Ψ(r,t) - KIT

Vorlesung: Festkörperelektronik
I.0
Allgemeine Informationen:
Prof. Uli Lemmer
Lichttechnisches Institut, Geb. 30.34, Raum 223
Tel: 0721-608-2530
E-Mail: [email protected], URL: www.lti.uni-karlsruhe.de
Vorlesungsfolien sind von von der LTI-Homepage herunterzuladen,
Prüfung: schriftlich 2 h, 20.02.2004, 14:00 Uhr
Vorkenntnisse: HM I+II, Physik A+B
Übungen und Tutorien
Saalübung: alle 14 Tage Do. 8:00-9:30 MIT-Hörsaal
Dipl. Phys. Alexander Colsmann
Lichttechnisches Institut, 1. OG
E-Mail: [email protected],
URL: www.lti.uni-karlsruhe.de
Tutorien: alle 14 Tage im Wechsel mit Saalübung
1
2
3-5
6-9
Mo 14:30 Uhr, R011 (IEH)
Mo 14:30 Uhr, 2xx (ITE)
Di.-Do. jeweils 14:30 Uhr Seminarraum LTI
Do. 8:00 Uhr versch. Räume
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I. Grundlagen der Quantenphysik
I.1 Einleitung
Einbettung ins Studium
2
Einbettung ins Studium
Einbettung ins Studium
5. Semester
3
Einbettung ins Studium
Literatur
- Skript Halbleiterbauelemente (Prof. Franz X. Kärtner)
- Skript Elektrophysik (Prof. W. Heering)
- Skript Festkörperelektronik wird parallel zur Vorlesung erstellt
Quantenmechanik:
- Feynman Vorlesungen über Physik (Feynman, Leighton, Sands)
Halbleiterphysik:
Festkörperphysik. Einführung in die Grundlagen.
(Harald Ibach, Hans Lüth), € 44,95
Festkörperphysik
C. Kittel, € 64,95
4
Ziele der Veranstaltung
- Verständnis der Festkörperphysik
in elektronischen Bauelementen und
Werkstoffen der Elektrotechnik
- Materialwissenschaften
Grundlagen der
Quantenmechanik
Grundlagen der
Quantenstatistik
Halbleiter-/Quantenelektronik
Integrierte Schaltkreise
Source: ICKnowledge
5
Integrierte Schaltkreise
Können Prozessoren immer schneller werden ??
Entwicklung der Halbleitermikroelektronik
Abb: Elektronenmikroskopische Aufnahme sogenannter
Quantenpunkte.
Quelle: Infineon
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Neue Materialien und Konzepte
Quelle: VDI-Studie: Elektronik der Zukunft
7
... demnächst nur noch Quantencomputer ?
Quelle:NZZ
Optoelektronik
Abb. Bandstruktur von GaAs im
Bereich der Bandlücke
Warum leuchten einige LEDs blau und andere rot ?
8
Vergleich Objektive Technologieschritte
CD
DVD
λ = 780 nm
NA = 0.45
0.65 GBytes
1.2 mm substrate
Blu-Ray
λ = 650 nm
NA = 0.6
4.7 GBytes
0.6 mm substrate
λ = 405 nm
NA = 0.85
25 GBytes
0.1 mm cover / 1.1 mm substrate
© Philips Research
Was steckt im DVD-Player ?
I. Grundlagen der Quantenphysik
I.1 Einleitung
I.2 Historisches
9
Stand der Wissenschaft um 1900
- Beschreibung der Mechanik durch idealisierte Teilchen
- idealerweise als punktförmige Teilchen
Was heisst eigentlich Teilchen ?
r
v
y
Zum Zeitpunkt t befindet sich das Teilchen
ur
am Ort R und bewegt sich mit der
r
ur
r
Geschwindigkeit v . Sein Impuls beträgt p = mv .
ur
R
x
Stand der Wissenschaft vor 1900:
Elektrodynamik-Maxwell-Gleichungen
Quelle: Homepage Fachschaft ETIT
„Felder“: Dinge, die ganze Raumbereiche erfüllen, im Gegensatz zum Teilchen
NICHT lokalisiert.
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Der Theoriebegriff
Postulate (z. B. Newton‘sche Gesetze,
Maxwell-Gleichungen, ...)
Überprüfbare Vorhersagen
: Gültigkeitsbereich (z. B. v<<c für die Newton Mechanik)
-Quantenmechanik können wir uns sparen, wenn
Energie * Zeit >> h = 6.626 10-34 Js
Historisches zur Quantenmechanik:Schwarzkörperstrahlung
Zusammenbruch der klassischen Physik bei Vorgängen, für
die dies nicht gewährleistet ist
1. Erklärung des Schwarzkörperstrahlungsspektrums durch Planck (1900)
„Energien im System sind gemäß E=hν „gequantelt“
h ist das Planck‘sche Wirkungsquantum
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Historisches zur Quantenmechanik: Photoeffekt
2. Photoeffekt (Einstein 1905, 1917)
-Elektronenenergie hängt nicht von der Intensität des Lichtes sondern
von der Frequenz ν ab. Licht als Schauer von Lichtteilchen (Photonen) mit einer
Energie E=hν
„Felder treten auch als Teilchen auf“
Historisches zur Quantenmechanik: Bohr‘sches Atommodell
3. Nichtbeobachteter Atomzerfall und Spektrallinien
Versuch der Erklärung durch das Bohr‘sche Atommodell (1913)
I. Das Elektron bewegt sich auf Kreisbahnen
um den Kern. Diese sind stationär und das
Elektron strahlt keine Energie ab.
II. Unter allen Kreisbahnen sind nur diejenigen
erlaubt, auf denen der Drehimpuls des
Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches von
h/2π ist.
III. Strahlung wird nur beim Übergang
zwischen 2 stationären Zuständen emittiert
oder absorbiert.
... an sich O.K., nur warum ist das so ?
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Historisches zur Quantenmechanik: Interferenz
Interferenz mit Wellen (Wasser, Licht, etc. )
Historisches zur Quantenmechanik: Interferenz
Quelle: Feynman lectures
Interferenz von Elektronen !!
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Quelle: H. Leipner, U Halle
Historisches zur Quantenmechanik: Interferenz
Abb: Interferenz von Elektronen an GaAs
Quelle: H. Leipner, U Halle
Nachweis von Materiewellen (Davisson und Germer 1927)
Louis de-Broglie (1923): Materiewellen mit Wellenlänge
λ=
h
p
„Teilchen treten auch als Felder (Wellen) auf“
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I. Grundlagen der Quantenphysik
I.1 Einleitung
I.2 Historisches
I.3 Die Schrödinger-Gleichung
Der Zustandsbegriff
Zustand eines Systems: Minimaler Satz von physikalischen Größen,
aus denen sich maximale Information ableiten lässt.
- eindeutige Vorhersage über den Zustand zum Zeitpunkt t aus der
Kenntnis zum Zeitpunkt t0
Beispiel: Impuls und Ort eines klassischen Massepunktes
Mathematisch:
dZ (t )
= F [ Z (t ) ]
dt
-Zeitliche Änderung des Zustandes wird beschrieben durch
Differentialgleichung 1. Ordnung
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Der quantenmechanische Zustand
1. Postulat der Quantenmechanik:
Der quantenmechanische Zustand eines Teilchens der Masse m, das
sich in einem Kraftfeld mit dem Potential V(r,t) befindet lässt sich als
komplexwertige Funktion ψ(r,t) des Ortes und der Zeit beschreiben.
Seine Zeitentwicklung gehorcht der zeitabhängigen Schrödingergleichung:
r
r  r
∂ψ (r , t )  h2 2
ih
= −
∇ + V (r , t )ψ (r , t )
∂t
 2m

