77 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 6.5

77
Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker
6.5. Uneigentliche Integrale. Wir haben uns bisher vor allem für Flächen der
Form {(x, y) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} interessiert, wobei a < b reelle Zahlen sind
und f : [a, b] → R≥0 eine Funktion ist. Dabei haben wir stillschweigend vorausgesetzt,
dass die Werte f (x) “beschränkt” sind, dass es also eine reelle Zahl c mit f (x) ≤ c für
alle a ≤ x ≤ b gibt (nur dann kann man Obersummen bilden!). Von “uneigentlichen”
Integralen spricht man, wenn man auf derartige Beschränktheits-Voraussetzungen verzichtet — wenn man also eine unbeschränkte Funktion über einem Intervall integrieren
möchte (manchmal geht das), oder aber wenn man statt des Intervalls [a, b] zum Beispiel über die Menge {x | a ≤ x} integrieren möchte. Wir beschäftigen uns hier nur mit
dem letztgenannten Fall und betrachten drei derartige Beispiele: nämlich die Funktionen exp(−x), x1 , x12 . Frage: Wie groß ist jeweils die punktierte Fläche?
y
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y.
f (x) = exp(−x)
x
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1 .....
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1
y.
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1 .....
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1
f (x) = x−1
−1
f (x) = x−2
x
R∞
x
Dabei geht man folgendermaßen vor: Um a f (x) d x zu bestimmen, berechnet
Rb
man die Integrale a f (x) d x für alle b mit a < b und überlegt sich, was passiert, wenn
b immer größer wird (also “gegen ∞ geht”). Sollte sich der Wert stabilisieren, also
gegen eine feste Zahl konvergieren, so ist dies die gesuchte Zahl.
−1
−2
R ∞ Wir berechnen für die drei Beispiels-Funktionen exp(−x), x , x die Integrale
f (x) d x und zwar mit a = 0 im ersten Beispiel und a = 1 in den beiden anderen
a
Beispielen:
Z
0
b
b
exp(−x) d x = − exp(−x) = − exp(−b) + exp(0) = − exp(−b) + 1
0
Z
b
Z
b
b
−2
−1 x d x = −x = −b−1 + 1
0
0
0
b
x−1 d x = ln(x) = ln(b) − ln(0) = ln(b)
0
dabei haben wir verwendet, dass − exp(−x) eine Stammfunktion von exp(−x) ist,
dass ln(x) für x > 0 eine Stammfunktion von x−1 ist, und dass schließlich −x−1 eine
Stammfunktion von x−2 ist. Es ist nun
lim exp(−b) = 0,
b→∞
lim b−1 = 0,
und auch
b→∞
aber
lim ln(−b) = ∞,
b→∞
daher gilt:
Z
∞
exp(−x) d x = 1,
0
Z
0
R∞
∞
x
−1
d x = ∞,
Z
∞
x−2 d x = 1.
0
Wir haben hier 0 x−1 d x = ∞ geschrieben, aber da man eigentlich nur an Zahlenwerten interessiert ist (und ∞ ist zwar ein Symbol, das man manchmal
R ∞ −1 hinschreibt,
aber eben keine Zahl), sagt man auch: das uneigentliche Integral 0 x d x existiert
nicht.
Leitfaden
78
Insgesamt sieht man, dass die drei Kurven, die ja sehr ähnlich aussehen, ganz verschiedene Eigenschaften haben! Zumindest haben wir gezeigt, dass die mittlere Kurve
sich ganz anders verhält, als die beiden anderen (aber auch diese beiden lassen sich
durch weitere Eigenschaften unterscheiden).
