Auffrischungskurs Mathematik Intensivkurs 40h

Auffrischungskurs Mathematik Intensivkurs 40h VHS Jena
Dozent: Silvio Fuchs
23. September 2009
1
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen und Zahlen
1.1 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Schlussfolgerungen/logische Operatoren . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Negation(Verneinung) von komplexen logischen Ausdrücken/
sche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mengen und Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definition Menge: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Zahlenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 natürliche Zahlen N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 ganze Zahlen Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 rationale Zahlen Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 reelle Zahlen R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 komplexe Zahlen C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 grundlegende Regeln zu Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Wertigkeit der Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Kommutativgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Assotiativgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Distributivgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Kürzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Erweitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Hauptnenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Substraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.6 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.7 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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De Morgan. . . . . . . .
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2 Rechenoperationen höherer Stufe
2.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Grundlagen . . . . . . . .
2.1.2 Potenzgesetze . . . . . . .
2.2 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Grundlagen . . . . . . . .
2.2.2 Wurzelgesetze . . . . . . .
2.3 Logarithmen . . . . . . . . . . .
2.3.1 Grundlagen . . . . . . . .
2.3.2 Logarithmusgesetze . . .
2.4 Binomische Formeln . . . . . . .
2.4.1 Einführung . . . . . . . .
2.4.2 1. binomische Formel . . .
2.4.3 2. binomische Formel . . .
2.4.4 3. binomische Formel . . .
2.4.5 Verallgemeinerung . . . .
2.4.6 Pascalsches Dreieck . . .
2.4.7 quadratische Ergänzung .
2.5 Polynomdivision . . . . . . . . .
2.5.1 Grundlagen . . . . . . . .
2.5.2 Linearfaktoren . . . . . .
2.5.3 Divisionsalgorithmus . . .
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3 Gleichungen und Ungleichungen
3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Allgemeine Regeln . . . . . . . . .
3.2 lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . .
3.3 Gleichungssysteme (linear) . . . . . . . . .
3.4 quadratische Gleichungen . . . . . . . . .
3.4.1 Definition Betrag . . . . . . . . . .
3.4.2 Lösen durch Radizieren . . . . . .
3.4.3 Lösen durch Ausklammern . . . .
3.4.4 Lösungsformel . . . . . . . . . . .
3.4.5 Satz von Vieta . . . . . . . . . . .
3.5 kubische Gleichungen . . . . . . . . . . . .
3.6 Gleichungen mit Polynomen vom Grade 4
3.7 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . .
3.8 Exponetial und Logarithmengleichungen .
3.8.1 Exponentialgleichungen . . . . . .
3.8.2 Logarithmengleichungen . . . . . .
3.9 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Intervalle . . . . . . . . . . . . . .
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4 Funktionen
4.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Funktionsgraph . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Differenziation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . .
4.4 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . .
4.5 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . .
4.5.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . .
4.5.5 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.6 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.7 Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.8 Extrempunkte . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.9 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 einige spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Trigonometrische Funktionen . . . . . . .
4.6.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen
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5 Zusatz
5.1 Taylorreihenentwicklung .
5.2 Vektorrechnung . . . . . .
5.3 Komplexe Zahlen . . . . .
5.3.1 Einführung . . . .
5.3.2 imaginäre Einheit
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.
.
5.3.3
5.3.4
Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechenoperationen im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
27
27
1
Mengen und Zahlen
1.1
Logik
Nur weil der Mensch ein Säugetier ist, heißt es noch lange nicht, dass jedes Säugetier ein Mensch
ist. Um den Einstieg zu erleichtern folgt eine kurze Zusammenfassung der zulässigen logischen
Schlüsse und Operationen.
1.1.1
Schlussfolgerungen/logische Operatoren
Eine Aussage P ist ein Ausdruck welcher entweder wahr oder falsch sein kann.
P =”3 ist eine ungerade Zahl” ist eine wahre Aussage.
Verneinung
P̄ oder ¬P gesprochen: Nicht P!
Ist P wahr so ist ¬P falsch und umgekehrt.
Beispiel: P =”3 ist eine ungerade Zahl!” ¬P =”3 ist keine ungerade Zahl!”
logisches ”und”
P ∧ Q gesprochen: P und Q!
P ∧ Q ist nur wahr, wenn P wahr ist,und Q wahr ist.
Beispiel: P =”3 ist eine ungerade Zahl” Q =”3 ist eine ganze Zahl” Beide Aussagen sind
offensichtlich wahr also ist auch
P ∧ Q=”3 ist eine ungerade, ganze Zahl” eine wahre Aussage.
logisches ”oder”
P ∨ Q gesprochen: P oder Q!
P ∨ Q ist wahr, wenn P wahr ist und Q falsch, oder wenn P falsch ist und Q wahr, oder
wenn P wahr ist und Q wahr ist.
Beispiel: P =”3 ist eine ungerade Zahl” Q =”3 ist eine negative Zahl” Offensichtlich ist P
wahr und Q falsch dennoch ist P ∨ Q =”3 ist eine ungerade Zahl oder 3 ist eine negative
Zahl” eine wahre Aussage.
Achtung: Das logische ”oder” ist nicht zu verwechseln mit dem sprachgebrauchlichen ”oder”,
welches ein ausschliessendes ”oder” ist. Entweder dieses oder jenes.
Implikation
P ⇒ Q gesprochen: P impliziert Q!
P ⇒ Q ist nur wahr, wenn aus P deduktiv Q folgt. Die Umkehrung (Q ⇒ P ) ist nicht
zwingend wahr.
Beispiel: P =”x ist eine natürliche Zahl” Q = x ≥ 0 Aus P folgt Q. Wenn eine Zahl eine
natürliche Zahl ist, so ist sie automatisch grösser oder gleich 0. Die Umkehrung gilt jedoch
nicht. 21 ist eine Zahl grösser 0 aber keine natürliche Zahl.
Äquivalenz
P ⇔ Q gesprochen: P ist äquivalent zu Q!
P ⇔ Q ist nur wahr, wenn aus P Q folgt und aus Q P folgt.
Beispiel: P =”x ist eine gerade Zahl” Q =”x ist durch 2 teilbar” P ⇔ Q ist also wahr.
