Springer-Lehrbuch - Blood Sweat and Punk

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg GmbH
Siegfried Bosch
lineare Algebra
Springer
Professor Dr. Siegfried Bosch
Universităt Miinster
Mathematisches Institut
EinsteinstraBe 62
48149 Miinster, Deutschland
e-mai!: [email protected]
Mathematics Subject Classification (2000): 15-01
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Bosch, Siegfried:
Lineare Algebra / Siegfried Bosch.
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 3-540-41853-9
ISBN 978-3-540-41853-5
ISBN 978-3-662-08378-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-08378-9
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001
UrspriingIich erschienen bei Springer-Verlag Berlin HeideIberg New York 2001
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SPIN: 10831445
44/3142Ck - 5 43 2 1 o
Vorwort
Die Mathematik ist eine Wissenschaft, die sich heutzutage in einem ăuBerst
und schillernden Gewand prăsentiert. Daher stellt sich zwangslău­
fig die Frage, welche Bereiche fiir die ersten Schritte im Vordergrund stehen
sollten, wenn man ein Studium der Mathematik aufnehmen mochte. Natiirlich
hat sich die Art der Ausbildung mit der Zeit gewandelt. In kontinuierlicher
Weise sind grundlegende Einsichten, die im Rahmen der Erforschung aktueller Probleme zutage getreten sind, mit in die Lehre eingeflossen. Dabei geht es
in der Mathematik keineswegs um komplizierte Details, sondern vielmehr um
oftmals wiederkehrende tragende Grundmuster, die sich als wichtig erwiesen haben und die ihrerseits bereits auf elementarem Niveau an sinnvollen Beispielen
studiert werden konnen. So hat es sich bewăhrt, die Mathematikausbildung an
Universităten mit je einer Einfiihrung in die Infinitesimalrechnung und die Lineare Algebra zu beginnen, meist in zwei getrennten Vorlesungen. Beide Gebiete
ergănzen sich gegenseitig und beinhalten in idealer Weise eine Vielzahl interessanter mathematischer Grundmuster. Ja, man kann mit Recht sagen, daB die
Methoden der Infinitesimalrechnung und der Linearen Algebra grundlegend fiir
so gut wie alle anderen Bereiche der Mathematik sind.
Der Text dieses Bandes rcprăsentiert das Pensum einer zwei-semestrigen
Einfiihrungsvorlesung zur Linearen Algebra, eine Vorlesung, die ich mehrfach
an der Universităt Miinster gehalten habe. Die meisten Studierenden verfiigen
bereits iiber gewisse Vorkenntnisse zur Linearen Algebra, wenn sie sich fiir ein
Mathematikstudium entscheiden, etwa was die Vektorrechnung oder das Losen
linearer Gleichungssysteme angeht. Sie sind dagegen aller Erfahrung nach weniger mit den allgemeinen Begriffsbildungen der Linearen Algebra vertraut, die
diese Theorie so universell einsatzfăhig machen. Man kann sicherlich sagen,
daB diese abstrakte Seite der Linearen Algebra fiir viele Studierende neue und
ungewohnte Schwierigkeiten aufwirft. Ich habe mich dafiir entschieden, diese
Schwierigkeiten nicht zu kaschieren, sondern ihre Uberwindung gezielt in den
Vordergrund zu stellen. Deshalb wird in diesem Text von Anfang an groBer Wert
auf eine klare und systematische, aber dennoch behutsame Entwicklung der in
der Linearen Algebra iiblichen theoretischen Begriffsbildungen gelegt. Ad-hocLosungen, die bei spăteren Uberlegungen oder Verallgemeinerungen revidiert
werden miiBten, werden nach Moglichkeit vermieden. Erst wenn die theoretische
Seite eines Themenkomplexes geklărt ist, erfolgt die Behandlung der zugeMrigen Rechenverfahren, unter Ausschopfung des vollen Leistungsumfangs.
vielfăltigen
VI
Vorwort
Nun ist allerdings eine Theorie wie die Lineare Algebra, die sich in betrăchtlichem MaBe von ihren ursprunglichen geometrischen Wurzeln entfernt
hat, nur schwerlich zu verdauen, wenn nicht gleichzeitig erklărt wird, warum
man in dieser oder jener Weise vorgeht, was die zugeharige Strategie ist, oder
an welche Hauptanwendungsfălle man mit einer gewissen Definition denkt. Um
solche Fragen abzudecken, wird in einer Vorlesung neben der rein stofflichen
Seite in erheblichem MaBe auch das zugeharige motivierende Umfeld erlăutert.
