Vektorrechnung: Produkte
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Vektorrechnung Produkte Die Luft fliesst von aussen gegen das Zentrum des Tiefdruckgebiets über Island. Wegen der Erdrotation beginnt die Luft zu rotieren. Die bewegte Luft nimmt Wolken auf ihrem Weg mit und zeigt uns so die Bewegung. An jedem Ort dieses Bildes ist die Luft verschieden schnell und fliesst in verschiedene Richtungen. Jedem Ort kann sein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet: Dies ist ein Vektorfeld. 1. Das Skalarprodukt G G Definition: Um das Skalarprodukt von zwei Vektoren a und b zu bestimmen, addiert man die Produkte der Komponenten: § a1 · § b1 · G G ¨ ¸ ¨ ¸ a ⋅ b = ¨ a2 ¸ ⋅ ¨ b2 ¸ = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3 ¨ a ¸ ¨b ¸ © 3¹ © 3¹ G G §a · §b · a ⋅ b = ¨ 1 ¸ ⋅ ¨ 1 ¸ = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 © a2 ¹ © b2 ¹ G G Satz: Das Skalarprodukt von zwei Vektoren a und b definiert den Winkel zwischen den beiden Vektoren. Es gilt: G G G G a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ( ϕ ) G Aufgabe 1: Zeichne in der Figur den Winkel ϕ ein. Wo liest man die Länge a ? Wo kann man in G der Figur die Strecke b cos ( ϕ ) ablesen? Zeichne diese Strecke mit Farbe ein. Aufgabe 2: Berechne das Skalarprodukt der Vektoren und den Winkel zwischen den beiden: a) § −1· ¨¨ ¸¸ ©4¹ und §5· ¨¨ ¸¸ © −1¹ b) § −6 · ¨ ¸ ¨8¸ ¨0¸ © ¹ und § −3 · ¨ ¸ ¨ 12 ¸ ¨4¸ © ¹ Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus! G G Das Resultat des Skalarprodukts a ⋅ b ist ein ………………………. G G Der Winkel ϕ zwischen den beiden Vektoren a und b ist gegeben durch: …………………… G G G G G Das Skalarprodukt a ⋅ b ist die Länge des Vektors a mal die ………… von b entlang a , d.h. G G das Produkt des …………… von a und der ……………… des Vektors … auf den Vektor a . Eigenschaften des Skalarprodukts Aufgabe 4: Berechne das Skalarprodukt und den Winkel von diesem Vektor § −3 · ¨ ¸ ¨ 12 ¸ ¨4¸ © ¹ § · § · § · ¨0¸ © ¹ ¨0¸ © ¹ ¨ 1¸ © ¹ G ¨ 1¸ G ¨ 0 ¸ G ¨ 0 ¸ und den Basisvektoren e x = ¨ 0 ¸ , ey = ¨ 1 ¸ , ez = ¨ 0 ¸ . Notiere welche Bedeutung die Winkel zwischen einem Vektor und den Basisvektoren haben? Vektorrechnung: Produkte Seite 2 www.mathema.ch (November 11) G § 1· G § −2 · G § −3 · G § −2 · Aufgabe 5: Gegeben sind die Vektoren a = ¨¨ ¸¸ , b = ¨¨ ¸¸ , c = ¨¨ ¸¸ , d = ¨¨ ¸¸ © 3¹ G G G G Berechne a) a b ¸ c d G § G Aufgabe 6: Berechne a2 für a = ¨¨ b) 4· ¸¸ © −3 ¹ ©4¹ © −1¹ G G G G a 3 ¸ b ¸ 2 ¸ c d . © 1¹ mit der Definition des Skalarprodukts. Vergleiche dein G Resultat mit dem Betrag von a . Verstehst du geometrisch, weshalb dies so ist? Betrachte dazu den Satz über den Zwischenwinkel und auch die Figur dazu. G § Aufgabe 7: Die Vektoren a = ¨¨ 4· ¸¸ © −3 ¹ G § 3· und b = ¨¨ ¸¸ stehen senkrecht aufeinander. © 4¹ a) Überlege dir, ob dies stimmt. Zeichne dazu die Vektoren in einem Koordinatensystem ein. b) Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren mit der Definition. c) Begründe das Ergebnis mithilfe der Formel für den Zwischenwinkel und auch mit der Figur. G G § 2· G § 3 · G § −3 · G Aufgabe 8: a = ¨¨ ¸¸ , b = ¨¨ ¸¸ und c = ¨¨ ¸¸ . Die Vektoren b und c stehen senkrecht aufeinander. © 1¹ © −1¹ G G G G a) Berechne a ⋅ b und a ⋅ c . © 1¹ G G b) Zeichne die Vektoren. Ist der Winkel zwischen den Vektoren b und a spitz, recht oder G G stumpf? Und der Winkel zwischen den Vektoren c zu a ? c) Schreibe auf, wie man dies (spitzer, rechter oder stumpfer Winkel) den Ergebnissen von Aufgabe a erkennt? d) Begründe auch geometrisch, weshalb dies so ist. G § −2 · G §7 · Aufgabe 9: Hier sind zwei beliebige Vektoren vorgegeben: a = ¨¨ ¸¸ und b = ¨¨ ¸¸ . ©5¹ ©4¹ G G G G a) Berechne a ⋅ b und b ⋅ a . b) Begründe, weshalb dies so ist. Aufgabe 10: Fülle die Lücken aus! Ist der Winkel zwischen zwei Vektoren spitz, so ist ihr Skalarprodukt ……………… Ist der Winkel zwischen zwei Vektoren stumpf, so ist ihr Skalarprodukt ……………… Ist zwischen zwei Vektoren ein rechter Winkel, so ist ihr Skalarprodukt ……………… Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist gegen durch: ……………………………… G G Das Skalarprodukt ist ……………………………… : a ⋅ b = …………… G Das Quadrat eines Vektors ist das Quadrat seines …………………… a2 = ........ = ........ ( ) Aufgabe 11: Berechne die Innenwinkel des Dreiecks A(2|1|–3)B(–3|0|1)C(7|–1|–1). G G G G G G G G G Aufgabe 12: Es sei a + b − c = 0 und c = 5. Wie viel ist dann a ⋅ c + b ⋅ c ? Vektorrechnung: Produkte Seite 3 www.mathema.ch (November 11) Beweis des Satzes Aufgabe 13: Der Satz über den Zwischenwinkel wurde bis jetzt nicht bewiesen. Versuche diesen Beweis zu vervollständigen: Wir betrachten das nebenstehende …………….. G G G bestehend aus den drei Vektoren a , b und c . In jedem Dreieck gilt der ………………satz: c 2 = a2 + b2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos( γ ) mit den Vektoren geschrieben G G G c 2 = a2 + ......2 − 2 ⋅ a ⋅ .......·cos( γ ) G G G G Es gilt c = b − a . Wir ersetzen also c : G (b − ............) 2 G = a2 + ......2 − 2 ⋅ ................................ und rechnen die Klammern auf der linken Seite aus: G G G b2 − 2 ⋅ b ⋅ a + ......... = ........................................................................ Nun vereinfachen wir soweit wie möglich: G G −2 ⋅ b ⋅ a = ........................................................................ und dividieren durch ………… G G a ⋅ b = ........................................................................ ! Das Zeichen ! zeigt an, dass der Beweis hier zu Ende ist. Hast du alles verstanden? Sonst liesst du alles noch einmal von Anfang an durch. Was haben wir eigentlich beweisen? Schreibe in ganz kurzen Worten, auf was die Beweisidee in diesem Beweis ist. Vektorrechnung: Produkte Seite 4 www.mathema.ch (November 11) Übungen zum Skalarprodukt Aufgabe 14: a) b) G G G G G G Es ist a = 6, a ⋅ b = −48 2 und ( ( a, b ) = 135°. Berechne b . G G G G G G Es ist c 2 = 16, d2 = 25 und c ⋅ d = 15. Berechne ( ( c, d) . Aufgabe 15: Gegeben sind die Punkte A(3|4|–2), B(–3|5|8) und C(2|–6|5). Berechne JJG §¨ 7 ·¸ a) die Koordinaten des Punktes P, sodass AP = ¨ −6 ¸ gilt. ¨8¸ © ¹ b) die Koordinaten des Punktes D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist. c) die Koordinaten des Mittelpunktes von AB . JJJG JJG JJG JJG d) den Zwischenwinkel der Vektoren AB und AC bzw. BC und BA . Aufgabe 16: Für welchen Wert von u sind §3· ¨ ¸ ¨ −2 ¸ ¨3¸ © ¹ § u· ¨ ¸ ¨ −6 ¸ ¨ 2¸ © ¹ und senkrecht zueinander? § · § 4· ¨ ¸ ¨ 3¸ ¨ 8¸ © ¹ G ¨7 ¸ Aufgabe 17: Der Vektor a = ¨ y ¸ steht normal auf den Vektoren ¨z¸ © ¹ G Aufgabe 18: Gegeben sind die Vektoren a = § 1· ¨ ¸ ¨ 2¸ , ¨z¸ © ¹ G b = § −2 · ¨ ¸ ¨ y ¸. ¨ 1¸ © ¹ und § −5 · ¨ ¸ ¨ 20 ¸ . ¨ 9¸ © ¹ Berechne y und z. G G Ermittle y und z so, dass a und b ein Quadrat aufspannen. Wie gross ist die Fläche des Quadrates? Aufgabe 19: Zeige, dass die Punkte A(11|–1|–4), B(6|–4|–3), C(4|0|–1) und D(9|3|–2) in dieser Reihenfolge ein Rechteck bilden. § −1· 3 G §¨ ·¸ G ¨ ¸ G §¨ Aufgabe 20: Zeige, dass die Vektoren a = ¨ −2 ¸ , b = ¨ 3 ¸ , c = ¨ ¨ −5 ¸ © ¹ ¨ 1¸ © ¹ 2· ¸ 1¸ ¨ ¸ © −4 ¹ ein rechtwinkliges Dreieck bilden. § 3· G ¨ ¸ Aufgabe 21: Berechne den Winkel zwischen dem Vektor a = ¨ 4 ¸ und der xz-Ebene. ¨5¸ © ¹ Aufgabe 22: Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(4|2|1) und B(8|–2|3). Unter welchem Winkel schneidet sie die xy-Ebene? Aufgabe 23: Die Gerade g geht durch die Punkte A(0|0) und B(2|4), die Gerade h geht durch die Punkte C(4|5) und D(6|0). Unter welchem Winkel schneiden sich g und h? Aufgabe 24: Gegeben sind die Punkte A(–2|3|–2) und B(–6|–1|1). Für welche Punkte P der x-Achse misst der Winkel ∠APB 90°? Aufgabe 25: Für welche Punkte P der y-Achse gilt ∠PAB = 45°, wenn A(2|–2|0) und B(0|–1|2)? Vektorrechnung: Produkte Seite 5 www.mathema.ch (November 11) 2. Das Vektorprodukt G G Definition: Das Vektorprodukt von zwei Vektoren a und b ist wie folgt festgelegt: § a1 · § b1 · § a2b3 − a3b2 · G G ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a × b = ¨ a2 ¸ × ¨ b2 ¸ = ¨ a3b1 − a1b3 ¸ ¨ a ¸ ¨b ¸ ¨ a b − a b ¸ 2 1 ¹ © 3¹ © 3¹ © 1 2 Satz: Für den Betrag des Vektorprodukts von zwei G Vektoren a und gilt einen ähnliche Beziehung für das Skalarprodukt: G G G G a × b = a ⋅ b ⋅ sin ( ϕ ) Aufgabe 26: Berechne diese Ausdrücke! a) § 4· § 3 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ × ¨ −1¸ ¨ 1¸ ¨ 0 ¸ © ¹ © ¹ b) § −5 · § 4 · ¨¨ 3 ¸¸ × ¨¨ 8 ¸¸ © ¹ © ¹ c) § 3 · § 1 · § −4 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 1 ¸ × ¨ 2¸ + ¨ 9 ¸ ¨ −2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ −6 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ d) § 9 · § −8 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ −6 ¸ × ¨ 12 ¸ + 3 ¨ −3 ¸ ¨ −5 ¸ © ¹ © ¹ G Aufgabe 27: Berechne mit dem Skalarprodukt den Winkel ϕ zwischen den beiden Vektoren a G G G G G und b . Zeige nun, dass a × b = a ⋅ b ⋅ sin ϕ stimmt. § 3· § −1· G ¨ ¸ G ¨ ¸ a) a = ¨ 4 ¸ , b = ¨ 2 ¸ ¨0¸ © ¹ ¨2¸ © ¹ §2· §0· G ¨ ¸ G ¨ ¸ b) a = ¨ −3 ¸ , b = ¨ 8 ¸ ¨6¸ © ¹ ¨ −6 ¸ © ¹ G G G G G G c) Berechne diese Skalarprodukte für Teilaufgabe a und b: ( a × b ) ⋅ a und ( a × b ) ⋅ b . Schreibe auf, was das Ergebnis bedeutet. Aufgabe 28: Zeichne in der der Figur den Winkel ϕ ein. Wo kann man in der Figur die Strecke G b sin ( ϕ ) sehen? Zeichne sie ein. Welche Bedeutung hat diese Strecke im Parallelogramm? G G G Welche Bedeutung hat die Strecke a ? Was berechnet das Produkt a ⋅ b ⋅ sin ( ϕ ) demnach? Aufgabe 29: Fülle die Lücken aus! G G Das Resultat des Vektorprodukts a × b ist ein ………………………. . Dieser Vektor steht G G ………………………………… auf den Vektoren a und b . Das Vektorprodukt ist nur im ………………. (… Dimensionen) definiert, nicht jedoch in der …………… (… Dimensionen). G G G G Der Betrag des Vektorprodukts a × b ist ……………………………… A des von a und b aufgespannten …………………………………………… Vektorrechnung: Produkte Seite 6 www.mathema.ch (November 11) Aufgabe 30: Einige grundsätzliche Überlegungen: G G a) Berechne a × a G G G b) Wann gilt a × b = 0 . G G c) Berechne e x × ey . § · G G G §¨ 2 ·¸ G ¨ 1¸ G G Aufgabe 31: Berechne a × b und b × a für die Vektoren a = ¨ −2 ¸ und b = ¨ 3 ¸ . ¨ −1¸ © ¹ ¨ 1¸ © ¹ Vergleiche die beiden Resultate. Was stellst du fest. Erkläre geometrisch, weshalb dies so ist. Aufgabe 32: Fülle die Lücken aus! G G Sind zwei Vektoren a und b kollinear, so ist das Vektorprodukt gleich dem …………………………………… G G G G Die Vektoren a , b und a × b sind in dieser Reihenfolge gleich orientiert wie die drei G G G G ………………………………, d.h. a , b und a × b bildet ein ………………system. G G G G Das Vektorprodukt ist nicht ………………………………… : a × b = …. (b × a ) . Beweis des Satzes G G G G Aufgabe 33: Der Satz a × b = a ⋅ b ⋅ sin ( ϕ ) erscheint plausibel. Beweisen haben wir ihn jedoch noch nicht! Der Beweis ist eher handwerklicher Natur. Versuche ihn nachzuvollziehen und beschreibe ihn dann in kurzen Worten! G G2 a×b = § a2b3 − a3b2 · ¨ ¸ ¨ a3b1− a1b3 ¸ ¨ ¸ ¨ a b −a b ¸ © 12 2 1¹ 2 § a b −a b · ¨ 2 3 3 2¸ § a b −a b · ¨ 2 3 3 2¸ ¨ a b −a b ¸ © 12 2 1¹ ¨ a b −a b ¸ © 12 2 1¹ = ¨¨ a3b1−a1b3 ¸¸ ⋅ ¨¨ a3b1−a1b3 ¸¸ = ( a2b3 − a3b2 ) + ( a3b1 − a1b3 ) + ( a1b2 − a2b1 ) 2 2 2 = ( a2b3 ) + ( a3b2 ) + ( a3b1 ) + ( a1b3 ) + ( a1b2 ) + ( a2b1 ) − 2a2b3a3b2 − 2a3b1a1b3 − 2a1b2a2b1 2 2 ( 2 )( 2 2 ) = a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 − ( a1b1 + a2b2 + a3b3 ) G2 G2 G G = a ⋅ b − a⋅b ( ) 2 G2 G2 G G = a ⋅ b − a ⋅ b ⋅ cos ( ϕ ) ( ) 2 2 2 G2 G2 G2 G2 = a ⋅ b 1− cos2 ( ϕ ) = a ⋅ b sin2 ( ϕ ) ( ) G G G G a × b = a ⋅ b sin ( ϕ ) Vektorrechnung: Produkte ,! Seite 7 www.mathema.ch (November 11) Übungen zum Vektorprodukt G G Aufgabe 34: Berechne den Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogrammes: § 1· §2· G ¨ ¸ G ¨ ¸ a) a = ¨ 0 ¸ , b = ¨ −2 ¸ ¨ 3¸ © ¹ ¨3¸ © ¹ b) § −1· § 4· G ¨ ¸ G ¨ ¸ a = ¨ 2 ¸ , b = ¨ −5 ¸ ¨0¸ © ¹ ¨8¸ © ¹ Aufgabe 35: Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks A(1°0°2)B(–2°4°0)C(8°2°–1). Aufgabe 36: Zwei Punkte sind gegeben: A(0|10|4) und B(2|14|8). Für welche Punkte C auf der x-Achse hat das Dreieck ABC die Fläche 18? § 2· § −1· G G ¨ ¸ G ¨ ¸ Aufgabe 37: Bestimme einen Vektor x so, dass er senkrecht zu den Vektoren u = ¨ 4 ¸ und v = ¨ 1 ¸ ¨6¸ © ¹ G G G steht, dass er den Betrag 12 besitzt und dass u , v und x in dieser Reihenfolge ein Linkssystem bilden. ¨ 1¸ © ¹ Aufgabe 38: A(6|8|3), B(3|2|1), C(9|0|–2), Die Punkte A, B und C sind die Ecken der Grundfläche eines geraden dreiseitigen Prismas mit Volumen 343. Die entsprechenden Ecken der Deckfläche seien D, E bzw. F. Bestimme diese Ecken. Aufgabe 39: ABCD ist die Grundfläche einer geraden quadratischen Pyramide mit der Höhe h = 9. Berechne die beiden möglichen Spitzen, wenn A(3|5|5), B(1|1|1) und C(5|3|–3) bekannt sind. Aufgabe 40: Das Dreieck A(2°2°0) B(0°4°1) C(4°–6°2) ist die Grundfläche einer Pyramide ABCS. Der Punkt S liege auf der Geraden g, die senkrecht zur Grundfläche der Pyramide steht und durch den Schwerpunkt des Dreiecks ABC geht. Bestimme S so, dass das Pyramidenvolumen 27 beträgt. Vektorrechnung: Produkte Seite 8 www.mathema.ch (November 11) 3. Das Spatprodukt Definition: Das Spatprodukt von drei Vektoren G G G a , b und c ist wie folgt festgelegt: G G G G (G ) G ( a,b, c) = a × b ⋅ c G G G Aufgabe 41: Ist a × b ⋅ c ein Vektor oder ein Skalar? ( ) G G G Aufgabe 42: Ist das Produkt ( a × b ) ⋅ c in der Ebene \ 2 bzw. im Raum \ 3 definiert? G G G G G G Aufgabe 43:Wir können das Skalarprodukt anders schreiben, also: ( a × b ) ⋅ c = a × b ⋅ c ⋅ cos ( ϕ ) . G G a) Zeichne den Vektor a × b in der Figur ein. b) Wo sieht man den Winkel ϕ? G G c) Welche Bedeutung hat a × b ? G d) Wo sieht man c ⋅ cos ( ϕ ) in der Figur. Welche Bedeutung hat diese Grösse? G G G e) Was