Dezimalzahlen

Dezimalbrüche bzw. -zahlen
Was ist ein Dezimalbruch bzw. -zahl?
Ein Dezimalbruch ergibt sich aus einer Summe einzelner Brüche. Dazu erweiterst du die
bekannte Stellenwerttafel um die Nachkommastelle (Dezimalen). In der nachfolgenden
Stellenwerttafel sind bereits einige Beispiele eingetragen:
Beispiel:
H
Z
2
1
4
E
z
h
t
Anteile addieren = Ergebnis
2
3
4
2 + 0,3 + 0,04 = 2,34
0
2
3
20 + 0,2 + 0,03 = 20,23
4
5
3
4
4 + 0,5 + 0,03 + 0,004 = 4.534
8
2
1
5
8 + 0,2 + 0,01 + 0,005 = 8,215
2
3
6
7
142 + 0,3 + 0,06 + 0,007 = 142,367
Legende:
H – Hunderter (100; 200; 300…)
Z – Zehner
(10; 20; 30…)
E – Einer
(1; 2; 3…)
z – zehntel
h – hundertstel
t – tausendstel
(0,1; 0,2; 0,3…)
(0,01; 0,02; 0,03…)
(0,001; 0,002; 0,003…)
Allgemeine Verwendung
Die Dezimalschreibweise für Brüche, nämlich die so genannten Kommazahlen, findest du im
alltäglichen Gebrauch oft häufig. Maße, Gewichte und auch Längen werden nicht als echte
oder gemischte Zahlen geschrieben, sondern in der Dezimalschreibweise angegeben.
Addition von Dezimalbrüchen
Bei der Addition wird wieder die so genannte Stellwerttafel als Hilfsmittel genutzt. In der
folgenden Rechnung sucht der Ober den Gesamtbetrag. Wie er dabei vorgeht, erklärt dir das
Beispiel in die folgende Stellenwerttafel:
Beispiel:
H
Z
E
z
h
2
3
9
5
6
2
9
1
5
0
1/7
Das Ergebnis findest du, indem:
1.
alle Zahlen stellengerecht, also Komma unter Komma, untereinander geschrieben
werden. Dabei kannst du auch Nullen anhängen.
2.
von hinten, also von rechts nach links, nacheinander die Stellenwerte addiert werden. In
unserem Beispiel beginnst du mit der Spalte der Hundertstel. Der Übertrag wird zum
vorderen Stellenwert hinzugefügt. Die Rechnung sieht beim Ober somit wie folgt aus:
Familienpizza
23, 95
Salat
+ 6, 29
Getränk
+ 1,50
11 1
zu zahlender Betrag:
31, 7 4
Das Nullen anfügen
Du siehst oftmals, dass bei beim stellenweise Addieren Zahlen fehlen. Dies bedeutet nichts
weiter, als dass du Nullen am Anfang oder Ende anhängen kannst. Hier ein weiteres Beispiel,
dessen Ergebnis du folgendermaßen errechnest:
Beispiel:
24,87 + 0, 02 + 7,345 + 0, 3 = ?
24,870
+ 0, 020
+ 7,345
+ 0, 300
1 1 1
32,535
Addition einer natürlichen Zahl mit einem Dezimalbruch
Wie du bereits ahnst, lässt sich jede natürliche Zahl auch als Dezimalbruch schreiben, indem
du das Komma dahinter setzt und so viele Nullen als Nachkommastellen anhängst, wie du bei
der Addition brauchst. Das nachfolgende Beispiel zeigt dir wie:
Beispiel:
7 + 6,87 + 2, 431 = ?
7, 000
+ 6,870
+ 2, 431
1 1
16, 301
2/7
Subtraktion zweier Dezimalbrüche
Bei der Subtraktion von Dezimalbrüchen gilt grundsätzlich die gleiche Vorgehensweise wie
bei der Addition. Zunächst einmal werden die Zahlen stellengerecht untereinander
geschrieben und gegebenenfalls Nullen hinzugefügt. Anstatt jedoch zu addieren, subtrahierst
du nun von hinten nach vorne die untere Stelle von der oberen Stelle. Ist die untere Stelle
größer als die obere, so zählst du zur oberen Stelle 10 dazu und hast einen Übertrag zur
unteren vorderen Stelle. Hier ein Beispiel:
Beispiel:
13, 32 − 4,56 = ?
13,32
12 − 6 = 6 Übertrag 1
− 4,56
13 − 6 (5 + 1) = 7 Übertrag 1
1 1
8, 7 6
13 − 5 (4 + 1) = 8
Merke: Ist die untere Zahl größer als die obere, dann addiere oben 10 hinzu und vermerke
das im Übertrag!
