Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung
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Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Timo Neumann Universität Heidelberg 21.11.2014 Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Lippmann-Schwinger-Gleichung 3 Lösungsverfahren Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Beispiel: Harte Kugel 4 Zusammenfassung Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Der Begriff Streutheorie Streuung bezeichnet die Ablenkung eines Objekts durch die Wechselwirkung mit einem Streuzentrum Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Der Begriff Streutheorie Streuung bezeichnet die Ablenkung eines Objekts durch die Wechselwirkung mit einem Streuzentrum man unterscheidet zwischen elastischer und inelastischer Streuung Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Der Begriff Streutheorie Streuung bezeichnet die Ablenkung eines Objekts durch die Wechselwirkung mit einem Streuzentrum man unterscheidet zwischen elastischer und inelastischer Streuung Streueffekte treten bei allen Teilchenarten auf und sind daher in vielen Physikbreichen relevant Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Der Begriff Streutheorie Streuung bezeichnet die Ablenkung eines Objekts durch die Wechselwirkung mit einem Streuzentrum man unterscheidet zwischen elastischer und inelastischer Streuung Streueffekte treten bei allen Teilchenarten auf und sind daher in vielen Physikbreichen relevant Anwendung in Festkörperphysik, Teilchenphysik, Kernphysik Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Der Begriff Streutheorie Streuung bezeichnet die Ablenkung eines Objekts durch die Wechselwirkung mit einem Streuzentrum man unterscheidet zwischen elastischer und inelastischer Streuung Streueffekte treten bei allen Teilchenarten auf und sind daher in vielen Physikbreichen relevant Anwendung in Festkörperphysik, Teilchenphysik, Kernphysik Ziel von Streuexperimenten ist Erkenntnisse über das Wechselwirkungspotential zu erhalten Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Der Begriff Streutheorie Streuung bezeichnet die Ablenkung eines Objekts durch die Wechselwirkung mit einem Streuzentrum man unterscheidet zwischen elastischer und inelastischer Streuung Streueffekte treten bei allen Teilchenarten auf und sind daher in vielen Physikbreichen relevant Anwendung in Festkörperphysik, Teilchenphysik, Kernphysik Ziel von Streuexperimenten ist Erkenntnisse über das Wechselwirkungspotential zu erhalten Aufgabe der Theorie ist daher die Verbindung von experimentellen Messgrößen mit dem WW-Potential Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Der Begriff Streutheorie Streuung bezeichnet die Ablenkung eines Objekts durch die Wechselwirkung mit einem Streuzentrum man unterscheidet zwischen elastischer und inelastischer Streuung Streueffekte treten bei allen Teilchenarten auf und sind daher in vielen Physikbreichen relevant Anwendung in Festkörperphysik, Teilchenphysik, Kernphysik Ziel von Streuexperimenten ist Erkenntnisse über das Wechselwirkungspotential zu erhalten Aufgabe der Theorie ist daher die Verbindung von experimentellen Messgrößen mit dem WW-Potential wohl berühmtestes Streuexperiment: Rutherfords α-Teilchen an Goldkernen (1911) Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Begriffe der Streutheorie Stoßparameter b : minimaler vertikaler Abstand zwischen Teilchen und Target Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Begriffe der Streutheorie Stoßparameter b : minimaler vertikaler Abstand zwischen Teilchen und Target p~E und p~A : Impuls und auslaufenden des einfallenden ~A ~E Teilchens mit p = p Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Begriffe der Streutheorie Stoßparameter b : minimaler vertikaler Abstand zwischen Teilchen und Target p~E und p~A : Impuls und auslaufenden des einfallenden ~A ~E Teilchens mit p = p V(x) = Wechselwirkungspotential des Targets Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Begriffe der Streutheorie Stoßparameter b : minimaler vertikaler Abstand zwischen Teilchen und Target p~E und p~A : Impuls und