Quadratwurzeln und reelle Zahlen

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Thomas Röser
Quadratwurzeln
und reelle Zahlen
Stationenlernen Mathematik 9. Klasse
Bergedorfer Unterrichtsideen
Thomas Röser
Bergedorfer Lernstationen
Stationenlernen
Mathematik 9. Klasse
Downloadauszug
aus dem Originaltitel:
9. Klasse
Reelle Zahlen – Gleichungen – Pythagoras –
zentrische Streckung – quadratische Funktionen
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1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das?
Vorwort
I – Theorie: Zum Stationenlernen
1. Einleitung: Stationenlernen,
was ist das?
Unsere Gesellschaft wird seit geraumer Zeit durch
Begriffe der Individualisierung gekennzeichnet: Risikogesellschaft heißt es bei Ulrich Beck1, Multioptionsgesellschaft nennt sie Peter Gross2 und für
Gerhard Schulze ist es eine Erlebnisgesellschaft3.
Jeder Begriff beinhaltet einen anderen inhaltlichen
Schwerpunkt, doch egal, wie wir diesen Prozess
bezeichnen, die Individualisierung – hier zu verstehen als Pluralisierung von Lebensstilen – schreitet
voran. Damit wird die Identitäts- und Sinnfindung
un
zu einer individuellen Leistung. Diese Veränderunstitugen wirken sich zwangsläufig auch auf die Instituine
tion Schule aus. Damit lässt sich vor allem eine
tlich d
er
Heterogenität von Lerngruppen hinsichtlich
der
wie der indiv
Lernkultur, der Leistungsfähigkeit sowie
indivirübe
er hinaus legt
duellen Lernwege feststellen. Darüber
esetz Nor
rhein-Westbeispielsweise das Schulgesetz
Nordrhein-Westensch […]
falen im § 1 fest, dass:: „Jeder junge Mensch
eine wirtschaftlich
ohne Rücksicht auf seine
wirtschaftliche Lage und
hlecht ein Re
Herkunft und sein Gesc
Geschlecht
Recht auf schuliche Bildu
g, Erziehun
sche
Bildung,
Erziehung und individuelle Förderung“ hat. D
as klingt nac
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Das
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Ziel – die
Frage ist nur, wie wir d
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dieses Ziel erreichen
können?
ch möchte an dieser Stelle festhalten,
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nach
meiner Einschätzung nicht das pädagogische
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gibt, welches wir nu
nur einsetzen
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(pädagogischen)
otz alledem
alledem möchte
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bleme gelöst – trotz
ich an dieser
hode des St
tione
Stelle die Methode
Stationenlernens
präsene der Individ
tieren, da dies
diese
Individualisierung Rechnung
n kann.
tragen
e des S
Merkmale
Stationenlernens
„‚Lernen an Stationen‘ bezeichnet die Arbeit mit einem aus verschiedenen Stationen zusammengesetzten Lernangebot, das eine übergeordnete Pro-
1
2
3
Vgl.: Beck, Ulrich: Risikogesellschaft – Auf dem Weg in eine andere
Moderne. Berlin 1986.
Vgl.: Pongs, Armin; Gross, Peter: Die Multioptionsgesellschaft. In:
Pongs, Armin (Hrsg.): In welcher Gesellschaft leben wir eigentlich?
– Gesellschaftskonzepte im Vergleich, Band I. München 1999, S.
105–127.
Vgl.: Schulze, Gerhard: Die Erlebnisgesellschaft – Kultursoziologie
der Gegenwart. Frankfurt/Main, New York 1992.
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
© Persen Verlag
blematik differenziert entfaltet.“4 Schon an dieser
Stelle wird offensichtlich, dass für diese Methode
unterschiedliche Begriffe verwendet werden. Jedem Terminus wohnt eine (mehr oder weniger) anders geartete organisatorische Struktur inne. In
den meisten Fällen werden die Begriffe Lernen an
er
Stationen und Stationenlernen
synonym verwendet. Hiervon werden die Lern
Lernstraße oder der Lernzirkel unterschieden. Bei diese
diesen beiden Varianten
werden in der Regel eine festge
festgelegte Reihenfolge
ständ keit des Durc
sowie die Vollständigkeit
Durchlaufs aller Staangt. Dara
aus ergibt s
tionen verlangt.
Daraus
sich zwangsläufig
g isatorisch) auch eine festgelegte Ar(rein organisatorisch)
eitszeit an der jeweil
ne weitere
beitszeit
jeweiligen Station. Eine
Unterscheidu
ng bie
Unterscheidung
bietet die Lerntheke, an we
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sich
Schülerinnen und Sc
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dienen
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u arbe
genständig) an ihren regulären
arbeiten.
rme soll das L
erne an Stationen
Von diesen Formen
Lernen
s St
tionenlernen ab
bzw. das
Stationenlernen
abgegrenzt werden.
smeth d iist hier zu verstehen als
Diese Unterrich
Unterrichtsmethode
ein un
errichtliches Ve
unterrichtliches
Verfahren, bei dem der unterrichtliche Gegens
Gegenstand so aufgefächert wird, dass
die einzel
nen Stationen unabhängig voneinander
einzelnen
bearbeite
bearbeitet werden können – die Schülerinnen und
Sch
Schüler können die Reihenfolge der Stationen somit eigenständig bestimmen; sie allein entscheiden, wann sie welche Station bearbeiten wollen.
Damit arbeiten die Lernenden weitgehend selbstständig und eigenverantwortlich (bei meist vorgegebener Sozialform, welche sich aus der Aufgabenstellung ergeben sollte). Um der Heterogenität
Rechung zu tragen, werden neben den Pflichtstationen, die von allen bearbeitet werden müssen, Zusatzstationen angeboten, die nach individuellem
Interesse und Leistungsvermögen ausgewählt
werden können.
Aufgrund der Auffächerung des Gegenstandes inunterschiedliche Schwerpunkte und der Unterteilung in Pflicht- und Zusatzstationen, bietet es sich
an, bei der Konzeption der einzelnen Stationen unterschiedliche Lernzugänge zu verwenden. Auch
hier wäre eine weitere schülerspezifischere Differenzierung denkbar. Folglich ist es möglich, einen
4
Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 4.
1
1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das?
inhaltlichen Schwerpunkt bspw. einmal über einen
rein visuellen Text, zweitens mithilfe eines Bildes/
einer Karikatur und drittens über ein akustisches
Material anzubieten, und die Lernenden dürfen frei
wählen, welchen Materialzugang sie verwenden
möchten, jedoch unter der Prämisse, einen zu bearbeiten.
Unter diesen Gesichtpunkten wird offensichtlich,
dass das Stationenlernen eine Arbeitsform des offenen Unterrichtes ist.
Ursprung des Stationenlernens
Die Idee des Zirkulierens im Lernablauf stammt ursprünglich aus dem Sportbereich. Das „circuit training“, von Morgan und Adamson 1952 in England
entwickelt, stellt im Sportbereich den Sportlern unterschiedliche Übungsstationen zur Verfügung,
sen.
welche sie der Reihe nach durchlaufen müssen.
gen
Der Begriff Lernen an Stationen wurde hingegen
zu ih
en
von Gabriele Faust-Siehl geprägt, die hierzu
ihren
hrift „Grund
gleichnamigen Aufsatz in der Zeitschrift
„Grundschule“ 1989 publizierte.1
gestehen. 3. In der sich anschließenden Arbeitsphase erfolgt ein weitgehend selbstständiges Lernen an den Stationen. In dieser Phase können – je
nach Zeit und Bedarf – Plenumsgespräche stattfinden. Zur weiteren Orientierung während der
Arbeitsphase sollten zusätzliche Materialien, wie
Laufzettel, Arbeitspässe, Fortschrittslisten o. Ä.
verwendet werden. Diese erleichtern den Ablauf
und geben den Lernenden eine individuelle Übersicht über die bereits bearbeiteten und noch zur
Verfügung stehenden Stationen. Bei einem soluch eine Spalte für weitere
chen Laufzettel sollte auch
päter die Reflexion unterKommentare, welche später
nden. D
stützen können, Platz finden.
Darüber hinaus kann
n und Sch
von den Schülerinnen
Schülern ein Arbeitsortfolio oder auch ein
journal, ein Portfolio
eine Dokumentenührt werde
n, um Arb
mappe geführt
werden,
Arbeitsergebnisse zu
ern un
sichern
und den Arbe
Arbeitsprozess reflektierend zu
egleiten. Ein
E n zuvor a
begleiten.
ausgearbeitetes Hilfes
Hilfesystem
kann den A
lauf zusätzlich unterstützen,
tzen, in
Ablauf
indem
ernende an geeigneter Stelle Hilfe a
nbieten oder
Lernende
anbieten
ei
order können. Am Ende
nde schließt s
h 4. ein
einfordern
sich
eine
Re
nha
altlicher und metho
Reflexionsphase (auf inhaltlicher
methodischer Ebene)) an.
