Musterlösung Klausurvorbereitung AHE 112

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J. Bonnekoh!
2012 / 2013
Musterlösung der Aufgaben zur
Klausurvorbereitung
AHE 112
Aufgabe 1:
Lesen Sie die zu den Geraden gehörenden Funktionsgleichungen ab:
2
x+5
5
g ( x ) = −3
f ( x) =
h ( x ) = −2x + 4
i( x) = x − 1
j ( x ) = 2x + 1
Aufgabe 2:
Ein Ball wird geworfen. Seine Flugbahn wird durch die Funktionsgleichung
f ( x ) = −x 2 + x + 2
beschrieben. Die x - Koordinate steht hierbei für die Entfernung vom Wurfpunkt in Metern,
die y - Koordinate für die Höhe über dem Erdboden in Metern.
a) Berechnen Sie, in welcher Höhe wurde der Ball am Anfang geworfen wurde!
f ( 0 ) = −0 2 + 0 + 2 = 2
1
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Musterlösung der Aufgaben zur Klausurvorbereitung AHE 112
2012 / 2013
Der Ball wird zu Beginn aus einer Höhe von 2m geworfen.
b) Berechnen Sie, nach wie viel Metern der Ball wieder auf den Boden trifft!
f ( x) = 0
⇔ −x 2 + x + 2 = 0
: ( −1)
⇔ x2 − x − 2 = 0
+2
⇔ x −x
1
⎛ 1⎞
+⎜ ⎟ =
⎝ 2⎠
4
2
=2
2
⇔ x2 − x +
1
1
= 2+
4
4
2
⇔
1⎞
9
⎛
⎜⎝ x − ⎟⎠ =
2
4
±
1 3
1
3
1
= ∨x− =−
+
2 2
2
2
2
⇔ x = 2 ∨ x = −1
Die Lösung x = −1 entfällt in dieser Aufgabenstellung, da der Ball sonst hinter dem
Werfer landen würde.
Der Ball trifft nach 2m wieder auf den Boden.
c) Angenommen, der Ball wäre nicht geworfen, sondern von einer Ballmaschine so
abgeschossen worden, dass die Flugbahn die selbe blieb. Berechnen Sie, wie viele
Meter vor dem Werfer die Ballmaschine stehen müsste!
Wie bereits in Aufgabenteil b) berechnet, müsste die Ballmaschine 1m hinter dem
Werfer stehen.
d) Erstellen Sie eine Wertetabelle für x ∈[ −1;2 ] in 0,5er - Schritten!
⇔ x−
x
-1
−
1
2
0
y
0
1
1
4
2
1
2
2
1
4
1
1
1
2
2
2
1
1
4
0
e) Zeichnen Sie die Funktion in ein Koordinatensystem! Eine Einheit auf den Achsen soll
hierbei 2 cm entsprechen.
2
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Aufgabe 3:
Sie arbeiten als BerufspraktikantIn bei der Kindertagesstätte St. Ignatius der Stadt Kall.
Für regelmäßige Ausflüge zu wechselnden Ausflugszielen soll ein Vertrag mit einem
Busunternehmen abgeschlossen werden. In die nähere Auswahl sind zwei verschiedene
Unternehmen gekommen. Bei beiden Unternehmen würde die Abrechnung jährlich
erfolgen.
Unternehmen 1: Grundgebühr (inkl. Versicherungen): 500,- €
!
!
Preis je Kilometer (inkl. Benzinkosten): 0,50 €
Unternehmen 2: Grundgebühr (inkl. Versicherungen): 100,- €
!
!
Preis je Kilometer (inkl. Benzinkosten): 5,-
1
x + 500
2
gegeben sind. x ist hierbei die Anzahl der in diesem Jahr gefahrenen Kilometer.
jährliche Kosten = Kosten pro Kilometer x Kilometer + Grundgebühr
a) Zeigen Sie, dass die jährlichen Kosten bei Unternehmen 1 durch f ( x ) =
b) Zeigen Sie, dass die jährlichen Kosten bei Unternehmen 2 durch g ( x ) = 5x + 100
gegeben sind. x ist hierbei die Anzahl der in diesem Jahr gefahrenen Kilometer.
jährliche Kosten = Kosten pro Kilometer x Kilometer + Grundgebühr
c) Welche Kosten fallen bei beiden Unternehmen an, wenn der Bus ein Jahr lang nicht
genutzt wird.
