Blatt 7
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Übungen zur Quantenmechanik 2 Prof. Dr. M. Ratz Blatt 7 WS 2011/12 Besprechung 05.12.–09.12. 15 : Zur Propagatortheorie In der Vorlesung wurde die nicht-relativistische Propagatortheorie behandelt. In dieser Aufgabe geht es darum, einige ergänzende Rechnungen durchzuführen. (a) Zeigen Sie für die Heaviside-Funktion bei τ 6= 0: i θ(τ ) = lim εց0 2π Z∞ ds e−i s τ . s + iε −∞ [Hinweis: Führen Sie das Integral entlang der reellen Achse in ein Kurvenintegral über und benutzten Sie den Residuensatz. Siehe rechtsstehende Abbildung. ] Im z • −i ε Re z (b) Zeigen Sie lim εց0 Z ′ i d4 p i p~·(~x−~x ′ )/~ e−i E (t−t )/~ = − i θ(t − t′ ) e ~ e 2 4 p ~ (2π) + iε E− m(~ x−~ x ′ )2 2 (t−t′ ) 2m m~ 2π i (t − t′ ) 3/2 . (c) Zeigen Sie (+) G(+) (x′ , x) = G0 (x′ , x) + (+) Dabei sind G(+) und G0 Z (+) d4 y G0 (x′ − y) V (y) G(+) (y − x) . die Greenschen Funktionen zum Hamilton bzw. freien Hamilton. 16 : Eichtransformationen Betrachten Sie die Schrödingergleichung zur Beschreibung eines Teilchens mit Ladung −e (z.B. ein Elektron) im elektromagnetischen Feld, 2 e~ 1 ~~ ~ ∂ψ ∇ − A(~ r , t) ψ(~r, t) + e ϕ(~r, t) ψ(~r, t) = 0 . (~r, t) + i ∂t 2m i c (a) Zeigen Sie, dass diese Gleichung invariant ist unter den Transformationen i e ψ(~r, t) → ψ ′ (~r, t) = ψ(~r, t) · e− ~ c α(~r,t) , ~ r , t) → A ~ ′ (~r, t) = A(~ ~ r , t) − ∇α(~ ~ r , t) , A(~ 1 ∂α ϕ(~r, t) → ϕ′ (~r, t) = ϕ(~r, t) + (~r, t) c ∂t mit einer differenzierbaren Funktion α(~r, t). Interpretieren Sie das Ergebnis. (b) Der Operator für die Geschwindigkeit des Teilchens ist definiert über die Forderung ! h~ vi = d h~ ri . dt Berechnen Sie ~ v. (c) Wie verhält sich h~ v i unter der Transformation in Teilaufgabe (a)? (d) Berechnen Sie den Kommutator zweier verschiedener Komponenten von ~ v. 1 Hinweis: In der Woche vor Weihnachten (19.12. bis 23.12.) finden die Übungen bis einschließlich Mittwoch statt. In der Woche nach den Weihnachtsferien, d.h. vom 9.1. bis 13.1., finden NUR die Freitags-Übungen statt. Allgemeine Hinweise Vorlesung Die Vorlesung findet Mittwoch, 1200 − 1330 , und Freitag 1015 − 1150 statt. Siehe auch http://einrichtungen.physik.tu-muenchen.de/T30e/teaching/ws1112/qm2.html Übungsbetrieb Die Übungsgruppen sind: Gruppe 1 2 3 4 5 Tutor Zeit Maximilian Fallbacher Christian Staudt Anna Brunnbauer Maximilian Fischer Frauke Schwarz Raum 00 00 Mo 12 -14 Di 1200 -1400 Mi 830 -1000 Fr 830 -1000 Fr 1200 -1400 PH 3344 PH 3344 C.3203 PH 3344 C.3202 Siehe auch http://einrichtungen.ph.tum.de/T30e/share/qm2exercises1112/exercises.d.html 2
