Lösungsvorschlag 05 - ETHZ / Photonics

Elektromagnetische Felder & Wellen
Frühjahrssemester 2017
Photonics Laboratory, ETH Zürich
www.photonics.ethz.ch
Übung 5
Abgabe: 31.03. bzw. 04.03.2017
Polarisationszustände, Polarisation von Materie
1
Polarisationszustände ebener Wellen (70 Pkt.)
In der Vorlesung haben Sie ebene Wellen als Lösungen der quellfreien Wellengleichung kennengelernt. Die Vektornatur der Felder ergibt den Freiheitsgrad der Polarisation einer Welle, der in der
Kommunikations- und Messtechnik von unschätzbarem Wert ist. In dieser Aufgaben befassen wir
uns mit linearer und zirkularer Polarisation.
Wir betrachten dazu hier eine monochromatische, zirkular polarisierte ebene Welle, die wir
als Superposition zweier linear polarisierter Wellen schreiben. Bei zirkular polarisierten Feldern
beschreibt der elektrische Feldvektor an einem festen Raumpunkt in der Zeit einen Kreis. Wir
wählen hier die Konvention, dass wir Felder linkszirkular nennen, deren Feldvektor an einem fixen
Raumpunkt in Blickrichtung zur Quelle im Gegenuhrzeigersinn rotiert. Die Zirkularität rechtszirkular
polarisierter Felder sei entsprechend entgegengesetzt. Die folgende Aufgabe finde zunächst in
einem homogenen Medium mit isotropem Brechnungsindex n statt.
(a) (3 Pkt.) Formulieren Sie das reelle elektrische Feld E1 (r, t) einer in positive z-Richtung propagierenden ebenen Welle. Die Welle sei linear in x-Richtung polarisiert, habe die Feldamplitude
E0 ∈ und die Phase sei gerade so gewählt, dass das Feld zum Zeitpunkt t = 0 in der Ebene
z = 0 maximal ist. Formulieren Sie den Wellenvektor k unter Verwendung von ω, c und n.
R
Lösung:
Das reelle Feld lautet
E1 (r, t) = E0 cos(kz − ωt)nx .
(1)
Es gilt für den Wellenvektor k = nω/c(0, 0, 1)T .
(b) (3 Pkt.) Bestimmen Sie das komplexe elektrische Feld E1 (r) der Welle aus Teilaufgabe (a).
Lösung:
Das komplexe Feld lautet
E1 (r) = E0 eikz nx .
(2)
(c) (3 Pkt.) Ermitteln Sie das reelle elektrische Feld E2 (r, t) einer in positive z-Richtung propagierenden ebenen Welle. Die Welle sei linear in y-Richtung polarisiert, habe die Feldamplitude
E0 ∈ und die Phase sei gerade so gewählt, dass das Feld zum Zeitpunkt t = 0 in der Ebene
z = π/(2k) gerade maximal ist.
R
1
Lösung:
Das reelle Feld lautet
E2 (r, t) = E0 sin(kz − ωt)ny .
(3)
(d) (3 Pkt.) Wie lautet das komplexe elektrische Feld E2 (r) der Welle aus Teilaufgabe (c)?
Wie äussert sich die Phasenverschiebung von π/2 zwischen den reellen Feldern aus den
Teilaufgaben (a) und (c) im Vergleich der jeweiligen komplexen Felder?
Lösung:
Das komplexe Feld lautet
E2 (r) = −iE0 eikz ny .
(4)
Die Phasenverschiebung von π/2 in den reellen Feldern resultiert also in einem komplexen
Phasenfaktor i zwischen den komplexen Feldamplituden.
(e) (8 Pkt.) Formulieren Sie nun ein weiteres elektrisches Feld E+ (r, t), indem Sie die reellen
elektrischen Felder aus den Teilaufgaben (a) und (c) superponieren. Erstellen Sie eine Skizze,
in der Sie die Trajektorie der Spitze des elektrischen Feldvektors in der Ebene z = 0 als
Funktion der Zeit darstellen. Tragen Sie in Ihren Graphen den elektrischen Feldvektor zum
Zeitpunkt t = π/(4ω) ein und geben Sie den Winkel an, den der Vektor mit der x-Achse
einschliesst. Geben Sie die Zirkularität des Feldes an.
Lösung:
Das Gesamtfeld lautet


cos(kz − ωt)