Subtraktion mehrerer Dezimalbrüche
Werden von einer Zahl mehrere Dezimalbrüche abgezogen, so kannst du die Rechnung
vereinfachen, indem du zunächst in einer Nebenrechnung die abzuziehenden Dezimalzahlen
addierst und anschließend das Ergebnis von der Zahl abziehst. Siehe nachfolgend:
Beispiel:
Rechnung:
Nebenrechnung:
15, 24
+ 3, 73
24 − 15, 24 − 3, 73 = ?
= 24 − (15, 24 + 3, 73)
= 24 − 18,97
= 4, 03
24, 00
− 18,97
18, 97
1
4, 03
Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen
Wie beim Rechnen mit echten, unechten oder gemischten Brüchen kannst du die Techniken
der Verbindung zwischen Addition und Subtraktion nutzen. Dass heißt, dass du getrennt
sowohl die zu addierenden Zahlen als auch die zu subtrahierenden Zahlen zuerst
zusammenfasst. Dann werden die beiden Ergebnisse (siehe Beispiel) von einander abgezogen:
Beispiel:
13,5 − 2, 6 + 1, 07 − 3, 44 + 6,5 = ?
= 13,5 + 1, 07 + 6,5 − 2, 6 − 3, 44
= 13,5 + 1, 07 + 6,5 − (2,6 + 3, 44)
= 21, 07 − 6, 04 = 15, 03
Nebenrechnungen:
2, 60
13,50
+
3, 44
+ 1, 07
+ 6,50
1 1
1
6, 04
Rechnung:
21, 07
− 6, 04
1
15, 03
21, 07
3/7
Multiplikation von Dezimalbrüchen
Bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen hast du das Komma als einzigen Unterscheid
gegenüber natürlichen Zahlen. Zunächst jedoch wird die Multiplikation auf natürliche Zahlen
zurückgeführt und anschließend erst das Komma gesetzt. Dabei ergibt sich die Anzahl der
Dezimalen (die im Nenner stehenden Zehntelzahlen bzw. siehe Seite 1) im Ergebnis als
Summe der Anzahl der vorhandenen Nachkommastellen bei den einzelnen Faktoren. diese
Überlegung lässt sich auch an der Multiplikation von echten Brüchen darstellen:
Beispiel:
Nebenrechnungen:
22342 ⋅ 367
22,342 ⋅ 3, 67 = ?
1 1
22342 367 8199514
=
⋅
=
= 81,99514
1000 100 100000
6 7 0 26
1 2 2 1
+13 4 05 2
1 2 2 1
+ 15 639 4
1
1 1
819 9 514 = 81,99514
Die Rechnung wird wie man sieht sehr schwierig und somit umständlich, daher solltest du die
Rechnung vereinfachen und im Vorfeld einen Überschlag/Unterschlag bilden. Dies ist ein
Rechenweg der dir zeigt, welche Größenordnung das Produkt der Dezimalzahlen haben muss:
Beispiel:
22,342 ⋅ 3, 67 = ?
Nebenrechnungen:
22342 ⋅ 367
1 1
Ü .: 22,342 ⋅ 3, 67 ≈ ?
Ü .: 22, 000 ⋅ 4, 00 = 88,00000
6 7 0 26
1 2 2 1
+13 4 05 2
1 2 2 1
+ 15 639 4
1
1 1
819 9 514 = 81, 9 9 514
Merke: Die Anzahl der Dezimalen entspricht der Anzahl der Nachkommastellen des
Ergebnisses!
Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer ganzen Zahl
Bei der Multiplikation mit einer ganzen Zahl ist die Anzahl der Dezimalen vom Ergebnis und
von der Dezimalzahl gleich. Du kannst also zunächst wie bei natürlichen Zahlen ohne
Beachtung des Kommas ausmultiplizieren und anschließend wieder das Komma setzen.
Überflüssig angehängte Nullen können dabei nach dem Setzen des Kommas entfernt werden.
Beispiel:
4,32 ⋅ 35 = ?
4,32 ⋅ 35 = 151, 2
Nebenrechnungen:
432 ⋅ 35
1296
1 1
+ 216 0
11
15120 = 151, 20
4/7
Division mit Dezimalzahlen
Auch bei der Division gilt es, das Komma peinlich genau zu beachten, da sonst der
Wert geändert wird. Bei der Division kannst du einen größeren durch einen kleineren
Wert teilen und auch umgekehrt. Teilst du eine kleinere durch eine größere Zahl, so
steht vor dem Komma immer eine Null.
Beispiel:
3,5 : 6,3 = ?
35 63 35 10 35(:7 ) 5
⋅
: =
=
= = 0.55 < 1
10 10 10 63
63
9
Merke: Beim Teilen von einer kleineren Zahl durch eine größere Zahl hast du immer einen
echten Bruch als Ergebnis (siehe oben 0.55 < 1)
Division einer Dezimalzahl mit einer ganzen Zahl
Beim Dividieren durch eine ganze Zahl wird bei der Überschreitung des Kommas der
zu teilenden Zahl gleichzeitig das Komma beim Ergebnis gesetzt.