Der Ablauf des Stationenlernens
enlernens
Für die Gestaltung
und
eines Statioung u
nd Konzeption e
nenlernens istt es entsc
entscheidend,
eidend, dass sich der unerrichtliche Gegenstand in v
terrichtliche
verschiedene Teilaspekte aufschlüsseln
aufschlüsseln läs
u be
ilässt, die in ihrer zu
bearbeitenden Reihe
folge u
nander sin
Reihenfolge
unabhängig voneinander
sind.
Damit darf jjedoch die abschließende Bündelung
cht unter
nicht
unterschlagen werden. Es bietet sich daher
oblem
der Fragean, ein
eine übergeordnete Problematik
oder
g zu
u stelle
e zu
stellung an den Anfang
stellen, welche
zum Abon de
schluss (dieser ist von
der meth
methodischen Reflexion
en) erneut a
ufgegr
zu unterscheiden)
aufgegriffen
wird.
gentliche Ablauf lässt sich in der Regel in
Der eigentliche
hasen u
erteilen 1. Die thematische und
vier Phasen
unterteilen:
che Hinfü
methodische
Hinführung – hier wird den Schülerinnen und Schüle
Schülern einerseits eine inhaltliche Orientierung geboten und andererseits der Ablauf des
Stationenlernens erklärt. Sinnvoll ist es an dieser
Stelle gemeinsam mit den Lernenden die Vorteile,
aber auch mögliche Schwierigkeiten der Methode
zu besprechen. Hierauf folgt 2. ein knapper Überblick über die eigentlichen Stationen – dieser Überblick sollte ohne Hinweise der Lehrperson auskommen. Rein organisatorisch macht es daher
Sinn, den jeweiligen Stationen feste (für die Lernenden nachvollziehbare) Plätze im Raum zuzu1
Vgl.: Faust-Siehl, Gabriele: Lernen an Stationen. In: Grundschule,
Heft 3/1989. Braunschweig 1989, S. 22ff.
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
© Persen Verlag
raft beim S
t
Die Rolle der Lehrk
Lehrkraft
Stationenlernen
ererstes is
Als allererstes
ist die L
Lehrperson – wie bei fast allen and
eren Unte
ich
anderen
Unterrichtsmethoden
auch – „Organisator und Berate
Berater von Lernprozessen“2. Sie stellt
ein von de
den Lernenden zu bearbeitendes Materialund Au
Aufgabenangebot zusammen. Der zentrale
Un
Unterschied liegt jedoch darin, dass sie sich während des eigentlichen Arbeitsprozesses aus der
frontalen Position des Darbietens zurückzieht. Die
Lehrkraft regt vielmehr an, berät und unterstützt.
Dies bietet dem Lehrer/der Lehrerin viel stärker die
Möglichkeit, das Lerngeschehen zu beobachten
und aus der Diagnose Rückschlüsse für die weitere Unterrichtsgestaltung sowie Anregungen für
die individuelle Förderung zu geben. „Insgesamt
agiert die Lehrperson somit eher im Hintergrund.
Als ‚invisible hand‘ strukturiert sie das Lerngeschehen.“3
Vor- und Nachteile des Stationenlernens
Die Schülerinnen und Schüler übernehmen eine
viel stärkere Verantwortung für ihren eigenen Lernprozess und können somit (langfristig!) selbst-
2
3
Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 6.
Ebenda.
2
2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 9
sicherer und eigenständiger im, aber auch außerhalb des Unterrichts agieren. Diese hohe Eigenverantwortung bei zurückgenommener Anleitung
durch die Lehrperson kann jedoch zu einer Überforderung oder mangelnden Mitarbeit aufgrund der
geringen Kontrolle führen. Beidem muss zielgerichtet begegnet werden, sei es durch die schon
erwähnten Hilfestellungen oder durch eine (spätere) Kontrolle der Ergebnisse.
Eine Stärke des Stationenlernens besteht eindeutig in der Individualisierung des Unterrichtsgeschehens – die Lernenden selbst bestimmen Zeitaufwand und Abfolge der Stationen. Darüber hinaus
können die unterschiedlichen Lerneingangskanäle
sowie eine Differenzierung in Schwierigkeitsgrade
als Ausgangspunkt des Lernprozesses genommen
werden. Die Schülerinnen und Schüler können daa
mit die ihnen gerade angemessen erscheinende
ende
Darstellungs- und Aufnahmeform erproben, erfahahren und reflektieren. Damit kann eine heterogene
teroge e
Lerngruppe „inhalts- und lernzielgleich
unterrichtet
h unterrichte
werden, ohne dass die Lernwege
vereinheitlicht
ge v
ereinheitlicht
werden müssen.“1
Stationenlernen
n – Ei
Ein
n kurzes Fazit
erhalb der
er untersch
dliche Fachdidaktiken
Innerhalb
unterschiedlichen
herrscht seit
se Jahren ein Konsens darüber, dass
s
Lehr-Lern-Angebot
der Schule
verändern
sich das Leh
-Lern-An
e veränd
n
kognitive Wissensvermittlung
muss. Rein k
ng im Sinne
des
„Nürnberger Trichters“ ist nicht gefragt
es „Nürnb
agt und widerspricht
spric allen aktuellen Erkenntnissen
ken
n der Lernpsychologie. Eigenverantwortliches,
selbstgestaltwortlic
bstg
tetes und kooperatives
Lernen
ves L
ernen sind die zentralen
Ziele der Pädagogik
neuen
Jahrtausends. Eine
gogik des ne
uen Ja
mögliche
Variante,
Forderungen nachzue Varia
ante, diesen For
kommen,
bietet das Station
Stationenlernen. Warum?
en, biete
Stationenlernen
ermöglicht u. a.:
lernen er
1. Binnendifferenzierung
und individuelle Fördedif
rung, indem unterschiedliche Schwierigkeitsgrade angesetzt werden. Gleichzeitig können
die Schülerinnen und Schüler auch ihre Kompetenzen im Bereich der Arbeitsorganisation ausbauen.
2. einen Methoden- und Sozialformenwechsel, sodass neben Fachkompetenzen auch Sozial-,
Methoden- und Handlungskompetenzen gefördert werden können.
1
Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/ 2010, S. 6.
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
© Persen Verlag
Grundsätzlich – so behaupte ich – lässt sich Stationenlernen in allen Unterrichtsfächern durchführen. Grundsätzlich eignen sich auch alle Klassenstufen für Stationenlernen. Trotz alledem sollten –
wie bei jeder Unterrichtskonzeption – immer die zu
erwartenden Vorteile überwiegen; diese Aussage
soll hingegen kein Plädoyer für eine Nichtdurchführung eines Stationenlernens sein! D. h. jedoch,
dass – wie bei jeder Unterrichtsvorbereitung – eine
Bedingungsanalyse unerlässlich ist!
Stationenlernen benötigt – rein organisatorisch –
s mus
als allererstes Platz: Es
muss möglich sein, jeder
beits- Platz zuzuweisen.
Station einen festen (Arbeits-)
Die Lehrkraft benötigtt darüber h
hinaus für die Vorbereitung im ersten Moment meh
mehr Zeit – sie muss
digen Ma
erialien in au
alle notwendigen
Materialien
ausreichender Anrfügung ste
len und das heißt vor allem:
zahl zur Verfügung
stellen
e benötigt Zeit für da
Sie
das Kopieren! Für d
den weiteen Ablauf iist
st es s
aufgabe an
ren
sinnvoll, Funktionsaufgaben
ie Lernende
die
Lernenden zu verteilen – so kann bspw. je eine
S
chülerin oder je ein Schüler
hüler für eine Station d
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en: Sie/er m
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Verantwortung übernehmen:
muss
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Sorge tragen, da
dass immer
ausreichend
Materialien
bereit liegen.
och is
Wichtiger jed
jedoch
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Grundeinstellung der
rinnen und
d Sch
Schüler se
Schülerinnen
selbst: Viele Lernende
wurde
g mi
wurden regelmäß
regelmäßig
mit lehrerzentriertem Frontalunterrich
unterricht „unterh
„unterhalten“ – die Reaktionen der Schülerinnen und
und S
Schüler werden sehr unterschiedlich
sein. Eine Lerngruppe wird sich über mehr Eigenvera
verantwortung freuen, eine andere wird damit
maßlos überfordert sein, eine dritte wird sich verweigern. Daher ist es unerlässlich, die Lernenden
(schrittweise) an offenere Unterrichtsformen heranzuführen. Sinnvoll ist es daher, mit kleineren
Formen des offenen Unterrichts zu beginnen; dies
muss nicht zwingend ausschließlich in einem bestimmten Fachunterricht erfolgen – der Lernprozess einer Klasse sollte auch hier ganzheitlich verstanden werden! Absprachen zwischen den Kolleginnen und Kollegen sind somit auch hier unerlässlich – letztendlich kann im Gegenzug auch
wieder das gesamte Kollegium davon profitieren.