Wenn eine Zahl eine gerade Zahl ist, so ist sie automatisch durch 2 teilbar. Und wenn eine
Zahl durch 2 teilbar ist, so ist sie eine gerade Zahl.
1.1.2
Negation(Verneinung) von komplexen logischen Ausdrücken/ De Morgansche
Gesetze
Will man komplexe Ausdrücke wie etwa ¬(¬(P ∨ Q) ∧ (S ∧ T ∨ U )) negieren, so gelten folgende
Regeln:
• Man negiere alle Aussagen. Aus P wird ¬P . Man beachte das ¬¬P = P .
5
• Man vertausche ”und” mit ”oder” und umgekehrt. Aus ∨ wird ∧ und aus ∧ wird ∨
Mit diesen Regeln die auch Kettenweise angewandt werden können, vereinfacht sich obiger Ausdruck zu:
¬(¬(P ∨ Q) ∧ (S ∧ T ∨ U )) = (P ∨ Q) ∨ ¬(S ∧ T ∨ U )) = (P ∨ Q) ∨ (¬S ∨ ¬T ∧ ¬U )
1.2
1.2.1
Mengen und Mengenoperationen
Definition Menge:
Eine exakte Mengendefinition zu liefern, ist im Rahmen dieses Kurses nicht möglich. Hierzu muss
man höhere Mathematikvorlesungen besuchen. Für unsere Zwecke genügen folgende Merkregeln:
• Mengen wurden von Cantor eingeführt. Traditionell gibt man anstelle einer formalen Definition das folgende Zitat wieder: Unter einer ”Menge” verstehen wir jede Zusammenfassung M
von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens
(welche die ”Elemente” von M genannt werden) zu einem Ganzen. (G. Cantor, 1895)
• Eine Menge besteht aus Elementen. Ist x ein Element von M, so schreibt man: x ∈ M . So
ist 2 ∈ N. 2 ist Element der Menge der natürlichen Zahlen.
• Ist x kein Element der Menge M, so schreibt man: x ∈
/ M . So ist
1
3
∈
/ N.
• Will man mehrere Elemente in eine Menge schreiben ist die korrekte Schreibweise:
M = {x, y, z} Die Menge M besteht also aus den 3 Elementen x, y und z.
• Die Mächtigkeit |M | einer Menge M gibt die Anzahl der Elemente wieder. M = {1, 5, 7, 89}
hat 4 Elemente, also ist |M | = 4.
• eine besondere Menge ist die leere Menge. Sie enthält keine Elemente. ∅ = {}
6
1.2.2
Mengenoperationen
Teilmenge
M ⊆ N gesprochen: M ist Teilmenge von N!
M ist nur Teilmenge von N wenn alle Elemente von M auch in N liegen.
Beispiel: {1, 3, 5} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Vereinigung
M ∪ N gesprochen: M vereinigt N!
M ∪ N = {x|(x ∈ M ) ∨ (x ∈ N )} In der Vereinigung liegen sowohl alle Elemente von M, als
auch alle Elemente von N. M ∪ N = N ∪ M
Beispiel: {1, 3, 5} ∪ {2, 4, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Schnittmenge
M ∩ N gesprochen: M geschnitten N!
M ∩ N = {x|(x ∈ M ) ∧ (x ∈ N )} Im Schnitt liegen alle Elemente die in M und gleichzeitig
in N liegen. M ∩ N = N ∩ M
Beispiel: {1, 3, 5} ∩ {3, 8, 24} = {3}
7
Differenz
M/N gesprochen: M minus N!
M/N = {x ∈ M |(x ∈
/ N )} In der Differenzmenge liegen alle Elemente aus M die nicht in N
liegen. M/N 6= N/M
Beispiel: {1, 3, 5}/{5} = {1, 3}
1.3
1.3.1
Zahlenbereiche
natürliche Zahlen N
Die natürlichen Zahlen sind solche Zahlen, die dem menschlichen Verstand am einfachsten zugänglich sind. Es sind positive ganze Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen schreibt sich symbolisch
wie folgt:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}.
Die 0 gehört nicht zu den natürlichen Zahlen. Um sie dennoch mit einzuschliessen schreibt man
statt N N0
1.3.2
ganze Zahlen Z
Ganze Zahlen sind wie der Name schon sagt ganz. Sie können sowohl negativ als auch positiv sein.
0 ist eine ganze Zahl. Die Menge der ganzen Zahlen schreibt sich symbolisch wie folgt:
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
1.3.3
rationale Zahlen Q
Die rationalen Zahlen sind alle positiven und negativen Zahlen einschliesslich 0 die nach dem
Komma endlich viele Stellen aufweisen, oder periodisch sind. So sind z.B. 3; 13 = 0, 3̄; 0, 75; −5, 367
√
rationale Zahlen. 2 ist keine rationale Zahl. Alle Brüche sind rationale Zahlen.
1.3.4
reelle Zahlen R
Die reellen Zahlen umfassen die rationalen Zahlen sowie alle nichtperiodischen,
√ unendlichen Dezimalzahlen (unendlich viele Kommastellen). Reelle Zahlen sind z.B. 2; −4, 6; 2 = 1, 414213562...
1.3.5
komplexe Zahlen C
Der Vollständigkeit halber sind die komplexen Zahlen mit anzugeben. Sie sind jedoch nicht Bestandteil dieses Kurses.
1.4
1.4.1
grundlegende Regeln zu Rechenoperationen
Wertigkeit der Rechenoperationen
Grundsätzlich gilt: Klammern werden von innen nach außen zuerst ausgerechnet, danach Potenzen,
Wurzeln und Logarithmen, danach Multiplikation und Division und schliesslich Addition und
Subtraktion.
8
1.4.2
Kommutativgesetz
Vertauschbarkeit: x + y = y + x und x · y = y · x aber x − y 6= y − x und x/y 6= y/x
1.4.3
Assotiativgesetz
Multiplikation und Addition sind assoziativ. Das heißt: (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z und
(x · y) · z = x · (y · z) = x · y · z
1.4.4
Distributivgesetz
Allgemein als ausmultiplizieren bekannt. So ist x · (y + z) = x · y + x · z.
9
1.5
Bruchrechnung
Brüche sind rationale Zahlen. Ein Bruch hat einen Zähler und einen Nenner. Die zugeordnete
Rechenoperation ist die Division.
