Blatt 7

Übungen zur Quantenmechanik 2
Prof. Dr. M. Ratz
Blatt 7
WS 2011/12
Besprechung 05.12.–09.12.
15 : Zur Propagatortheorie
In der Vorlesung wurde die nicht-relativistische Propagatortheorie behandelt. In dieser Aufgabe geht es
darum, einige ergänzende Rechnungen durchzuführen.
(a) Zeigen Sie für die Heaviside-Funktion bei τ 6= 0:
i
θ(τ ) = lim
εց0 2π
Z∞
ds
e−i s τ
.
s + iε
−∞
[Hinweis: Führen Sie das Integral entlang der
reellen Achse in ein Kurvenintegral über und
benutzten Sie den Residuensatz. Siehe rechtsstehende Abbildung. ]
Im z
• −i ε
Re z
(b) Zeigen Sie
lim
εց0
Z
′
i
d4 p i p~·(~x−~x ′ )/~ e−i E (t−t )/~
= − i θ(t − t′ ) e ~
e
2
4
p
~
(2π)
+ iε
E−
m(~
x−~
x ′ )2
2 (t−t′ )
2m
m~
2π i (t − t′ )
3/2
.
(c) Zeigen Sie
(+)
G(+) (x′ , x) = G0 (x′ , x) +
(+)
Dabei sind G(+) und G0
Z
(+)
d4 y G0 (x′ − y) V (y) G(+) (y − x) .
die Greenschen Funktionen zum Hamilton bzw. freien Hamilton.
16 : Eichtransformationen
Betrachten Sie die Schrödingergleichung zur Beschreibung eines Teilchens mit Ladung −e (z.B. ein Elektron) im elektromagnetischen Feld,
2
e~
1 ~~
~ ∂ψ
∇ − A(~
r , t) ψ(~r, t) + e ϕ(~r, t) ψ(~r, t) = 0 .
(~r, t) +
i ∂t
2m i
c
(a) Zeigen Sie, dass diese Gleichung invariant ist unter den Transformationen
i e
ψ(~r, t) → ψ ′ (~r, t) = ψ(~r, t) · e− ~ c α(~r,t) ,
~ r , t) → A
~ ′ (~r, t) = A(~
~ r , t) − ∇α(~
~ r , t) ,
A(~
1
∂α
ϕ(~r, t) → ϕ′ (~r, t) = ϕ(~r, t) +
(~r, t)
c ∂t
mit einer differenzierbaren Funktion α(~r, t). Interpretieren Sie das Ergebnis.
(b) Der Operator für die Geschwindigkeit des Teilchens ist definiert über die Forderung
!
h~
vi =
d
h~
ri .
dt
Berechnen Sie ~
v.
(c) Wie verhält sich h~
v i unter der Transformation in Teilaufgabe (a)?
(d) Berechnen Sie den Kommutator zweier verschiedener Komponenten von ~
v.
1
Hinweis:
In der Woche vor Weihnachten (19.12. bis 23.12.) finden die Übungen bis einschließlich
Mittwoch statt. In der Woche nach den Weihnachtsferien, d.h. vom 9.1. bis 13.1., finden
NUR die Freitags-Übungen statt.
Allgemeine Hinweise
Vorlesung
Die Vorlesung findet Mittwoch, 1200 − 1330 , und Freitag 1015 − 1150 statt. Siehe auch
http://einrichtungen.physik.tu-muenchen.de/T30e/teaching/ws1112/qm2.html
Übungsbetrieb
Die Übungsgruppen sind:
Gruppe
1
2
3
4
5
Tutor
Zeit
Maximilian Fallbacher
Christian Staudt
Anna Brunnbauer
Maximilian Fischer
Frauke Schwarz
Raum
00
00
Mo 12 -14
Di 1200 -1400
Mi 830 -1000
Fr 830 -1000
Fr 1200 -1400
PH 3344
PH 3344
C.3203
PH 3344
C.3202
Siehe auch
http://einrichtungen.ph.tum.de/T30e/share/qm2exercises1112/exercises.d.html
2