In der Statistik spielen uneigentliche Integrale eine große Rolle. Man betrachte
zum Beispiel eine Verteilungsfunktion f : R → R, die durch einen Graphen der Form
y
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z
1
gegeben ist, also zum Beispiel durch die Funktion f (z) = 1+z
2 , dabei interessiert man
Rx
sich dann für das Integral F (x) = −∞ f (z) d z (ist z eine “Merkmals-Achse”, und f (z)
der zugehörige Bestand, so liefert dieses Integral F (x) gerade den Gesamtbestand mit
Merkmal z ≤ x), also für den Flächeninhalt der folgenden punktierten Fläche:
y
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x
z
R∞
Existiert das uneigentliche Integral B = −∞ f (z) d z, so ist die Funktion F (x)
offensichtlich eine Sigmoide mit Wachstumsschranke B (also eine monoton wachsende
Funktion, deren Werte im Intervall zwischen 0 und B liegen, mit Wendepunkt an der
Stelle x = 0)
y ..........
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B
x
6.6. Das Bunsen-Roscoe-Gesetz. Betrachte einen Lichtblitz mit Dauer t und
Intensität I. Der Helligkeitseindruck bei kurzen Blitzen (t < 1 ms) entspricht dem
Produkt I · t (dabei gibt es Wahrnehmungsschwellen für t wie für I, ab der der Blitz
wahrgenommen wird). Der Helligkeitseindruck entspricht also dem Flächeninhalt eines
Rechtecks. Bei gleicher Skalierung der Achsen sind die Flächeinhalte der folgenden
Rechtecke natürlich gleich:
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I ......
I ......
I ......
t
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t
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t
Die Paare (t, I) mit gleichem Flächeninhalt I · t liegen auf einem Hyperbel-Ast: Für
alle diese Paare ist also der Helligkeitseindruck der gleiche.
79
Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker
7. Vektor-Geometrie.
7.1. Vektoren: Addition, skalare Vielfache
Der Vektorraum Rn . Vektoren im Rn sind nichts anderes als n-Tupel reeller Zahlen,
also von der Form ~a = (a1 , a2 , . . . , an ) mit a1 , . . . , an ∈ R.
So ein n-Tupel (a1 , . . . , an ) könnten wir einfach mit a bezeichnen; die Dekoration durch einen kleinen Pfeil, der über dem a schwebt, soll daran erinnern,
daß es sich hier um einen Vektor, also um ein n-Tupel handelt. Stattdessen
werden Vektoren manchmal auch mit fett gedruckten Buchstaben bezeichnet, oder es werden solche in alt-deutscher Schrift verwendet. Bildliche Interpretation: wir betrachten jeweils ein Koordinatensystem, und stellen uns
~a als den Pfeil (= Vektor = gerichtete Strecke) vom Ursprung des Koordinatensystems zum Punkt ~a vor; dabei ist der Ursprung (oder Nullpunkt)
des Koordinatensystem nichts anderes als der Vektor ~0 = (0, 0, . . . , 0). Man
nennt daher Vektoren auch “Ortsvektoren” (weil sie den Ort des Punkts
(a1 , . . . , an ) markieren). Manchmal betrachtet man Vektoren auch als “freie
Vektoren” (dies sind Pfeile, die parallel verschoben wurden); ein derartiger
“freier Vektor” ~a beginnt an einer Stelle, sagen wir ~c, und endet dann an der
Stelle ~a + ~c (das + hier steht für die Vektoraddition, die gleich eingeführt
werden wird).
Ist ~a = (a1 , . . . , an ) ein Vektor, so nennt man ai seine i-te Komponente (um einen
Vektor zu kennen, muß man alle seine Komponenten kennen); man nennt die Zahlen
a1 , . . . , an auch die kartesischen Koordinaten von ~a. Im folgenden ist immer n fixiert
(dies ist eine natürliche Zahl); wenn wir von Vektoren sprechen, so meinen wir Vektoren
im Rn (also n-Tupel, mit dem fixierten n).
Skalar-Multiplikation. Ist ~a ein Vektor und λ eine Zahl, so definiert man
λ · ~a = (λa1 , . . . , λan ),
hier wird komponentenweise vorgegangen: jede Komponente von ~a wird mit λ multipliziert. Statt λ · ~a schreibt man auch einfach λ~a. Skalare Vielfache von Vektoren werden
oft gebraucht (Beispiel: das Doppelte 2~a eines Vektors ~a; zweites Beispiel: −~a = (−1)·~a,
dieser Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie ~a).
