4. ¨Ubung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2015

4. Übung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2015
Aufgabe 11
Kreisbahnen im Wasserstoffatom
Wir betrachten im Wasserstoffatom Zustände mit maximalem Drehimpuls, d.h. l = n − 1. Der
radiale Anteil der Wellenfunktion für diese Zustände ist gegeben durch
Rn,l=n−1 (r) = q
1
( 12 na0 )2n+1 (2n)!
r
− n·a
·e
0
· r n−1
a) Bestimmen Sie die Erwartungswerte hri, r 2 und die relative Unschärfe des Bahnradius.
b) Berechnen Sie den Bahnradius und seine Unschärfe für n = 50, l = 49 und vergleichen Sie
diese Zahlen mit den Vorhersagen des Bohrschen Atommodells.
Hinweis:
D E ´ Beachten Sie, dass die Integrale für die Erwartungswerte bei dem radialen Anteil die Form
∞ ∗
 = 0 Rn,l
(r)ÂRn,l (r)r 2 dr haben.
Aufgabe 12
Effektives Potential
Die Energien En des Wasserstoffatoms hängen nur von der Hauptquantenzahl n ab. Sie ergeben
sich aus den Randbedingungen des Radialteils, der wiederum über das effektive Potential Vef f (r)
bestimmt wird:
l(l + 1)
2
~2
+
−
Vef f (r) =
2m
a0 r
r2
2
0~
. Obwohl dieses Potential von der Drehimpulsquantenzahl l abhängt, gilt dies nicht
mit a0 = 4πǫ
me2
für die bezüglich l entarteten Energien En .
Es entsteht die Frage, wie En im Bezug zu Vef f für die erlaubten l liegt.
Berechnen Sie dazu die Position rmin und den Wert des Minimums Vef f (rmin ) des effektiven Potentials in Abhängigkeit von l. Vergleichen Sie für Zustände mit maximalem Drehimpuls l = n − 1
das Ergebnis Vef f (rmin ) mit der Energie En , und, falls vorhanden, rmin mit dem Ergebnis für hri
aus Aufg. 11.
Aufgabe 13 (nur E4)
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten im Atom
Berechnen Sie für die Zustände 1s (n = 1, l = 0, m = 0) und 2p (n = 2, l = 1, m = 0) des
Wasserstoffatoms die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons innerhalb eines Radius R für die
Fälle:
a) R = 1 fm (Kernradius),
b) R = a0 (Bohrscher Radius).
Berechnen Sie die gleichen Größen für ein Atom, das aus einem Proton und einem Myon besteht
(Masse mµ = 207 · me ).
Hinweis: Bei der Betrachtung des myonischen Atoms ist zu beachten, dass die Masse des Myons
nicht vernachlässigbar gegenüber der Masse des Protons ist.
Aufgabe 14
Darstellung von Wellenfunktionen
a) Zeichnen Sie für die Zustände 1s, 3s und 4d des Wasserstoffatoms den Radialteil der Wellenfunktion Rn,l (r) als Funktion von r in Einheiten von a0 . Berechnen Sie dazu die Lage der
Nullstellen und Werte der Funktion für r = 0.
b) Ermitteln Sie für die unten dargestellten Wellenfunktionen die Haupt- und Nebenquantenzahl
n, l. Die magnetische Quantenzahl ist m = 0 für alle drei Beispiele. Die farbigen Flächen
stellen die Grenzen dar, wo die Wellenfunktion ψn,l,m(r, θ, φ) einen bestimmten positiven
Wert überschreitet (blau) bzw. negativen Wert unterschreitet (orange). D.h. innerhalb der
blauen Volumina gilt ψn,l,m (r, θ, φ) > c, innerhalb der orangefarbenen ψn,l,m(r, θ, φ) < −c.
Prinzipiell können bei solcher Darstellung mehrere verschiedenfarbige“ Volumina ineinander
”
geschachtelt sein, dies ist jedoch bei den gegebenen Beispielen nicht der Fall.
Hinweise: Die Wellenfunktion ist gegeben durch
1
− r
ψn,l,m(r, θ, φ) = √ · e na0 ·
N
2r
na0
l
· L2l+1
n−l−1
2r
na0
· Ylm (θ, φ)
Für die Kugelflächenfunktionen gilt Ylm (θ, φ) ∝ eimφ · Plm (cos(θ)). Die zugeordneten Laguerre2l+1
(r) haben n − l − 1 verschiedene positive Nullstellen. Die zugeordneten LegendrePolynome Ln−l−1
Polynome Plm (x) haben l − m Nullstellen innerhalb des Intervalls ]−1, 1[.
Z