In Lehrbuchern ist diese Komponente oftmals nur in geringem MaBe realisiert,
da ansonsten ein permanenter Wechsel zwischen der logisch-stringenten mathematischen Vorgehensweise und mehr oder weniger heuristisch-anschaulichen
Uberlegungen erforderlich wăre, was natiirlich fur die Einheitlichkeit und Ubersichtlichkeit der Darstellung nicht farderlich ist. In dem vorliegenden Text wird
nun jedes Kapitel mit einer Reihe von "Vorbemerkungen" eingeleitet, deren ZieI
es ist, das motivierende Umfeld des jeweiligen Kapitels zu beleuchten. Ausgehend vom momentanen Kenntnisstand eines Lesers werden die zu behandelnden Hauptfragestellungen einschlieBlich des zugeharigen geometrischen Hintergrunds (soweit gegeben) erlăutert und daruber hinaus magliche Lasungsansătze
und Lasungsstrategien, die Art der erhaltenen Lasung, wie auch die hiermit verbundenen Schwierigkeiten diskutiert. Es wird empfohlen, die Vorbemerkungen
wăhrend des Studiums eines Kapitels je nach Bedarf mehrfach zu konsultieren,
um graBtmaglichen Nutzen aus ihnen zu ziehen. Ausdrucklich machte ich aber
darauf hinweisen, daB es sich bei diesen EinfUhrungen zu einem groBen Teil um
Plausibilitătsbetrachtungen handelt. Diese sind daher nicht mit der ublichen
mathematischen Prăgnanz abgefaBt, und sie sind infolgedessen auch nicht Teil
des eigentlichen Lehrstoffes.
Der stoffliche Umfang des Buches bietet nur wenig Besonderheiten. Es werden Vektorrăume und ihre linearen Abbildungen, Matrizen unei lineare Gleichungssysteme, Determinanten, Polynome, Eigenwert- und Normalformentheorie sowie euklidische und unităre Vektorrăume behandelt. Ein Abschnitt uber
ăuBere Produkte (mit einem Stern * gekennzeichnet), in dem als Anwendung
der allgemeine Laplacesche Entwicklungssatz fUr Determinanten bewiesen wird,
ist optional. Die Herleitung der Normalformen fUr Endomorphismen von Vektorrăumen erfolgt, der Gesamtstrategie des Buches folgend, im Rahmen von
Moduln uber Hauptidealringen, wobei solche Moduln allerdings erst zu Beginn
von Abschnitt 6.3 eingefUhrt werden. Wer sich hier auf die elementare Seite der
Normalformentheorie beschrănken machte, kann im AnschluB an die Abschnitte 6.1 (Eigenwerte und Eigenvektoren) und 6.2 (Minimalpolynom und charakteristisches Polynom) auch gleich zu den euklidischen und unităren Vektorrăumen
in Kapitel 7 ubergehen.
Zum SchluB bleibt mir noch die angenehrne Aufgabe, fUr die rnannigfache
Hilfe zu danken, die ich beim Schreiben dieses Buches erfahren habe. Meine
Harer, denen fruhere Versionen des Textes als Vorlesungsskript zur VerfUgung
standen, haben mich auf manche Unstimrnigkeit aufmerksam gemacht und mir
eine Reihe von Verbesserungsvorschlăgen genannt. Mein Sohn Thomas hat mieh
dazu ermutigt, aus dem Skript nun doch endlieh einmal ein Bueh entstehen zu
Vorwort
VII
lassen. Frau G. Hakuba hat mir geholfen, einige Măngel in der Texterfassung zu
beheben. Herr Dr. S. Engelhard, Herr A. John und teilweise auch Herr M. Jacob haben das Manuskript in kritischer Weise durchgesehen. Herrn Engelhard
und Herrn Kollegen Prof. Dr. J. Elstrodt danke ich ftir eine Reihe ntitzlicher
Vorschlăge und Ideen. SchlieBlich gilt mein Dank dem Springer-Verlag, der ftir
eine makellose Herstellung dieses Bandes gesorgt hat, und hier ganz besonders
Herrn C. Heine, der mir eine detaillierte Liste mit Anmerkungen eines (mir unbekannten) Referenten hat zukommen lassen. Auch diesem Referenten danke
ich fUr seine hilfreichen Hinweise und Anregungen.