Zähler
Nenner = Zähler/Nenner.
1.5.1
Kürzen
Um Brüche zu kürzen muss man den ggT (größten gemeinsamen Teiler) von Zähler und Nenner
finden. Dann werden jeweils Zähler und Nenner durch diesen ggT geteilt.
1.5.2
Erweitern
Das Erweitern ist die umgekehrte Operation zu Kürzen. Zähler und Nenner werden dazu mit einem
beliebigen Faktor multipliziert.
1.5.3
Hauptnenner
Zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern können ”gleichnamig”, also auf den selben Nenner
gebracht werden, indem man das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache) der Nenner (Hauptnenner)
findet und mit den entsprechenden Faktoren erweitert.
1.5.4
Addition
Zwei Brüche werden addiert, indem man sie auf den Hauptnenner bringt, und die Zähler addiert.
1.5.5
Substraktion
Zwei Brüche werden subtrahiert, indem man sie auf den Hauptnenner bringt, und die Zähler
subtrahiert.
1.5.6
Multiplikation
Zwei Brüche werden multipliziert, indem man den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit
dem Nenner multipliziert.
1.5.7
Division
Zwei Brüche werden dividiert, indem man das Reziproke(Zähler und Nenner vertauschen) des
Divisors bildet und danach die Multiplikation ausführt.
10
2
Rechenoperationen höherer Stufe
2.1
Potenzen
2.1.1
Grundlagen
Ein Potenzterm enthlt eine Basis b und einen Exponenten e.
Man schreibt be gesprochen: b hoch e!
Im einfachsten aller Fälle ist e eine natürliche Zahl, die angibt, wie oft die Basis mit sich selber
multipliziert werden muss. Es entpricht dabei also
b3 = b · b · b
Wenn der Exponent 0 ist, ist, wie auch immer die Basis aussieht , der Potenzterm 1.
b0 = 1
Eine Ausnahme besteht wenn Basis und Exponent gleich 0 sind. Diese Potenz ist dann nicht
definiert.
00 = n.d.
Falls der Exponent eine negative Zahl ist, bedeutet dies das Reziproke dieser Potenz mit dem
umgekehrten Vorzeichen des ursprünglichen Exponenten.
b−e =
2.1.2
1
e > 0 ∧ b 6= 0
be
Potenzgesetze
• b0 = 1 b 6= 0
• b−e =
e
f
1
be
∧ e > 0 ∧ b 6= 0 bzw. be =
1
be
∧ e < 0 ∧ b 6= 0
e+f
• b ·b = b
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält
und die Exponeten addiert.
• be · ce = (b · c)e Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert indem man den
Exponenten beibehält und die Basen multipliziert.
be
bf
•
= be−f Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und
die Exponenten subtrahiert.
•
be
ce
= ( cb )e Potenzen mit gleichem Exponeten werden dividiert, indem man den Exponenten
beibehält und die Basen dividiert.
• (be )f = be·f 6= b(e
2.2
2.2.1
f
)
Potenzen werden potenziert indem man die Exponenten multipliziert.
Wurzeln
Grundlagen
√
Radizieren, also Wurzel ziehen ist die inverse Rechenoperation zum Potenzieren. So ist 2 9 = 3
√ 2
weil 32 = 9 ist und√ 3 = 3.
Die Schreibweise: n a gesprochen:
√
√ n te Wurzel aus a!
Bei der Quadratwurzel 2 a = a lässt man den Wurzelexponenten n weg.
Wurzeln lassen sich auf Potenzen zurückführen. Potenzen mit gebrochenen Exponenten sind mit
Wurzel als inverse Rechenoperation zu interpretieren. Es gilt:
√
n
m
am = a n
Es ist zu beachten das Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten n bei negativer Basis a nich definiert
sind.
11
2.2.2
Wurzelgesetze
Die Wurzelgesetze leiten sich direkt aus den Potenzgesetzen ab.
√
√ √
• a·b= a· b
√
pa
√a
•
b =
b
p
√
√
n m
a = n·m a
•
2.3
2.3.1
Logarithmen
Grundlagen
Unter einem Logarithmus verstehen wir die Suche nach einem Exponenten bei fester Basis.
Man schreibt: logb a gesprochen: Logarithmus von a zur Basis b!
Der Logarithmus ist definiert als:
x = logb a ⇔ bx = a
Mit Hilfe der Logarithmen können wir Gleichungen nun nach Exponenten auflösen.
Logarithmen zu speziellen Basen haben feste Namen.
• log2 a = ld a Der Logarithmus zur Basis 2 heißt Logarithmus Dualis.
• log10 a = lg a Der Logaritmus zur Basis 10 heißt dekadischer Logarithmus.
• loge a = ln a Der Logarithmus zur Basis der eulerschen Zahl e heißt Logarithmus naturalis
oder natürlicher Logarithmus.
Der Logarithmus ist nur für positive Argumente a definiert. Es gelten demnach folgende Bedingungen:
• Basis: b > 0 ∧ b 6= 1
• Argument: a > 0 ∧ a 6= 0
Die Umgekehrte Rechenoperation ist das Potenzieren zu der Logarithmusbasis.
logb (ba ) = a
2.3.2
und blogb a = a
Logarithmusgesetze
Die Logarithmusgesetze folgen aus den Potenzgesetzen.
• logb (x · y) = logb x + logb y
• logb
x
y
= logb x − logb y
• logb (xr ) = r logb x ⇒ logb x1 = − logb x
1
√
• logb n x = logb x n = n1 logb x
• logb r =
loga r
loga b
2.4
2.4.1
=
loga r
loga b denn es gelten mit L := logb
loga (bL )
L loga b
loga b = loga b = L = logb (r)
r ⇔ r = bL die Umformungen
Binomische Formeln
Einführung
Beim Potenzieren von Summen (a + b)n kann es schnell passieren, das ein Ausmultiplizieren der
Faktoren sehr aufwendig wird. Um diese Rechnungen zu umgehen, formuliert man die binomischen
Formeln:
12
2.4.2
1. binomische Formel
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2
2.4.3
2. binomische Formel
(a − b)2 = (a − b) · (a − b) = a2 − 2ab + b2
2.4.4
3. binomische Formel
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
2.4.5
Verallgemeinerung
Um auch Potenzen mit beliebigen ganzen Exponenten zu berechnen verwendet man folgende Formel:
n X
n n−k k
(a + b)n =
a
· b ,n ∈ N
k
k=0
Wobei nk der Binominalkoeffizient ist, der die Möglichkeiten angibt aus einer Menge von n verschiedenen Elementen k Stück auszuwählen ohne zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Beim Lotto beispielsweise werden aus 49 unterschiedlichen Zahlen 6 Zahlen
ausgewählt
die Reihenfolge spielt keine Rolle und es gibt keine Wiederholungen. Es gibt also 49
6 Möglichkeiten
für eine Kombination also 13983816.
n
n!