E+ (r, t) = E0  sin(kz − ωt)  .
0
(5)
In der Ebene z = 0 lautet das Feld

cos(ωt)


E+ (z = 0, t) = E0 − sin(ωt) .
0

(6)
Somit beschreibt der elektrische Feldvektor eine Kreisbahn. Zum Zeitpunkt t = π/(4ω) zeigt
der Feldvektor im 45◦ Winkel zwischen x und −y Achse und er rotiert bei Blickrichtung gegen
die Ausbreitungsrichtung im Uhrzeigersinn. Das Feld ist also rechtszirkular polarisiert.
y
π/4
E(t)
2
x
z
(f) (3 Pkt.) Bestimmen Sie das komplexe Feld E+ (r) des reellen Feldes E+ (r, t) aus Teilaufgabe (e).
Lösung:
Superposition der Felder aus den Teilaufgaben (b) und (d) ergibt
 
1
 
E+ (r) = E0 −i eikz .
0
(7)
(g) (3 Pkt.) Überzeugen Sie sich durch explizite Rechnung, dass Ihr Feld E+ (r) aus Teilaufgabe (f)
die quellfreie Helmholtzgleichung erfüllt.
Lösung:
Einsetzen in die Helmholtzgleichung und Ausführen der Ableitungen führt zum gewünschten
Ergebnis.
(h) (4 Pkt.) Ermitteln Sie das zu Ihrem Ergebnis aus Teilaufgabe (f) gehörende komplexe magnetische Feld B+ (r). In welchem Polarisationszustand befindet sich das Magnetfeld? Welche
Phasendifferenz haben das elektrische und das magnetische Feld?
Lösung:
Aus der Maxwell-Gleichung für ein monochromatisches Feld ∇ × E(r) = iωB(r) erhalten wir
für das Magnetfeld
 
1
1
n   ikz
B+ (r) = ∇ × E+ (r) = E0 i −i e .
(8)
iω
c
0
Das Magnetfeld ist zum elektrischen Feld lediglich um π/2 phasenverschoben und trägt noch
stets dieselbe Zirkularität, denn es gilt B+ (r) = (in/c)E+ (r).
(i) (3 Pkt.) Formulieren Sie das reelle Magnetfeld B+ (r, t).
Hinweis: Sie können Ihr Resultat zusammen mit jenem aus Teilaufgabe (e) anhand der
Maxwell’schen Rotationsgleichungen überprüfen.
Lösung:
Wir finden


− sin(kz − ωt)
n

B+ (r, t) =  cos(kz − ωt)  .
c
0
(9)
(j) (4 Pkt.) Fügen Sie Ihrem Graphen aus Teilaufgabe (e) das Feld B(z = 0, t) hinzu. Tragen
Sie den magnetischen Feldvektor zum Zeitpunkt t = π/(4ω) ein und überprüfen Sie die
Transversalität der Felder ebener Wellen in Ihrem Graphen.
Lösung:
Wir finden in der Ebene z = 0


sin(ωt)
n

B(z = 0, t) = cos(ωt) .
c
0
3
(10)
Transversalität:
rechter Winkel
y
B(t=ω/π/4)
x
π/4
z
E(t=ω/π/4)
(k) (8 Pkt.) Formulieren Sie das reelle elektrische Feld E− (r, t) mit inverser Zirkularität im
Vergleichung zum Feld E+ (r, t), bei sonst identischen Parametern. Das Feld E− zeige zum
Zeitpunkt t = 0 in der Ebene z = 0 in positive x-Richtung. Erstellen Sie eine Skizze, in der
Sie die Trajektorie der Spitze des elektrischen Feldvektors in der Ebene z = 0 als Funktion
der Zeit darstellen. Tragen Sie in Ihren Graphen den elektrischen Feldvektor zum Zeitpunkt
t = π/(4ω) ein und geben Sie den Winkel an, den der Vektor mit der x-Achse einschliesst.
Lösung:
Das zugehörige linkszirkular polarisierte Feld lautet


cos(kz − ωt)


