Blätter

Übungsblatt 1
Analysis 1, HS14
Ausgabe Montag, 15. September.
Abgabe Freitag, 19. September. Bitte Lösungen bis spätestens 12 Uhr im Briefkasten
des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 einreichen.
Übung 1.
Seien A, B, C drei Mengen, so dass
A∪B =A∪C
und
A ∩ B = A ∩ C.
Zeigen Sie, dass B = C (Zeichnungen sind kein Beweis !).
Übung 2.
Beweisen Sie, für jede gerade natürliche Zahl p ≥ 2 und jede ungerade natürliche Zahl
q ≥ 1, dass
q(q + 1)(q + 2)
12 + 32 + · · · + q 2 =
,
6
und
p(p + 1)(p + 2)
22 + 4 2 + · · · + p 2 =
;
6
schliessen Sie, dass
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
σ(n) :=
k2 =
(1)
6
k=1
für alle n ∈ N \ {0}.
Übung 3.
Für jede n ∈ N \ {0, 1}, definiert man die Zahl
S(n) = 1 × 2 + 1 × 3 + · · · + 1 × n
+ 2 × 3 + 2 × 4 + ··· + 2 × n
+ ...
+ (n − 2) × (n − 1) + (n − 2) × n
+ (n − 1) × n.
1
Beweisen Sie, für alle n ∈ N \ {0, 1}, dass
2S(n) + σ(n) =
X
2
n
k
=
k=1
n2 (n + 1)2
,
4
(2)
wobei σ(n) in (1) definiert ist und berechnen Sie S(n).
Hinweis : für alle n ∈ N \ {0},
n+1
X 2
k
k=1
= (n + 1) +
2
n
X
k
=
X
2
n
k=1
k
2
+ (n + 1) + 2(n + 1)
k=1
un+1 =
n
X
uk
k=0
Zeigen Sie, dass un = 2n−1 für alle n ∈ N \ {0}.
2
k .
k=1
Übung 4.
Wir definieren eine Folge (un )n∈N durch die folgende Rekursionsformel:
u0 = 1 und
X
n
für jede n ∈ N.
Übungsblatt 2
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 18. September.
Abgabe Donnerstag, 25. September. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr in den
Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 legen.
Übung 1.
In dieser Übung, seien A, B, U Mengen, so dass A, B ⊂ U gilt. Vom Skript wissen wir,
dass A = B genau dann, wenn (x ∈ A =⇒ x ∈ B, und x ∈ B =⇒ x ∈ A).
(i) Zeigen Sie, dass U ∩ A = A und U ∪ A = U .
(ii) Zeigen Sie, dass U \ (U \ A) = A.
(iii) Zeigen Sie, dass A ∪ (U \ A) = U und A ∩ (U \ A) = ∅.
(iv) Benutzen Sie die ‘elementare Eigenschaften der Mengenoperationen’ (Seiten 3–4 im
Skript) und die oben stehende Ergebnisse, um folgende Ausdrücke zu vereinfachen:
A ∪ (B ∩ (U \ A)) und
A ∩ (B ∩ (U \ A).
Übung 2.
Beweisen Sie mittels des Induktionsprinzips:
(i) 9n − 1 ist durch 8 teilbar, für n ∈ N \ {0};
(ii) Solange a > 1, gilt (1 + a)n > 1 + na2 für n ∈ {3, 4, . . . };
(iii)
Pn
1
k=1 k(k+1)
=
n
n+1
für n ∈ N \ {0};
(iv) 2n > (n + 1)2 für n ∈ {6, 7, . . . };
(v)
Pn
1
k=1 n+k
≥
1
2
für n ∈ N \ {0}.
1
Übung 3.
Benutzen Sie Bemerkung 1.3.10 und das Induktionsprinzip, um zu zeigen, dass:
(i)
n
X
n
k
k=0
!
= 2n ,
für n ∈ N.
(ii)
n
X
k
(−1)
k=0
n
k
!
= 0,
für n ∈ N \ {0}.
[Hinweis: Es gilt
n
0
=
n
n
= 1 für n ∈ N.]
Übung 4.
Die Fibonacci-Zahlen sind durch a1 = 1, a2 = 1 und die Rekursionsformel
for n ∈ {3, 4, . . . }
an = an−1 + an−2 ,
definiert. Beweisen Sie, dass
(i) an < 2n für jede n ∈ N \ {0};
(ii)
Pn
k=1 ak
= an+2 − 1 für jede n ∈ N \ {0}.
2
Übungsblatt 3
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 25. September.
Abgabe Donnerstag, 2. Oktober. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr im Briefkasten
des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 einreichen.
Übung 1.
Auf einer zweielementigen Menge {g, u} wird eine Addition und eine Multiplikation
gegeben durch
g+g =u+u=g
g+u=u+g =u
g·g =u·g =g·u=g
u · u = u.
Zeigen Sie, dass {g, u} mit diesen Operationen ein Körper ist, der jedoch nicht angeordnet
werden kann.
Übung 2.
Bestimmen Sie (ohne Beweis) Infimum und Supremum der folgenden Mengen. Falls eine
Menge keine obere (untere) Schranke hat, definiert man sup(A) = ∞ (inf(A) = −∞)
Welche dieser Mengen besitzen ein minimales und maximales Element?
(a)
(b)
1
n
, n ∈ N \ {0}
√
Q ∩ [1, 3]
|x − 1|
, x ∈ R, x ≥ 0
x+2
n
√
,n ∈ N .
n+2
(c)
(d)
Übung 3.
Zeigen Sie, dass
|x| + |y| + ||x| − |y|| = |x − y| + |x + y|
für x, y ∈ R.
1
Übung 4.