Mtinster, im Mai 2001
Siegfried Bosch
Inhalt
1 Vektorraume . . . . . . . . . .
1.1 Mengen und Abbildungen
1.2 Gruppen...
1.3 K6rper...........
1.4 Vektorraume........
1.5 Linear unabhangige Systeme und Basen von Vektorraumen
1.6 Direkte Summen
1
9
12
16
25
31
43
2 Lineare Abbildungen .
2.1 Grundbegriffe..
2.2 Quotientenvektorraume.
2.3 Der Dualraum .
49
55
63
73
3 Matrizen . . . . . .
83
3.1 Lineare Abbildungen und Matrizen
88
3.2 Das GauBsche Eliminationsverfahren und der Rang einer Matrix 97
3.3 Matrizenringe und invertierbare Matrizen .
107
3.4 Basiswechsel........
113
3.5 Lineare Gleichungssysteme
117
4 Determinanten . . . . . . . . .
4.1 Permutationen . . . . . .
4.2 Determinantenfunktionen
4.3 Determinanten von Matrizen und Endomorphismen
4.4 Die Cramersche Regel
4.5 ĂuBere Produkte* .
127
130
135
140
147
150
5 Polynome . . . . . . . .
5.1 Ringe . . . . . . .
5.2 Teilbarkeit in Integritatsringen .
5.3 Nullstellen von Polynomen
161
162
172
181
6 Normalformentheorie . . . . .
6.1 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.2 Minimalpolynom und charakteristisches Polynom
185
188
195
X
Inhalt
6.3 Der Elementarteilersatz. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Endlich erzeugte Moduln liber Hauptidealringen . . .
6.5 Allgemeine und Jordansche Normalform fUr Matrizen
202
214
219
235
238
7 Euklidische und unitii.re Vektorrăume
7.1 Sesquilinearformen . . . . . . . .
7.2 Orthogonalităt . . . . . . . . . .
7.3 Sesquilinearformen und Matrizen
7.4 Die adjungierte Abbildung . . . .
7.5 Selbstadjungierte Abbildungen, Isometrien
261
Symbolverzeichnis . . . . . .
273
Namen- und Sachverzeichnis
279
243
250
255
1.
Vektorrăume
Vorbemerkungen
Konkrete geometrische Fragestellungen in der Ebene oder im drei-dimensionalen
Raum waren vielfach Ausgangspunkt bedeutender mathematischer Entwicklungen. Als Hilfsmittel zur Behandlung solcher Fragen wurden beispielsweise
geometrische Konstruktionsverfahren mittels Zirkel und Lineal entwickelt. Eine
andere Strategie besteht darin, geometrische Fragen in rechnerische Probleme
umzusetzen, um durch "Ausrechnen" zu Lasungen zu gelangen. Dies ist das
Vorgehen der analytischen Geometrie, die 1637 von Rene Descartes in seinem
beriihmten Werk "La Geometrie" begriindet wurde. Ein GroBteil der rechnerischen Methoden der analytischen Geometrie wiederum wird heute in erweiterter
Form unter dem Begriff der Linearen Algebra zusammengefaBt.
Wir wollen im folgenden etwas năher auf die grundlegenden Ideen des Descartes'schen Ansatzes eingehen. Hierzu betrachten wir eine Ebene E (etwa in
dem uns umgebenden drei-dimensionalen Raum), zeichnen einen Punkt von E
als sogenannten Nullpunkt O aus und wăhlen dann ein Koordinatensystem mit
Koordinatenachsen x und y, die sich im Nullpunkt O schneiden. Identifizieren
wir die Achsen x und y jeweils noch mit der Menge ~ der reellen Zahlen, so
lassen sich die Punkte P von E als Paare reeller Zahlen interpretieren:
y
YI
.......... 0 P =
Xl
(Xl,
yt)
X
In der Tat, ist P ein Punkt in E, so konstruiere man die Parallele zu y durch
P. Diese schneidet die Achse X in einem Punkt Xl. Entsprechend schneidet die
Parallele zu X durch P die Achse y in einem Punkt yl, so daB man aus P das
Koordinatenpaar (Xl, YI) erhălt. Umgekehrt IăBt sich P aus dem Paar (Xl, YI)
in einfacher Weise zuriickgewinnen, und zwar als Schnittpunkt der Parallelen
zu Y durch Xl und der Parallelen zu X durch Yl. Genauer stellt man fest, daB
die Zuordnung P f--t (Xl, Yl) eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen
S. Bosch, Lineare Algebra
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001
2
1.