Weiter unten wird die Länge |~a| eines Vektors ~a definiert werden. Ist ~a 6= ~0,
so ist |~a| =
6 0, und wir können den Vektor |~a1| ~a betrachten: dies ist natürlich
ein skalares Vielfaches von ~a und gerade ein Vektor mit Länge 1.
Vektor-Addition. Seien zwei Vektoren ~a = (a1 , . . . , an ) und ~b = (b1 , . . . , bn ).
Unter ~a + ~b vesteht man den Vektor
~a + ~b = (a1 + b1 , . . . , an + bn ),
wir erhalten die Komponenten des Vektors ~a + ~b durch “komponentenweise Addition”.
~a
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~a + ~b
~0
~b
Leitfaden
80
Man könnte auch eines der folgenden beiden Bilder zeichnen:
~b
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~a.....................
~0
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~a ..+....~..b....................................................
~a + ~b
~0
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~a
~b
Hier sind die Pfeile bezeichnet, nicht die Endpunkte; links wird der Pfeil
~b als “freier Vektor” angesehen, er ist nicht am Nullpunkt, sondern am
Endpunkt des Pfeils ~a angetragen. Entsprechend ist rechts der Pfeil ~a als
“freier Vektor” angesehen, er ist am Endpunkt des Pfeils ~b angetragen. Der
Summenvektor ~a + ~b ist jeweils punktiert dargestellt; wie man sieht, erhält
man jeweils das gleiche Ergebnis.
P
Wie üblich verwendet man auch hier das Summenzeichen , wenn man Summen mit
vielen Summanden betrachtet.
Häufig benötigt man den Differenzvektor ~b − ~a zweier Vektoren ~a, ~b (punktiert
sieht man den entsprechenden “freien Vektor”):
~a
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~b
~b − ~a
Als freier Vektor verbindet er die Pfeilspitzen von ~a und ~b und zeigt in
Richtung von ~b (denn es soll ja gelten: addiert man zu ~a den Differenzvektor
~b − ~a, so erhält man gerade den Vektor ~b.)
Basis-Vektoren. Die Vektoren mit einer Komponente gleich 1, und restlichen
Komponenten gleich 0 spielen eine besondere Rolle, man bezeichnet sie mit ~e1 =
(1, 0, . . . , 0), ~e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , ~en = (0, . . . , 0, 1). Natürlich gilt
Xn
~a = a1 · ~e1 + a2 · ~e2 + · · · + an · ~en =
ai · ~ei .
i=1
Schwerpunkte. Sind zwei Vektoren ~a, ~b gegeben, so nennt man 12 ~a + ~b den
Schwerpunkt der Strecke zwischen ~a und ~b. Sind drei Vektoren ~a, ~b, ~c gegeben, so nennt
man 13 ~a + ~b + ~c den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Ecken ~a, ~b und ~c, und so
weiter.
Der Fall n = 2. Hier betrachten wir Paare reeller Zahlen. Diese Vektoren sind für
uns die Punkte in der Ebene, und zwar betrachten wir eine Ebene mit einem Koordinatensystem (wir zeichnen üblicherweise ein rechtwinkliges Koordinatensystem): Hier
der Punkt (3, 2) (wir bezeichnen ihn auch mit (3 | 2), wenn das Komma stört, zum
Beispiel wenn wir mit Zahlen arbeiten, die selbst ein Komma haben):
y............