auslaufenden des einfallenden ~A ~E Teilchens mit p = p V(x) = Wechselwirkungspotential des Targets differentieller Wirkungsquerschnitt Anzahl der pro Zeit nach dΩ gestreuten Teilchen dσ dΩ = einfallender Teilchenstrom Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Begriffe der Streutheorie Stoßparameter b : minimaler vertikaler Abstand zwischen Teilchen und Target p~E und p~A : Impuls und auslaufenden des einfallenden ~A ~E Teilchens mit p = p V(x) = Wechselwirkungspotential des Targets differentieller Wirkungsquerschnitt Anzahl der pro Zeit nach dΩ gestreuten Teilchen dσ dΩ = einfallender Teilchenstrom totaler Wirkungsquerschnitt: R dσ σ = dΩ dΩ Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Abbildung: Schema der klassischen Streuung klassisch: Streuvorgang durch Parameter ~p A , b und V(x) vollständig festgelegt Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Quantenmechanische Streutheorie es gibt keine feste Teilchentrajektorie und somit auch keinen Stoßparameter b Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Quantenmechanische Streutheorie es gibt keine feste Teilchentrajektorie und somit auch keinen Stoßparameter b einfallendes Streuobjekt ist kein Punktteilchen, sondern ein Wellenpaket:R d 3k ~ x )a~ ψ0 (~x , t0 ) = (2π) 3 exp(i k~ k Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Quantenmechanische Streutheorie es gibt keine feste Teilchentrajektorie und somit auch keinen Stoßparameter b einfallendes Streuobjekt ist kein Punktteilchen, sondern ein Wellenpaket:R d 3k ~ x )a~ ψ0 (~x , t0 ) = (2π) 3 exp(i k~ k Annahme: Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Quantenmechanische Streutheorie es gibt keine feste Teilchentrajektorie und somit auch keinen Stoßparameter b einfallendes Streuobjekt ist kein Punktteilchen, sondern ein Wellenpaket:R d 3k ~ x )a~ ψ0 (~x , t0 ) = (2π) 3 exp(i k~ k Annahme: das Target ist raumfest Wirkungsbereich des Target durch R0 begrenzt Wellenpaket ist hinreichend scharf gebündelt keine Wechselwirkung der einfallenden Teilchen untereinander die Detektion findet im Unendlichen statt die Streuung ist elastisch Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Vorgehensweise Aufstellen der stationären SGL zu E>0 Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Vorgehensweise Aufstellen der stationären SGL zu E>0 Herleitung der Lippmann-Schwinger-Gleichung Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Vorgehensweise Aufstellen der stationären SGL zu E>0 Herleitung der Lippmann-Schwinger-Gleichung Suche allgemeine asymptotische Lösung der LSG Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Zusammenfassung LSG in koordinatenfreier Darstellung: |ψi = |ψ0 i + G0 V |ψi LSG in Ortsdarstellung : R ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Zusammenfassung LSG in koordinatenfreier Darstellung: |ψi = |ψ0 i + G0 V |ψi LSG in Ortsdarstellung : R ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 Asymptotik für |~x | → ∞: ikr ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + f (k,~e , e~0 ) e r Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Zusammenfassung LSG in koordinatenfreier Darstellung: |ψi = |ψ0 i + G0 V |ψi LSG in Ortsdarstellung : R ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 Asymptotik für |~x | → ∞: ikr ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + f (k,~e , e~0 ) e r m R −ik e~0 ·x~0 V (x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 Streuamplitude f (k,~e , e~0 ) = − 2π~ e 2 Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Zusammenfassung LSG in koordinatenfreier Darstellung: |ψi = |ψ0 i + G0 V |ψi LSG in Ortsdarstellung : R ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 Asymptotik für |~x | → ∞: ikr ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + f (k,~e , e~0 ) e r m R −ik e~0 ·x~0 V (x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 Streuamplitude f (k,~e , e~0 ) = − 2π~ e 2 aus Vergleich der asymptotischen Stromdichten von ein- und ausfallender Welle folgt: 2 r 2 |~JKugel | dσ ~0 ) = = f (k,~ e , e dΩ |~Jebene | Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Abbildung: Lösungsfunktion der