rπ
Hinweis: Das Integral 0 sin3 θ = 4/3 sollte hilfreich sein.
(h) (3 Pkt.) Bestätigen Sie, dass Ihr Ausdruck für die Leistung die korrekten Einheiten trägt.
2
3
Elektromagnetischer Puls (10 Pkt.)
Wir betrachten einen elektromagnetischen Puls im Vakuum, der in der Ebene z = 0 den folgenden
zeitlichen Verlauf hat
2 /t2
0
E(z = 0, t) = E0 e−t
.
(3)
Hier sei E0 ein konstanter, reeller Amplitudenvektor.
(a) (3 Punkte) Wie lautet das reelle orts- und zeitabhängige Feld E(z, t) für einen in positive
z-Richtung propagierenden Puls?
(b) (5 Punkte) Überprüfen Sie durch explizite Rechnung, ob Ihr Feld E(z, t) aus der vorherigen
Teilaufgabe die Wellengleichung erfüllt.
(c) (2 Punkte) Was muss laut den Maxwell’schen Gleichungen für die Divergenz des elektrischen
Feldes in unserem Fall (quellfreier Raum) gelten? Welche Bedingung muss Ihr Feld E(z, t)
gelten, um die Maxwell’schen Gleichungen zu erfüllen.
Hinweis: Gesucht ist eine Relation zwischen dem Amplitudenvektor E0 und der Ausbreitungsrichtung nz .
3