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(3, 2)
1
1
x
81
Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker
Der Fall n = 3. Hier betrachten wir Tripel reeller Zahlen. Diese Vektoren sind
für uns die Punkte im (dreidimensionalen) Raum, und zwar betrachten wir wieder
den Raum mit einem festen Koordinatensystem (auch hier wieder verwenden wir ein
rechtwinkliges Koordinatensystem). Wir markieren den Vektor (2, 3, 3):
.z
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(2, 3, 3)
1
1
1
y
x
Warum auch n ≥ 4 ? Beliebig lange n-Tupel treten natürlich bei vielen Meßreihen auf, und gerade damit wollen wir uns beschäftigen. Daß wir diese n-Tupel nun
“Vektoren” nennen, sie also als algebraische oder geometrische Objekte auffassen, soll
niemanden stören. Worum es geht, ist folgendes: Wir wollen mit solchen n-Tupeln algebraisch arbeiten, zum Beispiel skalare Vielfache bilden, oder Datensätze addieren
oder subtrahieren: dazu ist es gut, die (algebraischen) Regeln der Vektoraddition zu
kennen. Zur Interpretation solcher Datensätze ist es ebenfalls hilfreich, die geometrische Intuition, so wie wir sie von der Ebene R2 und dem Raum R3 her kennen, wo wir
von Längen und von Winkeln sprechen, auf den allgemeinen Rn zu übertragen. Dies
werden wir jetzt tun.
7.2. Vektoren: Länge, Winkel
Hier soll das Skalarprodukt von Vektoren eingeführt werden. Es wird an vielen
verschiedenen Stellen eingesetzt; es wird sehr oft gebraucht, u.a. für:
• Längenmessungen
• Winkelmessungen
• Projektionen
Das Skalarprodukt der Vektoren ~a = (a1 , . . . , an ) und ~b = (b1 , . . . , bn ) ist durch
h~a, ~bi =
Xn
i=1
ai bi
definiert, es läßt sich also sehr einfach berechnen; dies ist eine Zahl, kein Vektor! (Oft
wird statt h~a, ~bi auch (~a, ~b) oder ~a · ~b geschrieben.) Folgende Rechenregeln lassen sich
sofort verifizieren:
h~a, ~bi = h~b, ~ai,
h~a, ~b1 + ~b2 i = h~a, ~b1 i + h~a, ~b2 i,
h~a, λ~bi = λh~a, ~bi,
Leitfaden
82
hier sind ~a, ~b, ~b1 , ~b2 Vektoren, λ ist ein Skalar (also eine Zahl).
Längenmessung. Ist ~a = (a1 , . . . , an ) ein Vektor, so setzt man
q
p
2
2
|~a| = h~a, ~ai
= a1 + · · · + an
und nennt dies die Länge des Vektors
2 oder 3, so sieht man sofort, daß man
p ~a. Ist n = p
durch die angegebene Formeln a21 + a22 und a21 + a22 + a23 wirklich die Länge im
üblichen Sinn berechnet (Satz von Pythagoras). Für n ≥ 4 ist die angegebene Formel
einfach eine Definition! (Der Betragsstrich | − | erinnert daran, daß man natürlich auch
den Trivialfall n = 1 betrachten kann: Zahlen sind Vektoren im Rn mit n = 1, p
und
natürlich ist die Länge eines solchen “Vektors” ~a = (a1 ) gerade der Betrag |a1 | = a21
der Zahl a1 .)
Ist ~a ein von Null verschiedener Vektor, so ist seine Länge |~a| eine von Null verschiedene Zahl, wir können also ~a mit dem Skalar |~a1| multiplizieren, und erhalten als
1
a einen Vektor der Länge 1, der in die gleiche Richtung wie ~a zeigt.
|~
a| ~
Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren. Für n = 2 liefern die Einheitsvektoren gerade den Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist:
y ............
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x
Entsprechend ist die Menge der Einheitsvektoren im R3 gerade die Kugel mit Radius
1, deren Mittelpunkt der Ursprung ist.
Der Abstand zweier Vektoren (oder Punkte)
~a und ~b ist natürlich nichts anderes
pP
(bi − ai )2 ).
als die Länge |~b − ~a| des Differenzvektors (also
Winkelmessung. Sind zwei von Null verschiedene Vektoren ~a und ~b gegeben, so
gibt es genau eine Zahl ϕ mit 0 ≤ ϕ < π, so daß gilt
h~a, ~bi = |~a| · |~b| · cos ϕ
man nennt ϕ den Winkel zwischen den Vektoren ~a und ~b.
