Blatt 6
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Übungen zur Quantenmechanik 2 Prof. Dr. M. Ratz Blatt 6 WS 2011/12 Besprechung 28.11.–02.12. 14 : Teilchen im sphärisch symmetrischen Stufenpotential Betrachten Sie die ungebundenen Zustände eines Teilchens der Masse m im Potential −V0 f ür r < r0 , V0 > 0, (α) V (r) = 0 f ür r > r0 bzw. für die Zustände mit 0 < E < V0 beim Potential V0 f ür (β) V (r) = 0 f ür r < r0 , V0 > 0. r > r0 (a) Verwenden Sie die Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten und machen Sie für die Wellenfunktion den Ansatz ψℓµ (~r) = Rℓ (r) Yℓµ (θ, φ). Führen Sie den radialen Anteil der Wellenfunktion auf die Besselsche Differentialgleichung zurück. Zeigen Sie dass sich Rℓ (r) wie folgt schreiben lässt: Aℓ jℓ (Kr) f ür r < r0 (α) Rℓ (r) = (β) Aℓ jℓ (iκr) f ür r < r0 , (α), (β) Bℓ [cos δℓ jℓ (kr) + sin δℓ nℓ (kr)] f ür r > r0 wobei k := K κ r 2mE , ~2 Aℓ = Aℓ (k), Bℓ = Bℓ (k), δℓ = δℓ (k); r = K(k) := r = κ(k) := 2m(V0 + E(k)) , 0 < k < +∞, ~2 r 2m(V0 − E(k)) 2mV0 , 0<k< . 2 ~ ~2 Aus welchen Beziehungen erhält man die Grössen δℓ (k)? (b) Berechnen Sie für die Fälle (α) and (β) speziell die Grösse δ0 (k). (c) Berechnen Sie den totalen Wirkungsquerschnitt für die s-Streuung (ℓ = 0). (d) Unter welcher Voraussetzung ist die Beschränkung auf s-Streuung möglich? (e) Zeigen Sie, dass im q Grenzfall niedriger Energie, kr0 ≪ 1, und für ein schwaches Potential, d.h. für 0 k0 r0 ≪ 1, k0 := 2mV ~2 , aus dem Ergebnis von (c) 2 4πr02 2mV0 r02 σ≃ 9 ~2 folgt. 1 Allgemeine Hinweise Vorlesung Die Vorlesung findet Mittwoch, 1200 − 1330 , und Freitag 1015 − 1150 statt. Siehe auch http://einrichtungen.physik.tu-muenchen.de/T30e/teaching/ws1112/qm2.html Übungsbetrieb Die Übungsgruppen sind: Gruppe 1 2 3 4 5 Tutor Zeit Maximilian Fallbacher Christian Staudt Anna Brunnbauer Maximilian Fischer Frauke Schwarz Raum 00 00 Mo 12 -14 Di 1200 -1400 Mi 830 -1000 Fr 830 -1000 Fr 1200 -1400 PH 3344 PH 3344 C.3203 PH 3344 C.3202 Siehe auch http://einrichtungen.ph.tum.de/T30e/share/qm2exercises1112/exercises.d.html 2