=
k! · (n − k)!
k
2.4.6
Pascalsches Dreieck
Den Koeffizienten nk findet man dabei in der (n + 1)-ten Zeile, an der (k + 1)-ten Stelle (da es
keine nullte Zeile/Stelle gibt)
2.4.7
quadratische Ergänzung
Mit dem Begriff quadratische Ergänzung bezeichnet man die Ergänzung eines quadratischen Term
zur vollständigen Binompotenz. Sprich man wendet die binomische Formel umgekehrt an. So wird
beispielsweise x2 + 4y 2 mit 4xy ergänzt zu x2 + 4y 2 + 4xy − 4xy. Wie man erkennt muss man
den ergänzten Term natürlich wieder abziehen um die Richtigkeit der Gleichung zu gewährleisten.
Man erhält also schließlich:
x2 + 4y 2 = (x + 2y)2 − 4xy
13
2.5
2.5.1
Polynomdivision
Grundlagen
Die Polynomdivision ist ein Verfahren zwei Polynome durcheinander zu dividieren. So ist es möglich
ein Polynom höheren Grades durch ein Polynom niedriegeren Grades zu dividieren. Wie bei der
”normalen” Division ensteht ein vollständiges Polynom wenn der Divisor ein Teiler (Linearfaktor(Polynom 1sten Grades)) des Divideden ist.
2.5.2
Linearfaktoren
Jedes Polynom lässt sich in Linearfaktoren z.B. x2 − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) aufteilen. Die Anzahl
der Linearfaktoren entspricht dabei dem Grad des Polynoms. Aus den Linearfaktoren lassen sich
die Nullstellen des Polynoms direkt ablesen. Jedes Polynom hat IM KOMPLEXEN genau so viele
Nullstellen wie sein Grad ist. Im Reellen ist dies nicht immer der Fall. Wir kennen auch Polynome
die keine Nullstellen haben. Nullstellen können mehrfach auftreten.
2.5.3
Divisionsalgorithmus
Um ein Polynom durch einen Linearfaktor zu teilen benötigt man ein Verfahren welches auf dem
schriftlichen Dividiren 2er Zahlen beruht. Zunächst werden die Polynome geordnet von der grössten
Potenz zur kleinsten Potenz. Dann wird der erste Term des Dividenden durch den ersten Term
des Divisors geteilt. Dann wird zurückmultipliziert und das Ergebnis vom Dividenden subtrahiert.
Nun wird der nächste Term des so enstandenen Dividenden durch den ersten Term des Divisors
geteilt usw.
(x3 +3x2 − x − 3) : (x − 1) = x2 + 4x + 3
−(x3 −x2 )
4x2 − x
−(4x2 − 4x)
3x − 3
−(3x − 3)
0
3
3.1
Gleichungen und Ungleichungen
Grundlagen
In der Mathematik ist eine Gleichung eine Formel, in der die Gleichheit zweier Werte oder Terme ausgesagt wird. Dies wird durch das Gleichheitszeichen (”=”) symbolisiert. Formal hat eine
Gleichung die Gestalt A1 = A2 . Eine Gleichung kann wahr oder falsch sein. Kommen Variablen in
einer Gleichung vor ist die Gleichung nur für bestimmte Werte erfüllt. Diese Werte heißen Lösungen der Gleichung. Wir werden für bestimmte Arten von Gleichungen Methoden kennenlernen um
Lösungen zu finden.
3.1.1
Allgemeine Regeln
Man darf algebraische Rechenoperationen auf jede Gleichung anwenden, darf dabei die Aussage
der Gleichung aber nicht verändern. Wenn also eine Seite einer Gleichung einer Rechenoperation
unterzogen wird, muss die gleiche Operation auch mit der anderen Seite durchgeführt werden.
Eine Probe der gewonnenen Lösungen garantiert die Richtigkeit und ist beispielsweise bei Wurzelgleichungen unbedingt notwendig um Scheinlösungen zu eliminieren.
14
3.2
lineare Gleichungen
Als einfachste aller Gleichungen ist das Auffinden von Lösungen von linearen Gleichungen wenig
kompliziert. In einer linearen Gleichungen kommen Polynome nur in 0ter und 1ster Ordnung vor
(bezieht sich auf Variable, nicht auf Parameter). So sind folgende Gleichungen linear:
3x + 5 = 8
3x − 2 + a2 = 8x − 3
a ist ein Parameter
Um eine lineare Gleichung zu lösen werden inverse Rechenoperationen auf beide Seiten der Gleichung angewandt, bis die Variable auf einer Seite alleine steht, und man die Lösung direkt ablesen
kann. Lineare Gleichungen haben immer genau eine Lösung. So konstruiert sich die Lösung von
3x + 5 = 8 zu:
3x + 5 = 8
3x = 3
|−5
|:3
x=1
3.3
Gleichungssysteme (linear)
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren
Variablen in der Form (2 Gleichungen, 2 Unbekannte):
a·x+b=c·y
d·x+e=f ·y
a,b,c,d,e,f sind Parameter
Um dieses Gleichungssystem zu lösen muss man mit den folgenden Methoden eine Bestimmungsgleichung für eine der Variablen finden. Kennt man eine Variable, so kann man durch einsetzen
in eine der Ausgangsgleichungen die zweite bestimmen.
Umstellen
Man kann eine der beiden Gleichungen nach einer Variable umstellen und in die andere
einsetzten um eine Bestimmungsgleichung für eine Variable zu erhalten. Diese Methode
funktioniert immer. Allerdings ist der Rechenaufwandt sehr groß.2
Multiplizieren
Man darf beide Gleichungen mit beliebigen Faktoren multiplizieren.