Sei
A ◦ B ={a − b
, a ∈ A, b ∈ B}
mit A, B ⊂ R nicht leer und beschränkt. Zeigen Sie, dass
sup(A ◦ B) = sup(A) − inf(B)
inf(A ◦ B) = inf(A) − sup(B).
2
Übungsblatt 4
Analysis 1, HS14
Ausgabe
Donnerstag, 02. Oktober.
Abgabe Donnerstag, 09. Oktober. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr im Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 einreichen.
Übung 1.
Wir sagen, dass eine Funktion f : C → C diskret holomorph ist, falls gilt
1
f (z + 1) + f (z − 1) + f (z + i) + f (z − i) = f (z),
4
für alle z ∈ C.
(i) Zeigen Sie, dass die Funktion f2 : C → C, gegeben durch f (z) = z 2 , diskret holomorph ist.
(ii) Wir definieren die Funktion fn : C → C durch fn (z) = z n , für n ∈ N. Beweisen Sie
mittels des Binomialsatzes, dass gilt:
fn (z + 1) + fn (z − 1) + fn (z + i) + fn (z − i)
=
n
X
!
n (1 + (−1)k )(1 + ik ) z n−k .
k
k=0
(iii) Zeigen Sie, dass:
k
k
(1 + (−1) )(1 + i ) =
(
4, falls k durch 4 teilbar
0, sonst.
Beweisen Sie folglich, dass fn diskret holomorph ist für n = 1, 2, 3, aber nicht für
n = 4, 5, . . . .
1
Übung 2.
(i) Beweisen Sie die Parallelogrammidentität, d.h. ∀z, w ∈ C gilt:
|z + w|2 + |z − w|2 = 2 |z|2 + |w|2
(ii) Zeigen Sie, dass zu jedem z ∈ C \ (−∞, 0] genau ein w ∈ C gibt mit w2 = z und
√
Re(w) > 0. Man nennt w Hauptteil der Wurzelfunktion von z und schreibt z
(iii) Es ist zu zeigen, dass für z ∈ C \ (−∞, 0] gilt:
√
z=
mit
q
q
(|z| + Re(z))/2 + i · sign[Im(z)] (|z| − Re(z))/2
sign(x) =



−1
0


1
if x < 0,
if x = 0,
if x > 0.
(iv) Berechnen Sie z̄, |z|, Re(z), Im(z), Re( z1 ), Im( z1 ) und
√
z für z =
12+5i
2+3i
Übung 3.
Geben Sie jeweils Funktionen f, g : N → N an, für die gilt:
(1) f ist injektiv, aber g ◦ f nicht injektiv,
(2) g ◦ f injektiv, aber g nicht injektiv,
(3) g surjektiv, aber g ◦ f nicht surjektiv,
(4) g ◦ f surjektiv, aber f nicht surjektiv,
(5) g ◦ f bijektiv, aber g nicht injektiv und f nicht surjektiv.
Die beiden Funktionen f, g sollen in allen 5 Fällen unterschiedlich sein.
Übung 4.
Ein Polynom ist eine Funktion f : R → R (bzw. f : C → C) von der Gestalt
f (x) =
n
X
k=0
ak xk = an cn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
wobei die Koeffizienten a0 , . . . , an komplexe Zahlen sind.
Der Grad eines Polynoms f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ist n, falls an 6= 0.
2
(a) Stimmen die Werte zweier Polynome
p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
q(x) = b0 + b1 x + · · · + bn xn
auch nur an n + 1 verschiedenen Stellen überein, zeigen Sie dass ak = bk für k =
0, 1, . . . n und dadurch p(x) = q(x) für alle x.
(b) Sind p, q zwei nicht triviale Polynome. Zeigen Sie, dass gilt:
grad (p · q) = grad p + grad q
Sind p, q zwei Polynome. Zeigen Sie, dass
grad (p + q) ≤ max(grad p, grad q)
grad (p + q) = max(grad p, grad q)
3
wenn grad p 6= grad q
Übungsblatt 5
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 9. Oktober.
Abgabe Donnerstag, 16. Oktober. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr in den Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 legen.
Übung 1.
Finden Sie den Limes von jeder der folgenden Folgen, falls er existiert. Benutzen Sie
(nur) Definition 5.1.1 (S. 35 im Skript) um Ihre Behauptung zu beweisen. (Das heisst,
zu jedem Teil wird entweder erwartet einen Beweis dass der Limes einen bestimmten
Wert annimmt, oder einen Beweis dass es keinen Limes gibt.)
a) an =
(−1)n
n .
b) bn =
3n+1
7n−4 .
c) cn = (−1)n n.
d) zn =
1
1+i
n
. (i :=
√
−1)
Übung 2.
Sei s1 = 1 und sn+1 =
n
n+1
s2n für n ∈ N \ {0}
a) Beweisen Sie, dass
0 < sn+1 < sn ≤ 1
für alle
n ∈ N \ {0}.
(d.h., (sn ) ist eine beschränkte monotone Folge.)
b) Zeigen Sie, dass limn→∞ sn = 0.
1
Übung 3.
Betrachten Sie folgende Folgen:
bn = n(1 + (−1)n ),
un = −
1
2
n
,
vn = (−1)n +
1
,
n
für n ∈ N \ {0}.
a) Welche von den Folgen ist beschränkt?
b) Für jede Folge, geben Sie ein Beispiel von einer monotonen Teilfolge.
c) Für jede Folge, geben Sie den lim sup und lim inf.
d) Welche von den Folgen konvergiert?
Sie müssen keine Beweise geben.
Übung 4.
Sei (an )n∈N\{0} eine Folge reeller Zahlen und definiere die Folge (bn ) durch:
bn :=
n
1X
ak
n k=1
für n ∈ N \ {0}.
a) Nehmen wir an, dass (an ) gegen a := limn→∞ an konvergiert. Beweisen Sie, dass
in diesem Fall auch (bn ) konvergiert gegen a.
b) Finden Sie ein Gegenbeispiel wo (bn ) konvergiert und (an ) nicht.