2. Besonderheiten des Stationenlernens im
Fach Mathematik in der Klassenstufe 9
Ein Stationenlernen im Mathematikunterricht muss
sich an den Inhalten und dem Aufbau der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren
Bildungsabschluss orientieren. Das Einschlagen
von individuellen Lösungswegen, das Analysieren
3
2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 9
von Lernergebnissen, das zielgerichtete Anwenden von Formeln, Rechengesetzen und Rechenregeln soll stets unter der Prämisse der Nutzbarkeit
für das weitere Lernen und dem Einbezug in möglichst unterschiedliche kontextbezogene Situationen gesehen werden. Der Schüler soll „auf diese
Weise Mathematik als anregendes, nutzbringendes und kreatives Betätigungsfeld erleben“1.
Das mathematische Lösen von Sachaufgaben
und deren Kontrolle
Das Beschreiben von Lösungswegen und deren
Begründung
Die Selbstformulierung mathematischer Probleme, deren sachgerechte Lösung und die Interpretation von Ergebnissen in Sachsituationen
Dabei sind folgende sechs allgemeine mathematische Kompetenzen Grundlage jeder Planung und
unterrichtlichen Aufbereitung. Im Einzelnen handeln es sich um:
Das Umrechnen von Größen und deren situationsgemäße Anwendung
Der Einsatz von Maßstäben
stä
und Streckenverhältnissen
Das Beschreiben und Begr
Begründen von Eigeniehungen ge
schaften und Beziehungen
geometrischer Obbesondere bei zentris
jekte, insbesondere
zentrischen Streckungen
Die Anal
Analyse
se von Sac
Sachzusammenhängen
ng durch
Eigensch
aften un
eometris
Eigenschaften
und Beziehungen geometrischer
Objekte
Das A
Anwenden von Sätzen
tzen der eben
ebenen
n Geome
Geomeerechnung un
trie bei Konstruktion, Be
Berechnung
und Bewe
Beweis
tzgru
des Py
thagoras
für die Satzgruppe
Pythagoras
Das Zeichnen
en un
und
d Konstruie
Konstruieren
eren geometrischer
en mit entspr
echenden Hilfsmitteln
Figuren
entsprechenden
Da Analysier
Das
Analysieren
en un
und Vergleichen funktionaler
Zusa
mmenhän und die Darstellung in tabelZusammenhänge
arischer und grafischer Form
larischer
Das g
grafische Interpretieren von linearen und
quadratischen Gleichungen
Das Lösen von linearen und quadratischen
Gleichungen sowie Gleichungssystemen mithilfe von Graph und Rechnung
Das Berechnen von Unbekannten in rein- und
gemischtquadratischen Gleichungen
Das Herstellen von Beziehungen zwischen
Funktionsterm und Graph
Das Angeben von Sachsituationen bei vorgegebenen Funktionen
mathematisch argumentieren
Probleme mathematisch lösen
mathematisch modellieren
mathematische Darstellungen verwenden
mit symbolischen, formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen
kommunizieren
Diese allgemeinmathematischen Kompetenzen
petenzen
gilt es inhaltsbezogen zu konkretisieren
en und mit e
eitischen Leitideen
ner der fünf folgenden mathematischen
in Einklang zu bringen:
Zahl
Messen
Raum und Form
funktionaler
funktiona
er Zusamm
Zusammenhang
an
Daten und Zufall
Bezogen auf die Adressaten dieses Buches zum
Stationenlernen
– die Schüler der 9. Klasse
Stationenler
sse – müsn folg
en mathematische
ematische
sen
folgende inhaltsbezogene
htigung finden:
Kompetenzen Berücksichtigung
Die Vorstellung von reelle
reellen Zahlen entsprenotwe
chend der Verwendungs
Verwendungsnotwendigkeit
Das sichere Anwenden d
der Grundrechenarten,
s Quadrie
ns und Wurzelziehens im Zahlbedes
Quadrierens
er rationa
reich der
rationalen und reellen Zahlen
Die Umformungsübungen
mform
zu Termen, insbesondere für den Zahlbereich der reellen Zahlen
Die Äquivalenzumformungen bei Gleichungen
und Ungleichungen, insbesondere bei der rechnerischen Lösung von linearen Gleichungssystemen
Das Nutzen des Zusammenhangs von Rechenoperationen, deren Umkehrung sowie Kontrollmechanismen
1
Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss, Carl Link Verlag, S. 6.
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
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Dabei muss sich der unterrichtliche Gegenstand
jeweils in mehrere voneinander unabhängige Teilaspekte aufgliedern lassen. Dies ist auch im Fach
Mathematik möglich, obwohl häufig Themen auf
den vorherigen aufbauen bzw. ohne Kenntnis der
erarbeiteten Rechenregeln nicht lösbar sind. Innerhalb eines Themengebietes ist die Reihenfolge der
strukturellen Erarbeitung in vielen Fragestellungen
austauschbar und von daher effektiv mithilfe des
Stationenlernens umzusetzen.
4
Quadratwurzeln und reelle Zahlen
Laufzettel
zum Stationenlernen Quadratwurzeln und reelle Zahlen
Station 1
Berechnen von
Quadratwurzeln
Zusatzstation A
Station 2
Reelle Zahlen
Kubikwurzeln und
nd n-te
Wurzeln
urze
Zusatzstation
Zusa
t
B
Station 3
Teilweises Wurzelziehen
Teilwe
hen
Rechnen mit reellen Zahlen
en
Station
S
tation 4
Rechenregeln
Rech regel
Quadratwurzeln
uadr
Zusatzstation
usa zstat on C
QuadratwurzelQuadra
twurz
gleichu
ge II
gleichungen
Station 5
Zusatzstation D
Quadratwurzelterme
wurzelte
umformen
umfo
rmen
Sachaufgaben
Station 6
St
Quadratwurzelgleichungen
I
Qua
Kommentare:
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
© Persen Verlag
5
Station 1
Aufgabe
Berechnen von Quadratwurzeln
Aufgabe:
Berechne Quadratwurzeln.
1. Bestimme in deinem Heft die dazugehörige Quadratzahl.
2. Bestimme in deinem Heft die folgenden Quadratwurzeln im Kopf.
3. Für welche Werte von x können Wurzeln berechnet werden? Schreibe eine Bed
Bedingung mithilfe
eines Vergleichsoperators in deinem Heft.
4. Berechne die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner und
nd schreibe in dein Heft.
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Station
ation 2
Aufgabe
Reelle
Ree
e Zahlen
Aufga
Aufgabe:
Bestimme reelle Zahlen.
len.
1. Welche d
dieser
eser Zahlen sind rational, welche irrational? Schreibe in dein Heft.
de für a) u
2. Finde
und b) eine rationale Zahl, für c) und d) drei rationale Zahlen die zwischen den
vorgegebenen
Brüchen liegen. Schreibe und rechne in deinem Heft.
ege
3. Beantworte die Fragen in deinem Heft. Begründe deine Antwort.
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
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6
Station 3
Aufgabe
Rechnen mit reellen Zahlen
Aufgabe:
Übe das Rechnen mit reellen Zahlen.
1. Berechne mit dem Taschenrechner in deinem Heft und runde auf vier Nachkommastellen.
2. Vereinfache zunächst soweit wie möglich in deinem Heft und runde das Ergebnis mithilfe des
Taschenrechners auf vier Nachkommastellen.
3. Vereinfache zunächst soweit wie möglich und setzte anschließend die folgende
folgenden Werte ein:
x = 3, y = 2, z = 1. Berechne mithilfe des Taschenrechners in deinem Heft das Er
Ergebnis und
runde auf vier Nachkommastellen.
4. Welcher der beiden Dezimalbrüche ist eine
irrationale Zahl? Begründe
ine rrationale,
ale, welcher eine irrat
gr
in deinem Heft.
5. Beantworte die folgende Frage in
Heft.
n deinem H
ft.
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Station
ation 4
Aufgabe
Rechenregeln
henregel Quadratwurzeln
Quadratwu
Aufga
Aufgabe:
Berechne Quadratwurzeln
mithilfe von Rechenregeln.
urzeln m
1. Berechne
Taschenrechner in deinem Heft mittels der Wurzelregel für Produkte.
erechne ohne Tasche
2. Berechne
ohne Taschenrechner in deinem Heft mittels der Wurzelregel für Quotienten.
echne oh
3. Setze die Kästchen an die richtige Stelle ein und überprüfe das Ergebnis auf Gleichheit. Trage
auf dem Rechenblatt ein.
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7
Station 5
Aufgabe
Quadratwurzelterme umformen
Aufgabe:
Forme Quadratwurzelterme um.
