© R. Plato
Kapitel 15 Reihen
P1
Proposition 15.6. Eine Reihe nDn0 an konvergiert genau
P1 dann, wenn für irgendein n1 n0 die Reihe
nDn1 an konvergiert. In diesem Fall gilt dann
1
X
nDn0
an D
nX
1 1
nDn0
an C
1
X
an :
M
nDn1
Satz 15.7 (Rechenregeln für
Für
P1konvergentePReihen).
1
zwei konvergente Reihen
a
und
b
und
nDn0 n
nDn0 n
˛ 2 C gelten die beiden folgenden Aussagen:
P1
bn /, und für
a) Es konvergiert die Reihe
nDn0 .an C P
P1
1
.a
C
b
/
D
den Grenzwert gilt
n
nDn0 an C
nDn0 n
P1
nDn0 bn .
P1
.˛an /, und für den
b) Es konvergiert die Reihe
nDn
0
P1
P1
Grenzwert gilt nDn0 .˛an / D ˛ nDn0 an .
a) an > 0;
Gege-
P1
a) (Majorantenkriterium) Ist die Reihe nDn0 bn konP1
vergent, so ist auch die Reihe nDn0 an konvergent.
P1
b) (Minorantenkriterium) Ist die Reihe
nDn0 an diP1
vergent, so ist auch die Reihe nDn0 bn divergent.
Beweis. Das
Majorantenkriterium
ergibt
sich
aus Satz 14.8 auf Seite P
27, angewendet auf die
r
Partialsummen-Folge sr D
nDn0 an für r n0 . Die
in dem genannten Satz geforderte Monotonie der
Partialsummen sn0 ; sn0 C1 ; : : : ergibt sich aus der Nichtnegativität der Summanden an , und die Beschränkheit
der Partialsummen folgt so:
b)
anC1
an
.n n0 /;
wobei die obere Schranke in b) eine reelle Zahl sei, die
die
P1Bedingung 0 < < 1 erfülle. Dann ist die Reihe
nDn0 an konvergent.
Beweis. Dies folgt leicht aus dem Majorantenkriterium. Für den Beweis nehmen wir zur Vereinfachung der
Notation n0 D 0 an.
Die Bedingung b) bedeutet nämlich anC1 an für
n 0, und vollständige Induktion liefert an n a0 für
n 0. Die Konvergenz der geometrischen Reihe und
das Majorantenkriterium
liefern nun die Konvergenz
P1
der Reihe nD0 an .
Beispiel 15.10.
P1 Wir1 testen das Quotientenkriterium an
der Reihe
nD1 nŠ . Diese Reihe ist von der Form
nD1 an ,
Es gibt für Reihen verschiedene Konvergenzkriterien.
Die Wichtigsten davon werden im Folgenden kurz vorgestellt.
Satz 15.8 (Majoranten-/Minorantenkriterium).
ben seien reelle Zahlen 0 an bn .n n0 /.
Satz 15.9 (Quotientenkriterium). Gegeben seien reelle
Zahlen an .n n0 / mit
P1
15.4 Konvergenzkriterien für Reihen
29
1
2
mit an D
1
nŠ
. Hier gilt
anC1
an
D
nŠ
.nC1/Š
D
1
nC1
DW für n D 1; 2; : : : . Das Quotientenkriterium ist
also erfüllt und diese Reihe deshalb konvergent.
M
Bemerkung. Man beachte, dass das Quotientenkriterium (ebenso wie das nachfolgende Wurzelkriterium)
nur ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz einer Reihe darstellt. Umgekehrt gibt es nämlich konvergente Reihen, bei denen das Majorantenkriterium
verP1
letzt ist. So ist z. B. die Reihe nD1 n12 konvergent (der
Beweis wird hier nicht geführt), das Quotientenkriterium ist jedoch wegen
sicher nicht erfüllt.
anC1
an
2
n
D . nC
/ ! 1 für n ! 1
1
Satz 15.11 (Wurzelkriterium). Gegeben seien reelle
Zahlen an .n n0 / mit
a) an 0;
b)
p
n
an .n n0 /;
wobei die obere Schranke in b) die Bedingung 0 < < 1
P1
erfülle. Dann ist die Reihe nDn0 an konvergent.
Dabei geht die Voraussetzung an bn ein.
Das Minorantenkriterium erhält man analog. Es ergibt sich auch als logische Negation des Majorantenkriteriums.
Beweis. Dies folgt unmittelbar aus dem Majorantenkriterium. Für den Beweis nehmen wir zur Vereinfachung
der Notation n0 D 0 an.
Die Bedingung b) bedeutet an n für n 0. Die
Konvergenz der geometrischen Reihe und das Majorantenkriterium
liefern nun die Konvergenz der Reihe
P1
a
.
n
nD0
Das Majorantenkriterium wird für die Beweise der beiden folgenden Konvergenzkriterien für Reihen benötigt.
Beispiel. Wir testen
das Wurzelkriterium an der Reihe
p
P1 1
n
1=nn D n1 12 für n D 2; 3; : : :,
nD2 nn . Es gilt
das Wurzelkriterium ist also erfüllt und die betrachtete
Reihe daher konvergent.
M
sr D
r
X
nDn0
an r
X
nDn0
bn !
