Uebungsblatt_4_Musterloesung

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EXPERIMENTALPHYSIK I - 4. Übungsblatt
VII. Die mechanischen Energieformen potentielle - und kinetische Energie
In konservativen mechanischen Systemen gilt der Energieerhaltungssatz der mechanischen
Gesamtenergie
Dabei ist Ekin die kinetische Energie eines Körpers der Masse m, der sich mit der Geschwindigkeit
v bewegt. Epot ist die potentielle Energie (auch Lageenergie genannt), die der Körper im
Schwerefeld der Erde in einer Höhe h besitzt.
Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben empfiehlt sich ein Studium der folgenden
Literatur:
"Physik" von C.Gerthsen, H.O.Kneser und HVogel, Seiten 15-30
Springer-Verlag, Berlin – Heidelberg, 16. Auflage
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Aufgaben
a) Eine Kugel der Masse m = 4 kg falle aus einer Höhe von h = 5 m. Wie groß ist (i) die
Endgeschwindigkeit der Kugel beim Aufprall? Ist die Endgeschwindigkeit (ii) abhängig von der
Masse des fallenden Körpers? Wie hoch (iii) springt die Kugel nach dem Aufprall, wenn 10% der
Energie der Kugel während des Stoßes in Wärmeenergie umgewandelt werden und damit verloren
gehen? Die Luftreibung spiele in dieser Aufgabe keine Rolle.
VIII. Elastische und inelastische Stöße in einer Dimension
Es gilt der Impulserhaltungssatz
(1).
Bei elastischen Stößen sind die mechanischen Energien vor und nach dem Stoß gleich. Wenn
sich die innere potentielle Energie des Systems dabei nicht ändert, dann sind auch die kinetische
Anfangs- und Endenergie gleich, d.h. es gilt
(2).
Stellt man (1) um, so ergibt sich
(3);
stellt man (2) um, so ergibt sich
(4).
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Teilt man Gleichung (4) durch Gleichung (3), dann ergibt sich
.
Nach einem vollständig inelastischen Stoß zwischen zwei Körpern sind die sich ergebenden
Endgeschwindigkeiten gleich. Damit ergibt sich für den Impulssatz
.
Vor dem inelastischen Stoß gilt für die kinetischen Energien
; i = 1,2. Nach
dem Stoß bewegen sich die beiden Körper wie ein einziger mit der Masse m1 + m2. Für die
kinetische Energie gilt also
Stoß ruht ergibt sich
. Für den speziellen Fall daß m2 vor dem
.
Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben empfiehlt sich ein Studium der folgenden Literatur:
vgl. "IX. Die mechanischen ..."
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Aufgaben
b) Ein Körper mit einer Masse von m1 = 4 kg stoße elastisch auf einen zweiten Körper mit der
Masse m2 = 2 kg. Beide Körper bewegen sich in die gleiche Richtung, allerdings mit
unterschiedlichen Geschwindigkeiten (v1a = 6 m/s, v2a = 3 m/s). Bestimmen Sie die
Geschwindigkeiten v1e und v2e, die die Körper nach dem Stoß besitzen.
c) Eine Gewehrkugel der Masse m1 treffe mit einer Anfangsgeschwindigkeit v1a auf einen Holzklotz
der Masse m2. Der Holzklotz ist als Pendel aufgehängt, so daß das System Kugel + Holzklotz bis
zur Höhe h ausgelenkt wird (ballistisches Pendel). Vergleichen Sie dazu die folgende Abbildung.
Bestimmen Sie aus der Höhe h die Anfangsgeschwindigkeit der Gewehrkugel.
IX. Transferaufgabe – Klausurvorbereitung III
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Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben benötigen Sie nur Ihre Vorlesungsmitschrift.
Die Werte der benötigten Naturkonstanten entnehmen Sie bitte der Literatur.
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Gegeben ist eine, in der obigen Abbildung skizzierte, schiefe Ebene (b = 245,45 m, c = 1 m, a =
45°). Zur Zeit t = 0 s befindet sich eine, auf einer Halterung H ruhende, punktförmige Masse mi an
der Position
. Diese Masse wird zur Zeit t = 0 s von einem punktförmigen
Stößel der Masse mS angestoßen. Vor dem Stoß hat der Stößel die Geschwindigkeit
. Nach dem Stoß hat er die Geschwindigkeit
. Durch
den Stoß gleitet die Masse entlang der gestrichelten Linie die Ebene herunter und erreicht nach der
Zeit t = t den Punkt
.
In der unteren Tabelle sind Meßwerte für drei verschiedenen Massen mi (i = 1, 2, 3)
zusammengestellt.
Bei allen drei Messungen wurde die Stößelgeschwindigkeit vor dem Stoß konstant gehalten.
Reibung jeglicher Art soll bei diesem Experiment keine Rolle spielen.