LSG Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Born’sche Näherung R Löse ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 iterativ Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Born’sche Näherung R Löse ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 iterativ Iterationsvorschrift: (0) k ~ ψ~ (~x ) = e i k~x Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Born’sche Näherung R Löse ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 iterativ Iterationsvorschrift: (0) ~ ψ~ (~x ) = e i k~x k R (n) (n−1) ~0 3 ~0 ψ~ (~x ) = G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~ (x )d x k k Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Born’sche Näherung R Löse ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 iterativ Iterationsvorschrift: (0) ~ ψ~ (~x ) = e i k~x k R (n) (n−1) ~0 3 ~0 ψ~ (~x ) = G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~ (x )d x k k P tot(∞) (n) ∞ ψ~ (~x ) = n=0 ψ~ (~x ) k k Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Born’sche Näherung R Löse ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 iterativ Iterationsvorschrift: (0) ~ ψ~ (~x ) = e i k~x k R (n) (n−1) ~0 3 ~0 ψ~ (~x ) = G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~ (x )d x k k P tot(∞) (n) ∞ ψ~ (~x ) = n=0 ψ~ (~x ) k k bricht man die Reihe nach dem 1. Term ab erhält man die erste Born’sche Näherung → Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Born’sche Näherung R Löse ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 iterativ Iterationsvorschrift: (0) ~ ψ~ (~x ) = e i k~x k R (n) (n−1) ~0 3 ~0 ψ~ (~x ) = G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~ (x )d x k k P tot(∞) (n) ∞ ψ~ (~x ) = n=0 ψ~ (~x ) k k bricht man die Reihe nach dem 1. Term ab erhält man die erste Born’sche Näherung → tot(1) (~x ) k ψ~ ~ = e i k~x + R ~ G(~x , x~0 )U(x~0 )e i k~x d 3 x~0 Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Born’sche Näherung R Löse ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 iterativ Iterationsvorschrift: (0) ~ ψ~ (~x ) = e i k~x k R (n) (n−1) ~0 3 ~0 ψ~ (~x ) = G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~ (x )d x k k P tot(∞) (n) ∞ ψ~ (~x ) = n=0 ψ~ (~x ) k k bricht man die Reihe nach dem 1. Term ab erhält man die erste Born’sche Näherung → ~ G(~x , x~0 )U(x~0 )e i k~x d 3 x~0 R ~0 ~0 1 f (k,~e , e ) = − 2m e −ik(e −~e)·x V (x~0 )d 3 x~0 ~2 4π tot(1) (~x ) k 1 ~0 ψ~ ~ = e i k~x + R Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Konvergenzbetrachtung Konvergenzanalyse der gesamten Reihe ist mathematisch kompliziert und sehr technisch Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Konvergenzbetrachtung Konvergenzanalyse der gesamten Reihe ist mathematisch kompliziert und sehr technisch Wann ist die 1. Born’sche Näherung eine gute Approximation? Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Konvergenzbetrachtung Konvergenzanalyse der gesamten Reihe ist mathematisch kompliziert und sehr technisch Wann ist die 1. Born’sche Näherung eine gute Approximation? qualitative Argumentation: Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Konvergenzbetrachtung Konvergenzanalyse der gesamten Reihe ist mathematisch kompliziert und sehr technisch Wann ist die 1. Born’sche Näherung eine gute Approximation? qualitative Argumentation: (n) k (n−1) (x ) k natürlich muss gelten ψ~ (x ) ψ~ Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Konvergenzbetrachtung Konvergenzanalyse der gesamten Reihe ist mathematisch kompliziert und sehr technisch Wann ist die 1. Born’sche Näherung eine gute Approximation? qualitative Argumentation: (n) (n−1) natürlich muss gelten ψ~ (x ) ψ~ (x ) k k kleines Wechselwirkungspotential, da in den Iterationen Potenzen von V(x) auftreten Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Konvergenzbetrachtung Konvergenzanalyse der gesamten Reihe ist mathematisch kompliziert und sehr technisch Wann ist die 1. Born’sche Näherung eine gute Approximation? qualitative Argumentation: (n) (n−1) natürlich muss gelten ψ~ (x ) ψ~ (x ) k k kleines Wechselwirkungspotential, da in den Iterationen Potenzen von V(x) auftreten hohe Teilchenenergie, da