Graphentheorie ¨Ubungen 1. Stelle den folgenden

Graphentheorie
Übungen
1. Stelle den folgenden gerichteten Graphen durch seine Ecken- und Kantenmenge dar.
2. Gegeben ist der Graph G = (E, K) mit den Ecken- und Kantenmengen
• E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 }
• K = {{e1 , e3 }, {e1 , e5 }, {e3 , e4 }, {e3 , e5 }, {e4 , e5 }}
(a) Um welche Art von Graph handelt es sich?
(b) Stelle den Graphen möglichst überschneidungsfrei dar.
(c) Ist die Lösung eindeutig?
3. Wie lautet die Adjazenz-Matrix des folgenden Graphen?
4. Stelle den folgenden Multigraphen als Graph mit Kantengewichten dar.
5. Gegeben ist der Graph G = (E, K) mit
• E = {a, b, c, d, e} und
• K = {{a, b}, {a, d}, {b, c}, {c, b}, }
Stelle den Graphen als Adjazenzliste LG dar.
6. Ist der Graph rechts ein Teilgraph des linken Graphen?
7. Berechne jeweils den Grad des Graphen und vergleiche diesen Wert mit der Anzahl
seiner Kanten. Was stellst du fest?
8. Untersuche, ob es im Haus des Nikolaus“ einen Eulerschen-Weg (Eulerschen Kreis)
”
und/oder einen Hamiltonschen Weg (Hamiltonschen Kreis) gibt.
9. Zeichne einen vollständigen Graphen der Ordnung 4.
10. Was ist ein vollständiger Graph der Ordnung 2?
11. Wie viele Kanten kann ein einfacher1 ungerichteter Graph maximal haben?
12. Informiere dich im Internet darüber, was das Travelling Salesman Problem (TSP)
ist. Löse das folgende TSP mit den vier Städten A, B, C und D. (Die Distanzen
sind nicht masstäblich eingezeichnet.)
1
ohne Mehrfachkanten und ohne Schlingen
Graphentheorie
Lösungen
Übungen
1.
E = {e1 , e2 , e3 , e4 }
K = {(e2 , e3 ), (e3 , e1 ), (e3 , e2 ), (e4 , e1 ), (e4 , e2 ), (e4 , e3 )}
2. (a) Ein ungerichteter Graph
(b)
(c) Die Darstellung ist in keiner Weise eindeutig.
3.
e1
e1 0
e2 
1
e3 
0
e 4 1
e5 0
e2 e3 e4 e5
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0

0
0

0

0
0
Die Zeilennummer entspricht der Nummer des Herkunftsknotens. Die Spaltennummer entspricht der Nummer des Zielknotens.
4. Alle Kanten zwischen zwei Ecken werden durch eine Kante mit dem Gewicht der
ursprünglichen Anzahl Kanten ersetzt.
5. LG = {(a, {b, d}), (b, {a, c}), (c, {b}), (d, {a}), (e, { })}
6. Ja, denn
• Jede Ecke von G0 ist auch Ecke von G.
{e1 , e3 , e4 , e5 } ⊂ {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 } und
• Jede Kante von G0 ist auch eine Kante von G.
{{e1 , e3 }, {e1 , e5 }, {e3 , e4 }, {e3 , e5 }, {e4 , e5 }} ⊂ {{e1 , e2 }, {e1 , e3 }, {e2 , e3 }, {e2 , e4 }, {e3 , e4 }, {e3
7.
Grad(G) = 1 + 2 + 3 + 2 + 0 = 8
Grad(G) = 3 + 3 + 3 + 4 + 3 = 16
Anzahl Kanten: 4
Grad(G) = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
Anzahl Kanten: 5
Anzahl Kanten: 8
Beobachtung: Der Grad eines Graphen ist doppelt so gross wie die Anzahl seiner
Kanten.
8.
• Ein Eulerscher Weg ist ein Weg, der jede Kanten des Graphen genau einmal
enthält. Beim vorliegenden Graphen gibt es sogar einen Eulerschen Kreis. Das
ist ein Eulerscher Weg, der am Anfangsknoten endet. Z. B.: (d, b, a, c, d, e, c, d)
• Ein Hamiltonscher Weg ist ein Weg, der jeden Knoten des Graphen genau
einmal enthält. Beim vorliegenden Graphen gibt es sogar einen Hamiltonschen
Kreis. Das ist ein Hamiltonscher Weg, der am Anfangsknoten endet. Z. B.:
(a, b, d, e, c, a)
9. Vollständiger Graph der Ordnung 4:
10. Ein vollständiger Graph der Ordnung 2 besteht aus Zwei Knoten, die durch eine
Kante verbunden sind.
11. Ein Graph mit n Knoten kann maximal
n · (n − 1)
2
Kanten haben. Grund: Jeder der n Knoten kann mit n−1 anderen Knoten verbunden
werden. Das ergibt n(n − 1) Kanten. Auf diese Weise zählt man aber jeden Knoten
doppelt, weshalb man den Term noch durch 2 dividieren muss.
12. TSP: Suche den kürzesten Hamiltonischen Kreis in einem vollständigen Graphen
mit Kantengewichten.
Eine mögliche Lösung lautet: (A, B, C, D, A) mit der Länge 15.