Musterlösung des Übungsblattes 1 der Vorlesung ExpPhys I (ET

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EXPERIMENTALPHYSIK I - 1. Übungsblatt
I. Physikalische Größen und Einheiten
Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben schlagen Sie bitte in den Standard-Physik-Lehrbüchern
nach
(Gerthsen, Tipler, Bergmann-Schaefer, ...) .
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Aufgaben
a) Bestimmen Sie die Einheiten der folgenden physikalischen Größen bzw. Konstanten und
drücken Sie sie in SI-Einheiten aus: (i) Energie – E, (ii) Kraft – F, (iii) Impuls – p, (iv) Drehmoment
– M, (v) Drehimpuls – L, (vi) Plancksches Wirkungsquantum – h, (vii) Elementarladung – e, (viii)
Lichtgeschwindigkeit – c, (ix) Dielektrizitätskonstante des Vakuums – e0.
b) Führen Sie nun eine Dimensionsanalyse an den folgenden physikalischen Beziehungen durch (v
ist eine Geschwindigkeit, r ein Radius und n eine natürliche Zahl)
(i)
, (ii)
, (iii)
.
II. Kinematik - Geschwindigkeit und Beschleunigung
In der Physik wird die Geschwindigkeit
als eine Änderung des Weges mit der Zeit
verstanden. In der Sprache der Mathematik bedeutet dies:
.
Unter einer Beschleunigung
versteht man die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit
.
Mathematisch formuliert:
.
Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben empfiehlt sich ein Studium der folgenden
Literatur:
"Physik" von C.Gerthsen, H.O.Kneser und H.Vogel, Seiten 9-17
Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg, 16. Auflage
"Physik" von P.A.Tipler, Seiten 43-66
Spektrum - Akademischer Verlag, Heidelberg - Berlin, 1. Auflage
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Aufgaben
c) Ein Körper wird aus einer Höhe h fallengelassen, dabei soll nur die Erdanziehungskraft auf
diesen Körper wirken. Die Erdanziehungskraft bewirkt eine konstante Beschleunigung b(t) = -g =
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konst. des fallenden Körpers. Bestimmen Sie nun mit Hilfe einer Integration über die Zeit t das
Geschwindigkeit-Zeit- und das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falles.
d) Gegeben ist ein Pendel, das zur Zeit t = 0 bis zum Punkt x = A ausgelenkt und dann losgelassen
wird. Unter Vernachlässigung jeglicher Reibung schwingt nun das Pendel für alle Zeiten zwischen
den Punkten x = A und x = -A hin und her. Das Weg-Zeit-Gesetz lautet also: x(t) = A× cos(w× t),
mit w = 2× p/T (T ist die Periodendauer des Pendels). Wie lauten das Geschwindigkeits-Zeitund das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz? Stellen Sie alle drei Gesetze graphisch dar und
interpretieren Sie die sich ergebenden Graphen!
e) Ein Ball werde mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 50 m/s und einem Winkel von 37° zur
Horizontalen in die Luft geworfen. Wie lange ist der Ball in der Luft, und welche Entfernung hat er
in dieser Zeit in waagerechter Richtung zurückgelegt (g = 10 m/s2)? Welche maximale Höhe
erreicht der Ball und zu welcher Zeit erreicht er diese?
f) Der Ball aus Aufgabe (e) werde mit derselben Anfangsgeschwindigkeit abgeworfen, allerdings
jetzt von einem Felsen aus, der 55 m über der Ebene liegt. Wann und in welcher Entfernung schlägt
der Ball auf dem Boden auf?
g) Ein Jäger möchte mit einer Armbrust einen Affen erlegen, der am Ast eines Baumes hängt. Er
zielt genau auf den Affen. Als der Affe sieht, daß ein Pfeil auf ihn abgeschossen wird, läßt er sich in
der Hoffnung fallen, so dem Pfeil zu entgehen. Zeigen Sie, daß der Affe unabhängig von der
Anfangsgeschwindigkeit des Pfeils getroffen wird, solange die folgenden Voraussetzungen erfüllt
sind: Die Anfangsgeschwindigkeit des Pfeils ist so groß, daß er die Entfernung zum Baum
zurücklegt, bevor er auf die Erde fällt; der Affe läßt sich in dem Augenblick fallen, in dem der Pfeil
abgeschossen wird.