1. Benutze das Distributivgesetz und rechne ohne Taschenrechner in deinem Heft.
2. Beseitige die Wurzel im Nenner. Rechne ohne Taschenrechner und löse in deinem Heft.
3. Vereinfache ohne Taschenrechner zu einem Produkt in deinem Heft.
4. Vereinfache die Terme in deinem Heft. Runde das Ergebnis vom vereinfachten Te
Term für
c) und d) auf zwei Nachkommastellen.
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Station
ation 6
Aufgabe
Quadratwurzelgleichungen
adratwu elgleichung I
Aufga
Aufgabe:
Übe das Lösen von Quadrat
Quadratwurzelgleichungen.
glei
1. Löse
Gleichungen mit einer Wurzel in deinem Heft.
öse die folgenden
olgenden Gle
2. Löse
folgenden Gleichungen mit zwei Wurzeln in deinem Heft.
e die folg
3. Ordne den Gleichungen die richtige Lösungsmenge zu und verbinde auf dem Materialblatt.
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8
Zusatzstation A
Aufgabe
Kubikwurzeln und n-te Wurzeln
Aufgabe:
Berechne Kubikwurzeln und n-te Wurzeln.
1. Berechne die Kubikwurzeln durch „Probieren“ ohne Taschenrechner und löse in deinem Heft.
2. Berechne die Kubikwurzeln mit dem Taschenrechner in deinem Heft und runde auf zwei
Nachkommastellen.
3. Ergänze die fehlenden Zahlen für x durch „Probieren“ ohne Taschenrechner
deinem Heft.
rechner in d
4. Berechne die Sachaufgabe.
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Zusatzstation
us zstationn B
Aufgabe
Teilweises Wurzelziehen
Teilweise
Wurzelzieh
Aufga
Aufgabe:
Wende Wurzelregeln beim te
teilweisen
Wurzelziehen an.
en W
1. Berechne
Regel für Produkte ohne Taschenrechner und schreibe in dein Heft.
erechne mithilfe der R
2. Berechne
mithilfe der Regel für Quotienten ohne Taschenrechner und schreibe in dein Heft.
echne mi
3. Bringe den Vorfaktor mit unter das Wurzelzeichen und berechne mit dem Taschenrechner
einen Näherungswert in deinem Heft. Runde auf zwei Nachkommastellen.
4. Vereinfache in deinem Heft durch teilweises Wurzelziehen und forme um.
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9
Zusatzstation C
Aufgabe
Quadratwurzelgleichungen II
Aufgabe:
Löse schwierige Quadratwurzelgleichungen.
1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen mit einer Wurzel in deinem Heft.
2. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen mit zwei Wurzeln in deinem Heft.
3. Löse die folgenden Wurzelgleichungen in deinem Heft.
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Zusatzstation
us zstationn D
Aufgabe
Sachaufgaben
Sach
ufgaben
Aufga
Aufgabe:
Bearbeite die Sachaufgaben.
ufgaben
1. Stelle
eine
Wurzelgleichung
auf und berechne den Wert für x in deinem Heft.
telle ein
e Wurzelgleic
h
2. Ein Rechtec
Rechteck hat die folgenden Maße. Berechne die Zahl für x in deinem Heft.
3. Bearbeite die folgende Sachaufgaben (Frage, Rechnung, Antwortsatz) in deinem Heft.
4. Für welche Zahl x sind die Flächeninhalte der beiden Rechtecke gleich? Wie groß ist der
Flächeninhalt, wie groß sind die Seiten a und b der beiden Rechtecke? Berechne in deinem
Heft und runde auf zwei Nachkommastellen.
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
© Persen Verlag
10
Material
Station 1
Berechnen von Quadratwurzeln
Die Quadratwurzel einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl b, die mit sich selbst
multipliziert a ergibt (b2 = a). Für die Quadratwurzel aus a schreibt man 앀a. Dabei heißt die
Zahl a unter dem Wurzelzeichen Radikant und das Berechnen der Quadratwurzel heißt
Radizieren.
z. B.: 앀625 = 25, da 25 μ 25 = 252 = 625
앀0 = 0, da 0 μ 0 = 0
Das Quadratwurzelziehen wird durch das Quadrieren rückgängig gemacht:
acht:
c : (앀a) = a.
2
Das Quadrieren wird durch das Quadratwurzelziehen rückgängig
gemacht:
ängig
ggg
ge
m c 앀a2 = a.
macht
Hinweis: Wurzeln können nur aus positiven
e Zahlen
ng
gezoge
gezogen
z g n wer
werden.
e den.
e
u s die innere
uerst
n eW
Wur
zzel g
gez
z
Bei einer Doppelwurzel wird zuerst
Wurzel
gezogen.
elten
l n „hoch
„hoc
o 0,5“
5“ verwendet: 앀a = a 0,5.
Statt dem Wurzelzeichen wird seltener
1.
a) 1
b)) 4
c) 7
d) 10
f) 35
g) 50
h) 0,8
i)
2
2.
a 앀16
b) 앀289
9
e) 앀1,21
f)
3.
a) 앀x + 3
b) 앀– 9 + x
c) 앀12 + 3x
e) 앀– (3x + 1)
f) 앀1– x2
g)
4.
a) (앀11)2
b) (앀54)2
f) – 앀21,32
g)
dNNN
d 81
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
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2
3
k) 5
9
c) 앀529
4
fNN
N
225
d) 앀900
fN14
g)
h)
(– 앀61)
h)
dNNNNNN
d 0,0016
2
h)
d) 앀82
i) –
1
2
fVVV
4
d) 앀5x – 10
2
x – 2,4
fVVVVVVV
5
c)
e) 12
1
fVVVVV
fVVV
16
1
x – 4,2
fVVVVVVV
8
e)
fVV27
k)
$d 9 d 16 %
2
2
2
11
Material
Station 2
Reelle Zahlen
Reelle Zahlen (kurz: R) bestehen aus den bisher bekannten rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen.
Rationale Zahlen: Darstellung durch einen abbrechenden oder periodischen Dezimalbruch, z. B.:
1 = 0,25; 1 = 0,1; – 9 = – 1,8.
4
9
5
nd n
n
nichtper
hp
Irrationale Zahlen: Beschreibung durch einen nichtabbrechenden und
nichtperiodischen
Dezimalbruch, z. B.: 앀2 = 1,4142315…
1.
a) – 5
6
2.
a) 1 und 3
7
7
b)
1
100
2
c)) 12
99
9
b
un 4
b) 7 und
3
5
d 앀6
d)
3
e) 앀5 + 1
7 und 8
c) 0,7
10
f) 0,8
0,81
1 und 12
d) 13
11
11
3.
3
ra
a) Jede rationale
Zahl ist auch eine reelle Zahl?
d reel
en, die nic
b) Irrationale Zahlen sind
reelle Zahlen,
nicht rational sind?
alen Z
c) Zwischen zwei ration
rationalen
Zahlen liegen abzählbar viele rationale Zahlen?
rrational Zahlen lass
d) Irrationale
lassen sich als Bruch darstellen, rationale nicht?
e) Ist a eine n
natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl, so ist 앀a eine rationale Zahl?
f) Bei einer rationalen Zahl steht eine natürliche Zahl im Zähler und eine ganze Zahl im Nenner?
g) Jede reelle Zahl ist rational und irrational?
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12
Material
Station 3
Rechnen mit reellen Zahlen
Rechnet man mit reellen Zahlen (rationale und irrationale Zahlen), so gelten alle bisher bekannten Rechenregeln. Im Folgenden sollen die Ergebnisse mithilfe des Taschenrechners
auf vier Nachkommastellen gerundet werden, z. B.:
I. – 1 + 앀17 앒 3,1231
II. Erst zusammenfassen: 앀3 + 앀10 + 앀10 + 앀5 + 앀3 – 앀10 = 2 · 앀3 + 앀10 + 앀5 앒 8,8624
1.
a) 1 + 앀3
b) 1 – 앀7
c) 앀1 – 7
d) 2 · 앀13
e) 앀5 – (–3)
f) 앀5 + (–10)
2.
a) 앀2 + 앀7 + 앀2 + 앀11 + 앀2 + 앀7
b) 3 · 앀2 + 앀3 + 4 · 앀2 + 2 · 앀2 + 앀3
c) 5 · 앀3 – 2 · 앀6 + 앀3 + 앀6 – 7 · 앀3
d) 4 · 앀5 – 앀3 + 앀5 – 3 · 앀5 + 3 · 앀3
(
3.
a) 4 · 앀x – 앀x + 앀x – 3 · 앀y + 3 · 앀y – 앀z
(
)
(
b) 3 · 앀x – 2 · 앀x – 앀x + 앀y + 3 · 앀x
)
)
4
4.
a) 0,24681012141618202224262830
61820222
b) 0,236363636
6363
3636
5.