1
f ( 0 ) = ⋅ 0 + 500 = 500
2
g ( 0 ) = 5 ⋅ 0 + 100 = 100
Wenn der Bus ein Jahr lang nicht genutzt wird, müssen beim ersten Unternehmen
500€ und beim zweiten Unternehmen 100€ gezahlt werden.
d) Bestimmen Sie die Anzahl der in einem Jahr zu fahrenden Kilometer damit die Wahl
des Unternehmens egal ist. Wie hoch sind die in diesem Jahr anfallenden Kosten.
f ( x) = g( x)
1
x + 500 = 5x + 100
2
9
⇔ − x + 500 = 100
2
9
⇔
− x = −400
2
⇔
−5x
−500
⎛ 9⎞
:⎜ − ⎟
⎝ 2⎠
800
= 88,89
9
Einsetzen in die Funktion f
400
4900
⎛ 800 ⎞ 1 800
f⎜
= ⋅
+ 500 =
+ 500 =
= 544, 44
⎟
⎝ 9 ⎠ 2 9
9
9
⇔
x=
Bei einer jährlichen Fahrleistung von 88,89 km ist die Wahl des Unternehmens egal. In
diesem Fall müssten 544,44 € gezahlt werden.
3
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e) Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse mit der Leitung der Einrichtung.
Bei einer jährlichen Fahrleistung von weniger als 88,89 km wäre das zweite
Unternehmen zu empfehlen. Bei einer höheren jährlichen Fahrleistung sollte das erste
Unternehmen gewählt werden.
Aufgabe 4:
Beweisen Sie, dass der Graph der Funktion
f ( x ) = 4x 2 + 2x + 8
die x - Achse nicht schneidet!
f ( x) = 0
⇔ 4x 2 + 2x + 8 = 0
:4
1
x+2 =0
2
−2
⇔ x2 +
1
x
2
⎛ ⎛ 1⎞ ⎞
2
⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟
1
⎛ 1⎞
+⎜
=
⎟
⎜⎝ ⎟⎠ =
4
16
⎜ 2 ⎟
⎝
⎠
⇔ x2 +
1
1
1
x + = −2 +
2
16
16
⇔ x2 +
2
= −2
2
1⎞
31
⎛
⎜⎝ x + ⎟⎠ = − < 0
4
16
⇔
Daher gibt es keine Lösungen und somit keine Schnittpunkte mit der x - Achse.
Aufgabe 5:
Geben Sie das optimale Verfahren zur Nullstellenberechung an und berechnen Sie, falls
vorhanden, die Nullstellen!
a) f ( x ) = 2x 2 + 14x
Ausklammern
f ( x) = 0
⇔ 2x 2 + 14x = 0
:2
⇔
Ausklammern
x 2 + 7x = 0
⇔ x ( x + 7) = 0
Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen
⇔ x = 0 ∨ x + 7 = 0 −7
⇔ x = 0 ∨ x = −7
N1 ( −7 0 ) , N 2 ( 0 0 )
1 3
x +4
2
Direktes Auflösen
b) f ( x ) =
4
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f ( x) = 0
1 3
x +4=0
2
1 3
⇔
x = −4
2
⇔
−4
:
⇔
x 3 = −8
⇔
x = −2
N ( −2 0 )
1
2
3
c) f ( x ) = 2x 2 − 4x + 2
Quadratisches Ergänzen / p - q - Formel
f ( x) = 0
⇔ 2x 2 − 4x + 2 = 0
:2
⇔ x − 2x + 1 = 0
−1
⇔ x 2 − 2x
⎛ 2⎞
+ ⎜ ⎟ = 12 = 1
⎝ 2⎠
2
2
= −1
⇔ x 2 − 2x + 1 = −1+ 1
⇔
( x − 1)2 = 0
⇔
x −1 = 0
⇔
x =1
N (1 0 )
+1
d) f ( x ) = 2x 2 + 4
Direktes Auflösen
f ( x) = 0
⇔ 2x 2 + 4 = 0
−4
⇔
:2
2x 2 = −4
⇔
x 2 = −2 < 0
Daher keine Nullstellen
5
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