h) Ein Rettungsschwimmer befinde sich zur Zeit t = 0 im Punkt R. An welcher Stelle Xc muß er ins
Wasser (graue Fläche in der Abbildung) gehen, um in der
kürzesten Zeit zu dem ertrinkenden Schwimmer im Punkt S zu gelangen, wenn er sich stets nur
entlang gerader Wege bewegt? Gehen Sie bei Ihrer Rechnung von den folgenden Bedingungen aus:
Der horizontale Abstand zwischen den Punkten R und S sei b = 120 m, der vertikale Abstand
zwischen ihnen sei h = a1 + a2 = (57,7 + 32,4) m. Der Rettungsschwimmer erreicht auf sandigem
Boden eine konstante Geschwindigkeit v = 16 km/h, im Wasser bewegt er sich nur mit einer viertel
so großen aber ebenfalls konstanten Geschwindigkeit weiter.
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Zeigen Sie außerdem, das bei diesem Xc die folgende Beziehung erfüllt ist sin(Q 1) = 4× sin(Q2).
i) Eine Schwimmerin durchquere einen 80 m breiten Fluß mit der Geschwindigkeit von 1,6 m/s
relativ zum Wasser und senkrecht zu dessen Strömungsrichtung. Sie erreiche das
gegenüberliegende Ufer 40 m flußabwärts. i) Welche Geschwindigkeit hat der Fluß? ii) Welche
Geschwindigkeit hat die Schwimmerin relativ zum Ufer? iii) In welche Richtung müßte Sie
schwimmen, um direkt gegenüber anzukommen?
Musterlösungen
a) [E] = J = N × m = kg × m2 × s-2, [F] = N = kg × m × s-2, [p] = kg × m × s-1, [M] = N × m =
kg × m2 × s-2,
[L] = kg × m2 × s-1, [h] = J × s = N × m × s = kg × m2 × s-1, [e] = C = A × s, [c] = m × s-1, [e0]
= A2 × s2 × N-1 × m-2
b) Die Dimensionsanalysen ergeben, daß die Beziehungen (i) und (iii) dimensionsmäßig richtig sind,
Beziehung (ii) dimensionsmäßig falsch ist.
c)
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz: v(t) = -g× t + v0 = -g× t,
Weg-Zeit-Gesetz: x(t) = -1/2× g× t2 + v0× t + x0 = -1/2× g× t2 + h.
Man erhält diese beiden Gesetze durch zeitliche Integration der Ausgangsgleichung b(t) = -g (die
zeitliche Integration ist der mathematische Umkehrprozeß zur zeitlichen Differentiation). Die Werte
der sich ergebenden Integrationskonstanten sind durch die Randbedingungen des Problems
gegeben: v0 = 0 (Anfangsgeschwindigkeit zur Zeit t = 0) , x0 = h (Anfangshöhe zur Zeit t = 0).
d)
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz: v(t) = -A× w× sin(w× t),
Beschleunigungs-Zeit-Gesetz: b(t) = -A× w× w× cos(w× t).
Diese beiden Gesetze ergeben sich durch zeitliche Differentiation des gegebenen
Weg-Zeit-Gesetzes. Zur Interpretation soll folgende Tabelle dienen:
Zeit t
0
T/4
x(t)
A
v(t)
0
b(t) -Aw2
T/2 3T/4
T
0
-A
0
A
-Aw
0
Aw
0
0
Aw2
0
-Aw2
Zur Zeit t = 0 befindet sich das Pendel am Umkehrpunkt A, seine Geschwindigkeit ist Null und an
diesem Punkt wird das Pendel positiv beschleunigt, d.h. die Beschleunigungsrichtung ist gleich der
Bewegungsrichtung. Nach einer viertel Periode durchläuft das Pendel den Nullpunkt (hier ist die
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Geschwindigkeit maximal, die Beschleunigung aber Null). Auf Grund der Massenträgheit und der
Abwesenheit von Reibung erreicht das Pendel nach einer halben Periode den Umkehrpunkt A. Auf
dem Weg dahin erfährt das Pendel eine negative Beschleunigung, die am Punkt A ihr Maximum
erreicht (Vorzeichenwechsel). Die Geschwindigkeit ist wieder Null. Die zweite Periodenhälfte läuft
analog.