e-Funktion proportional zu k oszilliert Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Konvergenzbetrachtung Konvergenzanalyse der gesamten Reihe ist mathematisch kompliziert und sehr technisch Wann ist die 1. Born’sche Näherung eine gute Approximation? qualitative Argumentation: (n) (n−1) natürlich muss gelten ψ~ (x ) ψ~ (x ) k k kleines Wechselwirkungspotential, da in den Iterationen Potenzen von V(x) auftreten hohe Teilchenenergie, da e-Funktion proportional zu k oszilliert genauere Abschätzung ergibt z.B. für Kastenpotential : 2 V0 R0 ~mk Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Partialwellenentwicklung für radialsymmetrische Potentiale bietet sich eine Entwicklung der Lösungsfunktion in Drehimpulseigenfunktionen an Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Partialwellenentwicklung für radialsymmetrische Potentiale bietet sich eine Entwicklung der Lösungsfunktion in Drehimpulseigenfunktionen an für φ- unabhängiges Streuproblem entsprechen diese den Legendre-Polynomen Pl (cosθ) Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Partialwellenentwicklung für radialsymmetrische Potentiale bietet sich eine Entwicklung der Lösungsfunktion in Drehimpulseigenfunktionen an für φ- unabhängiges Streuproblem entsprechen diese den Legendre-Polynomen Pl (cosθ) Ansatz : ψ(~r ) = P∞ ul (r ) l=0 r Timo Neumann Pl (cosθ) Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung zeitunabhängige SGL führt mit dem Ansatz auf folgende DGL: ~2 l(l+1) 2m 00 ul (r ) + ~2 E − V (r ) − 2mr 2 ul (r ) = 0 Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung zeitunabhängige SGL führt mit dem Ansatz auf folgende DGL: ~2 l(l+1) 2m 00 ul (r ) + ~2 E − V (r ) − 2mr 2 ul (r ) = 0 für V=0 sind die Lösungen die Besselfunktionen mit dem asymptotischen Verhalten: ul0 (r ) ≈ k1 i l (2l + 1)sin(kr − lπ 2) Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung zeitunabhängige SGL führt mit dem Ansatz auf folgende DGL: ~2 l(l+1) 2m 00 ul (r ) + ~2 E − V (r ) − 2mr 2 ul (r ) = 0 für V=0 sind die Lösungen die Besselfunktionen mit dem asymptotischen Verhalten: ul0 (r ) ≈ k1 i l (2l + 1)sin(kr − lπ 2) da in weiter Entfernung das Potential klein wird, erwarten wir als Einfluss nur eine Phasenverschiebung: ul (r ) ≈ αl sin(kr − lπ 2 + δl ) Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung zeitunabhängige SGL führt mit dem Ansatz auf folgende DGL: ~2 l(l+1) 2m 00 ul (r ) + ~2 E − V (r ) − 2mr 2 ul (r ) = 0 für V=0 sind die Lösungen die Besselfunktionen mit dem asymptotischen Verhalten: ul0 (r ) ≈ k1 i l (2l + 1)sin(kr − lπ 2) da in weiter Entfernung das Potential klein wird, erwarten wir als Einfluss nur eine Phasenverschiebung: ul (r ) ≈ αl sin(kr − lπ 2 + δl ) δl ist die Streuphase der l-ten Partialwelle Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung damit ist die Lösungsfunktion ausgeschrieben: ψ(~r ) ≈ + P∞ αl iδ −i lπ l 2 Pl (cosθ) l=0 2i e e e −ikr P∞ αl −iδ i lπ e ikr r r l=0 2i e l e Timo Neumann 2 Pl (cosθ) Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung damit ist die Lösungsfunktion ausgeschrieben: ψ(~r ) ≈ + P∞ αl iδ −i lπ l 2 Pl (cosθ) l=0 2i e e e −ikr P∞ αl −iδ i lπ e ikr r l=0 2i r e l e 2 Pl (cosθ) gleichzeitig muss sie die Form der asymptotischen LSG-Lösung haben: ∞ 1 il −i lπ 2 Pl (cosθ) + l=0 k 2i (2l + 1)e P lπ l ∞ 1 i i l=0 k 2i (2l + 1)e 2 Pl (cosθ) P e ikr r e −ikr + r ψ(~r ) ≈ Timo Neumann f (θ) Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung da der einlaufende Anteil allein der ebenen Welle zugeschrieben werden soll, muss gelten: lπ αl = k1 i l (2l + 1)e iδl = k1 (2l + 1)e i(δl + 2 ) Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung da der einlaufende Anteil allein der ebenen Welle zugeschrieben werden soll, muss gelten: lπ αl = k1 i l (2l + 1)e iδl = k1 (2l + 1)e i(δl + 2 ) aus Vergleich der beiden Ausdrücke folgt: → f (θ) = = 1 P 1 2iδl − 1 P (cosθ) l l (2l + 1) 2i e k P 1 iδl l (2l + 1)e sin(δl )Pl (cosθ) k Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung da der einlaufende Anteil allein der ebenen Welle zugeschrieben werden soll, muss gelten: lπ αl = k1 i l (2l + 1)e iδl = k1 (2l + 