Rationale Zahlen können auf einer Zahlengeraden dargestellt werden. Können irrationale Zahlen
auch auf einer Zahlengeraden dargestellt werden? Begründe.
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
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13
Material
Station 4
Rechenregeln Quadratwurzeln
Berechnungen von Quadratwurzeln können aufgrund der folgenden Rechenregeln vereinfacht werden:
Für alle a 6 0 gilt: (앀a)2 = a
Für alle a 6 0 gilt: 앀a2 = a
Für alle a gilt: 앀(a)2 = a, z. B.: 앀(–20)2 = 20
2 = 앀36 = 6
Für alle a 6 0, b 6 0 gilt: 앀a · 앀b = 앀a · b, z. B.: 앀3 · 앀12 = 앀3 · 12
앀a
= a , z. B.: 앀27 : 앀3 = 27 = 앀9 = 3
– Für alle a 6 0, b > 0 gilt: 앀a : 앀b =
앀b
b
3
–
–
–
–
fVV
f
fVVV
1.
a) 앀2 · 앀32
b) 앀45 · 앀5
c) 앀12
2·
e) 앀0,49 · 앀0,09
f) 앀1
180
80 · 앀0,008
g)
g 앀3,2 · 앀12 · 앀15
h) 앀32 · 앀0,
0,5 · 앀4
i) 앀a · 앀a
k) 앀a · 앀a3
l) 앀a · 앀ab2
m) 앀4a
a · 앀4b2a
2.
앀20
0
a)
앀5
b)
e) 앀9
98 : 앀0,5
i)
fNab : ffNba
앀4
앀36
25
ffVVV
VVV
3
d) 앀10 · 앀12,1
c)
앀1
125
25
앀5
d)
f) 앀45 : 앀1,8
g)
100 : 앀400
fVVVV
9
h) 앀25 :
k) 앀a3 : 앀a
l)
49a
fVVVVV
25b
m)
2
2
앀7,2
앀0,05
fN14
100a
fVVVVVV
81b
4
2
3.
앀12
·
앀16
앀(–10)2
·
·
= 4 =
2
앀52
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
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80
앀25
·
앀(100)2
14
Material
Station 5
Quadratwurzelterme umformen
Für das Umformen von Quadratwurzeltermen gelten auch das Kommutativgesetz, das
Assoziativgesetz und das Distributivgesetz. Einfache „Rechentricks“ (z. B. das Beseitigen
einer Wurzel im Nenner) können ebenfalls zur Termumformung genutzt werden.
Beispiel:
I) Ausklammern und Ausmultiplizieren:
II) Wurzel im Nenner beseitigen:
eiti
10 = 10 Ý 앀7 = 10
0 Ý 앀7 = 앀7 ¼ 10
7
앀7
앀 7 Ý 앀7
7
(3 + 5) · 앀6 = 3 · 앀6 + 5 · 앀6
(앀3 + 앀5) · 앀3 = 3 + 앀15
III) Vereinfachen mithilfe eines Binoms:
앀2 + 1 · 앀2 – 1 = 앀2 )2 – 12 = 1
(
) (
IV) Vereinfachen
einem
Produkt:
chen
en zu e
ei
nem
m Pr
Prod
r ukt
rod
uk
앀45
5 + 앀80 = 앀9 · 5 + 앀1
16 · 5
= 3 · 앀5 + 4 · 앀5 = 7 · 앀5
) (
1.
a)
(a + b) · 앀c
b)
d)
(앀125 – 5) · 앀5
e) 10 · 앀0,5 + 5 · 앀0,5
5
g)
(앀5 + 앀2vv) · 앀22v
h))
2.
a)
3
b)
앀2
e) 앀6
앀30
f)
(x + 앀8) · 앀8
c) 5 · 앀a + 앀a · 7
(
)
f)) 앀3 · 11 + 앀3
(앀13 – 3 · 앀118) · 앀2
x
c) x · y
앀y
앀x
81
g)
앀6 · 앀5
a
b · 앀a
d)
1
5 · 앀3
h)
12
3 · 앀21
3.
a) 앀44 + 앀99
b) 앀2 + 앀32
c) 8 · 앀3 + 앀12
d) 앀45 + 4 · 앀20
e) 앀27 – 앀147
f) 3 · 앀2 – 5 · 앀8
g) 8 · 앀63 – 5 · 앀28
h) 앀50 + 앀2 – 앀18
4.
a)
(6 + 앀13) · (6 – 앀13)
b) 5 · 앀10 + 앀12 · 5 · 앀10 – 앀12
c)
(2 + 앀2)
d) 5 – 앀6)
2
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
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(
(
) (
)
2-
15
Material
Station 6
Quadratwurzelgleichungen I
Steht in einer Gleichung die Variable x unter einer Wurzel, so spricht man von einer Wurzelgleichung. Typische Vorgehensweise:
I. Isoliere die Wurzel durch Quadrieren, ggf. unter Anwendung einer binomischen Formel
bzw. forme zunächst geschickt um.
II. Forme äquivalent um, sodass die Wurzel allein auf einer Seite steht.
e
eht.
III. Quadriere ggf. erneut, um die Wurzel aufzulösen, sodass x allein steht.
G
i
IV. Führe eine Probe durch. Wenn die Lösungen bei der Probe falsche Gleichu
Gleichungen
ergeben, ist die Lösungsmenge leer.
V. Gib die Lösungsmenge an.
Beispiel:
앀x + 1 = – 앀x + 7
x + 2 앀x + 1 = x + 7
앀x = 3
x=9
| Quadriere mithilfe
llfe d
der 2. binomisch
binomischen
n m c e
en F
Form
Formel.
rme
| Forme um, um die
ie Wu
Wurzel
u zel
e a
allein
na
au
auf eine
i Seite zu bekommen..
| Quadriere, um
md
di
die Wurz
Wurzel
u el zzu b
bese
beseitigen.
Probe:
앀9 + 1 = – 앀9 + 7; 4 –4
– ((Die
e Lö
Lösung
ö ng
g fführt zu einer falschen Aussa
Aussage);
u a e
e);
) L = {}
1.
a
a) 앀x – 3 = 2
b) 앀4x = 1
c) 2앀x – 3 = 6
d) 1 = 2 – 앀x
e) 7 + 앀5x + 4 = 10
f) 5 · 앀4x
x – 5 = 20
g) 앀x = x
h) 앀x + 9 = 7
2.
a) 앀x = 앀2x + 7
b) 앀x – 4 = – 앀–x + 36
c) – 앀x – 45 = –5 + 앀x
d) 앀4x – 12 = 앀12 + x – 앀x
3.
앀x + 7 = –4
L={3}
앀x – 3 – 앀x + 2 = –1
L={7}
앀x – 4 + 3 = 앀x + 11
L={
}
앀x + 26 = 3 · 앀x – 6
L={5}
3 = 앀x + 6
L={6}
6 · 앀x – 5 = 앀x + 30
L = { 10 }
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16
Material
Zusatzstation A
Kubikwurzeln und n-te Wurzeln
Die Kubikwurzel, auch 3. Wurzel genannt, aus einer positiven Zahl a, ist diejenige positive
3
Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert a ergibt (geschrieben: 앀a).
Die N-te Wurzel einer positiven Zahl a, ist diejenige positive Zahl, die n-mal mit sich selbst
n
multipliziert a ergibt. Man sagt die 4. Wurzel für n = 4, die 5. Wurzel für n = 5, usw. ( 앀a).
Beispiele:
3
4
앀8 = 2, denn 23 = 8
1.
3
a) 앀1000
앀81 = 3, denn 34 = 81
c)) 앀6
64
3
3
g) 앀3375
3
c) 앀7
712
e) 앀343
f) 앀2197
2.
3
a) 앀50
b) 앀24
245
3
3
e) 앀4566
3.
4
a) 앀x = 2
5
3
d) 앀12
125
3
h) 3 1
8
3
d) 앀1111
111
5
fN18
ffVVV
VVV
g) 앀0,2
c) 앀1024
4=x
fN
3
3
f) 앀5500
b) 앀x = 3
앀1024 = 4, denn
enn
nn
n 45 = 1
1024
3
3
b) 앀8000
5
h) 3
4
d) 앀6561 = x
3
10
fV641 = 0,5
fVVV
e) x
x
f) 앀19683 = 3
4.
Ein Würfel hat das Volumen
umen V = 6859 cm3. Wie lang ist die Seitenlänge a?