Vektorrăume
den Punkten von E und den Paaren reeller Zahlen darstellt und man deshalb
wie behauptet eine Identifizierung
E = ~2 = Menge aller Paare reeller Zahlen
vornehmen kann. Natiirlich hăngt diese Identifizierung von der Wahl des Nullpunktes Osowie der Koordinatenachsen x und Y ab. Wir haben in obiger Abbildung ein rechtwinkliges Koordinatensystem angedeutet. Im Prinzip brauchen
wir jedoch an dieser Stelle noch nichts iiber Winkel zu wissen. Es geniigt, wenn
wir als Koordinatenachsen zwei verschiedene Geraden x und Y durch den Nullpunkt Overwenden. Genaueres hierzu werden wir noch in den Vorbemerkungen
zu Kapitel 2 besprechen.
Es solI nun auch die Identifizierung der beiden Koordinatenachsen x und
Y mit der Menge ~ der reellen Zahlen noch etwas genauer beleuchtet werden.
Durch Festlegen des Nullpunktes ist auf x und Y jeweils die Streckungsabbildung
mit Zentrum O und einer reellen Zahl als Streckungsfaktor definiert. Wăhlen wir
etwa einen von O verschiedenen Punkt Ix E x aus und bezeichnen mit a· Ix das
Bild von Ix unter der Streckung mit Faktor a, so besteht x gerade aus allen
Punkten a·I x , wobei adie reellen Zahlen durchlăuft. Genauer k6nnen wir sagen,
daB die Zuordnung a f----+ a· Ix eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen
den reellen Zahlen und den Punkten van x erklărt. Nach Auswahl je eines von
O verschiedenen Punktes Ix E x und entsprechend Iy E Y sind daher x und Y
auf natiirliche Weise mit der Menge ~ der rellen Zahlen zu identifizieren, wabei
die Punkte O, Ix E x bzw. O, Iy E Y den reellen Zahlen O und 1 entsprechen.
Die M6glichkeit der freien Auswahl der Punkte Ix E x und ly E Y wie auch die
Verwendung nicht natwendig rechtwinkliger Kaardinatensysteme machen allerdings auf ein Problem aufmerksam: Der Abstand van Punkten in E wird unter
der Identifizierung E = ~2 nicht notwendig dem auf ~2 iiblichen euklidischen
Abstand entsprechen, der fiir Punkte PI = (XI, YI) und P2 = (X2, Y2) durch
d(PI, P2) = V(XI - X2)2
+ (YI -
Y2)2
gegeben ist. Eine korrekte Reflektierung van Abstănden auf E ist jedach mit
Hilfe der spăter nach zu diskutierenden Skalarprodukte moglich.
In der Mathematik ist man stets darum bestrebt, bei der Analyse von
Phănamenen und Problemen, fiir die man sich interessiert, zu gewissen "einfachen Grundstrukturen" zu gelangen, die fiir das Bild, das sich dem Betrachter
bietet, verantwortlich sind. SolchermaBen als wichtig erkannte Grundstrukturen untersucht man dann oftmals 10sge16st von der eigentlichen Problematik,
um herauszufinden, welche Auswirkungen diese haben; man spricht von einem
Modell, das man untersucht. Modelle haben den Vorteil, daB sie in der Regel
leichter zu iiberschauen sind, aber manchmal auch den Nachteil, daB sie den
eigentlich zu untersuchenden Sachverhalt moglicherweise nur in Teilaspekten
beschreiben konnen.