1)e i(δl + 2 ) aus Vergleich der beiden Ausdrücke folgt: → f (θ) = = 1 P 1 2iδl − 1 P (cosθ) l l (2l + 1) 2i e k P 1 iδl l (2l + 1)e sin(δl )Pl (cosθ) k bei Kenntnis der Streuphasen lässt sich somit die Streuamplitude und auch der Wirkungsquerschnitt bestimmen Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung da der einlaufende Anteil allein der ebenen Welle zugeschrieben werden soll, muss gelten: lπ αl = k1 i l (2l + 1)e iδl = k1 (2l + 1)e i(δl + 2 ) aus Vergleich der beiden Ausdrücke folgt: → f (θ) = = 1 P 1 2iδl − 1 P (cosθ) l l (2l + 1) 2i e k P 1 iδl l (2l + 1)e sin(δl )Pl (cosθ) k bei Kenntnis der Streuphasen lässt sich somit die Streuamplitude und auch der Wirkungsquerschnitt bestimmen σ= 4π k2 P l (2l + 1)sin2 (δl ) Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung da der einlaufende Anteil allein der ebenen Welle zugeschrieben werden soll, muss gelten: lπ αl = k1 i l (2l + 1)e iδl = k1 (2l + 1)e i(δl + 2 ) aus Vergleich der beiden Ausdrücke folgt: → f (θ) = = 1 P 1 2iδl − 1 P (cosθ) l l (2l + 1) 2i e k P 1 iδl l (2l + 1)e sin(δl )Pl (cosθ) k bei Kenntnis der Streuphasen lässt sich somit die Streuamplitude und auch der Wirkungsquerschnitt bestimmen σ= 4π k2 P l (2l + 1)sin2 (δl ) Problem: es wird über alle (unendlich viele) Drehimpulsquantenzahlen summiert Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Abschätzung relevante l-Beiträge klassische Analogie : für b>R 0 gibt es keine Streuung √ ~ ~ → L < R0 2mE , da L = |~r × ~p | = bp Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Abschätzung relevante l-Beiträge klassische Analogie : für b>R 0 gibt es keine Streuung √ ~ ~ → L < R0 2mE , da L = |~r × ~p | = bp übertragen wir diese Abschätzung auf das QM System erhalten √ p wir: l ≤ l(l + 1) ≤ ~1 R0 2mE = kR0 Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Abschätzung relevante l-Beiträge klassische Analogie : für b>R 0 gibt es keine Streuung √ ~ ~ → L < R0 2mE , da L = |~r × ~p | = bp übertragen wir diese Abschätzung auf das QM System erhalten √ p wir: l ≤ l(l + 1) ≤ ~1 R0 2mE = kR0 somit kann die unendliche Reihe bei einer energieabhängigen Quantenzahl l0 abgebrochen werden Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Näherung für hohe Energien gesucht wird der totale Streuquerschnitt für hohe Energien Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Näherung für hohe Energien gesucht wird der totale Streuquerschnitt für hohe Energien da die de Broglie Wellenlänge viel kleiner als der Kugelradius ist, erwarten wir das klassische Ergebnis Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Näherung für hohe Energien gesucht wird der totale Streuquerschnitt für hohe Energien da die de Broglie Wellenlänge viel kleiner als der Kugelradius ist, erwarten wir das klassische Ergebnis tanδl = jl (kR0 ) nl (kR0 ) ≈ −tan kR0 − πl 2 → δl = −kR0 + l π2 + nπ Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Näherung für hohe Energien gesucht wird der totale Streuquerschnitt für hohe Energien da die de Broglie Wellenlänge viel kleiner als der Kugelradius ist, erwarten wir das klassische Ergebnis tanδl = jl (kR0 ) nl (kR0 ) ≈ −tan kR0 − πl 2 → δl = −kR0 + l π2 + nπ mit Kenntnis der Streuphasen kann der totale Wirkungsquerschnitt berechnet werden Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung σ≈ 4π k2 Pl0 l=0 (2l Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung + 1)sin2 δl Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung σ≈ 4π k2 Pl0 l=0 (2l Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung + 1)sin2 δl Einsetzen von δl = −kR0 + l π2 + nπ und Vereinfachung ergibt: Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung σ≈ 4π k2 Pl0 l=0 (2l Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung + 1)sin2 δl Einsetzen von δl = −kR0 + l π2 + nπ und Vereinfachung ergibt: →σ≈ 2π 2 l k2 0 ≈ 2πR02 Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung σ≈ 4π k2 Pl0 l=0 (2l Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung + 1)sin2 δl Einsetzen von δl = −kR0 + l π2 + nπ und Vereinfachung ergibt: →σ≈ 2π 2 l k2 0 ≈ 2πR02 damit ist der quantenmechanische Wirkungsquerschnitt doppelt so groß wie