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17
Material
Zusatzstation B
Teilweises Wurzelziehen
Beim teilweisen Wurzelziehen wird der Radikant in ein Produkt/Quotient aus einer Zahl und einer
Quadratwurzel zerlegt. Hierbei die folgenden Zusammenhänge:
앀a 2 μ b = 앀a 2 μ 앀b = a μ 앀b für a 6 0, b 6 0, z. B.: 앀112 = 앀16 μ 7 = 4 μ 앀7
149 = 앀149 = 앀149 μ 1
fNba = 앀앀ba = 앀ba = 앀a μ b1 für a 6 0, b > 0, z. B.: 앀1,49 = fVVVV
100 앀100
10
0
2
2
1.
a) 앀45
b) 앀68
2.
a)
b)
2
fVVV
49
f 645
fVVV
c) 앀275
5
c)
앀7
앀169
d) 앀108
e) 앀98
d) 앀0,06
e
e)
3.
a) 3 μ 앀11
1
b) 5 μ 앀21
c) 0,5 μ 앀12
d)
4.
a) 앀13a 2
b) 앀25a
5a 2b
c)
a
fVVV
84
d)
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2
1
μ
3
11
f400
fVVVV
f) 앀4000
000
f) 앀3,63
ffVV
VV92
2a
fVVVVV
b
2
4
e) 앀a 2b
f)
5a
fVVV
b
2
18
Zusatzstation C
Material
Quadratwurzelgleichungen II
Für das Lösen von schwierigeren Quadratwurzelgleichungen wird der Umgang mit der p-q-Formel
vorausgesetzt.
p-q-Formel:
x 2 + px + q = 0
x 1,2 = –
p
앧
2
( p2 ) – q
fNNNN
2
Beispiel:
x + 1 = 앀x + 7
| Quadrieren
2
x + 2x + 1 = x + 7 | Umformen
x2 + x – 6 = 0
| p-q-Formel
p = 1, q = –6
fNNNN
()
1 2
1
+6
앧
2
2
x 1 = 2,x2 = – 3
–
Probe:
2 + 1 = 앀2 + 7
3=3
–3
3 + 1 ) 앀–3
3+7
–2 ) 2
L = {3}
1.
a) 앀5x
x + 5 = 3 – 2x
x
b) x – 17 = 앀2x + 1
c) 2 μ 앀x + 7 = 4
d) 4x – 11 = 앀8x + 1 + 2x
2.
a) 1 + 앀x – 9 = 앀x – 4
b) 앀x + 6 = 1 + 앀x – 1
c) 앀x = 앀2x + 7
d) 앀x + 2 – 앀x = 1
3.
3
a) 앀x + 2 = 2
b) 앀32x = 4
4
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19
Material
Zusatzstation D
Sachaufgaben
1.
a)
b)
c)
d)
2.
Die Quadratwurzel aus dem zweifachen einer Zahl ergibt 6.
Die Summe der Quadratwurzel aus dem sechsfachen einer Zahl und 5 ergibt 17.
Subtrahiert man 5 von der Quadratwurzel aus dem zwölffachen einer Zahl erhält man 1.
Die dritte Wurzel aus einer Zahl ergibt 8.
a)
b)
앀x + 1
A = 24 cm2
6 cm
2 m2
A = 32
앀x – 3
8 cm
3.
Ein würfelförmiges Gefäß hat eine
einen
4913 cm3. Peter möchte
n Rauminhalt von 4
hte das Gefäß kom
komplett
ett
2
2
bestreichen. Wie groß istt die zu fär
färbende
Fläche? (in cm / m )
ende Fläch
4.
a)
b)
앀x + 2
4 cm
6 cm
3 앀x
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20
Abschließende Bündelung des Stationenlernens
Material
Aufgaben zur Wiederholung
Wiederholung der Stationen 1–6 sowie der Zusatzstationen A–D
1. Fasse, wenn möglich, erst zusammen und berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner
(gerundet auf vier Nachkommastellen).
a) 4 + 앀11
b) 5 – 앀35
(
)
c) 앀2 + 앀6 + 앀2 + 앀2 + 앀3 + 앀6
(
d) 2 μ 앀10 – 앀10 – 앀11 + 앀2
)
e) 앀14 + 앀11 + 앀11 – 4 μ 앀14 – 앀15
5 – 앀14
2. Berechne für a)–d) die Wurzeln durch Anwendung der Rechenregeln,, beseitige fü
für e)–h) die
Wurzel im Nenner durch Termumformung. (ohne Taschenrechner)
echner)
a) 앀8 μ 앀60,5
e)
5
앀7
b) 4 μ 앀3 μ 앀6 μ 앀2
c)
f) 앀2 + 앀3
앀3
g)
(254 )
0,5
d)
121
h)
앀2 μ 앀8
49 : 앀64
fVVV
9 앀225
25
xy
앀xy
gleichunge
3. Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
a) 13 = 앀x – 1 + 4
e)
b) – 4 = 앀x + 7
f 2xx +–15 = 1
fVVVVVVVV
f) 2 +
3
c) 6 μ 앀x – 50
0 = 앀x – 1
15
5
x–5 =1
fVVVVVVVV
x+1
d) 앀x + 8 – 2 = 앀x
g) 앀x + 7 + 1 = 앀x + 2
welche Zahl x ist der Flächeninhalt
doppelt so groß wie der Flächeninhalt von b)?
4. Für we
inhalt von a) dopp
Bestimme weiterhin die Se
Seitenlängen
Rechtecke sowie A.
Bes
gen der Recht
a)
b)
6 cm
9,6 cm
8 cm
앀x + 5 cm
5. Ziehe teilweise die Wurzel. (ohne Taschenrechner)
a) 앀32
b) 앀125
c) 앀243
d) 앀4a
e) 앀25x 2y
f) 앀81x 3
g) 앀16x + 16y
6. Ziehe die n-te Wurzel. (ohne Taschenrechner)
5
a) 앀243
3
b) 앀3375
c)
dNNN
d 64
3
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1
d) 256 4
21
1. Quadratwurzeln und reelle Zahlen – Lösungen
Station 1: Berechnen von Quadratwurzeln
1.
a) 12 = 1 ¦ 1 = 1
f) 352 = 1225
2.
a) 16 = 4
e) 1,21 = 1,1
b) 42 = 16
g) 502 = 2500
c) 72 = 49
h) 0,82 = 0,64
b) 289 = 17
4 = 2
f)
225 15
fNN
d) 102 = 100
2
i) 2 = 4
(3)
c) 529 = 23
1 = 0,5
g)
4
fN
e) 122 = 144
2
k) 5 = 25
(9)
9
81
d) 900 = 30
1
h)
2 = 1,5
4
fVVV
3.
nde B
dingungen ge
Da der Ausdruck unter der Wurzel positiv sein soll, werden folgende
Bedingungen
gestellt:
a) x + 3 6 0
b) – 9 + x 6 0
c) 12 + 3x 6 0
d) 5x – 10 6 0
x6–3
x69
x62
x6–4
e) – (3x + 1) 6 0
x^– 1
3
2
2 60
x – 2,4
5
x66
f) 1– x2 6 0
x = [– 1;; 1]
g)
b) (5
54))2 = 54
c) (– 61))2 = 61
6
f) – 2
21,32 = –21,3
g)
h)
1
260
x – 4,2
8
x 6 33,6
33,6
4.
a) (11)2 = 11
e)
i)
fVV27 = 27
1
= –0,5
–f
fVVVVV
VVV
ffVVV
16
2
2
k)
(9 166 )
2
dNNN
d 81 = 3
d) 82 = 8
h)
ddNNNNNN
d 0,0016
= 0,2
= 36
6
Station 2: Reelle Zahlen
1.
Rational:
3
5
1
12
e) 5 + 1
b)
c)
f) 0,81
Irrational: d) 6
6
100
99
10
2. individuelle
viduelle Lösungen:
Um eine rat
rationale
nale Zahl zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen die zu vergleichenden Brüche
gleichnamig
sein.
namig se
1 3
2
42 40
41
70 80
71 72 73
52 48
49 50 51
a) ; z.
z B.:
b) ;
z. B.:
c)
;
z. B.:
;
;
d) ;
z. B.: ; ;
7 7
7
30 30
30
100 100
100 100 100
44 44
44 44 44
a)) –
3.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Richtig, da die reellen Zahlen aus den rationalen und irrationalen Zahlen bestehen.
Richtig, da die reellen Zahlen aus den rationalen und irrationalen Zahlen bestehen.
Falsch, zwischen zwei rationalen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen.
Falsch, rationale Zahlen lassen sich als Bruch darstellen, irrationale nicht.
Falsch, ist a eine natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl, so ist a keine rationale Zahl.
Falsch, bei einer rationalen Zahl steht eine ganze Zahl im Zähler und eine natürliche Zahl im
Nenner.
g) Falsch, jede reelle Zahl ist rational oder irrational.