Übung 5.
Sei (xn )n∈N\{0} eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass
lim sup(−xn ) = − lim inf xn und lim inf (−xn ) = − lim sup xn .
n→∞
n→∞
n→∞
2
n→∞
Übungsblatt 6
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 16. Oktober .
Abgabe Donnerstag, 23. Oktober. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr in den Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 legen.
Übung 1.
Sei α ∈ (0, 1) und (an )n≥0 eine Folge komplexer Zahlen so, dass für alle n ∈ N gilt
|an+2 − an+1 | ≤ α|an+1 − an | .
(i) Zeigen Sie: ∀n ∈ N : |an+1 − an | ≤ αn |a1 − a0 |.
(ii) Zeigen Sie für n ∈ N, m ∈ N, m < n gilt: |an −am | ≤
n−1
P
|ak+1 −ak | ≤
k=m
αm
1−α |a1 −a0 |.
(iii) Folgern Sie aus ii.), dass (an )n≥0 konvergiert.
Übung 2.
Sei (an )n≥1 eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Wir definieren
Sn :=
n
P
i=1
ai und Tn :=
n
P
2i a2i für n ∈ N.
i=1
(i) Zeigen Sie für alle n ∈ N die folgenden Ungleichungen (verwenden Sie die
Notation):
P
-
a) Sei n ∈ N und sei K ∈ N so, dass n ∈ {2K , 2K + 1, . . . , 2K+1 − 1}. Dann gilt:
Sn ≤ a1 + TK .
b) Sei K ∈ N. Dann gilt:
TK ≤ 2S2K .
P
(ii) Folgern Sie aus Übung 2 i.), dass gilt:
an konvergiert ⇔
n≥1
(iii) Entscheiden Sie (mit Beweis) für jedes α ∈ R, ob die Reihe
1
P
2n a2n konvergiert.
n≥1
P 1
nα konvergiert.
n≥1
Übung 3.
Seien (an )n≥1 , (bn )n≥1 komplexe Folgen. Wir definieren Bn :=
n
P
i=1
bi für n ∈ N.
(i) Zeigen Sie für alle n ∈ N die folgende Identität:
n
P
ai bi = an+1 Bn +
i=1
n
P
(ai − ai+1 )Bi .
i=1
(ii) Sei nun (an )n≥1 eine monoton fallende reelle Nullfolge (siehe Bemerkung 6.2.1.)
und (bn )n≥1 sei eine komplexe Folge so, dass (Bn )n≥1 eine beschränkte Folge ist.
P
Nutzen Sie Übung 3 i.) um zu zeigen, dass
an bn konvergiert.
n≥1
n→∞
Hint: Beweisen Sie, dass |an+1 Bn | −−−→ 0 und folgern Sie daraus, dass
n→∞
an+1 Bn −−−→ 0.
(iii) Folgern Sie aus Übung 3 ii.) das Leibnizkriterium (Satz 6.2.6.).
Übung 4.
Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren.
(i.)
P
n≥1
(ii.)
P
n≥1
1
8n2 +77
in
ln(n+1) ,
wobei i ∈ C mit i2 = −1 (siehe Bemerkung 3.0.7.).
Hint: Berechnen Sie
n
P
ik für n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
k=1
P 2n
(iii.)
n! , wobei n! in Definition 1.3.1. definiert ist.
n≥1
(iv.)
P 5n
n≥1
nn
2
Übungsblatt 7
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 23. Oktober.
Abgabe Donnerstag, 30. Oktober. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr in den Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 legen.
In diesem Übungsblatt dürfen Sie alle Ergebnisse der Kapitel 5 und 6 benützen.
Übung 1.
Finden Sie den Limes von jeder der folgenden Folgen, falls er existiert (im Sinne der
Definition 5.1.1 oder Definition 5.6.1). Beweisen Sie Ihre Behauptung.
√
√
1 √
a) n − 1 − n. Hint: √n−1+
.
n
b)
c)
√
2n − 1 −
√
n.
2
3n+1
3
(n+1)(2n+5) n .
Übung 2.
Sei (bn )n∈N\{0} eine Folge reeller Zahlen:
1
1
b1 = , b2 =
1
1+
1
1
, b3 =
1
1
, · · · , bn =
=
1
1 + bn−1
1 + 1+ 1
1+
1
|
1
,···
1
1+
{z
n
1
1+···
}
a) Zeigen Sie 0 < bn ≤ 1 für alle n ∈ N\{0}.
b) Beweisen Sie mittels des Induktionsprinzips b2n+1 < b2n−1 und b2n+2 > b2n für alle
n ∈ N\{0}.
c) Zeigen Sie, dass die Gleichung x =
Finden Sie die Lösung.
x+1
x+2
1
hat eine eindeutige Lösung in R+ ∪ {0}.
d) Beweisen Sie, dass (bn ) konvergiert und finden Sie den Limes.
Hinweis: Sie können (b2n−1 )n∈N\{0} und (b2n )n∈N\{0} anschauen; Sie können den
Satz 5.2.1 verwenden;
√
5−1
2 .
e) Sei (cn )n∈N\{0} die Fibonacci-Zahlen:
c1 = c2 = 1,
Zeigen Sie limn→∞
cn
cn+1
√
=
cn+2 = cn+1 + cn ,
n ∈ N\{0}
5−1
2 .
Übung 3.