Beweis: Es muß gezeigt werden, daß gilt:
−1 ≤
h~a, ~bi
≤ 1,
|~a| · |~b|
dies ist aber die Aussage der Schwarz’schen Ungleichung, siehe Abschnitt 1.4. Daß
man im Fall n = 2 oder 3 auf diese Weise wirklich den Winkel zwischen zwei
83
Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker
Vektoren berechnen kann, ist, wie wir gleich sehen werden, die Aussage des
Cosinus-Satzes. Sei ~c = ~b − ~a. Setze a = |~a|, b = |~b|, c = |~c|. Es ist
c2 = h~c, ~ci = h~b − ~a, ~b − ~ai = h~b, ~bi + h~a, ~ai − 2h~a, ~bi = a2 + b2 − 2h~a, ~bi.
Der Cosinus-Satz besagt nun: Sei ein Dreieck mit den Seiten a, b, c gegeben,
der Winkel ϕ liege gegenüber von der Seite c. Dann ist
c2 = a2 + b2 − 2ab cos ϕ.
Demnach ist h~a, ~bi = ab cos ϕ.
Und hier ein Beweis des Cosinus-Satzes: Wir betrachten folgendes Dreieck:
B
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a
c
ϕ
b
Wir fällen das Lot vom Punkt B auf die Seite b und bezeichnen seine Länge mit
h. Dadurch wird die Seite b in zwei Strecken b′ , b′′ geteilt. Es ist b′ = a cos ϕ und
h = a sin ϕ. Also ist c2 = h2 + (b′′ )2 = h2 + (b − b′ )2 = h2 + b2 − 2bb′ + (b′ )2 =
a2 cos2 ϕ + b2 − 2b · a · cos ϕ + b2 cos2 ϕ = a2 + b2 − 2ab cos ϕ. Dabei verwenden
wir, daß cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1, also a2 cos2 ϕ + a2 sin2 ϕ = a2 gilt.
B
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a
ϕ
b′
h
c
b′′
Besonders leicht läßt sich natürlich der Winkel zwischen zwei Einheitsvektoren berechen: Sind ~a = (a1 , . . . , an ) und ~b = (b1 , . . . , bn ) Einheitsvektoren, so ist der Cosinus
P
des eingeschlossenen Winkels ϕ durch cos ϕ = h~a, ~bi =
ai bi gegeben.
Orthogonalität. Zwei Vektoren ~a, ~b stehen senkrecht aufeinander (= sind orthogonal), wenn h~a, ~bi = 0 gilt, denn h~a, ~bi = 0 bedeutet gerade, daß der eingeschlossene
Winkel π2 = 90◦ ist (oder daß mindestens einer der beiden Vektoren der Nullvektor
ist).
Ist ~a = (a1 , a2 ) ein (von Null verschiedener) Vektor in der Ebene R2 , so ist es sehr
leicht, einen dazu orthogonalen Vektor anzugeben: man nehme einfach (−a2 , a1 )
y
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(−a2 , a )
(a , a2 )
x
Entsprechend gibt es im Raum R3 ein Rezept, um zu zwei vorgegebenen Vektoren ~a = (a1 , a2 , a3 ) und ~b = (b1 , b2 , b3 ) einen Vektor ~c hinzuschreiben, der zu beiden
Leitfaden
84
Vektoren ~a und ~b orthogonal ist: das sogenannte Vektor-Produkt ~c = ~a × ~b. Hier die
Definition:
~a × ~b = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 )
(dies sieht kompliziert aus, kann aber eigentlich immer recht schnell berechnet werden).
