die Menge der reellen Zahlen - Mathematisches Institut

die Menge der reellen Zahlen
Steffen Hintze
Mathematisches Institut der Universität Leipzig - Abteilung Didaktik
09.06.2016
Hintze (Uni Leipzig)
reelle Zahlen
09.06.2016
1/6
Übungs- und Erarbeitungsspiele
Übungsspiel: das Spiel SALDIX
Hintze (Uni Leipzig)
reelle Zahlen
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Übungs- und Erarbeitungsspiele
Erarbeitungsspiel: das Gutscheine-Schuldenscheine-Spiel
Hintze (Uni Leipzig)
reelle Zahlen
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2/6
Übungs- und Erarbeitungsspiele
Erarbeitungsspiel: das Gutscheine-Schuldenscheine-Spiel
weitergehende Fragen:
1
Kurt hat ein Guthaben von +5. Gib an, wie viele Gutscheine und
Schuldenscheine er hat. Finde verschiedene Möglichkeiten.
2
Kurt hat ein Guthaben von +5. Nachdem er das Glücksrad gedreht
hat, gibt er zwei Schuldenscheine ab. Gib an, welches Guthaben Kurt
nun hat.
3
Kurt hat ein Guthaben von +5. Nachdem er das Glücksrad gedreht
hat, gibt er zwei Gutscheine ab. Gib an, welches Guthaben Kurt nun
hat.
4
Kurt hat ein Guthaben von +5. Nachdem er an der Reihe war, hat er
ein Guthaben von +1. Gib an, welches Ergebnis Kurt gedreht haben
könnte. Finde alle Möglichkeiten.
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die Menge der reellen Zahlen im sächsischen Lehrplan
Klasse 9:
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Einführung der Menge der reellen Zahlen
Um die Unvollständigkeit von Q bewusst zu machen, kann zunächst das
√
Einheitsquadrat verdoppelt werden, um die Existenz der Streckenlänge 2
zu zeigen.
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reelle Zahlen
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Einführung der Menge der reellen Zahlen
Um die Unvollständigkeit von Q bewusst zu machen, kann zunächst das
√
Einheitsquadrat verdoppelt werden, um die Existenz der Streckenlänge 2
zu zeigen.
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Einführung der Menge der reellen Zahlen
Die Idee der Intervallschachtelung liefert Näherungswerte für die gesuchte
Zahl.
√
1 < 2 < 2 da 12 = 1 < 2 < 4 = 22
√
1 < 2 < 1,5 da 12 = 1 < 2 < 2,25 = 1,52
√
1,25 < 2 < 1,5 da 1,252 = 1,5625 < 2 < 2,25 = 1,52
√
1,375 < 2 < 1,5 da 1,3752 = 1,890625 < 2 < 2,25 = 1,52
√
1,375 < 2 < 1,4375 da 1,3752 = 1,890625 < 2 < 2,06640625 = 1,43752
...
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Einführung der Menge der reellen Zahlen
Das Heron-Verfahren liefert Näherungswerte für die gesuchte Zahl.
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Einführung der Menge der reellen Zahlen
Das Heron-Verfahren liefert Näherungswerte für die gesuchte Zahl.
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4/6
Einführung der Menge der reellen Zahlen
Das Heron-Verfahren liefert Näherungswerte für die gesuchte Zahl.
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reelle Zahlen
09.06.2016
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Einführung der Menge der reellen Zahlen
Nun wird untersucht, ob die Zahl
√
2 rational ist.
Beweis 1 (Beweis durch Widerspruch)
√
(1) √
Angenommen, 2 ist rational, d.h. es existieren m, n ∈ N mit
2= m
n.
m2
.
n2
2
2
2n = m ,
(2) Somit gilt 2 =
(3) Also gilt
d.h. in der Primfaktorzerlegung von m2 kommt
die Zahl 2 ungeradzahlig oft vor.
(4) Dies ist ein Widerspruch, da die Primfaktorzerlegung von m2 die Zahl
2 geradzahlig oft enthält.
√
Somit ist 2 nicht rational.
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Einführung der Menge der reellen Zahlen
Nun wird untersucht, ob die Zahl
√
2 rational ist.
Beweis 2 (Beweis durch Widerspruch)
√
(1) √
Angenommen, 2 ist rational, d.h. es existieren m, n ∈ N mit
2= m
n . Dabei seien m und n teilerfremd.
m2
.
n2
2
2
2n = m ,
(2) Somit gilt 2 =
(3) Also gilt
teilbar.
d.h. m2 ist eine gerade Zahl und somit durch 2
(4) Somit ist auch m gerade Zahl und es muss eine Zahl r ∈ N mit
m = 2r geben.
(5) Also ist 2n2 = (2r )2 = 4r 2 und somit gilt n2 = 2r 2 .
(6) Also ist auch n gerade. Dies ist ein Widerspruch zur Teilerfremdheit
von n und m.
√
Somit ist 2 nicht rational.
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Einführung der Menge der reellen Zahlen
Nun wird untersucht, ob die Zahl
√
2 rational ist.
Beweis 3 (Beweis
√
√ durch Widerspruch)
Angenommen, 2 ist rational, d.h. es existieren m, n ∈ N mit 2 =
mit 2n2 = m2 .
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m
n
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bzw.
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Einführung der Menge der reellen Zahlen
Exkurs: die Kommensurabilität
Definition: Zwei reelle Zahlen a und b heißen kommensurabel (lat. zusammen messbar), wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten
reellen Zahl e sind.
Hinweis: zur Verhältnisbestimmung von Strecken kann das Prinzip der
Wechselwegnahme genutzt werden, welches dem euklidischen Algorithmus
entspricht.
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Einführung der Menge der reellen Zahlen
Exkurs: die Inkommensurabilität
Satz: Die Seite a eines Quadrats und seine Diagonale d sind inkommensurabel.
Hinweis: Dies bedeutet, dass das Verfahren der Wechselwegnahme niemals
abbricht.
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Schwierigkeiten beim Umgang mit reellen Zahlen
Zahl oder Rechenvorschrift?
√
3+2· 5
√
4 − 2 · 25
0 = (x − 3)2 − 4 hat als Lösungen x1 = √
1 und x2 = 5
√
0 = (x − 3)2 − 5 hat als Lösungen x1 = 5 + 3 und x2 = − 5 + 3
Rechenregeln
√
√
√
5 + 5 = 20
√ √
√
5 · 6 = 30
√
√
( 2 − 1) · ( 2 + 1) = 1
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mögliche Aufgaben
Die Nachkommastellen dieser Dezimalzahlen werden mit Hilfe einer Regel
ergänzt. Geben Sie die nächsten vier Nachkommastellen an und entscheiden
Sie, ob die Zahl rational oder irrational ist.
1
0,1212121212. . .
2
0,101001000100001000001. . .
3
4,5678787878. . .
4
7,123456789101112131415. . .
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mögliche Aufgaben
Erklären Sie mit Hilfe der Abbildung, dass
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√
5+
√
5=
√
20 gilt.
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mögliche Aufgaben
aus dem Bereich der Kästchenmathematik
Zeichnen Sie auf kariertem Papier eine Strecke, deren Länge exakt
Kästchenkanten beträgt.
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√
29
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