In unserem Falle liefert der Descartes'sche Ansatz die Erkenntnis, daB Punkte von Geraden, Ebenen ader des drei-dimensianalen Raums mittels Kaardinaten zu beschreiben sind. Hierauf gesttitzt konnen wir, wie wir gesehen haben,
Vorbemerkungen
3
die Menge JR2 aller Paare reeller Zahlen als Modell einer Ebene ansehen. Entsprechend bildet die Menge JR3 aller Tripel reeller Zahlen ein Modell des dreidimensionalen Raums, sowie naturlich JR = JRl ein Modell einer Geraden. Die
Untersuchung solcher Modelle fuhrt uns zum zentralen Thema dieses Kapitels, nămlich zu den Vektorrăumen. Vektorrăume beinhalten als fundamentale
Struktur zwei Rechenoperationen, zum einen die Multiplikation von Skalaren (in
unserem Falle reellen Zahlen) mit Vektoren, was man sich als einen StreckungsprozeB vorstellen kann, und zum anderen die Addition von Vektoren. Wir wollen
dies mit den zugehărigen geometrischen Konsequenzen einmal am Beispiel einer
Ebene E und ihrem ModellJR2 erlăutern.
Wir beginnen mit der skalaren Multiplikation. Fur
a E JR,
bezeichnet man mit
das Produkt von a und P, wobei sich in E folgendes Bild ergibt:
y
0p
Die Multiplikation von Punkten PE Emit einem Skalar a E lR ist folglich zu interpretieren als Streckungsabbildung mit Streckungszentrum O und Streckungsfaktor a. Besonders instruktiv lăBt sich dies beschreiben, wenn man die Punkte
P E E als "Vektoren" im Sinne gerichteter Strecken oF auffaBt. Vektoren sind
somit charakterisiert durch ihre Lănge und ihre Richtung (auBer fUr den Nullvektor 00, der keine bestimmte Richtung besitzt). Der Vektor a· oF geht dann
aus oF hervor, indem man ihn mit a streckt, d. h. seine Lănge mit a (oder, besser, mit dem Betrag laI) multipliziert und ansonsten die Richtung des Vektors
beibehălt bzw. invertiert, je nachdem ob a 2': O oder a < O gilt:
y
4
1.
Vektorrăume
Als weitere Rechenoperation betrachten wir die Addition von Punkten in
JR2. Fiir
setzt man
was in E mittels folgender Skizze verdeutlicht werden mbge:
y
x
Auch die Beschreibung der Addition in E gestaltet sich instruktiver, wenn man
den Vektorstandpunkt im Sinne gerichteter Strecken zugrundelegt. Allerdings
sollte man dabei zulassen, daB Vektoren als gerichtete Strecken parallel zu sich
selbst verschoben und somit vom Koordinatenursprung als ihrem natiirlichen
FuBpunkt gelbst werden kbnnen. Die Summe der Vektoren OFI und OF2 ergibt
sich dann als Vektor OF, wobei P derjenige Endpunkt ist, den man erhălt,
indem man beide Vektoren miteinander kombiniert, also den Vektor OFI in O
anlegt und den Vektor OF2 im Endpunkt PI von OFI , etwa wie folgt:
y
Dabei zeigt die obige Parallelogrammkonstruktion, daB sich das Ergebnis der
Addition nicht ăndert, wenn man alternativ den Vektor OF2 in O anlegt und
Vorbemerkungen
5
ansehlieBend den Vektor OPI im Endpunkt von aP2 • Die Addition von Vektoren
hăngt daher nicht von der Reihenfolge der Summanden ab, sie ist kommutativ.
Es mag etwas verwirrend wirken, wenn wir die Elemente des JR2 einerseits
als Punkte, sowie andererseits aueh als (versehiebbare) Vektoren im Sinne geriehteter Strecken interpretieren. Im Prinzip konnte man eine begrifHiche Trennung zwisehen Punkten und Vektoren vornehmen, indem man den einem Punkt
PE JR2 zugeordneten Vektor OF als Translation Q ~ P+Q interpretiert, d. h.
als Abbildung von JR2 nach lR.2, die einem Element Q E JR2 das Element P + Q
als Bild zuordnet. Wir wollen von dieser Mogliehkeit allerdings keinen Gebraueh
machen, da eine Trennung der Begriffe fUr unsere Zweeke keine Vorteile bringt
und die Dinge lediglieh komplizieren wiirde.