e) Für die Anfangsgeschwindigkeit ergibt sich
. Weiterhin gilt vx(t) = v0x = konst. und vy (t) = v0y -
g × t, da für die Beschleunigung gilt
, also
. Daraus ergibt sich weiter
. Die Flugzeit des Balles t ergibt sich aus
. Die Lösungen dieser quadratischen
Gleichung lauten t1 = 0 s und t2 = 6 s. Die Reichweite des Balles R ergibt sich nun aus
. Nach einer Flugzeit von 6 s trifft der Ball
wieder auf die Erdoberfläche. Dabei hat er einen horizontalen Weg von 239,4 m zurückgelegt. Da
die Flugbahn symmetrisch ist, erreicht der Ball seine maximale Höhe H nach 3 s und für H ergibt
sich H = y(3s) = 45,3 m.
f) Wird der Ball von einer erhöhten Position (55 m) aus geworfen, so ergibt sich nun für die
Flugzeit
. Die Lösungen dieser
quadratischen Gleichung lauten t1 = –1,5 s und t2 = 7,5 s. Der Ball benötigt nun 4,5 s, um von
seiner höchsten Position aus zur Erde zu gelangen (bei H ist v0y = 0, daraus folgt - mit –100,3m =
–1/2 × g × t2 – t = 4,5 s). Die Reichweite R ergibt sich wieder aus
.
g) Eine sehr schöne und illustrierte Lösung finden Sie in "Physik" von P. A. Tipler (Spektrum –
Akademischer Verlag, 1. Auflage) auf Seite 60.
h) Der Rettungsschwimmer legt in einer Zeit t(x) den Weg s(x) = sSand(x) + sWasser(x) zurück
(zunächst sei der Punkt x, bei dem er ins Wasser geht, beliebig). Die beiden Wegstücke sind dabei
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geradlinig. Somit ergibt sich aus der Skizze
und
. Mit
ergibt sich
und damit
, also
. Gesucht ist nun das xC, bei dem die benötigte
Zeit t(xC) ein Minimum unter allen anderen Zeiten t(x ¹ xC) ist. Mathematisch bedeutet dies
oder
.
Vergleicht man wieder mit der Skizze so ergibt sich sin(Q1) = 4 × sin(Q2). Formt man diese
Gleichung um, dann erhält man ein Polynom 4-ten Grades, dessen Nullstelle das gesuchte xC ist.
Die numerische Rechnung (Newton Verfahren) liefert xC = 112,154 m.
i) i) Weil die Schwimmerin direkt auf das jenseitige Ufer zuhält, benötigt sie zum Überqueren des
Flusses die Zeit (80 m) / (1,6 m/s) = 50 s. In dieser Zeit wird sie um 40 m abgetrieben; daher ist
Strömungsgeschwindigkeit des Wassers vS = (40 m) / (50 s) = 0,8 m/s. (ii) Ihre gesamte
Geschwindigkeit relativ zum Ufer ist also
; deren Betrag ist 1,79 m/s. (iii) Auf den
ersten Blick scheint es, als müsse sie auf einen Punkt zuhalten, der 40 m flußaufwärts vom
Startpunkt liegt, also in einer Richtung, die um 26,6° nach oben weist. Die exakte Bedingung lautet
aber, daß die Schwimmerin um einen solchen Winkel flußaufwärts gerichtet schwimmen muß, daß
die x-Komponente der 1,6 m/s genau gleich der Fließgeschwindigkeit von 0,8 m/s ist. Der dafür
einzuhaltende Winkel gegen die Querrichtung ist 30°. Also muß die Schwimmerin auf den Punkt
zuhalten, der 46,2 m flußaufwärts am jenseitigen Ufer liegt.
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