der klassische Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Erklärung die Gesamtwellenfunktion setzt sich aus einfallender und gestreuter Welle zusammen Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Erklärung die Gesamtwellenfunktion setzt sich aus einfallender und gestreuter Welle zusammen da hinter der Kugel die Gesamtwellenfunktion verschwinden muss, gilt dort ψStreu = −ψein Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Erklärung die Gesamtwellenfunktion setzt sich aus einfallender und gestreuter Welle zusammen da hinter der Kugel die Gesamtwellenfunktion verschwinden muss, gilt dort ψStreu = −ψein der Schatten entsteht also aus Interferenz der einfallenden mit der Streuwelle Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Erklärung die Gesamtwellenfunktion setzt sich aus einfallender und gestreuter Welle zusammen da hinter der Kugel die Gesamtwellenfunktion verschwinden muss, gilt dort ψStreu = −ψein der Schatten entsteht also aus Interferenz der einfallenden mit der Streuwelle wegen der Erhaltung der Wahrscheinlichkeitsdichte folgt, dass diese Interferenz exakt so viel Intensität aus dem durchlaufenden Strahl entfernt, wie in alle Winkel gestreut wird Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung Partialwellenentwicklung Erklärung die Gesamtwellenfunktion setzt sich aus einfallender und gestreuter Welle zusammen da hinter der Kugel die Gesamtwellenfunktion verschwinden muss, gilt dort ψStreu = −ψein der Schatten entsteht also aus Interferenz der einfallenden mit der Streuwelle wegen der Erhaltung der Wahrscheinlichkeitsdichte folgt, dass diese Interferenz exakt so viel Intensität aus dem durchlaufenden Strahl entfernt, wie in alle Winkel gestreut wird σQM = σklassisch + σBeugung = 2σklassisch Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Lippmann-Schwinger Gleichung die Lippmann-Schwinger-Gleichung stellt eine Alternative zur direkten Lösung der SGL für Streuprobleme da Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Lippmann-Schwinger Gleichung die Lippmann-Schwinger-Gleichung stellt eine Alternative zur direkten Lösung der SGL für Streuprobleme da LSG in Ortsdarstellung : R ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Lippmann-Schwinger Gleichung die Lippmann-Schwinger-Gleichung stellt eine Alternative zur direkten Lösung der SGL für Streuprobleme da LSG in Ortsdarstellung : R ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 die allgemeine Lösungsfunktion weit entfernt vom Streuzentrum: ikr ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + f (k,~e , e~0 ) e r Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Lippmann-Schwinger Gleichung die Lippmann-Schwinger-Gleichung stellt eine Alternative zur direkten Lösung der SGL für Streuprobleme da LSG in Ortsdarstellung : R ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 die allgemeine Lösungsfunktion weit entfernt vom Streuzentrum: ikr ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + f (k,~e , e~0 ) e r Streuamplitude 1 R −ik e~0 ·x~0 V (x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 f (k,~e , e~0 ) = − 2m e 2 4π ~ 2 f (k,~e , e~0 ) = dσ dΩ Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Lippmann-Schwinger Gleichung die Lippmann-Schwinger-Gleichung stellt eine Alternative zur direkten Lösung der SGL für Streuprobleme da LSG in Ortsdarstellung : R ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + G(~x , x~0 )U(x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 die allgemeine Lösungsfunktion weit entfernt vom Streuzentrum: ikr ψ~k (~x ) = ψ0 (~x ) + f (k,~e , e~0 ) e r Streuamplitude 1 R −ik e~0 ·x~0 V (x~0 )ψ~k (x~0 )d 3 x~0 f (k,~e , e~0 ) = − 2m e 2 4π ~ 2 f (k,~e , e~0 ) = dσ dΩ Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung die LSG wird durch Iteration näherungsweise gelöst Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung die LSG wird durch Iteration näherungsweise gelöst Abbruch nach dem ersten Schritt ergibt: ~ G(~x , x~0 )U(x~0 )e i k~x d 3 x~0 R −ik(e~0 −~e)·x~0 1 e V (x~0 )d 3 x~0 f (k,~e , e ) = − 2m ~2 4π tot(1) (~x ) k 1 ~0 ψ~ ~ = e i k~x + R Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Born’sche