1
Sei Potenzreihe
an z n und L := lim supn→∞ |an | n . Der Konvergenzradius ist als das
Supremum aller Zahlen r ≥ 0 definiert, für welche die Potenzreihe für alle z mit |z| < r
konvergiert:
n
o
X
R := |z| ≥ 0 |
an z n ist konvergent
P
Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard (Satz 6.6.4)
berechnen: R = L1 . Benutzen Sie die Formel von Cauchy-Hadamard, um den jeweiligen
Konvergenzradius R von jeder der folgenden Reihen zu berechnen.
a)
∞
X
zn
n(n + 1)
n=1
b)
∞ X
n=1
nπ
1 + 2 cos
4
n
zn
c)
∞
X
4n + (−3)n n
z
n
n=1
Übung 4.
a) Beweisen Sie die folgende Variante von Korollar 6.3.2 (Majorantenkriterium):
P
P
Sei N0 ∈ N. Sei an eine Reihe komplexer Zahlen und bn eine Reihe nichtnegaP
tiver reeller Zahlen, so dass |an | ≤ bn für alle n > N0 . Falls bn eine konvergente
P
Reihe ist, dann konvergiert an .
Und schreiben Sie den Kontraposition.
Hint: Lesen Sie den Beweis für Korollar 6.3.2.
b) Sei (an )n≥1 eine Folge reeller Zahlen. Nehmen wir an, dass limn→∞ nan = a 6= 0.
P
Beweisen Sie, dass die Reihe ∞
n=1 an divergiert.
2
c) [Bonus] Sei (an )n≥1 eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. und
P
an+1 ≤ an for n ∈ N\{0}. Nehmen wir an, dass ∞
n=1 an konvergiert. Beweisen
Sie, dass limn→∞ nan = 0.
Übung 5.
Sei x0 ∈ R. Geben Sie jeweils Funktionen f, g : R → R an, für die eine der folgenden
Aussagen gilt, oder zeigen Sie, warum die Aussage für keine Funktion zutrifft.
a) f ist nicht stetig in x0 , aber g und f + g sind stetig in x0 ;
b) f ist nicht stetig in x0 , aber g und f · g sind stetig in x0 ;
c) f und g sind beiden nicht stetig in x0 , aber f + g ist stetig in x0 ;;
d) f und g sind beiden nicht stetig in x0 , aber f · g ist stetig in x0 .
3
Übungsblatt 8
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 30. Oktober.
Abgabe Donnerstag, 6. November. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr in den Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 legen.
Übung 1.
Sei a ∈ R und die Funktion f : R → R wie folgt definiert:



x,
falls
f (x) =
falls


a√x, falls
x2 ,
x < 1,
1 ≤ x ≤ 4,
x > 4.
Für welche Werte von a ist f stetig? Beachten Sie, dass f umkehrbar ist, falls sie stetig
ist. Geben Sie einen Ausdruck ihrer Umkehrfunktion f −1 .
Übung 2.
1. Zeigen Sie, dass
1
max{x, y} = (x + y + |x − y|)
2
und
1
min{x, y} = (x + y − |x − y|)
2
für jede x, y ∈ R.
2. Seien f und g zwei stetige Funktionen auf dem gleichen Intervall I ⊂ R definiert.
Man definiert zwei Funktionen max{f, g} und min{f, g} auf I durch
max{f, g}(x) = max{f (x), g(x)},
und
min{f, g}(x) = min{f (x), g(x)}.
Beweisen Sie, dass max{f, g} und min{f, g} stetig sind, falls f und g stetig sind.
1
Übung 3.
Sei f : [0, ∞) → R eine stetige Funktion, die einen endlichen Grenzwert ` besitzt:
` = lim f (x).
x→∞
1. Zeigen Sie, dass f beschränkt ist. Nimmt f ein Maximum oder Minimum an?
2. Zeigen Sie, dass f jeden Wert strikt zwischen f (0) und ` annimmt.
Übung 4.
1. Sei I ⊂ R ein Intervall und F : I → R eine stetige Funktion, so dass F (x) 6= x für
jedes x ∈ I. Beweisen Sie entweder F (x) > x für jedes x ∈ I, oder F (x) < x für
jedes x ∈ I.
2. Sei f : R → R eine stetige und monoton fallende Funktion. Beweisen Sie, dass f
einen eindeutigen Fixpunkt besitzt, das heisst es gibt genau ein x ∈ R, so dass
f (x) = x. Was ist, wenn f stattdessen wachsend ist?
Hinweis : Sie können den Beweis von dem Fixpunktsatz als Inspiration verwenden.
3. Seien f, g : [0, 1] → [0, 1] zwei stetige Funktionen, so dass f ◦ g = g ◦ f . Zeigen Sie,
dass es x ∈ [0, 1] gibt, so dass f (x) = g(x).
Übung 5.
Sei f : R → R eine gleichmässig stetige und beschränkte Funktion und g : R → R eine
stetige Funktion. Zeigen Sie, dass g ◦ f gleichmässig stetig ist.
2
Übungsblatt 9
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 6. November.
Abgabe Donnerstag, 13. November. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr in den
Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 legen.
Definitionen (siehe Definition 7.5.10) Sei D ⊂ R und sei f : D → R eine Funktion.
‘limx→∞ f (x) = ∞’ bedeutet, dass für jede Folge (xn ) ⊂ D mit xn → ∞ folgt, dass
f (xn ) → ∞. ‘limx→∞ f (x) = `’ bedeutet, dass für jede Folge (xn ) ⊂ D mit xn → ∞
folgt, dass f (xn ) → `.
Übung 1.
(i) Zeigen Sie, dass die Funktionen z 7→ Re z, z 7→ Im z und z 7→ z̄, als Funktionen
von C nach C betrachtet, stetig sind.
(ii) Sei x ∈ D ⊂ R and sei f : D → R eine Funktion, die stetig in x ist. Zeigen Sie, dass
wenn f (x) > c gilt, existiert eine δ > 0, so dass für y ∈]x − δ, x + δ[ gilt f (y) > c.
