Klausur vom 27.9.2000 - von H.

Mathematik-Klausur 13,2
27.09.00
1. Geometrie am Oktaeder
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2 / 0 / 4) , B( − 2 / 5 / 1) , und
C(2 / 10 / 4) gegeben.
a) Zeigen Sie durch Rechnung, daß das Dreieck ABC gleichschenklig ist und daß bei B ein
rechter Winkel vorliegt.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D so, daß das Viereck ABCD ein Quadrat ist.
c) Geben Sie eine Gleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C an.
d) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes R(r1 / r2 / r3 ) so, daß der Körper ABCDR eine
Pyramide ist, bei der alle Kanten gleich lang sind.
[Hinweis: Der Abstand h vom Mittelpunkt M
S
zu allen Eckpunkten muss gleich sein.]
a
e) Ergänzen Sie die Pyramide durch den Punkt
S( s1 / s2 / s3 ) zu einem regulären Oktaeder
ABCDRS
(vgl. nicht lagegerechte Skizze).
f)
Berechnen Sie den Winkel zwischen zwei benachbarten Seitenkanten.
g) Dem Oktaeder aus Aufgabenteil e) sei eine
Kugel einbeschrieben. In welchem Punkt P
berührt die Kugel die Seitenfläche BCR? Bestimmen Sie auch den Radius dieser Kugel.
a
h
a
D
A
a
C
a
M
B a
a
a
R
2. Winkelhalbierende
  4
  2,5 
 .
Gegeben sei der Punkt A(-2|-3) sowie die von A ausgehenden Vektoren u =   und v = 
 3
 6 
a) Bestimmen Sie die beiden Winkelhalbierenden (Geradengleichungen!) zwischen den


Vektoren u und v .
b) Zeigen Sie, dass die beiden Winkelhalbierenden senkrecht zueinander sind.
c) Beweisen Sie die Aussage aus b) über Winkelhalbierende für beliebige Vektoren.
3. Kathetensatz
Beweisen Sie vektoriell den Kathetensatz:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt eines Kathetenquadrates gleich
dem Produkt aus der Länge der Hypothenuse und dem an der Kathete anliegenden Hypothenusenabschnitt zwischen Höhenfußpunkt und Dreiecksecke.
4. Höhenfußpunkte
Gegeben sind die Punkte A(1|2), B(2|9) und C(–4|4) in der Ebene.
a) Bestimmen Sie vektoriell alle Höhenfußpunkte des Dreiecks ∆ ( ABC) .
b) Bestimmen Sie den Mittelpunkt des Umkreises, der durch die berechneten Fußpunkte
geht. Welchen Radius hat dieser Kreis?
Viel Erfolg