berechnet ( a × b ) ⋅ c also? G G G Satz: Der Betrag des Spatprodukts von drei Vektoren a , b und c ist das Volumen V des von den drei Vektoren aufgespannten Spats. Es gilt: G G G V = ( a,b, c ) G G G Aufgabe 44: Die drei Vektoren a , b und c liegen in einer Ebene. Welcher Wert hat das G G G Spatprodukt ( a,b, c ) ? a) Welches Volumen hat der aufgespannte Spat? G G G G G G b) Das Spatprodukt ist so festgelegt: ( a,b, c ) = ( a × b ) ⋅ c Überlege dir, in welche Richtung der G G G Vektor a × b liegt. Was ergibt das Skalarprodukt aus diesem Vektor und c ? Aufgabe 45: Ergänze diesen Satz:: G G G Liegen die drei Vektoren a , b und c in einer …………………….., d.h. sind sie linear …………………………, so ist das Spatprodukt ……… Aufgabe 46: Berechne das Spatprodukt der folgende drei Vektoren. Sind die Vektoren voneinander linear abhängig? a) −2 4 G § · G § · G § a = ¨¨ 2 ¸¸ , b = ¨¨ −11¸¸ , c = ¨¨ ¨ −4 ¸ © ¹ ¨ 13 ¸ © ¹ −9 · ¸ 23 ¸ ¨ −28 ¸ © ¹ b) 3 −4 −2 G § · G § · G § · a = ¨¨ 5 ¸¸ , b = ¨¨ −9 ¸¸ , c = ¨¨ 5 ¸¸ ¨ −7 ¸ © ¹ ¨ 13 ¸ © ¹ ¨ −3 ¸ © ¹ Aufgabe 47: Liegen die 4 Punkte A(0|2|4), B(1|0|5), C(2|2|4) und D(1|4|3) in einer Ebene? Vektorrechnung: Produkte Seite 9 www.mathema.ch (November 11) 4. Geometrische Probleme Häufige helfen bei diesen Aufgaben Skizzen der Situation! Aufgabe 48: Ist das Dreieck ABC A(–3°1), B(4°–3), C(0°6) spitz-, stumpf- oder rechtwinklig? Aufgabe 49: Von einem Würfel kennt man drei Punkte der Grundfläche ABCD: A(3°–1°2), B(7°–1°5) und D(3°4°2). Berechne die übrigen Eckpunkte des Würfels, wobei die z-Koordinate der Deckflächenpunkte grösser sein soll als die z-Koordinate der zugehörigen Grundflächenpunkte. Aufgabe 50: Ein Prisma hat als Grundfläche das Dreieck mit den Ecken A(–1°–2°0), B(2°1°0) und C(0°0°–2), als Deckfläche das Dreieck mit den Ecken D(–4°1°2), E und F. AD, BE und CF bilden die Seitenkanten des Prismas. a) Berechne die Koordinaten der Ecken E und F. b) Handelt es sich bei Grund– und Deckfläche um ein spezielles Dreieck? c) Zeige, dass das Prisma schief ist. d) Errichte über der Grundfläche ein gerades Prisma mit der Höhe 12. Aufgabe 51: Eine gerade Pyramide vom Volumen 18 besitze als Grundfläche das Parallelogramm ABCD. Man kennt A(–1°–1°4), B(2°–1°1), C(1°3°0). a) Welche spezielle Form hat die Grundfläche? b) Berechne die fehlende Ecke D und die Spitze S. Für S gibt es zwei Möglichkeiten. c) Was für ein Körper entsteht, wenn man die zwei Pyramiden zu einem Körper verbindet? Aufgabe 52: Die vier Punkte A(–4°0), B(4°– 4) , C(4°1) und D(0°3) sind Eckpunkte eines Vierecks. a) Um was für ein Viereck handelt es sich (Drachen, Trapez, Parallelogramm, Rhombus, Rechteck, Quadrat, gleichschenkliges Trapez…)? b) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks. Aufgabe 