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22
Station 3: Rechnen mit reellen Zahlen
1.
a) 1 + 3 2,7321
d) 2 · 13 7,2111
2.
a)
b)
c)
d)
b) 1 – 7 1,6458
e) 5 – (–3) 2,8284
c) 1 – 7
nicht möglich
f) 5 + (–10) nicht möglich
2 + 7 + 2 + 11 + 2 + 7 = 3 ·2 + 2 · 7 + 11 12,8508
3 · 2 + 3 + 4 · 2 + 2 · 2 + 3 = 9 · 2 + 2 · 3 16,1920
5 · 3 – 2 · 6 + 3 + 6 – 7 · 3 = –3 – 6 –4,1815
4 · 5 – (3 + 5 – 3 · 5 + 3 · 3 ) = 6 · 5 – 4 · 3 6,4882
3.
a) 4 · x – x + x – 3 · y + 3 · y – z = 2 · x – z; eingesetzt: 2 · 3 – 1 2,4641
b) 3 · x – 2 · x – x + y + 3 · x = –3 · x – y; eingesetzt:
esetzt: – 3 · 3 – 2 –6,6104
(
)
)
(
4.
a) Eine irrationale Zahl: Der Dezimalbruch zählt aufsteigend
alle natürlichen geraden Zahlen
ufsteigend a
sch no
h bric
ht sie ab, da es unendliche
he viele gera
de Zahauf. Diese Folge wird weder periodisch
noch
bricht
gerade
len gibt.
albruch ist pe
üllt dam
it die Voraus
b) Eine rationale Zahl. Derr Dezim
Dezimalbruch
periodisch (0,236)) und erfüllt
damit
Voraussetzung für eine rationale
nale Zahl.
5.
Irrationa en Zahlen la
ns
er Zahlen
gerade da
te
Irrationalen
lassen
sich ebenfalls auf einer
Zahlengerade
darstellen.
Egal wie klein man
die Intervalle
es finden sich immer
unendlich
irrationale
Interva
alle wählt, e
mmer u
dlich viele irra
tional Zahlen die dazwischen liege
gen.
Station 4: Rechenregeln
St
regel Quadratwurzeln
dratwurz
1. Umformen
n mithilfe d
der
er Reg
Regel: a · b = a · b
25 = 10
fVVV
3
32
2=8
a) 2 · 3
b) 45 · 5 = 15
c) 12 ·
d) 10 · 12
12,1
1 = 11
e) 0,49 · 0,09 = 0,21
f) 180 · 0,008 = 1,2
g) 3,2 · 12 · 15 = 24
h) 32 · 0,5 · 4 = 8
i) a · a = a
k) a · a3 = a2
l) a · ab2 = a · b
m) 4a · 4b2a = 4 · a · b
2. Umformen mithilfe der Regel: a : b =
a)
20
=2
5
e) 98 : 0,5 = 14
i)
b)
4 1
=
36 3
c)
f) 45 : 1,8 = 5 g)
fNab : fNba = ab = a : b
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
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a
=
b
fVVab
125
=5
5
d)
100 : 25 = 2
fVVVV
3
9
h) 400 :
k) a 3 : a = a
l)
7,5
= 12
0,05
fN14 = 40
7a
49a
= 7a : 5b
=
fVVVVV
5b
25b
2
2
23
m)
fVVVVVV
100a 4 10a 2
=
= 10 a : 9 b
81b 2
9b
3.
z. B. 2 · 16 ·
52
12
=
4
=
· 80 · 25
(–10)2
(100)2
Station 5: Quadratwurzelterme umformen
1.
a)
(a + b) · c = a · c + b · c
(
)
d) (125 – 5) · 5 = (125 · 5) – 5 · 5 = 25 – 5 · 5
b) x + 8 · 8 = 8 · x + 8
c) 5 · a + a · 7 = a · 12
15
((oder 15) · 0,5)
2
f) 3 · 11 + 3 = 3 + 11 · 3
g) 5 + 2v · 2v = 10v + 2v
e) 10 · 0,5 + 5 · 0,5 = 2 ·
(
h)
2.
a)
e)
)
(
)
(13 – 3 · 18) · 2 = –18 + 26
3
3
= 2 ·
2
2
b)
x
= x
x
c) x · y = x · y
y
6 = 5 · 1
5
30
f)
27
81
= 30 ·
10
0
6 · 5
g)
a
b · a
= a ·
d)
1
b
h)
1
5 · 3
= 3 ·
12
1
2
3 · 21
1
15
1
= 21 ·
4
21
3.
a) 44 + 99 = 5 · 11
b) 2 + 32 = 5 · 2
c)
c 8 · 3 + 12 = 10 · 3
d)
d 45 + 4 · 20 = 11 · 5
e) 27 – 147 = –4 · 3
f) 3 · 2 – 5 · 8 = –7 · 2
g) 8 · 6
63 – 5 · 28 = 14 · 7
h)) 50 + 2 – 1
18 = 3 · 2
4.
a)
c)
(6 + 13) · (6 – 1133) = 223
(2 + 2) = 6 + 4 · 2 111,66
2
b)
d)
(5 · 10 + 12) · (5 · 10 – 12) = 238
(5 – 6) = 31 – 10 · 6 6,51
2
Station
on 6: Quadratwurzelgleichungen
Q
I
1. a) x – 3 = 2 + 3
x = 5 ( )
x = 25
Probe:
2 = 2, L = {25}
d) 1 = 2 – x
1 = x
b) 4x = 1 ( )
4x = 1
x = 0,25
Probe:
1 = 1, L = {0,25}
c) 2x – 3 = 6 : 2
x – 3 = 3 ( )
x = 12
Probe:
6 = 6, L = {12}
– 2 ¦ (– 1)
( )
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
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24
x=1
Probe:
1 = 1, L = {1}
e) 7 + 5x + 4 = 10 – 7
5x + 4 = 4 ( )
5x + 4 = 9
x=1
Probe:
10 = 10, L = {1}
f) 5 · 4x – 5 = 20 : 7
4x – 5 = 4 ( )
4x – 5 = 16
x = 5,25
Probe:
20 = 20, L = {5,25}
g) x = x ( )
x = x2
x=1
Probe:
1 = 1, L = {1}
h) x + 9 = 7 ( )
x + 9 = 49
x = 40
Probe:
7 = 7, L = {40}
2.
a) x = 2x + 7 ( ) b) x – 4 = ––x + 36 ( )
x = 2x + 7
x – 4 = –36 um
umformen
orme
x = –7
x = 20
L={}
Probe:
4 = –4, L = { }
c) –x – 45 = –5 + x ( )
x – 45 = 25 – 10 · x + x um
umformen
rmen
x = 7
x = 49
4
Pro e:
Probe:
–2 0 2, L = { }
12 + x – x ( ) (2. binom.
b m. Formel)
d) 4x – 12 = 1
4x – 12 = 12 + x – 2 · 12 + x · x + x –2x
2x –12 : (–2)
x + 12 = 12 + x · x ( ) (1. binom. Forme
Formel)
el)
2
x – 24x + 144 = (12 +x) · x auflösen
uflösen nach x
x=4
Probe:
2 = 2,
2 L = {4}
{
3.
x + 7 = –4
L = {3}
x – 3 – x + 2 = –1
L = {7}
x – 4 + 3 = x + 11
L={}
x + 26 = 3 · x – 6
L = {5}
3 = x + 6
L = {6}
6 · x – 5 = x + 30
L = {10}
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25
Zusatzstation A: Kubikwurzeln und n-te Wurzeln
1.
3
3
3
a) 1000 = 10, denn 103 = 1000 b) 8000 = 20, denn 203 = 8000 c) 64 = 4, denn 43 = 64
3
3
d) 125 = 5, denn 53 = 125
e) 343 = 7, denn 73 = 343
3
3
fN18 = 0,5, denn 0,5 = 18
f) 2197 = 13, denn 133 = 2197 g) 3375 = 15, denn 153 = 3375 h)
3
2.
3
a) 50 3,68
3
3
3
c) 712 8,93
3
g) 0,2 0,58
5
c) 1024 = x; x = 4
b) 245 6,26
e) 4566 16,59
f) 5500 17,65
3.
4
a) x = 2; x = 16
b) x = 3; x = 243
e)
f) 19683 = 3; x = 9
1 = 0,5; x = 6
fVVV
64
x
4.
Frage:
Rechnung:
Antwort:
3
3
d) 1111 10,36
h) 3 3 0,67
10
fVVV
3
5
4
d) 6561 = x ; x = 9
x
Wie lang ist die Seitenlänge a?
?
rfe ist
st V = a ¦ a ¦ a = a3 und daher istt die
Das Volumen für einen Würfel
Kubikwurzel gesucht.
