Übung 12 Resonatoren und Wellenleiter

Elektromagnetische Felder & Wellen
Frühjahrssemester 2017
Photonics Laboratory, ETH Zürich
www.photonics.ethz.ch
Übung 12
Abgabe: 30.05. bzw. 02.06.2017
Resonatoren und Wellenleiter
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Kennzahlen eines Resonators: Finesse, Güte und Modenvolumen (50 Pkt.)
Wir betrachten einen einfachen Resonator, bestehend aus zwei identischen, symmetrischen, verlustfreien Spiegeln im Abstand L im Vakuum. Der Fresnelkoeffizient für Reflexion am Spiegel sei r,
jener für Transmission it (r, t ∈ , t 1, r2 + t2 = 1). Die Phase, die durch Propagation aufgrund
der endlichen Spiegeldicke aufgenommen wird, sei in t bereits enthalten.
Wir widmen uns zunächst den Kenngrösse Finesse und Güte des Resonators und betrachten
dazu einen Resonator mit planaren Spiegeln. Hierzu bestimmen wir die Transmission des Resonators und senden einen Laserstrahl mit Leistung Pin unter normalem Einfall auf den Resonator,
variieren die Frequenz ω des Lasers, und messen dabei die transmittierte Leistung Pout .
Wir beschreiben die Felder innerhalb und ausserhalb des Resonators zunächst als vorwärts und
rückwärts propagierende ebene Wellen. Die komplexe Amplitude des einfallenden Feldes sei Ein
und jene des reflektierten Feldes Eref . Im Resonator propagiere ein Feld mit Amplitude EFW in die
Vorwärts- und mit EBW in die Rückwärtsrichtung. Hinter dem Resonator besteht nur ein vorwärts
propagierendes Feld mit Amplitude Etrans .
R
(a) (5 Pkt.) Formulieren Sie einen Satz linearer Gleichungen für die komplexen Amplituden Ein ,
Et , Eref , EFW , EBW und lösen Sie das System auf nach Et .
(b) (5 Pkt.) Wir betrachten den Term r2 e2ikL , der Ihnen in der vorhergehenden Teilaufgabe
begegnet sein sollte. Zeigen Sie, dass im Limes hochreflektierender Spiegel gilt
δ
r2 e2ikL ≈ 1 − t2 + 2it2 ,
κ
(1)
wobei κ ein noch zu untersuchender Parameter und δ = ω − ωn und δ die Verstimmung relativ
zur nten Resonatormode ist.
(c) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass die Leistungstransmissionsrate T durch den Resonator als Funktion der Frequenz einer Lorentzfunktion entspricht, deren Halbwertsbreite Ihnen in Ihren
Betrachtungen bereits begegnet ist.
(d) (5 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen der Leistungstransissionsrate T . Normieren Sie Ihre
Achsen geeignet, um dimensionslose Grössen aufzutragen.
1
(e) (5 Pkt.) Die freie Spektralbreite eines Resonators ist definiert als der Abstand im Frequenzraum
zwischen aufeinanderfolgenden Transmissionsmaxima. Bestimmen sie die freie Spektralbreite
ωFSR des betrachteten Resonators der Länge L unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit c.
(f) (5 Pkt.) Wir stellen uns nun vor, eine Resonatormode sei mit einem gegebenen Feld populiert
und es gebe kein einfallendes Feld. Bestimmen Sie die Zeitkonstante, die das Ausklingen der
Energie E im Resonator laut Ė = −γE beschreibt. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der zuvor
bestimmten Linienbreite κ.
Hinweis: Überlegen Sie sich, welche Energie pro Umlauf im Resonator aus der Mode verloren
geht und die Umlaufzeit.
(g) (5 Pkt.) In technischen Diskussion ist oftmals von der Finesse eines Resonators die Rede.
Wie jede brauchbare “figure of merit”, ist die Finesse eine dimensionslose Grösse. Sie ist
definiert als das Verhältnis von freier Spektralbreite zu Linienbreite. Überzeugen Sie sich,
dass die Finesse unseres verlustfreien Resonators lediglich von der Spiegelqualität abhängt.
(h) (5 Pkt.) Eine weitere dimensionslose Kennzahl eines Resonators ist seine Güte Q (engl. quality
factor). Im Gegensatz zur Finesse misst die Güte die Linienbreite nicht relativ zur freien
spektralen Breite, sondern relativ zur Modenfrequenz ω. Zeigen Sie, dass die Güte unseres
verlustlosen Resonators ausser von der Spiegelqualität noch von seiner Länge (gemessen in
Einheiten der Wellenlänge) abhängt.
(i) (10 Pkt.) Nun wenden wir uns dem Modenvolumen zu. Nachdem die Moden zwischen
zwei planaren Spiegeln ebene Wellen mit unendlicher Ausdehnung sind, wenden wir uns
einem Resonator mit gekrümmten Spiegeln zu. Die betrachteten Resonatormoden seien
Superpositionen von vorwärts- und rückwärtspropagierenden Gauss’schen Strahlen. So laute
die Modenfunktion des vorwärtspropagierenden (in positive x-Richtung) Feldes
ρ2
ρ2
π
w0
FW
exp − 2
+ ikx + ik
−i
nz .
(2)
Em = E0
w̃(x)
w̃ (x)
2x
2
Formulieren Sie das Feld der Resonatormode Em (r) und berechnen Sie das Modenvolumen
Vm , das definiert ist als
Z
|Em (r)|2
h
i.