(iii) Seien f : D → E, g : E → R Funktionen, so dass limx→∞ f (x) = ∞ and limy→∞ g(y) =
` ∈ R. Zeigen Sie, dass limx→∞ g ◦ f (x) = `.
Übung 2.
Zeigen Sie:
(i) f : ]0, 2] → R, x 7→ 1/x ist stetig aber nicht gleichmässig stetig;
(ii) g : ]1, 2] → R, x 7→ 1/x ist Lipschitz stetig;
√
(iii) h : [0, 1] → R, x 7→ x ist gleichmässig stetig aber nicht Lipschitz stetig.
1
Übung 3.
Zeigen Sie:
(i)
ln(x) − ln(y)
1
= ,
x−y
x
x > 0.
x−1
≤ ln(x) ≤ x − 1,
x
x > 0.
lim
y→x
(ii)
[Hint für (ii): Für die obere Schranke werden Sie vielleicht die Idee vom Beweis vom Satz
8.4.G benötigen. Für die untere Schranke betrachten Sie ln(1/x).]
Übung 4.
Seien D ⊂ R und f : D → R.
(i) Seien y ∈ D und a ∈ R.
(a) Zeigen Sie, dass limx↑y f (x) = a (Notation von Definition 7.5.11) genau dann,
wenn
∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ D ∩ ]−∞, y[ : |x − y| < δ =⇒ |f (x) − a| < ε,
(1)
und, dass limx↓y f (x) = a genau dann, wenn
∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ D ∩ ]y, ∞[ : |x − y| < δ =⇒ |f (x) − a| < ε.
(b) Zeigen Sie, dass limx→y f (x) = a genau dann, wenn limx↑y f (x) = limx↓y f (x) =
a.
(ii) Welche der folgenden Funktionen hat eine stetige Fortsetzung auf R? Für welche
ist die Fortsetzung eindeutig?
x2 − 1
(a) f : R \ {1} → R, x 7→
x−1
(
(b) H : R \ {0} → R, x 7→
(c) g : R \ {0} → R, x 7→
0,
1,
x < 0,
x>0
1
|x|
(d) φ : {−1, 0, 1} → R, x 7→



1,
0


1
x = −1,
x = 0, .
x=1
Übung 5. [Bonus, nicht obligatorisch]
Sei D ⊂ C und sei f : D → C eine gleichmässig stetige Funktion. Zeigen Sie, dass falls
(yn ) ⊂ D Cauchy-Folge ist, so ist auch (f (yn )) Cauchy-Folge.
2
Übungsblatt 10
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 13. November.
Abgabe Donnerstag, 20. November. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr im Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 einreichen.
Übung 1.
i) Von Korollar 8.4.I.ii weiss man dass cos : [0, π] → [−1, 1] bijektiv ist, so dass es ein
Inverses hat welches wir arcus cosinus (arccos) nennen. Bestimme dessen Urbild
und Bild.
ii) Zeige auf gleicher Weise wie für 8.4.I.ii dass der Sinus bijektiv ist wenn er auf geeigneter Weise eingeschränkt wird (wie?) und zeige damit die Existenz der inversen
Funktion arcus sinus (arcsin).
sin(x)
iii) Zeige schliesslich die Existenz des Inversen arctan von tan(x) = cos(x)
.
Hinweis: Benütze die Definition von lim f (x) = ±∞ um den Zwischenwertsatz
x→x0
auf ähnlicher Weise wie im Beweis der Surjektivität vom Cosinus anwenden zu
können.
Übung 2.
i) Benütze cos(x) = 21 (eix + e−ix ) und den Binomialsatz um einen geschlossenen Ausdruck für cosn (x), x ∈ R, n ∈ N in Abhängigkeit von cos(kx), k ∈ N zu finden.
Bemerkung: Natürlich existiert auch ein entsprechender Ausdruck für sinn (x).
ii) Analog zu sin(x) und cos(x) werden sinus hyperbolicus und cosinus hyperbolicus
definiert durch:
ex − e−x
2
ex + e−x
cosh(x) =
.
2
sinh(x) =
1
Zeige für x, y ∈ R:
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
cos(x + iy) = cos(x) cosh(y) − i sin(x) sinh(y)
sin(x + iy) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y)
wobei Sinus und Cosinus einer komplexen Zahl z ∈ C definiert sind durch
eiz − e−iz
2i
eiz + e−iz
cos(z) =
.
2
sin(z) =
Übung 3.
i) Bestimme den Differenzenquotient lim
y→x
f (x)−f (y)
x−y
f (x+h)−f (x)
h
h→0
oder lim
der folgen-
den Funktionen oder zeige dass sie nicht differenzierbar sind:
1) f1 : R → R , x 7→ ax , a ∈ R+
2) f2 : R → R+ ∪ {0} , x 7→ |x|
3) f3 : R+ ∪ {0} → R+ ∪ {0} , x 7→
√
x
ii) Es können nun alle zur Verfügung stehenden Sätze benützt werden um die Ableitung (dort wo sie existiert) folgender Funktionen zu bestimmen:
1) f4 : R → R , x 7→
x2 −1
3x
2) f5 : R → [−1, 1] , x 7→ cos(sin(x))
3) f6 : R → R , x 7→ xx
Übung 4.
i) Zeige, dass der Sinus Nullstellen hat bei x = kπ , k ∈ Z, und eins ist bei x =
π
2 + 2kπ , k ∈ Z.
ii) Sei f : R → R definiert als:
(
f (x) =
0
|x|a sin( x1 )
, falls x = 0
, falls x 6= 0.
Zeige an der Stelle x = 0 dass für a = 0 die Funktion nicht stetig ist, für a =
1 die Funktion stetig aber nicht differenzierbar ist und für a = 2 die Funktion
differenzierbar ist.