3
6859 = 19
Die gesuchte
hte Seite a ist
st 19 cm lang.
la
Zusatzstation
tation B:
B: Teilweises
Teilweise Wurzelziehen
1
1.
a) 45
a
5 = 9 · 5 = 3 · 5
b) 68 = 4 · 17
7 = 2 · 17
c) 275 = 25 · 11 = 5 · 11
d) 108 = 36 · 3 = 6 · 3
e) 98 = 49 · 2 = 7 · 2
f) 4000 = 100 · 40 = 10 · 40
2.
a)
2
1
= 2 ·
fVVV
49
7
b)
fV645 = 5 · 18
fVVV
c)
7 = 7 · 1
13
169
11
6
1
1
e) fVVVV = 11 ·
= 6 ·
fVVVVV
400
100
10
20
363
3,63
63 = f
fVVVVV
VVVV = 363 · 101 = 121 · 3 · 101 = 11 · 3 · 101
100
d) 0,06
,06 =
f)
3.
a) 3 μ 11 = 9 · 11 = 99 9,95
c) 0,5 μ 12 = 0,25 · 12 = 3 1,73
4.
a) 13a 2 = 13 · a 2 = 13 · a
c)
a
1
a =
=a·
fVVV
84 4 · 21
221
2
e) a 2b = a · b
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b) 5 μ 21 = 25 · 21 = 525 22,91
1
d)
μ 9 = 1 · 9 = 0,5 0,71
9 2
3
2
fVV fVVVVVV
b) 25a 2b = 25 · a 2 · b = 5a b
d)
f)
2a = 2 · a = a · 2 μ 1
fVVVVV
b
b
b
5a = 5a μ 1
fVVV
b
b
2
4
2
2
2
26
Zusatzstation C: Quadratwurzelgleichungen II
1.
a)
5x + 5 = 3 – 2x
5x + 5 = (3 – 2x)2
x2 – 4,25x + 1 = 0
x1 = 4, x2 = 0,25
Probe:
5 · (4) + 5(3 – 2 · (4)
5 (–5
5 · (0,25) + 5 = 3 – 2 · (0,25)
2,5 = 2,5
L = {0,25}
2.
a)
1 + x – 9 = x – 4
1 + 2 · x – 9 + x – 9 = x – 4
2 · x – 9 = 4
x – 9 = 2
x–9=4
x = 13
Probe:
1 + 13 – 9 = 13 – 4
3=3
3}
L = {13}
b)
x – 17 = 2x + 1
x2 – 34x + 289 = 2x + 1
x2 – 36x + 288 = 0
x1 = 24, x2 = 12
Probe:
24 – 17 = 2 · (24) + 1
7=7
12 – 17(2 · (12) + 1
–5 ( 5
L = {24}
Probe:
2 μ –3 + 7 = 4
4=4
L = {–3}
d)
4x – 11 = 8x + 1 + 2x
2x – 11 = 8x + 1
4x2 – 44x + 121 = 8x + 1
x2 – 13x + 30 = 0
Probe:
4 · (10) – 11 = 8 ·(10) + 1 – 2 · (10)
29 = 29
1 ( 8 ·(3) + 1 + 2 · (3)
4 · (3) – 11
1 ( 11
1
L = {10}
0}
b)
c)
d)
x + 6 = 1 + x – 1
x + 6 = 1 + 2 · x – 1 + x – 1
6 = 2 · x – 1
x = 2xx + 7
x + 2 – x = 1
x + 2 = 1 + x
x + 2 = 1 + 2 · x + x
x = 0,5
36 = 4x – 4
x = 10
Probe:
100 + 6 = 1 + 10 – 1
4=4
L = {10}
3.
a)
b)
b
3
4
x+2=8
x=6
Probe:
be:
3
6 + 2 = 2
2=2
L = {6}
32x
3 = 256
x=8
Probe:
4
32x · (8) = 4
4=4
L = {8}
x + 2 = 2
c)
2 μ x + 7 = 4
x+7=4
x = –3
x = 2x + 7
x = –7
L={ }
x = 0,25
Probe:
00,25
25 + 2 – 0,25 = 1
1=1
L = {0,25}
32x = 4
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27
Zusatzstation D: Sachaufgaben
1.
a) 2x = 6; x = 18
2.
a)
6 · (x + 1) = 24
x + 1 = 4
x=9
3.
Frage:
Rechnung:
b) 6x + 5 = 17; x = 24
c) 12x – 5 = 1; x = 3
3
d) x = 8; x = 512
b)
8 · x – 3 = 32
x – 3 = 4
x – 3 = 16
x = 19
Wie groß ist die zu färbende Fläche?
3
Seitenlänge: a = 4913 cm3 = 17 cm
1734 cm2 = 0,17
0,1734
4 m2
Gesucht Oberfläche: 6 ¦ a2 = 6 ¦ (17 cm)2 = 17
Die zu färbende Fläche beträgt
gt 17
1734 cm2 / 0,173
0,1734
4 m 2.
Antwort:
4.
12 · x = 6 · x + 2
2 · x = x + 2
4x = x + 2
2
x=
3
2
sind die Flä
Flächeninhalte der beiden Rechtecke
echtecke gl
gleich
eich (4 · 6 9,8).
3
Maße Rechteck
Rec teck a: a = 6 2,45, b = 4
R
Rechteck
chteck b: a = 6, b 1,63
Für x =
Abschließende Bündelung
Abs
del
des
es Stationenlernens:
Station
1.
a)
b)
c)
d)
e)
4 + 11 7,3166
5 – 35 –0,9161
2 + 6 + 2 + 2 + 3 + 6 = 3 · 2 + 2 · 6 + 3 10,8737
2 μ 10 – 10 – 11 + 2 = 10 + 11 – 2 5,0647
14
4 + 11 + 11 – 4 μ 14 – 15 – 14 = –4 · 14 + 2 · 11 – 15 –12,2064
(
(
)
)
2.
a) 8 μ 60,5 = 8 μ 60,5 = 484 = 22
c)
e)
(254 ) = fVVVV
(254 ) = 254 = 25 = 0,4
0,5
5
7
= 7 ·
5
7
121
121
= 30,25
g)
=
4
2 μ 8
3.
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b) 4 μ 3 μ 6 μ 2 = 4 · 36 = 24
d)
49 : 64 = 7 : 8 = 35 = 4,375
fVVV
9 225 3 15 8
f)
2 + 3 = 6 + 3
3
3
xy
h) xy = xy
28
3.
a)
13 = x – 1 + 4
9 = x – 1
x = 82
Probe:
13 = 82 – 1 + 4
13 = 13
L = {82}
e)
2x – 5 = 1
fVVVVVVVV
x+1
b)
– 4 = x + 7
x=9
Probe:
– 4 ( 9 – 7
–4(4
L={ }
c)
6 μ x – 50 = x – 15
36 μ (x – 50) = x – 15
x = 51
Probe:
6 μ 51 – 50 = 51 – 15
6=6
L = {51}
f)
2
x – 5 =1
+
3
x+1
x–5=1
x+1 9
x–5= x + 1
9
x = 5,75
Probe:
2
+ 5,75 – 5 = 1
3
5,75 + 1
fVVVVVVVV
2x – 5
=1
x+1
2x – 5 = x + 1
x=6
Probe:
2 · (6)– 5
=1
6+1
1=1
L = {6}
fVVVVVVVVVVVV
fVVVVVVVVVVV
1=1
L = {5,75
{5,75}
d)
x + 8 – 2 = x
(x + 8 – 2)2 = x
(x + 8) – 4 · x + 8 + 4 = x
12 – 4 · x + 8 = 0
x+8=9
x=1
Probe:
1 + 8 – 2 = 1
1=1
L = {1}
g)
x + 7 + 1 = x + 2
(x + 7 + 1)2 = x + 2
x + 7 + 2 · x + 7 + 1 = x + 2
2 · x + 7 = –6
–
x+7=9
x=2
Probe:
P ob
2 + 7 + 1 ( 2 + 2
4(2
L={ }
4.
Stelle die Gleichun
Gleichung auf: Flächeninhalt
halt a) = 2 ¦ Flächeninhal
Flächeninhalt b)
b), löse nach x auf:
Rechnung:
Rechnung
9,6 · x + 5 = 2 · (8 · 6)
x + 5 = 10
x = 25
Probe:
96 = 96;
6; L = {25}
Antwort:
twort: Fü
Für x = 25 ist d
der Flächeninhalt von a) (96 cm2) doppelt so groß wie von b) (48 cm2). Die
Seitenlängen
betragen für a) 10 cm und 9,6 cm, für b) 8 cm und 6 cm.
längen b
(
)
5.
a) 32 = 4 · 2
b) 125 = 5 · 5
c) 243 = 9 · 3
d) 4a = 2 · a
e) 25x y = 5x · y
f) 81x 3 = 9x · x
2
g) 16x + 16y = 4 · x + y
6.
5
a) 243 = 3
3
b) 3375 = 15
Thomas Röser: Quadratwurzeln und reelle Zahlen
© Persen Verlag
c)
dNNN
d 64 = 2
3
1
4
d) 256 4 = 256 = 4
29
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Coverillustration: Mele Brink
Konstruktionen: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH, Bayreuth
Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH
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