E− (r, t) = E0 − sin(kz − ωt)
0
(11)
Zum Zeitpunkt t = π/(4ω) lautet das Feld in der Ebene z = 0


cos(π/4)


E− (z = 0, t = π/(4ω)) = E0  sin(π/4) 
0
(12)
y
E(t=ω/π/4)
π/4
x
z
(l) (3 Pkt.) Formulieren Sie das komplexe elektrische Feld E− (r).
Lösung:
Das komplexe linkszirkular polarisierte Feld lautet
 
1
 
E− (r) = E0  i  eikz .
0
4
(13)
Wir haben im ersten Teil der Aufgabe ein zirkular polarisiertes Feld aus zwei orthogonal linear
polarisierten Feldern mit geeigneter Phasenverschiebung generiert. So wie horizontal und vertikal polarisierte Felder einen Satz von Basisfunktionen bilden, um ein beliebig polarisiertes Feld
darzustellen, bilden links- und rechtszirkular polarisierte Felder eine äquivalente Basis.
(m) (8 Pkt.) Superponieren Sie die komplexen Felder E+ (r) und E− (r), um ein komplexes Feld zu
formulieren, das linear im 45◦ Winkel zwischen x und y-Achse polarisiert ist, zum Zeitpunkt
√
t = −π/(4ω) in der Ebene z = 0 seine Maximalamplitude 2E0 erreicht. Formulieren Sie das
reelle Feld Ihrer Antwort, um ihre Richtigkeit zu überprüfen.
Lösung:
Bei Betrachtung unserer Graphen wird klar, dass wir ein x-polarisiertes Feld erhalten, wenn
wir die Felder E+ und E− superponieren. Offenbar müssen wir das linkszirkular polarisierte
Feld um die Phase π/2 verschieben, um die gewünschte diagonale Polarisation zu erhalten.
Wir finden so
   

 
 


1
1
1
 1

   
  i(kz−π/4)
  ikz √
ikz
E(r) = E0 e
(14)
−i +  i  · (−i) = E0 (1 − i) 1 e = 2E0 1 e


 0

0
0
0
In der Tat erfüllt das zugehörige zeitabhängige Feld E(r, t) die gewünschten Eigenschaften
 
1
√
 
E(r, t) = 2E0 cos(kz − ωt − π/4) 1 .
(15)
0
Die Superposition gegenläufiger ebener Wellen kann zur Ausbildung stehender Wellen führen. Wir
untersuchen zum Abschluss dieser Aufgabe zwei interessante Feldverteilungen, die sich durch
Superposition gegenläufiger zirkular polarisierter Wellen ergeben. Nehmen Sie hierzu ab sofort an,
dass sich alle Wellen im Vakuum ausbreiten.
(n) (3 Pkt.) Formulieren Sie die komplexe Feldverteilung, die sich durch Superposition eines in
positive z-Richtung propagierenden linkszirkular polarisierten Feldes mit einem in negative
z-Richtung propagierenden rechtszirkular polarisierten Feld ergibt. Zeigen Sie, dass das
resultierende Gesamtfeld an jedem Raumpunkt zirkular polarisiert ist.
Lösung:
Das komplexe Feld einer in positive z-Richtung propagierenden linkszirkular polarisierten
Welle lautet
 
1
  ikz
E− (r) = E0  i  e .
(16)
0
Das komplexe Feld einer in negative z-Richtung propagierenden rechtszirkular polarisierten
Welle lautet
 