1
X
nDn0
bn .r n0 /:
30
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Teil II Analysis 1
Wir stellen
ein Konvergenzkriterium für Reihen
Pnun
1
n
der Form
nDn0 . 1/ cn mit cn > 0 vor (die Summanden haben also wechselndes Vorzeichen).
Definition
P1 15.12 (Alternierende Reihen). Man bezeichnet nDn0 an als alternierende Reihe, falls an .n n0 /
eine Folge reeller Zahlen ist, die die folgenden Eigenschaften besitzt:
die Folge .an / ist alternierend, d. h. für jedes n n0
gilt entweder anC1 < 0 < an oder an < 0 < anC1 ;
es ist .an /nn0 eine Nullfolge, d. h. es gilt an ! 0;
Die Folge der Beträge .jan j/nn0 ist monoton fallend.
P1
15.5 Absolute Konvergenz von Reihen
Wir stellen nun einen weiteren (und stärkeren) Konvergenzbegriff für Reihen vor. Er ermöglicht bei Reihen in vielen Fällen vereinfachte Konvergenzbetrachtungen. Er erweist sich außerdem z. B. bei der Bildung
des Produktes von Reihen als hilfreich.
P1
Definition 15.18. Eine Reihe nDn0 an mit komplexen
Zahlen an0 ; an0 C1 ; : : : nennt man absolut konvergent,
P1
falls die Reihe nDn0 jan j konvergent ist.
Satz 15.19. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent.
. 1 /n
Beispiel 15.13. Es stellt nD1 n eine alternierende
Reihe dar. Man sieht leicht ein, dass die Summanden
. 1 /n
die drei geforderten Eigenschaften aus Definitin
on 15.12 erfüllt.
M
Satz 15.14 (Leibnizkriterium). Jede alternierende Reihe
ist konvergent.
Wird hier nicht geführt.
Bemerkung 15.15. Das Verhalten von endlich vielen,
beliebig ausgewählten Summanden hat keinen Einfluss
auf die Konvergenz einer Reihe (siehe Proposition 15.6
auf Seite 29). Daher genügt es, wenn in Satz 15.8
(Majoranten-/Minorantenkriterium), Satz 15.9 (Quotientenkriterium) beziehungsweise Satz 15.11 (Wurzelkriterium) die jeweils genannten Bedingungen erst für
Indizes n n1 erfüllt sind, mit einem n1 n0 . Das
Gleiche gilt für alternierende Reihen (siehe Definition
15.12 und Satz 15.14).
M
P1
1
Beispiel 15.16. Die Reihe
da
nD0 nŠ ist konvergent,
P1 1
das Quotientienkriterium für die Reihe
(der
nD1 nŠ
Startindex ist hier zu n D 1 abgeändert) erfüllt ist (siehe Beispiel 15.10).
M
Der Beweis wird hier nicht geführt.
P1
n
i
Beispiel. Es ist die Reihe nD0 nŠ
absolut konvergent,
P1 1
denn die Reihe
nD0 nŠ ist konvergent (siehe Beispiel 15.16) und es gilt jP
in j D 1 für n D 0; 1; : : : . Nach
1 in
damit konvergent. M
Satz 15.19 ist die Reihe nD0 nŠ
Die Umkehrung der Aussage aus Satz 15.19 gilt nicht,
wie das folgende Beispiel zeigt:
P1
. 1 /n
Beispiel. Es ist
eine alternierende Reihe.
nD1
n
und damit konvergent (siehe Definition 15.12, Beispiel
15.13 und Satz 15.14). Diese Reihe ist jedoch nicht absolut konvergent, denn die Beträge
Summanden erP1 der
1
,
geben die harmonische Reihe
nD1 n bei der es sich
um eine divergente Reihe handelt (siehe Beispiel 15.5).
M
Summen und skalare Vielfache absolut konvergenter
Reihen sind wieder absolut konvergent:
Satz 15.20 (Regeln für absolut konvergente Reihen).
P1
Für zwei absolut konvergente Reihen
nDn0 an und
P1
b
und
˛
2
C
konvergieren
auch
die
beiden ReinDn
P0 1n
P1
hen nDn0 .an C bn / und nDn0 ˛an absolut.
Aus der vorigen Bemerkung und den Sätzen 15.9 beziehungsweise 15.11 ergibt sich unmittelbar das folgende
Resultat. Es liefert Varianten des Quotienten- und des
Wurzelkriteriums, wobei dabei die auftretenden Bedingungen gelegentlich leichter zu überprüfen sind.
Beweis. Das folgt leicht mit Satz 15.7 auf Seite 29 und
dem Majorantenkriterium. Details werden hier nicht
vorgestellt.
Satz 15.17. Für gegebene reelle Zahlen an konvergiert
P1
die Reihe
nDn0 an , falls für ein Zahl 0 < 1 eines
der beiden folgenden Kriterien erfüllt ist:
15.6 Cauchy-Produkt von Reihen
anC1
a)
an
! für n ! 1;
p
b) n an ! für n ! 1;
wobei in a) noch an > 0 ab einem n n1 und in b)
an 0 ab einem n n1 vorausgesetzt wird.
Wir stellen nun ein Resultat über das Produkt zweier
absolut konvergenter Reihen vor. Es wird für die Herleitung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
benötigt.
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15.4 Konvergenzkriterien für Reihen