2
Übungsblatt 11
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 20. November.
Abgabe Donnerstag, 27. November. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr im Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 einreichen.
Übung 1.
i) Eine Funktion f : R → R heisst gerade, falls f (−x) = f (x) , und ungerade, falls
f (−x) = −f (x) für alle x ∈ R. Zeigen Sie, dass, wenn f eine gerade differenzierbare
Funktion ist, dann ist seine Ableitung ungerade und umgekehrt.
ii) Seien f, g : R → R zwei differenzierbare Funktionen, so dass
f0 = g
g 0 = −f
f (0) = 0
g(0) = 1.
Zeigen Sie f = sin und g = cos.
Hinweis: Betrachten Sie unter Berücksichtigung von Korrolar 9.3.6 h : x 7→
(f (x) − sin(x))2 + (g(x) − cos(x))2 .
iii) Seien f, g : R → R zwei differenzierbare Funktionen so dass ∀x, y ∈ R:
f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x)
g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y)
Wir nehmen zusätzlich an, dass f ungerade ist mit f 0 (0) = 1. Zeigen Sie wieder,
dass f = sin and g = cos.
Hinweis: Benutzen Sie dafür die Unteraufgaben i) und ii) dieser Übung. Was
passiert für ungerade Funktionen bei x = 0?
1
Übung 2.
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
(i) lim x 1 − cos
x→∞
(ii) lim
√
3
x→∞
1
x
x2 + a2 −
(xα −aα )
x→a (xβ −aβ )
(iii) lim
√
3
x2
(a > 0, β 6= 0)
Hinweis: Bei dieser Übung können Sie sowohl den Mittelwertsatz als auch die Regel
von De L’Hospital benutzen
Übung 3.
(a) Es sei D ⊂ R und es seien f, g : D → R zwei in D n-mal differenzierbare Funktionen
und sei h = f · g. Man beweise die Leibnizsche Formel:
h
(n)
(x) =
n
X
k=0
!
n (n−k)
f
(x)g (k) (x)
k
(b) Das Legendresche Polynom n-ter Ordnung Pn : R → R, n ∈ N, ist für alle x ∈ R
definiert durch
Pn (x) = Fn(n) (x), mit Fn (x) = (x2 − 1)n
Zeigen Sie:
(i) Pn hat genau n paarweise verschiedene Nullstellen x1 < x2 < · · · < xn im
Intervall (−1, 1).
(k)
Hinweis: Beweisen Sie zunächst, dass Fn (x) = pk (x)(x2 − 1)n−k , (k < n),
wobei pk ein Polynom mit grad(pk ) = k ist und folgern Sie daraus die Aussage.
(ii) Für alle x ∈ R genügt Pn der Differentialgleichung
(1 − x2 )Pn00 (x) − 2xPn0 (x) + n(n + 1)Pn (x) = 0
Hinweis: Betrachten Sie dazu die n+1-te Ableitung der Funktion (x2 −1)Fn0 (x)
und benutzen Sie dabei die Leibnizsche Formel
Übung 4.
Zeigen Sie folgende Aussagen:
(i) Mit festem K > 0 und α > 1 gelte |f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|α für alle x, y ∈ [a, b].
Dann ist f konstant auf [a, b].
(ii) f sei auf dem Intervall I = (a, b) stetig und zu dem Punkt x0 ∈ I gebe es ein δ > 0,
so dass für U = (x0 − δ, x0 + δ) gilt: f ist auf U ∩ I differenzierbar und es strebt
f 0 (x) → η für x → x0 , x ∈ U ∩ I. Dann ist f 0 (x0 ) = η.
2
(iii) f und g seien stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b), ferner sei f (a) = g(a)
und 0 ≤ f 0 (x) < g 0 (x) auf (a, b). Dann ist f (x) < g(x) für alle x ∈ (a, b].
(iv) f sei stetig auf dem Intervall [a, b], n-mal auf (a, b) differenzierbar und verschwinde
an n + 1 Stellen x0 < x1 < . . . < xn in [a, b]. Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit
f (n) (ξ) = 0.
3
Übungsblatt 12
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 27. November.
Abgabe Donnerstag, 5. Dezember. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr in den Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 legen.
Übung 1.
Sei f : R → R eine Funktion die für alle x ∈ R definiert ist durch
f (x) =
1
1 + x2
i) Finden Sie ein Maximum für die Funktion f .
ii) Finden Sie die Teilmenge von R, sagen wir B, so dass für ein beliebiges Intervall
I ⊂ B gilt, dass f |I konvex ist.
Begründen Sie Ihre Antworten.
Übung 2.
Sei f : (a, b) → R eine differenzierbare und streng konvexe Funktion.
i) Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ (a, b), wobei x 6= y, gilt dass f (x) > f (y) + f 0 (y)(x −
y) ist wobei f 0 die erste Ableitung von f ist.
ii) Angenommen, es existiert x0 ∈ (a, b), so dass f 0 (x0 ) = 0. Zeigen Sie, dass die
Funktion f ein Minimum bei x0 hat und dass, falls es einen weiteren Punkt x1 ∈
(a, b) gibt mit f 0 (x1 ) = 0, dann x1 = x0 .
iii) Angenommen die erste Ableitung von f ist stetig. Zeigen Sie, dass entweder f
streng monoton wachsend ist, oder f streng monoton fallend ist, oder dass es ein
z ∈ (a, b) gibt, so dass f streng monoton fallend auf (a, z) and streng monoton
wachsend auf (z, b) ist.
1
Übung 3.
