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Übungsblatt - 15.05.2014
Übungen zur Einführung in die Plasmaphysik
Prof. Dr. Achim von Keudell, SS2014
Abgabe bis Montag, 12.05.2013, 12:00 in den Kasten NB5 Süd oder in der Vorlesung
Nur ein Name pro Lösungsblatt und jedes Blatt mit Namen und Übungsgruppen versehen!
Ansprechpartner ist Christian Maszl (NB5/173)
4.1
Fermi-Beschleunigung
ist ein wichtiges Erklärungsmodell wie Protonen der kosmischen Höhenstrahlung bis auf relativistische Geschwindigkeiten beschleunigt werden und sogar Energien im TeV- oder PeVBereich erreichen können.
Abbildung 1: Magnetische Flasche mit beweglichen Spiegeln.
In diesem Beispiel hat ein Sonnenwindproton eine kinetische Energie von Ek = 2 keV. Dieses sei zwischen zwei beweglichen magnetischen Spiegeln eingefangen. Das Spiegelverhältnis
Rm ist 5. Die Spiegel bewegen sich jeweils mit einer Geschwindigkeit von vm = 10 km/s
aufeinander zu.
(a) Bestimmen Sie die Energie ab welcher das Proton die ruhende magnetische Flasche verlassen könnte wenn man davon ausgeht, daß die parallele Geschwindigkeitskomponente
durch einen Stoß erhöht wird. Es gilt die Invarianz des magnetischen Moments µ. In der
Flaschenmitte gelte v⊥ = vk . [4 Punkte]
(b) Da sich die Spiegel jetzt aufeinander zu bewegen, wird die Energie der Bewegung des
Spiegelfeldes nun auf das Proton übertragen. Zeigen Sie, daß sich die Geschwindigkeit vk
eines Teilchens pro Reflektion an dem beweglichen Spiegel um den Betrag 2vm erhöht.
Dies wird als Fermi-Beschleunigung bezeichnet. [3 Punkte]
Hinweis: Betrachten Sie dazu die Protonenbewegung im Ruhesystem des beweglichen
magnetischen Spiegels.
(c) Wieviele Reflektionen muß das Proton mit anfänglicher Energie Ek erleiden, um die magnetische Flasche mit den beweglichen Spiegeln verlassen zu können? [3 Punkte]
1
4.2
Bernoulli-Gleichung
Die Kraftgleichung für ein Fluidelement ist im stoßfreien Fall gegeben durch
mn
h ∂~u
∂t
i
~ + ~u × B)
~ − ∇p.
+ (~u · ∇)~u = qn(E
(1)
Leiten Sie daraus die Bernoulli-Gleichung für nicht kompressible, elektrisch neutrale Flüssigkeiten
im stationären Fall her [4 Punkte]
1
mnu2 + p = const.
2
4.3
(2)
Komprimierte Flüssigkeiten
(a) Zeigen Sie im eindimensionalen Fall, daß die relative Rate der zeitlichen Änderung eines
kleinen Volumens ∆V als
1 d(∆V )
= ∇ · ~u
(3)
∆V dt
geschrieben werden kann.
Hinweis: Benutzen Sie dazu die Definition der konvektiven Ableitung und die Kontinuitätsgleichung. [3 Punkte]
(b) Die Energieerhaltung in einer stoßfreien Flüssigkeit ist gegeben durch
3
∂ 3 p + ∇ · (p~u) + p∇ · ~u + ∇ · ~q = 0.
∂t 2
2
Zeigen Sie, daß bei Ausdehnung der Flüssigkeit deren innere Energie abnimmt.
Hinweis: Benutzen Sie dazu die Definition der konvektiven Ableitung. [3 Punkte]
Hannes Alfvén, 1970
war ein schwedischer Physiker der mit seinen Arbeiten zu magnetischen Stürmen
und Polarlichtern die moderne Theorie der Magnetosphäre stark beeinflusst hat.
Auf ihn geht auch die heute übliche Methode zur einfacheren theoretischen Beschreibung von magnetisierten Plasmen zurück die Bewegung der Teilchen in eine
lineare Bewegung des Führungszentrums und in eine Kreisbewegung zu separieren.
Er legte auch die Grundlagen der Magnetohydrodynamik (MHD), die die Dynamik
von Plasmen in magnetischen Feldern als Flüssigkeit beschreibt. Nach ihm wurden
auch die sogenannten Alfvén-Wellen benannt.
Im Jahre 1970 wurde ihm, als bislang einzigen Plasmaphysiker, der Nobelpreis für
Physik verliehen für ”fundamental work and discoveries in magneto-hydrodynamics
with fruitful applications in different parts of plasma physics”.
(DPG-Physik, Plasmaphysiker, 26.04.2013)
2
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