53: A(0°0°1), B(0°3°0), C(–4°4°1) und D(–4°1°2) sind die Ecken eines Vierecks. a) Um was für ein Viereck handelt es sich? b) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks. Aufgabe 54: Die folgenden acht Punkte sind Eckpunkte eines Körpers (räumliche Figur). B(–1°4°0) C(–4°3°0) D(–3°0°0) A(0°1°0), F(–1°4°3) G(–4°3°3) H(–3°0°3) E(0°1°3) Um was für einen Körper handelt es sich? Aufgabe 55: Ein Pyramidenstumpf hat als Grundfläche das Dreieck mit den Ecken A(1°0°–3), B(1°2°–1), C(5°5°4). A’(–1°–4°4) und B’(–1°–3°5) sind zwei Punkte der Deckfläche. a) Berechne den dritten Punkt der Deckfläche. b) Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfs. Aufgabe 56: Der Punkt (1°0°0) ist Ecke eines regulären Oktaeders, dessen Ecken alle auf den Achsen eines räumlichen Koordinatensystems liegen. Berechnen Sie das Volumen der Inkugel des Oktaeders. Vektorrechnung: Produkte Seite 10 www.mathema.ch (November 11) 5. Physikalische Anwendungen G G G G G Kräfte sind Vektoren. Sie werden vektoriell addiert: F = F1 + F2 + F3 + ... + Fn . Aufgabe 57: Das nebenstehende U-Boot möchte abtauchen. Es hat soeben seine Tanks geflutet und damit seine Gewichtskraft erhöht. Auf das Boot wirkt weiter die Reibungskraft im Wasser FR, der Auftrieb FA und die Antriebskraft des Motors FM. Es hat eine Masse von 20'000 Tonnen (g § 10 m/s2). Sein Auftrieb beträgt 199.7 MN. Es hat eine Antriebskraft FM von 250 kN. Die Reibungskraft auf dem Boot beträgt 150 kN. Beschreibe die Kräfte durch Vektoren (zweidimensional). Die Pfeile in der Figur gegeben nur die Richtung, aber nicht der G Betrag der Kraft an! Bestimme die resultierende Kraft F . Wie gross ist sie? Arbeit W wird verrichtet, wen die Kraft F während eines gewissen Weges s wirkt. Dabei zählt nur die G G G G Kraft in Wegrichtung. Die Arbeit W ist also das Skalarprodukt aus Kraft F mal Weg s : W = F ⋅ s Aufgabe 58: Ein Kind zieht seine Schlitten nach Hause. Um gegen die Reibung aufzukommen, zieht es mit einer Kraft von 30 N an der Schnur. Dabei hat die Schnur einen Winkel von 30° zum Boden. Welche Arbeit verrichtet das Kind, bis es zu Hause ist? Der Weg ist 1200 m lang. Beschreibe Kraft und Weg mit einem Vektor und bestimme das Skalarprodukt. Eine Kraft kann nicht nur einen Körper verschieben, sondern ihn auch drehen. Das Drehmoment ist umso grösser, je weiter weg die Kraft von der Drehachse angreift G (Hebelgesetz). Das Drehmoment M ergibt sich aus dem G Vektorprodukt aus dem Abstand r von der Drehachse und G G G G der Kraft F . M = r × F Aufgabe 59: An dieser Kirchturmuhr ist ein Gewicht am Zeiger angehängt. Berechne das Drehmoment (g § 10 m/s2). In welche Richtung zeigt es? 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