1
  −ikz
E+ (r) = E0  i  e
.
(17)
0
5
Das Gesamtfeld lautet somit
 
1
 
E± (r) = 2E0 cos(kz)  i  .
0
(18)
(o) (3 Pkt.) Berechnen Sie die Intensität Ihres Feldes aus Teilaufgabe (n) und bestimmen Sie die
Periode der Intensitätsverteilung in Einheiten der Wellenlänge λ.
Lösung:
q
q
Die Intensität lautet I = 12 µε00 |E(r)|2 = 4E02 µε00 cos2 (kz) und hat eine Periode von λ/2.
(p) (5 Pkt.) Formulieren Sie die komplexe Feldverteilung, die sich durch Superposition eines in
positive z-Richtung propagierenden linkszirkular polarisierten Feldes mit einem in negative
z-Richtung propagierenden ebenso linkszirkular polarisierten Feld ergibt. Zeigen Sie, dass
Ihr Feld lokal linear polarisiert ist und geben Sie die Länge (in Einheiten der Wellenlänge) in
z-Richtung an, nach der die lineare Polarisation sich um 90◦ gedreht hat.
Lösung:
Das komplexe Feld einer in negative z-Richtung propagierenden linkszirkular polarisierten
Welle lautet
 
1
  −ikz
E+ (r) = E0 −i e
.
(19)
0
Das Gesamtfeld lautet somit


cos(kz)