Beweis, daß der Vektor ~a × ~b sowohl zu ~a als auch zu ~b orthogonal ist: Man zeigt
h~a, ~a × ~bi = 0 und h~b, ~a × ~bi = 0. Beide Rechnungen sind ähnlich; hier die erste: h~a, ~a × ~bi =
a1 (a2 b3 − a3 b2 ) + a2 (a3 b1 − a1 b3 ) + a3 (a2 b1 − a1 b2 ) = a1 a2 b3 − a1 a3 b2 + . . . ; man erhält
sechs Summanden, von denen jeweils zwei bis auf das Vorzeichen gleich sind und sich deshalb
wegheben: zum Beispiel der erste Summand a1 a2 b3 und der vierte Summand −a2 a1 b3 .
Projektion. Sei ~a ein Vektor. Das Skalarprodukt h~a, ~ei von ~a mit einem Einheitsvektor e ist gerade die Länge der Projektion des Vektors ~a in Richtung ~e, nämlich
h~a, ~ei = |~a| cos ϕ,
~a
dabei ist ϕ der von ~a und ~e eingeschlossene Winkel.
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ϕ
~e
Die Projektion von ~a in Richtung ~e ist demnach der Vektor h~a, ~ei · ~e.
Natürlich ist die Länge der Projektion eines Vektors ~a = (a1 , . . . , an ) in Richtung
eines der Basisvektoren ~ei gerade seine i-te Komponente ai (also h~a, ~ei i = ai ).
Geometrische Interpretation des Korrelations-Koeffizienten. Seien reelle
Zahlen x1 , . . . , xn mit Mittelwert x und entsprechend y1 , . . . , yn mit Mittelwert y gegeben. Der lineare Korrelations-Koeffizient rxy ist nichts anderes als cos ϕ, wobei ϕ der
Winkel zwischen den Vektoren
ist.
und
(x1 , . . . , xn ) − (x, . . . , x)
(y1 , . . . , yn ) − (y, . . . , y)
7.3. Umrechnung geographischer Koordinaten in kartesische.
Ein Punkt ~a = (a1 , a2 , a3 ) im Raum (zum Beispiel ein Punkt auf der Erdoberfläche) ist gegeben durch
r=
Abstand vom Nullpunkt (Erdmittelpunkt)
β=
λ=
geographische Breite
geographische Länge
.z
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′
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(2, 3, 3)
r
β
a
λ
r
x
a
a
y
85
Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker
Man sieht:
r ′ = r cos β,
a3 = r sin β.
In der x-y-Ebene (dies ist hier nun gerade die Äquator-Ebene) sieht man entsprechend
a1 = r ′ cos λ,
a2 = r ′ sin λ.
Insgesamt erhält man
a1 = r cos β · cos λ
a2 = r cos β · sin λ
a3 = r sin β.
Natürlich ist
(cos β · cos λ , cos β · sin λ , sin β)
der zugehörige Einheitsvektor.
Vorsicht (1): Betrachtet man einen Ort auf der Südhalbkugel, etwa Kapstadt und kennt die “südliche Breite”, hier 33,56◦ , so ist das Wort “südlich”
als Minuszeichen zu interpretieren: β = -33,56◦ .
Vorsicht (2): In Formelsammlungen wird statt der geographischen Breite
β häufig mit der Abweichung β ′ = 90◦ − β von der Nordrichtung gearbeitet,
die entsprechenden Formeln lauten dann
a1 = r sin β ′ · cos λ, a2 = r sin β ′ · sin λ, a3 = r cos β ′ .
Umgekehrt gilt
q
r = |~a| = a21 + a22 + a23 ,
a3
sin β = ,
r
a1
cos λ =
.
r cos β
7.4. Geraden und Ebenen in R2 und R3
Vorbemerkung. Wir betrachten die Ebene R2 oder den Raum R3 (zum Teil
auch allgemeiner den Rn ). Wenn wir geometrische Objekte wie Punkte und Geraden,
oder Dreiecke, oder Kreise und andere Kurven, oder, im Raum, Ebenen und andere
Flächen algebraisch beschreiben wollen, so gibt es immer zwei wesentlich verschiedene Möglichkeiten: einerseits Parametrisierungen, andererseits Beschreibungen durch
Gleichungen (und Ungleichungen). Wir wollen dies am Beispiel des Kreises K mit
Radius 1 und Mittelpunkt ~0 in der Ebene erläutern: Einerseits ist
K = {(cos ϕ, sin ϕ) | ϕ ∈ R}
(Parametrisierung),
andererseits gilt
K = {(x, y) | x2 + y 2 = 1}
(Gleichungs-Beschreibung).