Addieren
Man darf die beiden Gleichungen addieren um eine neue Gleichung zu erhalten.
Beispiel:
5x + 3 = 2y
10x − 2 = 6y
1ste Gleichung mit 2 multiplizieren und dann Gleichung 2 von Gleichung 1 abziehen leifert:
10x + 6 = 4y
−(10x − 2= 6y)
8 = −2y
y = −4
⇒x=−
15
11
5
3.4
quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen enthalten Polynome 2ten Grades. Im reellen Zahlenbereich haben quadratische Gleichungen maximal 2 verschiedene Lösungen. Es gibt Gleichungen für die keine reelle
Zahl eine Lösung darstellt. Beispiele für quadratische Gleichungen:
2x2 + 5x − 4 = 8
x2 + 2x = 0
x2 = 9
3.4.1
Definition Betrag
Der Betrag einer Zahl ordnet jeder Zahl ihren Abstand zum Nullpunkt zu.
(
x f ür x ≥ 0
|x| =
−x f ür x < 0
So ist beispielsweise: |5| = 5 und | − 5| = 5.
3.4.2
Lösen durch Radizieren
Liegt die quadratische Gleichung in der Form
a · x2 = c
vor, wobei a ein Parameter ist, kann man sie lösen, indem man die Quadratwurzel zieht.
Achtung:
√
x2 = |x|
p
p
So ergeben sie die Lösungen obiger Gleichung zu l1 = c/a und l2 = − c/a
3.4.3
Lösen durch Ausklammern
Liegt die quadratische Gleichung in der Form
a · x2 + b · x = 0
vor, kann man durch Ausklammern die Lösungen erkennen. Das dividieren durch die unabhängige
Variable ist hier strikt falsch, da dann Lösungen verloren gehen. Um dies zu vermeiden, klammert
man die unabhängige Variable (x) aus.
x · (a · x + b) = 0
Da ein Produkt 0 ist wenn einer der Faktoren 0 ist, erhält man zwei Gleichungen: x = 0 und
a·x+b = 0. Erstere Gleichung ist bereits gelöst, während die zweite Gleichung als lineare Gleichung
ebenfalls einfach zu lösen ist.
3.4.4
Lösungsformel
Die Lösungsformel funktioniert immer und liefert die richtigen Lösungen,egal welche Art von
quadratischer Gleichung vorliegt. Sie ist aber auch rechentechnisch aufwendiger als die ersten
beiden Methoden. Um die Lösungsformel anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung
in der Form:
x2 + p · x + q = 0
vorliegen! Die Lösungen ergeben sich dann zu:
x1/2
p
=− ±
2
16
r
p2
−q
4
3.4.5
Satz von Vieta
Wenn die quadratische Gleichung in der Form x2 + p · x + q = 0 vorliegt gelten für die Lösungen
x1 und x2 folgende Beziehungen:
x1 + x2 = −p
x1 · x2 = q
3.5
kubische Gleichungen
Kubische Gleichungen die in der Form
a · x3 + b · x2 + c · x + d
vorliegen, kann man mit Hilfe der Polynomdivision lösen. Jedes Polynom lässt sich in Linearfaktoren zerlegen (siege Kap. 2.5.2). Um die Gleichung zu lösen muss man eine Nullstelle raten! Dann
konstruiert man sich einen Linearfaktor daraus (x − x0 ) und führt die Polynomdivision
(a · x3 + b · x2 + c · x + d) : (x − x0 )
aus. Man erhält eine quadratische Gleichung die man mit den Methoden aus Kap. 3.3 löst.
3.6
Gleichungen mit Polynomen vom Grade 4
Wenn eine Gleichung in der Form
a · x4 + b · x2 + c = 0
vorliegt, kann man sie durch Substitution lösen. Man ersetzt
x2 = z
und löst in z die so enstandene quadratische Gleichung. Am Ende substituiert man zurück.
3.7
Wurzelgleichungen
Wurzelgleichungen sind
p Gleichungenpin denen die unabhängige Variable mindestens einmal unter
einer Wurzel steht. (x) = 5x + 3, (x2 + 2) = 8 sind Wurzelgleichungen.
Um solche Gleichungen zu lösen muss man zunächst die Wurzel auf eine Seite der Gleichung
bringen, und die übrigen Terme auf die andere. Dann wird die gesamte Gleichung quadriert. Bei
Summen und Differenzen, ist an die Anwendung der binomischen Formeln zu denken. Die nun
entstandene Gleichung wird nach Kap. 3.3 oder 3.4 gelöst. Bei Wurzelgleichungen ist es unbedingt notwendig die erhaltenen Lösungen in die Ausgangsgleichung einzusetzen, sprich eine Probe
durchzuführen. Hierdurch werden eventuell auftretende Scheinlösungen die durch das Quadrieren
enstanden sind, eliminiert. Beim Lösen socher Gleichungen ist darauf zu achten, den Definitionsbereich der Wurzelfunktion (Wurzel aus negativen Zahlen ist nicht definiert) zu beachten.
Beispiel:
√
x−1=x−1
|2
x − 1 = x2 − 2x + 1
x2 − 3x + 2 = 0
⇒ x1 = 1 und x2 = 2
Die Probe zeigt das beide Lösungen auch Lösungen der Ausgangsgleichung sind.
17
3.8
3.8.1
Exponetial und Logarithmengleichungen
Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen sind Gleichungen in denen die unabhängige Variable in einem Exponenten
auftritt.
a · bx = c
Diese Gleichungen werden mit Hilfe von Logarithmen gelöst. So gilt die Äquivalenz:
a · bx = c ⇔ x = logb
c
a
Achtung: Man beachte die Logarithmusgesetze und die Bedingungen an die Basis und das Argument des Logarithmus.
3.8.2
Logarithmengleichungen
Die logarithmischen Gleichungen sind die ”inversen” Gleichungen zu den Exponentialgleichungen.
Um Logarithmusgleichungen handelt es sich, wenn die unabhn̈gige Variable im Argument eines
Logarithmus steht.
logb (a · x) = c
Sie werden mit Hilfe der Exponentialfunktion gelöst. Es gilt folgende Äquivalenz:
logb (a · x) = c ⇔ bc = a · x
Achtung: Man beachte die Logarithmusgesetze und die Bedingungen an die Basis und das Argument des Logarithmus.