Sei f : (a, b) → R eine Funktion so dass a < 0 < b. Angenommen, f besitzt Ableitungen
aller Ordnungen auf (a, b), und diese Ableitungen sind durch eine Konstante C > 0,
begrenzt, das heisst
|f (n) (x)| < C
für alle x ∈ (a, b),
wo wir f (n) schreiben für die n-te Ableitung von f . Wir definieren das Restglied f
gegeben durch
R0n (x)
n−1
X
f (k) (0) k
x
k!
k=0
= f (x) −
für alle n ≥ 0;
siehe Gleichung (9.7) im Skript. Zeigen Sie, dass
lim R0n (x) = 0
n→∞
für alle x ∈ (a, b).
Übung 4.
Seien α ∈ R und 0 < x < 1. Zeigen Sie, mit Hilfe der Lagrange-Fehlerabschätzung (Satz
9.8.2), dass
(1 + x)α = 1 +
∞
X
α(α − 1) . . . (α − k + 1) k
x .
k!
k=1
Übung 5.
Sei f : R → R eine Funktion, so dass
f (x) =

−1/x

 e
falls
x>0

 0
falls
x ≤ 0.
i) Zeigen Sie, dass die n-te Ableitung von f gegeben ist durch
f (n) (x) = e−1/x pn (1/x)
für x > 0 und n ≥ 0,
wobei pn : R → R ein Polynom vom Grad 2n ist.
ii) Zeigen Sie, dass f (n) (0) = 0 für n = 0, 1, 2, 3, . . . .
iii) Sei g : R → R eine Funktion, die Ableitungen aller Ordnungen auf R besitzt. In
Definition 9.8.1 haben wir das Taylorpolynom von g zu 0 durch folgende Formel
definiert:
T0n (x) =
n
X
g (k) (0) k
x
k=0
für x ∈ R und n ≥ 0.
k!
2
Dann nennen wir die folgende Funktion Taylor-Reihe von g zu 0:
T0 (x) = lim T0n (x) =
n→∞
∞
X
g (k) (0) k
x
k=0
k!
für x ∈ R,
wenn der Grenzwert existiert. Zeigen Sie, dass die Taylor-Reihe T0 (x) für f zu 0
nur für x ≤ 0 mit der Funktion f übereinstimmt.
3
Übungsblatt 13
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 4. Dezember .
Abgabe Donnerstag, 11. Dezember. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr in den
Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 legen.
Seien a, b ∈ R mit a < b.
Für eine Funktion f : [a, b] → R definieren wir (wie in Definition 10.2.1.)
kf k = supx∈R |f (x)|.
Wir definieren R([a, b]) := {f : [a, b] → R| f ist eine Regelfunktion}.
Weiter definieren wir C 0 ([a, b], R) := {f : [a, b] → R| f ist stetig} (diese Notation ist
ein Spezialfall von C n ([a, b], R) := {f : [a, b] → R| f (n) (n-te Ableitung) ist stetig}, wobei
n ∈ N).
Übung 1.
Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Falls die Aussage wahr ist,
beweisen Sie sie, andernfalls geben Sie ein Gegenbeispiel an.
(i.) Sei f ∈ R([a, b]) und sei g : [a, b] → R eine Funktion, die sich an abzählbar vielen
Punkten von f unterscheidet, dann gilt g ∈ R([a, b]).
(ii.) Sei f ∈ R([a, b]) mit
Rb
a
f = 0 und f ≥ 0. Dann gilt f = 0.
(iii.) Jede beschränkte Funktion f : [a, b] → R ist in R([a, b]).
(iv.) Sei f ∈ R([−1, 1]), dann ist F : [−1, 1] → R, F (x) =
gilt ∀x ∈ [−1, 1] : F 0 (x) = f (x).
Rx
−1 f
differenzierbar und es
Übung 2.
Sei g ∈ R([a, b]) und sei f : [a, b] → R eine Funktion, die sichR nur anR endlich vielen
Punkten von g unterscheidet. Zeigen Sie, dass f ∈ R([a, b]) und ab f = ab g.
1
Übung 3.
Wir definieren
(
χ : [a, b] → R, χ(x) :=
0, x ∈ Q ∩ [a, b];
1, x ∈ (R \ Q) ∩ [a, b].
Zeigen Sie, dass χ 6∈ R([a, b]). Es darf ohne Beweis verwendet werden, dass jedes
Intervall [c, d] mit c, d ∈ R, c < d, Elemente aus Q und R \ Q enthält.
Übung 4.
Sei f ∈ C 0 ([a, b], R) und f ≥ 0. Zeigen Sie:
Rb
a
f (x)dx = 0 ⇔ f = 0.
Übung 5.
Zeigen Sie: f ∈ R([a, b]) ⇒ f ist beschränkt.
Übung 6. [Bonus, nicht obligatorisch]
Sei (fn )n≥1 ⊂ C 0 ([a, b], R) und sei f : [a, b] → R eine Funktion so, dass gilt
n→∞
kfn − f k −−−→ 0.
Zeigen Sie, f ist eine stetige Funktion.
Hint: |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (y)| + |fn (y) − f (y)|.
2
Übungsblatt 14
Analysis 1, HS14
Ausgabe Donnerstag, 11. Dezember.
Abgabe Donnerstag, 18. Dezember. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr in den
Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 legen.
Rückgabe Korrigierte Lösungen werden in die Ablage am K-Geschoss gelegt werden.
Ihr Assistent wird Sie informieren, ab wann die korrigierten Blätter verfügbar sind.
Übung 1.
Berechnen Sie die folgenden Integrale (im Sinne der Definition 10.2.4 oder Definition
10.5.1). Begründen sie in jedem Schritt welche Theorem Sie benutzen und erklären Sie
warum.
(i)
Z 1
(a)
Hint:
√
√
0
x+2−
√
Z 1
1
√
dx,
x+1+ x+2
(b)
0
2x + 3
dx
(x − 2)(x + 5)
x + 1.
(ii)
Z 1
(a)
0
ex
dx,
1 + ex
Z π/2
(b)
cos x(sin x)2 dx.