Vm =
dV
(3)
V
max |Em |2
Bedenken Sie, dass Sie das Feld bei Resonanz betrachten und überzeugen Sie sich, dass
das Modenvolumen aussschliesslich von geometrischen Parametern abhängt.
2
2
Reflexion im Wellenleiter (50 Punkte)
Wir betrachten die T M11 -Mode eines in z-Richtung unendlich ausgedehnten Wellenleiters mit perfekt
reflektierenden Wänden und rechteckigem Querschnitt, der mit einem Medium mit Wellenimpedanz
Z gefüllt sei. Die Abmessungen des Wellenleiters seien Lx in x-Richtung und Ly in y-Richtung.
Hinweis: In dieser Aufgabe sollten folgende, Ihnen aus der Vorlesung bekannten Relationen, hilfreich
sein (es gilt kt2 = kx2 + ky2 )
Exxy
=
Eyxy =
Hxxy =
Hyxy =
ikz ∂ Ezxy
ik ∂ Hzxy
+ 2
,
Z 2
kt ∂y
kt ∂x
ik ∂ Hzxy
ikz ∂ Ezxy
−Z 2
+ 2
,
kt ∂x
kt ∂y
1 ik ∂ Ezxy
ikz ∂ Hzxy
−
+
,
Z kt2 ∂y
kt2 ∂x
1 ik ∂ Ezxy
ikz ∂ Hzxy
+ 2
.
Z kt2 ∂x
kt ∂y
(4)
(5)
(6)
(7)
y
x
Ly
z
Lx
(a) (4 Pkt.) Wie lauten die Komponenten des Wellenvektors k = (kx , ky , kz ) der T M11 -Mode bei
Kreisfrequenz ω?
(b) (3 Pkt.) Wie lautet die z-Komponente Ez (x, y, z = 0) des komplexen elektrischen Feldes in der
Ebene z = 0?
(c) (6 Pkt.) Berechnen Sie das komplexe elektrische Feld E(x, y, z) und das komplexe Magnetfeld
H(x, y, z) im Wellenleiter.
(d) (7 Pkt.) Berechnen Sie den zeitgemittelten Poyntingvektor hSi im Wellenleiter. In welche
Richtung zeigt er? Ergibt Ihr Resultat Sinn?
(e) (6 Pkt.) Berechnen Sie die durch den Wellenleiter transportierte Leistung.
Rπ
Rπ
Hinweis: Die Integrale 0 du sin2 u = 0 du cos2 u = π/2 sollten hilfreich sein. Ihr Ausdruck für
die Leistung sollte die Grössen E0z , kz , k, kt , Lx , Ly und numerische Konstanten enthalten.
Ab sofort sei der Wellenleiter im Halbraum z < 0 mit einem Medium 1 mit Brechungsindex n1 gefüllt,
im Halbraum z > 0 mit einem Medium 2 mit Brechungsindex n2 . Es propagiere eine T M11 -Mode
mit Kreisfrequenz ω in positive z-Richtung auf die Grenzfläche zu. Im Folgenden bestimmen wir den
komplexen Reflexionskoeffizienten für die Mode. Wir schreiben das totale Feld in unserem Problem
als ein einfallendes Feld Ein , ein reflektiertes Feld Eref und ein transmittiertes Feld Etrans .
3
y
x
Ly
z
Lx
(f) (3 Pkt.) Welches Verhältnis gilt zwischen den transversalen Wellenzahlen des einfallenden
Feldes kxin , kyin und jenen des reflektierten Feldes kxref , kyref bzw. des transmittierten Feldes
kxtrans , kytrans ?
(g) (3 Pkt.) Drücken Sie den Betrag des Wellenvektors im Medium i durch die Frequenz ω, die
Lichtgeschwindigkeit c und den Brechungsindx ni aus. Formulieren Sie die Wellenimpedanzen
Zi sowie die Brechungsindizes ni durch die Materialparameter εi und µi im Medium i.
(h) (8 Pkt.) Die komplexe Amplitude des einfallendes Feldes sei E0in . Wir schreiben die Amplitude des reflektierten Feldes als E0ref = rT M E0in und jene des transmittierten Feldes als
E0trans = tT M E0in , mit dem komplexen Reflexionskoeffizienten rT M und dem komplexen Transmissionskoeffizienten tT M . Verwenden Sie die Stetigkeitsbedingungen für das E-Feld und jene
für das H-Feld, um den Reflexionskoeffizienten rT M in Abhängigkeit von kz1 , kz2 , ε1 , ε2 , µ1 , µ2
zu bestimmen.
(i) (5 Pkt.) Sie sollten in der vorhergehenden Teilaufgaben für den Reflexionskoeffizienten rT M
der betrachteten T M -Mode gerade den Fresnelkoeffizienten rp gefunden haben. Erklären Sie
dieses Resultat intuitiv in wenigen Sätzen.
(j) (5 Pkt.) Ist es möglich, dass eine einfallende Welle im Medium 1 propagierend ist, jedoch
im Medium 2 evaneszent? Welche Bedingung müsste hierzu für n2 gelten (in Abhängigkeit
von Lx , Ly und k0 = ω/c)? Welcher Anteil der einfallenden Intensität würde dann an der
Grenzfläche im Wellenleiter reflektiert werden?
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