4. ¨Ubung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2017

4. Übung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2017
Achtung E4P-Teilnehmer:
die Aufgaben 12 und 13 sollen bearbeitet werden und werden in der 5. Übung besprochen.
Aufgabe 11 (nur E4)
Lokalisierung und Energie
Wir betrachten einen lokalisierten Zustand von einem Elektron in 3 Dimensionen, beschrieben durch
die Wellenfunktion
r
2
Ψ(r) = 3 e− b
b2
mit einem Parameter b.
a) Wie stark ist das Elektron lokalisiert? Berechnen Sie dazu die Standardabweichung von hri.
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert hEkin i der kinetischen Energie.
c) Angenommen, dieses Elektron befindet sich im elektrostatischen Feld eines einfach positiv
geladenen Kerns (welcher sich bei r = 0 befindet). Wie groß ist der Erwartungswert hEpot i
der potentiellen Energie?
d) Bestimmen Sie den Parameter bmin , bei welchem hEkin i + hEpot i minimal wird.
Hinweise: Beachten Sie, dass die Operatoren in Kugelkoordinaten
dargestellt werden müssen. Die
´∞
2
∗
Wellenfunktion ist
Beispiel so normiert, dass 0 drr ψ (r)ψ(r) = 1, die Erwartungswerte
D inE diesem
´∞
haben die Form  = 0 drr2 ψ ∗ (r)Âψ(r).
´∞
k!
Es gilt 0 dr · e−c·r rk = ck+1
.
Aufgabe 12
Kreisbahnen im Wasserstoffatom
Wir betrachten im Wasserstoffatom Zustände mit maximalem Drehimpuls, d.h. l = n − 1. Der
radiale Anteil der Wellenfunktion für diese Zustände ist gegeben durch
1
− r
Rn,l=n−1 (r) = q
· e n·a0 · rn−1
( 12 na0 )2n+1 (2n)!
a) Bestimmen Sie die Erwartungswerte hri, r2 und die relative Unschärfe des Bahnradius.
b) Berechnen Sie den Bahnradius und seine Unschärfe für n = 50, l = 49 und vergleichen Sie
diese Zahlen mit den Vorhersagen des Bohrschen Atommodells.
Hinweis:
D E ´ Beachten Sie, dass die Integrale für die Erwartungswerte bei dem radialen Anteil die Form
∞
∗ (r)ÂR (r) haben.
 = 0 drr2 Rn,l
n,l
Aufgabe 13
Effektives Potential
Die Energien En des Wasserstoffatoms hängen nur von der Hauptquantenzahl n ab. Sie ergeben
sich aus den Randbedingungen des Radialteils, der wiederum über das effektive Potential Vef f (r)
bestimmt wird:
~2
2
l(l + 1)
Vef f (r) =
−
+
2m
a0 r
r2
2
0~
mit a0 = 4π
. Obwohl dieses Potential von der Drehimpulsquantenzahl l abhängt, gilt dies nicht
me2
für die bezüglich l entarteten Energien En .
Es entsteht die Frage, wie En im Bezug zu Vef f für die erlaubten l liegt.
Berechnen Sie dazu die Position rmin und den Wert des Minimums Vef f (rmin ) des effektiven Potentials in Abhängigkeit von l. Vergleichen Sie für Zustände mit maximalem Drehimpuls l = n − 1
das Ergebnis Vef f (rmin ) mit der Energie En , und, falls vorhanden, rmin mit dem Ergebnis für hri
aus Aufg. 12.
Aufgabe 14 (nur E4)
Verschränkte Zustände
Betrachten Sie den folgenden verschränkten Zustand von zwei Spin- 12 Teilchen A und B:
1
|Ψ− iAB = √ (|1iA |2iB − |2iA |1iB )
2
dabei sind |1i, |2i Eigenzustände der Pauli-Matrix σ̂z .
a) Die Observablen Â(α), B̂(α) beschreiben Spin-Messungen an den Teilchen A und B in der
x-y Ebene und haben die Form
Â(α) = (cos(α)σ̂x + sin(α)σ̂y )A
B̂(β) = (cos(β)σ̂x + sin(β)σ̂y )B
dabei wirkt Â(α) nur auf Teilchen A, B̂(β) nur auf Teilchen B.
Zeigen Sie, dass bei gleich ausgerichteten Messungen (α = β) die Messergebnisse immer antikorreliert sind. Berechnen Sie den Erwartungswert hΨ− | Â(α) ⊗ B̂(α)|Ψ− i.
Hinweis: stellen Sie die Zustände |1iA,B , |2iA,B in der Basis der Eigenzustände von Â(α),
B̂(α) dar.
b) Berechnen Sie die Zweiteilchen-Dichtematrix ρAB für den Zustand |Ψ− iAB .
c) Berechnen Sie die reduzierte Dichtematrix des Teilchens A durch partielle Spurbildung über
das Teilchen B. Ist das Teilchen A für sich genommen in einem reinen oder gemischten
Zustand?
P
Hinweis: die partielle Spur der Matrix ρjkj 0 k0 ist gegeben durch ρll0 = k∈{1,2} ρlkl0 k .