Beispiel:
4,68 : 3 = ?
4,68 : 3 = 1,56
Nebenrechnungen:
4, 68 : 3 = 1, 56
−3
16
−15
18
−18
0
Merke: Die Anzahl der Dezimalen entspricht der Anzahl der Nachkommastellen des
Ergebnisses (siehe auch Multiplikation)!
Teilt man hingegen eine kleinere Zahl durch eine größere, so beginnt das Ergebnis mit
0, da der Teiler nicht die kleinere Zahl enthält.
Beispiel:
0, 4 : 5 = ?
0, 4 : 5 = 0,08
Nebenrechnungen:
0, 4 : 5 = 0,08
−0
04
−0
40
−40
0
5/7
Möglichkeiten zum Teilen von Dezimalbrüchen
Die Division mit einer Dezimalzahl kannst du durchführen, indem du mittels einer
gleichsinnigen Kommaverschiebung zu einer Division mit einer natürlichen Zahl gelangst.
Wie du feststellst, ändert sich der Wert des Quotienten beim Erweitern oder Kürzen mit einer
Zehnerpotenz nicht.
Beispiel:
5, 6 : 0,14 = 56 :1, 4 = 560 :14 = ?
56 14 560 14
560 100
⋅
:
=
:
=
=?
10 100 100 100 100 14
40
Ziel ist es für dich, durch die gleichsinnige Kommaverschiebung den Teiler als natürliche Zahl
zu schreiben.
Beispiel:
6,8 : 0, 4 = ?
68, 0 : 4, 0 = 68 : 4
Durch eine Verschiebung des Kommas nach links kannst du Zahlen verkleinern, wenn
Dividend und Divisor als Endziffer eine Null besitzen.
Beispiel:
3240 : 50 = ?
3240 : 50 = 324, 0 : 5, 0 = 324 : 5
In manchen Fällen musst du bei der Kommaverschiebung Nullen anhängen. Wenn es nicht
weiter zu teilen geht und somit das Ergebnis feststeht (siehe 2. Beispiel), musst du nur noch
das Komma an der richtigen Stelle setzen.
Betrachte den erweiterten Teiler, dann das Ergebnis und zähle die Stellen von hinten ab. So
weißt du, wo das Komma beim Ergebnis hingehört.
Beispiel:
35, 7 : 0, 255 = ?
1, 44 : 0, 6 = ?
35700 : 255 = 140
−255
1020
−1020
00
− 0
0
144 : 60 = 240 = 2, 4
− 120
0240
− 240
0
6/7
Besondere Dezimalbrüche
Da du durch eine Division von Zähler und Nenner jeden (un-)echten Bruch in einen
Dezimalbruch umwandeln kannst, ist es möglich, dass dabei die Rechnung nicht endet
und/oder sich Dezimalen wiederholen. Solche sich wiederholenden Dezimalen nennt man
Periode; der Bruch wird periodischer Bruch genannt.
Beispiel:
4
= 4 : 3 = 1, 333... = 1,33
3
(lies: Eins Komma drei Periode drei)
Es gibt sowohl einfach und erweitert periodische als auch gemischt periodische Brüche.
Außerdem gibt es endlose Brüche, bei denen keine Periode zu erkennen ist.
Beispiel:
einfach periodisch
1
= 1: 3 = 0,33
3
erweitert periodisch
10
= 10 : 7 = 1, 428571428571... ≈ 1, 429
7
gemischt periodisch
5
= 5 : 6 = 0,833
6
1
= 1: 9 = 0,11
9
1
= 1:13 = 0, 076923076923... ≈ 0, 077
13
5
= 5 :12 = 0, 4166
12
2
= 2 : 9 = 0, 22
9
11
= 11: 7 = 1,571428571428... ≈ 1, 571
7
1
= 1: 6 = 0,166
6
endlos und nicht periodisch
3
= 0, 415926... ≈ 0, 416
7
22
= 22 : 7 = 3,142857... ≈ 3,143
7
π = 3,141592653... ≈ 3,142 oder ≈
22
7
Erkennen von periodischen Dezimalbrüchen
Sicher ist dir aufgefallen, dass Dezimalbrüche mit periodischen Dezimalen zum Beispiel dann
entstehen, wenn der Nenner des gekürzten Bruchs durch 3 teilbar ist. Dies liegt daran, dass ein
Bruch immer dann periodische Dezimalen besitzt, wenn er sich nicht auf eine Zehnerpotenz
im Nenner erweitern lässt. Andersherum heißt dies, dass Nenner mit den Faktoren 2 und 5,
die in beliebiger Anzahl vorkommen dürfen, sich auf Zehnerpotenzen erweitern lassen und
damit nicht zu periodischen Dezimalen führen.
Viel Erfolg!
7/7