3.9
Ungleichungen
Ungleichungnen sind Verknüpfungen zwischen mathematischen Aussagen mit den Beziehungen >
und < (größer- und kleiner als). So sind z.B.
x>5
|y + 3| < 2
ex > −3
Ungleichungen. Ungleichungen können genau wie ”normale” Gleichungen nach der abhängigen Variable aufgelöst werden. Allerdings ist die Lösung solcher Ungleichungen keine Menge an Lösungspunkten. Die Lösung solcher Ungleichungen wird in Form von Intervallen angegeben. So schreibt
sich die Lösung der Gleichung |x| < 4 zu x ∈ (−4; 4). Das bedeutet, damit diese Ungleichung
erfüllt ist, muss x im offenen Intervall von -4 bis 4 liegen. x kann also alle reellen Werte zwischen
-4 und 4 annehmen ausschließlich der -4 und 4 selber, da die Intervallenden offen sind. Operatoren:
• < kleiner
• > größer
• ≤ kleiner oder gleich
• ≥ gößer oder gleich
Beim Umstellen solcher Ungleichungen ist darauf zu achten, dass bei multiplikation mit (-1) der
Ungleichungsoperator umgekehrt wird. Gegebenfalls muss immer eine Fallunterscheidung durchgeführt werden.
18
3.9.1
Intervalle
Man schreibt Intervalle mit Hilfe von runden und eckigen Klammern. Links steht immer der
niedrigste Wert und rechts der größte. Schreibt man eine runde Klammer, ist das Intervall an dieser
Seite offen. Das heisst der nebenstehende Wert ist nicht mehr im Intervall enthalten. Schreibt man
eine eckige Klammer, so ist das Intervall an dieser Seite abgeschlossen. Der nebenstehende Wert
liegt auch noch im Intervall. Will man die Lösung der Ungleichung x ≥ 5 in Intervallschreibweise
notieren so schreibt man x ∈ [5; ∞) (Wenn das SYMBOL ∞ verwendet wird darf das Intervall an
dieser Seite niemals abgeschlossen sein).
4
4.1
4.1.1
Funktionen
Einführung
Vorwort
Da in diesem Kurs nicht genügend Zeit bleibt dieses Thema mit der entsprechende Sorgfalt zu
behandeln, weise ich darauf hin das die Themen in diesem Kapitel nicht tiefgehend behandelt
werden können. Jeden der über dieses Thema mehr wissen möchte, rate ich zu Fremdliteratur.
Dieses Kapitel ist also eine grobste Übersicht über die wichtigsten Eigenschaften von Funktionen.
4.1.2
Definition
Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer
Zielmenge Z zu. Man schreibt
f : D → Z; x 7→ y
Die Umkehrung gilt jedoch nicht. Jedem Element des Wertebereiches Z können auch mehrere
Elemente von D zugeordnet werden. Die typische Sprechweise um Funktionen zu charakterisieren
ist: ”x wird abgebildet auf f von x”
Typische Funktionen sind z.B:
f (x) = x
f (x) = x2 + 3x
f (x) = sin(x)
f (x) = |x|
f (θ, φ) = Ylm (θ, φ)
4.1.3
Grundlegendes
Funktionen können miteinander verknüpft werden. Also hintereinander ausgeführt werden. Seien
g(x) und f (x) Funktionen. So ist
h(x) = g (f (x))
eine Verknüpfung der Funktionen f (x) und g(x). Zuerst wird f auf x angewandt, und danach g
auf den erhaltenen Funktionswert.
Der Definitionsbereich gibt an für welche Argumente x eine Funktion f(x) überhaupt Werte
annehmen kann. Beispielsweise kann die Logarithmusfunktion von negativen Argumenten nicht
gebildet werden.
Der Wertebereich gibt den Bereich an, in dem die Funktionswerte liegen. Beispielsweise kann
die Exponentialfunktion keine negativen Werte annehmen.
19
4.1.4
Funktionsgraph
Der Funktionsgraph ist eine anschauliche Darstellung der Funktion. Für unsere zwecke reicht ein
2 dimensionales Koordinatensystem aus um Argument und Funktionswert abzutragen. Die unabhängige Variable (x) wird auf der Absissenachse abgetragen (waagerecht) und der Funktionswert
auf der Ordinatenachse (senkrecht). Für beliebige Werte von x werden die zugehörigen Funktionswerte berechnet und diese Punkte ins Koordinatensystem eingetragen. Alle Punkte werden zu
einer Linie verbunden und ergeben so den Funktionsgraphen.
4.2
Grenzwerte
Unter einem Grenzwert versteht man eine unendlich genaue Annährung an einen Argumentwert
mit Hilfe einer Zahlenfolge ,welche gegen diesen Argumentwert konvergiert. Man schreibt:
lim f (xn ) = lim f (xn )
xn →a
n→∞
gesprochen: Limes von f von xn, xn geht gegen den Punkt a. Die Zahlenfolge xn kann beliebig
gewählt werden muss aber für n → ∞ gegen den Punkt a konvergieren. Konvergiert xn von
links gegen a, so spricht man vom linksseitigen Grenzwert und konvergiert xn von rechts gegen
den Punkt a, so spricht man vom rechtsseitigen Grenzwert. Als Standart Zahlenfolge eignet sich
xn = a ± n1 am besten.
4.3
4.3.1
Differenziation
Einführung
Eine Funktion zu differenzieren, bedeutet den Anstieg der Funktion an einem Punkt zu bestimmen.