Leitfaden
86
Kennt man eine Parametrisierung eines Objekts (wie hier K), so ist es sehr einfach,
Punkte anzugeben, die dazugehören (hier zum Beispiel sieht man, daß der Punkt
(cos 1, sin 1) zu K gehört: man hat einfach ϕ = 1 genommen); dagegen ist es oft
nicht einfach, zu entscheiden, ob ein vorgegebener Punkt (x, y) dazugehört oder nicht
(es ist ja zu entscheiden, ob es zu vorgegebenem x und y ein ϕ gibt mit x = cos ϕ
und y = sin ϕ.) Die Gleichungs-Beschreibung leistet gerade das umgekehrte: Ist eine
Gleichungs-Beschreibung bekannt, so kann man meist sehr einfach feststellen, ob ein
gegebener Punkt zum Objekt gehört oder nicht (man setzt die Koordinaten in den
Gleichungsterm ein, und überprüft auf diese Weise, ob die Gleichung erfüllt ist); dagegen ist es bei Objekten, die durch eine Gleichung beschrieben sind, oft gar nicht
einfach, Punkte anzugeben, die diese Bedingung erfüllen. Schön ist es, wenn man sowohl die eine wie die andere Beschreibung zur Verfügung hat, dann kann man je nach
Fragestellung mit der günstigeren Beschreibung arbeiten!
Geraden. Sind zwei verschiedene Punkte ~a und ~b im Rn gegeben, so wird die
Gerade G(~a, ~b) durch ~a und ~b folgendermaßen beschrieben:
G(~a, ~b) = {~a + t(~b − ~a) | t ∈ R}.
Hier handelt es sich offensichtlich um eine Parametrisierung dieser Geraden.
y
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~a
~b
x
~b − ~a
G(~a, ~b)
Dabei sieht man folgendes: Auch {t(~b − ~a) | t ∈ R} beschreibt eine Gerade, und zwar
die zu G(~a, ~b) parallele Gerade, die durch den Ursprung geht (im Bild ist sie punktiert
dargestellt). Ursprungsgeraden sind immer von der Form {t~c | t ∈ R}, dabei ist ~c ein
von Null verschiedener Vektor (eine derartige Gerade besteht also aus den skalaren
Vielfachen eines festen Vektors ~c). Sind eine Ursprungsgerade G und ein Vektor ~a
gegeben, so erhält man durch ~a + G = {~a + ~c | ~c ∈ G} die zu ihr parallele Gerade, die
den Punkt ~a enthält.
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~a
x
G
~a + G
87
Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker
Ebenen. In völliger Analogie soll nun die Parameter-Darstellung einer Ebene im
Raum R3 (oder, allgemeiner, im Rn mit n ≥ 3) gegeben werden. Wir gehen davon aus,
daß drei Vektoren ~a, ~b und ~c im Rn gegeben sind und wollen die von diesen drei Punkten
aufgespannte Ebene E(~a, ~b, ~c) beschreiben. Dafür müssen wir allerdings voraussetzen,
daß diese drei Punkte nicht nur paarweise verschieden sind, sondern nicht einmal auf
einer Geraden liegen. Unter dieser Voraussetzung ist
E(~a, ~b, ~c) = {~a + s(~b − ~a) + t(~c − ~a) | s, t ∈ R}.
Dabei beschreibt
{s(~b − ~a) + t(~c − ~a) | s, t ∈ R}
die zu E(~a, ~b, ~c) parallele Ebene, die den Ursprung enthält.