Näherung die LSG wird durch Iteration näherungsweise gelöst Abbruch nach dem ersten Schritt ergibt: ~ G(~x , x~0 )U(x~0 )e i k~x d 3 x~0 R −ik(e~0 −~e)·x~0 1 e V (x~0 )d 3 x~0 f (k,~e , e ) = − 2m ~2 4π tot(1) (~x ) k 1 ~0 ψ~ ~ = e i k~x + R sinvolle Näherung nur für kleines Potential und hohe 2 Teilchenenergie: V0 R0 ~mk Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Partialwellenentwicklung bei radialsymmetrischen Potential ist Entwicklung in Kugelflächenfunktionen sinnvoll Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Partialwellenentwicklung bei radialsymmetrischen Potential ist Entwicklung in Kugelflächenfunktionen sinnvoll asymptotisch äußert sich das Streupotential in einer Phasenverschiebung der freien Lösung δl Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Partialwellenentwicklung bei radialsymmetrischen Potential ist Entwicklung in Kugelflächenfunktionen sinnvoll asymptotisch äußert sich das Streupotential in einer Phasenverschiebung der freien Lösung δl bei bekannter Streuphase ist die Streuamplitude gegeben durch P f (θ) = k1 l (2l + 1)e iδl sin(δl )Pl (cosθ) Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Partialwellenentwicklung bei radialsymmetrischen Potential ist Entwicklung in Kugelflächenfunktionen sinnvoll asymptotisch äußert sich das Streupotential in einer Phasenverschiebung der freien Lösung δl bei bekannter Streuphase ist die Streuamplitude gegeben durch P f (θ) = k1 l (2l + 1)e iδl sin(δl )Pl (cosθ) Reihenglieder können für l > kR0 vernachlässigt werden Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Ausblick Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Ausblick Vortrag nur eine Einführung in das große Gebiet der Streutheorie Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Ausblick Vortrag nur eine Einführung in das große Gebiet der Streutheorie es gibt noch viele Erweiterungen der Theorie Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Ausblick Vortrag nur eine Einführung in das große Gebiet der Streutheorie es gibt noch viele Erweiterungen der Theorie relativistische Streutheorie Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Ausblick Vortrag nur eine Einführung in das große Gebiet der Streutheorie es gibt noch viele Erweiterungen der Theorie relativistische Streutheorie inelastische Streuung (Anregung von Energieniveaus, Absorption) Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Ausblick Vortrag nur eine Einführung in das große Gebiet der Streutheorie es gibt noch viele Erweiterungen der Theorie relativistische Streutheorie inelastische Streuung (Anregung von Energieniveaus, Absorption) Teilchenvernichtung und -erzeugung (Beschleunigerexperimente) Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Ausblick Vortrag nur eine Einführung in das große Gebiet der Streutheorie es gibt noch viele Erweiterungen der Theorie relativistische Streutheorie inelastische Streuung (Anregung von Energieniveaus, Absorption) Teilchenvernichtung und -erzeugung (Beschleunigerexperimente) Erklärung dieser Effekte geht weit über die einfache QM hinaus Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Ausblick Vortrag nur eine Einführung in das große Gebiet der Streutheorie es gibt noch viele Erweiterungen der Theorie relativistische Streutheorie inelastische Streuung (Anregung von Energieniveaus, Absorption) Teilchenvernichtung und -erzeugung (Beschleunigerexperimente) Erklärung dieser Effekte geht weit über die einfache QM hinaus → Standardmodell bzw. Quantenfeldtheorie Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung Einleitung Lippmann-Schwinger-Gleichung Lösungsverfahren Zusammenfassung Quellenangabe W. Nolting. Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen. 5. Aufl. Berlin ; Heidelberg: Springer, 2004. F. Schwabl. Quantenmechanik (QM I). 6. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer, 2002 M. Salmhofer. Quantenmechanik (PTP4) Vorlesungsskript. Heidelberg: 24.Juni 2014 B.A. Lippmann und J. Schwinger. Variational Principles for Scattering Processes I. In: Phys. Rev. (1950). Timo Neumann Streutheorie und Lippmann-Schwinger Gleichung