Als năehstes wollen wir besprechen, daB die Addition von Punkten und
Vektoren in JR2 bzw. E auf natiirliche Weise aueh eine Subtraktion nach sieh
zieht. Fur Po = (xo, Yo) E JR2 setzt man
-Po
=
-(xo,Yo):= (-1)· (xo,Yo)
=
(-xo,-Yo)
und nennt dies das negative oder inverse Element zu Po. Dieses ist in eindeutiger
Weise eharakterisiert als Element Q E JR2, welehes der Gleichung Po + Q = O
genugt. Die Subtraktion zweier Elelente PI = (XI, YI) und Po = (xo, Yo) in JR2
wird dann in naheliegender Weise auf die Addition zuruekgefUhrt, und zwar
dureh
Legen wir wieder den Vektorstandpunkt in E zugrunde, so entsteht also - aPo
aus dem Vektor OPo dureh Invertieren seiner Riehtung, wobei die Lănge erhalten
bleibt. Damit IăBt sich die Differenz zweier Vektoren OPI und OPo wie folgt
illustrieren:
Y
YI
Yo
Xo
Xl
X
Insbesondere erkennt man, daB die Summe der Vektoren OPo und OPI - aPo
gerade den Vektor aPI ergibt, was eine sinnvoll definierte Addition bzw. Subtraktion naturlieh ohnehin leisten sollte. Allgemeiner kann man Summen des
Typs
6
1. Vektorraume
mit unterschiedlichen Skalaren o: E lR bilden. Der Punkt P liegt dann fUr
Po =1- P1 stets auf der Geraden G, die durch Po und P1 festgelegt ist, und
zwar durchlăuft P ganz G, wenn o: ganz lR durchlăuft:
Yl
x
Die Gerade in E bzw. lR2 , welche die gegebenen Punkte Po und P1 enthălt, wird
daher durch die Gleichung
G = {Po + t . (Pl - Po) ; tE lR}
beschrieben. Sind zwei solche Geraden
G = {Po
+ t· (Pl -
Po); tE lR},
G'
= {P~
+ t· (Pt -
P~); tE lR}
mit Po =1- P1 und P~ =1- P{ gegeben, so sind diese genau dann parallel, wenn
P1 - Po ein skalares Vielfaches von P{ - P~ ist, bzw. umgekehrt, wenn P{ - P~
ein skalares Vielfaches von P1 - Po ist. Ist letzteres nicht der FalI, so besitzen G
und G' genau einen Schnittpunkt, wobei eine Berechnung dieses Schnittpunktes
auf die L6sung eines sogenannten linearen Gleichungssystems fuhrt, welches aus
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, nămlich den Koordinaten des Schnittpunktes
von G und G' besteht. Die L6sung von Gleichungssystemen dieses Typs wird
uns noch ausfUhrlich in Kapitel 3 beschăftigen.
Die vorstehenden Uberlegungen lassen sich ohne Probleme auf den dreidimensionalen Raum und sein ModelllR3 verallgemeinern. Beispielsweise ist fUr
zwei Punkte Po, P1 E lR3 wiederum
G = {Po + t· (Pl - Po); tE lR}
die durch Po und P1 bestimmte Gerade im ]R3. Fur Punkte Po, Plo P2 E
man mit Pt := Pt - Po und P~ := P2 - Po entsprechend das Gebilde
E = {Po
betrachten:
+ s· Pt + t· P~;
s, tE lR}
]R3
kann
Vorbemerkungen
7
E
o
Wenn P{ kein Vielfaches von P~ und P~ kein Vielfaches von P{ ist, die Vektoren
in O angetragen also nicht auf einer Geraden durch O liegen, so bezeichnet man
P{ und P~ als linear unabhăngig. In diesem Falle erkennt man E als Ebene,
ansonsten als Gerade oder auch nur als Punkt. Da die Vektoren P{ und P~ hier
eine entscheidende Rolle spielen, sollten wir auch das Gebilde
E' = {s . P{ + t . P~ ; s, t E lR}
betrachten, welches durch Verschieben von E um den Vektor -
OF entsteht:
Im Rahmen der Vektorrăume nennt man E' den von P{ und P~ aujgespannien
oder erzeugten linearen Unterrraum von lR3 . Allgemeiner kann man im lR 3 den
von beliebig vielen Vektoren QI, ... ,Qr erzeugten linearen Unterraum
U
= {tIQI + ... + trQr; tl, ... ,tr
E
lR}
betrachten. Fiir einen Vektor Q E ]R3 sagt man, daf3 Q linear van QI, ... ,Qr
abhăngt, falls Q E U gilt. Folgende Fălle sind moglich: Fiir QI = ... = Qr = O
besteht U nur aus dem Nullpunkt O. Ist aber einer der Vektoren Ql, ... ,Qr
von O verschieden, etwa QI -=1- O, so enthălt U zumindest die durch QI gegebene Gerade G = {tQI; t E lR}. Gehoren auch Q2, ... ,Qr zu G, d. h. sind
Q2, ... ,Qr linear abhăngig von QI, so stirnmt U mit G iiberein. Ist letzteres nicht der Fall und gilt etwa Q2 rf. G, so spannen QI und Q2 die Ebene
E = {tI QI + t2Q2 ; tI, t 2 E ]R} auf, so daB U zumindest diese Ebene enthălt.