Der Anstieg ist ein Maßfür die Steigung der Funktion. Für lineare Funktionen ist der Anstieg an
jeder Stelle gleich und man kann durch das Antiegsdreieck diesen bestimmen. Die Funktion
y = f (x) = 2x + 1
hat bekanntlich den Anstieg 2 an jedem Punkt x. Wenn du Funktionen Kurven sind, ist der Anstieg nicht mehr konstant. Um dennoch einen Anstieg an jedem Punkt angeben zu können bedient
20
man sich folgender Methode:
Man legt durch 2 Punkte der Funktion eine Gerade (lineare Funktion). Diese Gerade heisst Sekante. Der Anstieg dieser Sekante, ist mit dem mittleren Anstieg der Ursprungsfunktion über diesen
2 Punkten zu interpretieren. Um den Anstieg aber an einem Punkt zu berechnen, lässt man die 2
Punkte durch die die Sekante gelegt wurde Zusammenlaufen und bildet einen Grenzwert. Aus der
Sekante wird eine Tangente an die Funktion an einem Punkt. Diese Tangente, ebenfalls eine lineare
Funktion, besitz einen festen Anstieg, welcher den Anstieg der Funktion an dem Berḧrungspunkt
wiederspiegelt. Rechnerisch bildet man zunächst den Differenzenquotienten, und lässt ihn durch
Grenzwertbildung in einen Differentialquotienten übergehen.
∆y
f (x0 + h) − f (x0 )
=
Differenzenquotient (Sekantenanstieg)
∆x
h
dy
f (x0 + h) − f (x0 )
|x0 = lim
Differentialquotient
h→0
dx
h
Der Differentialquotient
4.3.2
dy
dx |x0
= y 0 (x0 ) heisst auch erste Ableitung von y nach x an der Stelle x0 .
Differentiationsregeln
Summen
(f (x) + g(x))0 = f 0 (x) + g 0 (x)
Bsp: (x2 + x3 )0 = (x2 )0 + (x3 )0 = 2x + 3x2
Konstanten
Die Ableitung einer Konstanten ist immer 0.
Vorfaktoren
Vorfaktoren bleiben erhalten.
Bsp: (5x)0 = 5
Produktregel
0
(u · v) = u0 v + uv 0
Quotientenregel
0
0
u 0
= u v−uv
v
v2
21
Kettenregel
dy dz
dy
dx = dz · dx
0
Bsp: (5x2 − 3)2 = (5x2 − 3)0 · (z 2 )0 = 20x · (5x2 − 3)
Polynome
0
(xn ) = n · xn−1
4.4
4.4.1
Integration
Einführung
Die Integration ist die Umgekehrte Operation zur Differentiation. Mit Hilfe der Integration kann
man Flächen unter Kurven berechnen. Das Integral wird aus Rechtecken berechnet die unter
die Kurve gelegt werden. Deren Breite wird gegen 0 geschickt. Der Grenzwert der Summe der
Flächeninhalte dieser Rechtecke ist die Fläche unter der Kurve. Es müssen Randpunkte vorgegeben
sein (Grenzen). Die Funktion die die Fläche beschreibt heißt Stammfunktion.
Schreibweise:
F (x) ist die Stammfunktion zu f (x)
Zb
f (x)dx = F (b) − F (a)
Integral von a bis b von f(x)
a
0
Z
f (x)dx
4.4.2
= f (x)
Integrationsregeln
Integral ohne Grenzen (unbestimmtes Integral)
Da beim Differenzieren Konstante Summanden wegfallen, müssen beim unbestimmten Integrieren diese wiede hinzugefügt werden. Die Stammfunktion enthal̈t also einen konstanten
Summanden der frei wählbar ist. Denn es gilt:
Z
0
f (x)dx = f (x)
22
R
So ist z.B. (2x)dx = x2 + C.
Summen
R
R
R
(f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx
Grenzen
Rb
Ra
f (x)dx = − f (x)dx
a
b
Substitutionsregel
g(b)
Rb
R
f (g(x)) · g 0 (x)dx =
f (z)dz mit z = g(x)
a
g(a)
Polynome
R n
x dx =
4.5
4.5.1
1
1+n
· xn+1 + C
Eigenschaften von Funktionen
Monotonie
Funktionen kann man auf Monotonie untersuchen. Monotonie ist eine Eigenschaft die für vorgegebene Intervalle auf dem Definitionsbereich Aussagen über den Funktionsverlauf gibt. Man
unterteilt in:
monoton fallend
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
x1 , x2 ∈ D
oderf (x1 ) < 0
streng monoton fallend
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
x1 , x2 ∈ D
oderf (x1 ) > 0
monoton wachsend
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
x1 , x2 ∈ D
oderf (x1 ) ≥ 0
streng monoton wachsend
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
x1 , x2 ∈ D
oderf (x1 ) ≤ 0
4.5.2
Symetrie
Eine Funktion kann auf Symetrie untersucht werden. Man unterteilt die symetrischen Funktionen
in 2 Klassen.
Punktsymetrie bzgl. des Ursprungs
f (x) = −f (−x)
Die einfachste Punktsymetrische Funktion in Bezug auf den Ursprung ist y = f (x) = x.
Achsensymetrie bzgl. der y-Achse
f (x) = f (−x)
Die einfachste Achsensymetrische Funktion in Bezug auf die y-Achse ist y = f (x) = x2 .
23
4.5.3
Stetigkeit
Stetigkeit ist eine punktuelle Eigenschaft einer Kurve. Heuristisch ausgedrückt ist eine Funktion
stetig, wenn man sie, ohne den Stift abzusetzen, zeichnen kann. Die mathematisch einfachste
Definition der Stetigkeit lautet:
Eine Funktion ist im Punkt x0 stetig, wenn
lim f (x) = f (x0 )
x→x0 ±
ist. Wenn also der linksseitig und rechtsseitige Grenzwert der Funktion in einem Punkt x0 gleich
dem Funktionswert an diesem Punkt ist.
4.5.4
Differenzierbarkeit
Eine Funktion ist differenzierbar an einem Punkt x0 wenn der Differenzialquotient existiert. Wenn
also
f (x0 + h) − f (x0 )
dy
|x = lim
dx 0 h→0±
h
existiert!
4.5.5
Asymptoten
Eine Asymptote ist eine Kurve an die sich die Funktion anschmiegt jedoch aber nie schneidet. Die
einfachste Art von Asymptoten sind Polasymptoten. Diese treten als senkrechte Linie im Koordinatensystem an der x-Koordinate der Polstelle auf. Bildet man den Grenzwert der Funktion für x
läuft gegen diese Polstelle. schmieft sich die Funktion an die Asymptote an. Diese Polasymptote
hat die Form x = xp . Dies ist keine Funktionsgleichung! Bei einigen Funktionen lässt sich mit Hilfe
der Polynomdivision eine Asymptote herausfinden. Wenn x gegen unendlich läuft nährt sich die
Funktion der Asymptote an. Beispielsweise hat die Funktion
x3 + x2 + 4
x2
4
f (x) = x + 1 + 2
x
asy(x) = x + 1
f (x) =
Polynomdivision liefert:
die Asymptote x + 1, da für sehr große x der letzte Term gegen 0 geht.