Gleichungs-Beschreibung einer Geraden in R2 . Sei ~c = (c1 , c2 ) 6= ~0 ein
Vektor. Die Ursprungsgerade aller Vielfachen von ~c
G = {t~c | t ∈ R}
läßt sich folgendermaßen beschreiben: Wir nehmen einen Vektor d~ = (d1 , d2 ) 6= ~0, der
orthogonal zu ~c ist (also zum Beispiel d~ = (−c2 , c1 )); natürlich sind auch alle Vielfachen
von ~c zu d~ orthogonal: G ist also die Menge aller zu d~ orthogonalen Vektoren:
~ ~xi = 0}
G = {~x ∈ R2 | hd,
= {(x1 , x2 ) | d1 x1 + d2 x2 = 0};
hier haben wir also eine Gleichungs-Beschreibung vor uns.
Sind zwei verschiedene Punkte ~a und ~b in der Ebene R2 gegeben, und betrachten
wir die Gerade G(~a, ~b), so suchen wir zuerst einen zu ~b − ~a orthogonalen Vektor d~
(aber das ist ja, wie wir wissen, leicht). Für die Punkte ~x auf G(~a, ~b) gilt: ~x − ~a ist ein
~ also gilt
Vielfaches von ~b − ~a, also orthogonal zu d,
~ ~x − ~ai = 0,
hd,
aber das heißt:
~ ~xi − hd,
~ ~ai = 0.
hd,
~ ~ai mit q, so sehen wir
Bezeichnen wir die Zahl hd,
~ ~xi = q}
G(~a, ~b) = {~x | hd,
= {(x1 , x2 ) | d1 x1 + d2 x2 = q},
wir erhalten also eine Gleichungs-Beschreibung der Geraden in R2 ; den Vektor d~ nennt
man einen Normalen-Vektor (er ist senkrecht zu ihr).
Als Beispiel hier die beiden Geraden G = {(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 0} und G′ =
{(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 3}, zusammen mit dem Normalen-Vektor d~ = (1, 1).
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′
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1
d~
x
1
G
~
G
Leitfaden
88
Gleichungs-Beschreibung einer Ebene im R3 . Wir verfahren ganz analog:
Sei ein von Null verschiedener Vektor d~ = (d1 , d2 , d3 ) gegeben. Die Menge
~ ~xi = 0}
{~x | hd,
= {(x1 , x2 , x3 ) | d1 x1 + d2 x2 + d3 x3 = 0}
besteht genau aus denjenigen Vektoren, die zu d~ orthogonal sind; diese bilden eine
Ebene, die den Ursprung enthält. Durch
~ ~xi = q}
{~x | hd,
= {(x1 , x2 , x3 ) | d1 x1 + d2 x2 + d3 x3 = q}
erhält man für jede reelle Zahl q eine dazu parallele Ebene. Dies ist eine GleichungsBeschreibung einer beliebigen Ebene. Dabei sollte man sich auf jeden Fall die Bedeutung des Tripels (d1 , d2 , d3 ) merken: dies sind die Koordinaten eines zur Ebene
orthogonalen Vektors; auch hier nennt man d~ = (d1 , d2 , d3 ) einen Normalen-Vektor.
Betrachten wir zum Beispiel die Ebene E = E(~e1 , ~e2 , ~e3 ):
z
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1
1
1
x
y
sie wird durch die Gleichung x1 + x2 √
+ x3 = 1 beschrieben; ein Normalen-Vektor
~
~
ist also d = (1, 1, 1). Da d die Länge 3 hat, ist der zu d~ gehörige Einheitsvektor
~e = √13 (1, 1, 1). Will man nun den Abstand dieser Ebene E vom Ursprung berechnen,
so genügt es, einen beliebigen Vektor ~a der Ebene herzunehmen und die Länge der
Projektion von ~a in Richtung ~e zu bestimmen. Wir nehmen ~a = ~e1 = (1, 0, 0) und
berechnen h~a, ~e1 i = √13 , dies also ist der gesuchte Abstand.