0
. Hint: Satz 10.4.3 (Substitutionsregel).
(iii)
Z +∞
(a)
xe−2x dx,
Z 1
(b)
ln(1 + x2 )dx.
0
0
Hint: Satz 10.4.1 (Partielle Integration). Bemerken Sie, dass dieser Satz nur für
Integrale auf einem beschränkten abgeschlossenen Intervall [a, b] gilt.
1
Übung 2.
P
Sei eine Folge reeller Zahlen Hn := nk=1 k1 −ln(n) für n ∈ N. Zeigen Sie dass limn→∞ Hn
existiert.
R
Hint: Betrachten Sie x1 dx.
Übung 3.
Berechnen Sie
∞
X
1
n=1
n2n
.
Betrachten Sie unter Berücksichtigung von Korollar 10.6.3 oder Satz 9.5.1 die Potenzreihe
P∞
n
n=0 z .
Übung 4.
[Teil (i) ist nicht obligatorisch.]
(i) Zeigen Sie (Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung):
Seien f, g : [a, b] → R zwei stetige Funktionen. f ist monoton. Dann existiert ein
ξ ∈ [a, b], so dass
Z b
Z ξ
f (x)g(x)dx = f (a)
a
Z b
g(x)dx + f (b)
a
g(x)dx
ξ
(ii) Sei f : [0, 2π] → R eine stetig monoton Funktion. Benutzen Sie Übung 6(i) um zu
zeigen, dass
Z
2π
lim
λ→+∞ 0
f (x) sin(λx)dx = 0.
(iii) Verwenden Sie Übung 6(i) um zu zeigen, dass für jedes a > 0,
Z a+1
2
2
sin(x )dx ≤ .
a
a
2
Übungsblatt 15
Analysis 1, HS14
Ausgabe 6. Januar 2015.
Das Blatt muss nicht abgegeben werden. Musterlösungen werden online gestellt kurz
nach Ausgabe des Blattes.
Übung 1.
Geben Sie alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
ty 0 (t) + y(t) = te−2t ,
t ∈ [1, ∞),
an. Wenn wir die Anfangswertbedingung y(1) = 0 einführen, was ist die eindeutige
Lösung vom Anfangswertproblem?
Übung 2.
Finden Sie eine Lösung von jeder der folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich von Ihrer Lösung.
(i) et y 0 (t) − cos2 (y(t)) = 0, mit Bedingung y(0) = 0. In dieser Unteraufgabe soll die
Lösung explizit gegeben werden.
y(t)
(ii) ty 0 (t) = 1+y(t)
, mit Bedingung y(1) = 12 . In dieser Unteraufgabe darf die Lösung in
impliziter Form gegeben werden (d.h., sie darf die Umkehrfunktion einer bestimmten, von Ihnen angegebenen, Funktion enthalten.)
Übung 3.
(i) Sei C > 0 und sei Y : [0, T ] → R eine differenzierbare Funktion, sodass für alle
t ∈ [0, T ] gilt Y 0 (t) ≤ CY (t). Zeigen Sie, dass
Y (t) ≤ Y (0)eCt ,
t ∈ [0, T ].
[Hinweis: Beweis vom Lemma von Gronwall.]
(ii) Seien y : [0, T ] → R and z : [0, T ] → R zwei Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
y 0 (t) = F (y(t)),
t ≥ 0,
1
wobei F : R → R eine differenzierbare Funktion mit stetiger Ableitung ist. Zeigen
Sie, dass ein L > 0 existiert, so dass
y(t) − z(t) ≤ eLt y(0) − z(0) ,
t ∈ [0, T ].
[Hinweis: Benutzen Sie Unteraufgabe (i) und den Mittelwertsatz.]
Übung 4.
Betrachten Sie folgende gewöhnliche Differentialgleichung, wobei c, ω ≥ 0:
y 00 (t) + 2cωy 0 (t) + ω 2 y(t) = 0.
(1)
Wir suchen reellwertige Lösungen y : R → R. Sei V = {y : R → R | y löst (1)}.
(a) Finden Sie das charakteristische Polynom von (1) und bestimmen Sie deren Nullstellen. Es gibt vier Fälle zu unterscheiden: c = 0, 0 < c < 1, c = 1 und c > 1.
(b) Sei 0 < c < 1.
(i) Finden Sie eine Basis für V . Geben Sie eine explizite Formel für eine allgemeine
Lösung von (1).
(ii) Finden Sie die Lösung vom Anfangswertproblem
y 00 (t) + 2cωy 0 (t) + ω 2 y(t) = 0,
y(0) = 0,
y 0 (0) = 1.
(2)
Eklären Sie, warum diese eindeutig ist.
(iii) Skizzen Sie die Lösung.
(c) Sei jetzt c = 1; das heisst, wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung
y 00 (t) + 2ωy 0 (t) + ω 2 y(t) = 0.
(3)
Beantworten Sie Unteraufgaben (i–iii) oben für diese Differentialgleichung.
Übung 5.
Betrachten Sie folgende gewöhnliche Differentialgleichung, wobei ω ≥ 0:
y 000 (t) = −iω 2 y 0 (t).
(4)
Jetzt suchen wir kompexwertige Lösungen y : R → C. Sei V = {y : R → C | y löst (4)}.
(i) Finden Sie das charakteristische Polynom von (4) und bestimmen Sie deren Nullstellen.
(ii) Finden Sie eine Basis für V . Geben Sie eine explizite Formel für eine allgemeine
Lösung von (4).
(iii) Finden Sie die Lösung vom Anfangswertproblem
y 000 (t) = −iω 2 y 0 (t),
y(0) = 0,
Erklären Sie, warum diese eindeutig ist.
2
y 0 (0) = 0,
y 00 (0) = 1.
(5)