Aufgaben
a) Berechnen Sie
,
den Weg bis zum Punkt
b) Berechnen Sie nun
,
und bi, und berechnen Sie die Zeit t, die eine Masse mi für
benötigt!
für jede Messung, und bestimmen Sie damit die Masse mS des Stößels!
c) Was geschieht, wenn der gesamte Aufbau während der Durchführung der Experimente i) mit der
konstanten Geschwindigkeit
bewegt wird bzw. ii) mit der konstanten
Beschleunigung
beschleunigt wird?
Tabelle der Meßwerte
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i=1
i=2
i=3
mi
1,167 g
2,833 g
9,500 g
Pi
3 cm
1,5 cm
0,5 cm
Musterlösungen
a) Bis zum Aufprall handelt es sich bei einer fallenden Kugel, wenn keine Reibung auftritt, um ein
konservatives mechanisches System, d.h. die mechanische Gesamtenergie des Systems bleibt
erhalten, und es gilt
.
Zur Zeit t = 0 s befindet sich die Kugel in einer Höhe h = 5 m in Ruhe (v = 0), d.h.
.
Durch den Aufprall wird die Kugel wieder gestoppt (es gilt also wieder v = 0). Da die
Gesamtenergie erhalten bleibt, ergibt sich für den Aufprall
.
Beim Aufprall hat die Kugel also eine Geschwindigkeit von 9,9 m/s. Wäre der Aufprall vollständig
elastisch, würde die Kugel wieder auf die gleiche Höhe h = 5 m springen. Da es sich aber nur um
einen unvollständig elastischen Vorgang handelt, gelangt die Kugel nur auf die Höhe
,
dabei bedeutet Eges,90% 90% der Gesamtenergie Eges = 196,2 J.
b) Es gilt der Impulserhaltungssatz
.
Da bei elastischen Stößen auch der Satz von der Erhaltung der mechanischen Gesamtenergie gilt,
erhält man aus Impuls- und Energiesatz die Nebenbedinung
oder
.
Damit erhält man nun
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,
bzw.
.
c) Da der Holzklotz sich vor dem Zusammenstoß mit der Gewehrkugel nicht bewegt, gilt, da es
sich um einen vollständig inelastischen Stoß handelt,
.
Nach dem Stoß gilt der Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie (wenn die Reibung
vernachlässigbar klein ist), und man erhält
.
Daraus folgt
oder
.
Transferaufgabe
Lösung
a) Für die Beschleunigung ergibt sich im gegebenen Koordinatensystem
mit ax = g×
sin(a)× cos(a) und ay = -g× sin2(a).
Damit folgt mit den Nebenbedingungen
und
und
.
Weiterhin gilt
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,
woraus folgt
.
Damit ergibt sich nun v0,y,i× t = Pi (i = 1, 2, 3) bzw. v0,y,1 = 0,3 cm× s-1, v0,y,2 = 0,15 cm× s-1
und v0,y,3 = 0,05 cm× s-1.
Die Winkel bi erhält man mit Hilfe des Skalarproduktes der beiden Vektoren
:
und
. Damit ergibt sich für alle Winkel nahezu bi =
0° (i = 1, 2, 3).
b) Für einen vollständig elastischen Stoß gilt:
v2e - v1a = -(v2a - v1e) und m2× (v2e - v2a) = m1× (v1a - v1e).
Damit folgt für das vorliegende Problem
v0,y,i - vvS = -vnS,i * und mi× v0,y,i = mS× (vvS + vnS,i) **.
Teilt man (**) für i = 1 durch (**) für i = 2 und setzt (*) ein, dann ergibt sich
.
Nach vvS aufgelöst erhält man
.
Damit ergeben sich nun: vnS,1 = 0,2 cm× s-1, vnS,2 = 0,35 cm× s-1, vnS,3 = 0,45 cm× s-1 und mS =
0,5 g.
c,i) Ruhende oder geradlinig gleichförmig bewegte Systeme stellen Inertialsysteme dar. Daher
unterscheiden sich die experimentellen Beobachtungen für den Fall der Bewegung des gesamten
Aufbaus mit einer konstanten Geschwindigkeit nicht von den Beobachtungen, die bei einem
ruhenden Aufbau gemacht werden.
c,ii) Wird der gesamte Aufbau in positiver x-Richtung konstant beschleunigt, tritt eine zusätzliche
Beschleunigung
auf, die in die entgegengesetzte Richtung von
zeigt. Damit ergeben sich nun
für eine der Massen mi die folgenden Fälle: 1.
, 2.
und 3.
. Im
ersten Fall rutscht die Masse wie im unbeschleunigten Fall auf einer parabelförmigen Bahn die
Ebene herunter. Allerdings benötigt sie dazu mehr Zeit, und der Punkt Pi wandert zu größeren
y-Werten. Im zweiten Fall wird die Masse überhaupt nicht beschleunigt, d.h. sie bewegt sich
geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit v0,y,i in positiver y-Richtung weiter. Im dritten Fall
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rutscht die Masse auf einer parabelförmigen Bahn die schiefe Ebene herauf.
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