h=h/2π=1.055*10-34Js; i2=-1
∂2
∂2
∂2
∇ = 2 + 2 + 2 =∆
∂x
∂y
∂z
2
- ψ(r,t) heißt Wellenfunktion des Teilchen
r
Anmerkung: r und r werden als Schreibweise für Vektoren nebeneinander verwendet
Exkurs: Differentialoperatoren
∂2
∂2
∂2
∇ = 2 + 2 + 2 =∆
∂x
∂y
∂z
2
Laplace-Operator
Divergenz
eines Vektorfeldes
 ∂

 ∂x
rr
r  ∂
∇F(r)=divF (r) = 
 ∂y
 ∂

 ∂z
Gradient
eines
skalaren
Feldes

r

r
  Fx (r ) 
r
r
  r   ∂ Fx (r ) ∂ Fy (r ) ∂ Fz (r ) 
F
(
r
)
=
+
+




 y

∂y
∂z 
  F (rr )   ∂x
 z 


r
 ∂ V (r ) 
 ∂ 




 ∂x r 
 ∂x 
r
r  ∂  r  ∂ V (r ) 
∇V (r )=gradV(r) = 
V (r ) =  ∂y 


 ∂y 
 ∂ V ( rr ) 
 ∂ 




 ∂z 
 ∂z 
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Die Schrödingergleichung
r
r  r
∂ψ (r , t )  h2 2
ih
= −
∇ + V (r , t )ψ (r , t )
∂t
 2m

Direkte Folgerungen:
r
r
Ist ψ (r , t0 ) bekannt, so folgt eindeutig ψ (r , t ) für alle t ⟩t0
- keine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
mathematisch relativ hässlich und eine allgemeine analytische Lösung
ist unmöglich
-sieht ähnlich aus wie eine Diffusionsgleichung (z.B. Wärme)
aber komplett andere Lösungen durch das imaginäre i
Linearität der Schrödingergleichung
r
r  r
∂ψ (r , t )  h2 2
ih
= −
∇ + V (r , t )ψ (r , t )
∂t
 2m

r
r
Wennψ 1(r , t ) und ψ 2 (r , t ) Lösung der S-Glg., dann
r
r
r
auch ψ (r , t ) = αψ 1(r , t ) + βψ 2 (r , t )
r
r
∂ψ 1(r , t )
∂ψ 2 (r , t )
αih
+ β ih
∂t
∂t
r  r
r 
r
 h2 2
 h2 2
= α −
∇ + V (r , t )ψ 1(r , t ) + β −
∇ + V (r , t )ψ 2 (r , t )
2
m
2
m




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I. Grundlagen der Quantenphysik
I.1 Einleitung
I.2 Historisches
I.3 Die Schrödinger-Gleichung
I.4 Die Wellenfunktion Ψ(r,t)
I.4 Die Wellenfunktion Ψ(r,t)
...und was bringt uns jetzt die Wellenfunktion ????
2. Postulat der Quantenmechanik:
Die Wellenfunktion ist nicht observabel (=keine Meßgröße); ihr Absolutquadrat
r
r 2
r
r
ρ (r , t ) = ψ (r , t ) = ψ * (r , t )ψ (r , t )
ist proportional zur Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens
im Raum.
... nehmen wir als Meßgröße den Ort
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I.4 Die Wellenfunktion Ψ(r,t)
... aha, Ψ(r,t) regelt also z. B. das Entstehen von Interferenzmustern
ρ(r,t) ist messbar, Ψ(r,t) selbst aber NICHT !
Ende 20.10.03
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