Im Falle Q3, ... ,Qr E E, also wenn Q3,··· ,Qr linear von Ql, Q2 abhăngen,
stirnmt U mit E iiberein. Ansonsten gibt es einen dieser Vektoren, etwa Q3,
der nicht zu E geMrt. Die Vektoren QI, Q2, Q3 bilden dann sozusagen ein Koordinatensystem im ]R3, und man sieht daB U mit ganz lR3 iibereinstimmt, daB
8
1.
Vektorrăume
also alle Vektoren im jR3 linear von Ql, Q2, Q3 abhangen. Insbesondere ergibt
sich, daB ein linearer Unterraum im jR3 entweder aus dem Nullpunkt, aus einer
Geraden durch O, aus einer Ebene durch O oder aus ganz jR3 besteht.
Das soeben eingefUhrte Konzept der linearen Abhiingigkeit von Vektoren ist
ein ganz zentraler Punkt, der in diesem Kapitel ausfuhrlich im Rahmen der Vektorraume behandelt werden wird. Dabei nennt man ein System von Vektoren
Ql, ... ,Qr linear unabhiingig, wenn keiner dieser Vektoren von den rest lichen
linear abhiingt. Die oben durchgefUhrte Uberlegung zeigt beispielsweise, daB
linear unabhangige Systeme im jR3 aus hOchstens 3 Elementen bestehen. Insbesondere werden uns linear unabhangige Systeme, so wie wir sie im obigen
Beispiel fUr lineare Unterraume des jR3 konstruiert haben, gestatten, den Begriff des Koordinatensystems oder der Dimension im Kontext der Vektorraume
zu prazisieren. Ais Verallgemeinerung linear unabhangiger Systeme von Vektoren werden wir schlieBlich noch sogenannte direkte Summen von linearen Unterraumen eines Vektorraums studieren.
Wir haben bisher im Hinblick auf Vektorraume lediglich die Modelle jRn
mit n = 1,2,3 betrachtet, wobei unser geometrisches Vorstellungsvermăgen in
erheblichem MaBe bei unseren Argumentationen mit eingeflossen ist. Bei der
Behandlung der Vektorraume in den nachfolgenden Abschnitten werden wir jedoch grundsatzlicher vorgehen, indem wir eine Reihe von Verallgemeinerungen
zulassen und uns bei der Entwicklung der Theorie lediglich auf gewisse axiomatische Grundlagen stutzen. Zunachst beschranken wir uns bei dem zugrunde
liegenden Skalarenbereich nicht auf die reellen Zahlen jR, sondern lassen beliebige Kărper zu. Kărper sind zu sehen als Zahlsysteme mit gewissen Axiomen
fUr die Addition und MuItiplikation, die im wesentlichen den Regeln fUr das
Rechnen mit den reellen Zahlen entsprechen. So kennt man neben dem Kărper
jR der reellen Zahlen beispielsweise den Kărper Ql der rationalen Zahlen wie
auch den Kărper eder komplexen Zahlen. Es gibt aber auch Kărper, die nur
aus endlich vielen Elementen bestehen.
Die Axiome eines Kărpers bauen auf denen einer Gruppe auf, denn ein
Kărper bildet mit seiner Addition insbesondere auch eine Gruppe. So werden
wir in diesem Kapitel nach gewissen Vorbereitungen uber Mengen zunachst
Gruppen studieren, ausgehend von den zugehOrigen Gruppenaxiomen. Wir
beschaftigen uns dann weiter mit Kărpern und deren Rechenregeln und gelangen anschlieBend zu den Vektorraumen. Vektorraume sind immer in Verbind ung mit einem entsprechenden Skalarenbereich zu sehen, dem zugehărigen
Kărper; man spricht von einem Vektorraum uber einem Kărper K oder von
einem K- Vektorraum. Ein K- Vektorraum V ist ausgerustet mit einer Addition und einer skalaren Multiplikation, d. h. fUr a, b E V und a E K sind
die Summe a + b sowie das skalare Produkt a· a als Elemente von V erklart.