4.5.6
Nullstellen
Nullstellen sind Schnittpunkte der Funktion mit der Absissen-Achse. An diesen Punkten ist der
Funktionswert gleich 0.
f (x0 ) = 0
Setzt man diesen Ansatz ein erhält man eine Gleichung die man nach x0 auflösen muss.
4.5.7
Polstellen
Polstellen sind Nullstellen der Nennerfunktion. Hat am eine gebrochenrationale Funktion gegeben
z.B. f (x) = x1 , so sind die Nullstellen des Nenners Polstellen der Funktion. (Hier xp = 0). An
Polstellen ist die Funktion nie definiert. Die Polstelle gehört nicht zum Definitionsbereich der
Funktion. Die Funktion selber strebt gegen diese Polstelle und läuft im Grenzfall gegen ±∞
24
4.5.8
Extrempunkte
Ist xE ein Extrempunkt ⇒ f 0 (xE ) = 0. Wenn xE ein Extrempunkt ist, ist die Ableitung an diesem
Punkt gleich 0. Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht immer! Es genügt also nicht zu zeigen, das
die Ableitung 0 ist. Um eine Funktion auf Extrempunkte zu untersuchen, benötigt man zunächst
das notwendige Kriterium.
f 0 (xE ) = 0
Dies allein reicht aber nicht aus zu zeigen das xE tatsächlich ein Extrempunkt ist. Das hinreichende
Kriterium lautet:
f 00 (xE ) 6= 0
Beide Kriterien muss man überprüfen um eine Funktion auf Extrempunkte zu untersuchen. Es
gibt 2 Arten von Extrempunkten:
Hochpunkt
f 00 (xE ) < 0 oder Vorzeichenwechsel von + nach − von f 0 (x) in der Umgebung des Extrempunktes.
Tiefpunkt
f 00 (xE ) > 0 oder Vorzeichenwechsel von − nach + von f 0 (x) in der Umgebung des Extrempunktes.
4.5.9
Wendepunkte
Wendepunkte sind Extrempunkte der 1sten Ableitung. siehe Kapitel 4.5.8 .(Alle Ableitungen
erhöhen sich um 1)
4.6
4.6.1
einige spezielle Funktionen
Polynome
Mit Hilfe der Kurvendiskussion (Kap. 4.5), lassen sich alle wesentlichen Eigenschaften von Polynomen herleiten. Eine gesonderte Behandlung der Polynominalfunktionen ist daher sinnlos.
4.6.2
Trigonometrische Funktionen
Die trigonometrischen Funktion, auch Winkelfunktionen genannt, verknüpfen die Längen der Katheten eines Rechtwinkligen Dreieckes im Einheitskreis zu einem bestimmten Winkel miteinander.
25
4.6.3
5
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Zusatz
5.1
Taylorreihenentwicklung
5.2
Vektorrechnung
5.3
Komplexe Zahlen
5.3.1
Einführung
Welche√Nullstelle/n besitzt die Funktion f (x) = x2 + 4? Spätestens bei der Rechenoperation
|x| = −4 wird man erkennen das diese Funktion keine reellen Nullstellen hat. Um dennoch
Nullstellen angeben zu können führt man die Erweiterung des reellen Zahlenraumes ins Komplexe
durch. Im Komplexen sind, anders als im Reellen, Wurzeln aus negtiven Zahlen definiert. Was ist
der tiefere Sinn dieser Erweiterung, welche auf den ersten Blick eigensinnig und anwendungsfremd
erscheint? Die gesamte Elektrotechnik gestaltet sich mit Hilfe der komplexen Zahlen wesentlich
einfacher, da man Phase und Betrag quasi direkt ablesen kann und nicht über komplizierte Winkelfunktionen wie Sinus und Kosinus bestimmen muss.
5.3.2
imaginäre Einheit
Im Komplexen gibt es neben den reellen Zahlen auch die Imaginären Zahlen welche durch die
komplexe Einheit i beschrieben werden. Es gilt:
i2 = −1
Mit Hilfe dieser Beziehung lassen sich nun Wurzeln wie
26
√
−4 = ±2i da
√
−1 = ±i berechnen.
5.3.3
Darstellung
Komplexe Zahlen haben immer einen Realteil und einen Imaginärteil.
z = <(z) + i=(z)
in den meisten Fllen wird auch mit z = z 0 + iz 00 abgekürzt. Sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil können 0 werden und sind reelle! Zahlen. Vorstellen kann man sich die komplexen Zahlen
in einer 2-dimensionalen Ebene. Der Gaußschen Zahlenebene. Man trg̈t auf der Absissenachse den
Realteil- und auf der Ordinatenachse den Imaginärteil auf.
5.3.4
Rechenoperationen im Komplexen
Betrag
p
Der Betrag einer komplexen Zahl z berechnet sich wie im Dreieck: |z| = <(z)2 + =(z)2
komplex konjugieren
Um eine komplexe Zahl komplex zu konjugieren vertausche man das Vorzeichen vor der
imaginären Einheit. aus i wird −i und umgekert. So wird aus 5 + 7i = 5 − 7i Der√Querstrich
bedeutet komplex konjugiert. Der Betrag berechnet sich nun einfacher zu |z| = z · z.
Addition
z1 + z2 = z10 + iz100 + z20 + iz200 = z10 + z20 + i(z100 + z200 )
Subtraktion
z1 − z2 = z10 + iz100 − (z20 + iz200 ) = z10 − z20 + i(z100 − z200 )
Multiplikation
z1 · z2 = (z10 + iz100 ) · (z20 + iz200 ) = z10 z20 − z100 z200 + i(z10 z200 + z100 z20 )
Division
z1
z2 =
z10 +iz100
z20 +iz200
=
z10 z20 +z100 z200
z202 +z2002
+i
z100 z20 −z10 z200
z202 +z2002
27