E± (r) = 2E0 − sin(kz)
0
(20)
und ist lokal linear polarisiert. Die Polarisation dreht sich um 90◦ nach z = π/(2k) = λ/4.
(q) (3 Pkt.) Berechnen Sie die Intensitätsverteilung Ihres Feldes aus Teilaufgabe (p). Welche
Periode hat die Intensitätsverteilung?
Lösung:
q
Die Intensität lautet I = 2 µε00 E02 , ist also räumlich konstant. Die Periode ist unendlich.
6
2
Polarisierung eines dünnen Films (30 Pkt.)
Aus der Vorlesung ist Ihnen bekannt, dass die Reaktion der Materie auf elektromagnetische Felder
nur bei sehr niedrigen Frequenzen als lineare Antwort im Zeitraum angenommen werden kann. In
dieser Aufgabe betrachten wir die Polarisation eines Materials unter dem Einfluss eines elektromagnetischen Pulses, um uns dispersive Effekte durch frequenzabhängige Materialparameter zu
veranschaulichen. Wir betrachten hierzu einen dünnen Film, der von einem elektromagnetischen
Puls angeregt werde. Der Film befinde sich in der Ebene z = 0 und sei so dünn, dass es ausreicht,
das Feld dort zu betrachten. Das Material des Films sei approximativ durch die lineare elektrische
Suszeptibilität
χ(ω) = χ0 eiω/Ω0
(21)
mit den Materialkonstanten χ0 und Ω0 beschrieben. Das anregende elektrische Feld habe den
Zeitverlauf
2 /t2
0
E(z = 0, t) = E0 e−t
,
(22)
wobei t0 die Pulsdauer und E0 die Pulsamplitude bezeichnen. Wir interessieren uns für die zeitliche
Abhängigkeit der Polarisierung P(t) des Films.
(a) (8 Punkte) Beschreiben Sie in einigen kurzen Sätzen und unter Verwendung von Formeln
(ohne diese auszuwerten) zwei mögliche Vorgehensweisen, um im allgemeinen Fall P(t) aus
E(z = 0, t) und χ(ω) zu berechnen.
Lösung:
Methode 1 (Zeitbereich): Man Fourier-transformiert χ(ω) in den Zeitbereich, um χ̃(t) zu erhalten
Z ∞
χ̃(t) =
dω χ(ω)e−iωt .
(23)
−∞
Der zeitliche Verlauf der Polarisation ist dann durch die Faltung zwischen χ̃ und E gegeben
Z ∞
P(t) = ε0
χ̃(t − t0 ) E(t0 ) dt0 .
(24)
−∞
Methode 2 (Frequenzbereich): Man Fourier-transformiert E(t) in den Frequenzbereich, um
Ê(ω) zu erhalten.
Z ∞
1
Ê(ω) =
dt E(t)eiωt .
(25)
2π −∞
Die zeitabhängige Polarisierung P(t) erhält man dann aus der Fouriertransformation von
P̂(ω) = χ(ω)Ê(ω)
Z ∞
P(t) = ε0
χ(ω) Ê(ω) e−iωt dω.
(26)
−∞
(b) (7 Punkte) Berechnen Sie das Frequenzspektrum Ê(z = 0, ω) des anregenden elektrischen
Feldes aus Gl. (22).
R∞
p
2
Hinweis: Quadratisches Ergänzen sowie das Integral −∞ du e−au = πa sollten hilfreich
sein.
7
Lösung:
Wir berechnen das Frequenzspektrum des elektrischen Feldes durch die Fouriertransformation
Z ∞
1
E(z = 0, t) eiωt dt
(27)
Ê(z = 0, ω) =
2π −∞
Z ∞
E0
2 2
=
e−t /t0 eiωt dt
(28)
2π −∞
" #
Z
E0 ∞
t
t0 ω 2
ωt0 2
=
dt exp −
−i
exp −
(29)
2π −∞
t0
2
2
=
t0
2 2
E0 √ e−t0 ω /4 .
2 π
(30)
(c) (7 Punkte) Berechnen Sie nun P(t) für das anregende Feld aus Gl. (22) und die Suszeptibilität
aus Gl. (21), und bestimmen Sie die zeitliche Verzögerung zwischen der Polarisierung und
dem elektrischen Feld.
Hinweis: Beachten Sie den Hinweis aus Teilaufgabe (b).
Lösung:
Wir verwenden Methode 2 von oben, um auf die Polarisierung zu schliessen
Z ∞
P(t) = ε0
χ(ω) Ê(z = 0, ω) e−iωt dω
−∞
Z ∞
t0 χ0
2 2
= ε0 √ E 0
e−t0 ω /4 e−iω(t−1/Ω0 ) dω
2 π
−∞
2
Z ∞ h t ω i 1 i2
− 12 t− Ω1
t0 χ0
− 02 + t t− Ω
t
0
0
0
e 0
= ε0 √ E 0
e
2 π
−∞
2 /t2
0
= ε0 χ0 E0 e−(t−1/Ω0 )
.
(31)
(32)
(33)
(34)
Die Polarisierung ist somit um τ = 1/Ω0 gegenüber dem elektrischen Feld verzögert.
(d) (3 Punkte) Sie haben soeben festgestellt, dass die Suszeptibilität aus Gl. (21) zu einer
zeitlichen Verzögerung der Polarisierung relativ zum anregenden Feld führt. Verwenden Sie
die Suszeptibilität
2 2
χ(ω) = χ0 eiω/Ω0 e−ω τ /4
(35)
mit der materialspezifischen Konstante τ , um die daraus resultierende Polarisierung unter
dem elektrischen Feld aus Gl. (22) zu berechnen.
Welchen Einfluss hat der Parameter τ auf den Polarisierungspuls?
Lösung:
Wir erhalten durch analoge Rechnung die Polarisierung
t0
2
2
2
P(t) = ε0 χ0 E0 p
e−(t−1/Ω0 ) /(t0 +τ ) .
2
2
τ + t0
p
Der Parameter τ verursacht eine Pulsverbreiterung von t0 auf t20 + τ 2 .
8
(36)
(e) (5 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen der zeitabhängigen Polarisierung für den Fall τ =
t0 = 1/(2Ω0 ). Tragen Sie auf der Abszisse die normierte Zeit tΩ0 auf und auf der Ordinate
die normierte Polarisierung |P| /(|ε0 χ0 E0 |). Beschriften Sie Ihre Achsen. Skizzieren Sie
zusätzlich den Puls im Fall τ = 0, t0 = 1/(2Ω0 ). Beschriften Sie quantitativ die normierte
Polarisierung zum Zeitpunkt t = 0 für beide Pulse. Beschriften Sie quantitativ den Zeitpunkt
beider Pulsmaxima.
Lösung:
Beschriftung x-Achse mit tΩ0 , Beschriftung y-Achse mit P/(ε0 χ0 |E0 |), Gauss’sche Form der
Pulse, in positive x-Richtung versetzte Pulse, Beschriftung 0, 1 auf x-Achse, Beschriftung
Schnittpunkte mit y-Achse.
1
P/(|χ0E0|)
τ=0
τ=1/(2Ω0)
e-2/sqrt(2)
1/e4
0
0
tΩ0
9
1