Addition und skalare Multiplikation genugen dabei den sogenannten Vektorraumaxiomen, weIche bezuglich der Addition insbesondere die Gruppenaxiome
enthalten. Prototyp eines K-Vektorraums ist fUr eine gegebene naturliche Zahl
n die Menge
1.1 Mengen und Abbildungen
9
aller n- Tupel mit Komponenten aus K, wobei Addition und skalare Multiplikation durch
(al,'" ,an)
+ (bl ,.··
,bn) := (al
+ bl, ...
,an + bn),
a· (al,'" ,an):= (aal,'" ,aan)
gegeben sind.
Insbesondere wird mit dieser Definition die oben angesprochene Reihe von
Modellen jRn fUr n = 1,2,3 auf beliebige Dimensionen n verallgemeinert. Dies
hat durchaus einen realen Hintergrund, denn um beispielsweise ein Teilchen im
drei-dimensionalen Raum in zeitlicher Abhăngigkeit zu beschreiben, benotigt
man neben den 3 răumlichen Koordinaten noch eine zusătzliche zeitliche Koordinate, so daB man sich im Crunde genommen im Vektorraum jR4 bewegt. In
analoger Weise lassen sich Paare von Punkten im drei-dimensionalen Raum als
Punkte des jR6 charakterisieren.
1.1 Mengen und Abbildungen
Folgende Mengen werden wir in natiirlicher Weise als gegeben annehmen:
o= leere Menge,
N = {O, 1,2, ... } natiirliche Zahlen,
Z = {O, ±1, ±2, ... } ganze Zahlen,
Ql = {p/q; p, q E Z, q =1- O} rationale Zahlen,
jR =
reelle Zahlen.
Es sei darauf hingewiesen, daB bei einer Menge, sofern wir sie in aufzăhlender
Weise angeben, etwa X = {Xl"" ,Xn }, die Elemente Xl, ... ,Xn nicht notwendig paarweise verschieden sein miissen. Diese Konvention gilt auch fiir unendliche Mengen; man vergleiche hierzu etwa die obige Beschreibung von Ql.
Wichtig fUr die Handhabung von Mengen sind gewisse Prozesse der Mengenbildung, auf die wir nachfolgend eingehen.
(1) Teilmengen. - Es sei X eine Menge und P(x) eine Aussage, deren Ciiltigkeit (wahr oder falsch) man fUr Elemente X E X testen kann. Dann nennt man
y = {x E X; P(x) ist wahr} ei ne Teilmenge von X und schreibt Y c X. Dabei ist auch Y = X zugelassen. Cilt allerdings Y =1- X, so nennt man Y eine
echte Teilmenge von X. Beispielsweise ist jR>o := {x E jR; X> O} ei ne (echte)
Teilmenge von R Fiir eine gegebene Menge X bilden die Teilmengen von X
wiederum eine Menge, dic sogenannte Potenzmenge IŢ)(X).
(2) Vereinigung und Durchschnitt. - Es sei X eine Menge und 1 eine Indexmenge, d. h. eine Menge, deren Elemente wir als Indizes verwenden wollen. Ist
dann fiir jedes iEI eine Teilmenge Xi C X gegeben, so nennt man
UXi := {X E X; es existiert ein iEI mit X E Xi}
iEI
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1. Vektorraume
die Vereinigung der Mengen Xi, iEI, sowie
n
iEI
Xi := {X E X ; X E Xi fUr alle iEI}
den Durchschnitt dieser Mengen, wobei wir in beiden Făllen wiederum eine
Teilmenge von X erhalten. Im Falle einer endliehen Indexmenge 1 = {1, ... , n}
sehreibt man aueh Xl U .. . UXn statt UiEI Xi sowie Xl n ... nXn statt niEIXi.
Zwei Teilmengen X', X" c X werden als disjunkt bezeiehnet, wenn ihr Durehsehnitt leer ist, also X' n X" = 0 gilt. Als Variante zur Vereinigung von Mengen
Xi, iEI, kann man deren disjunkte Vereinigung IliEI Xi bilden. Hierunter versteht man die Gesamtheit aller Elemente, die in irgendeiner der Mengen Xi
enthalten sind, wobei man allerdings fUr versehiedene Indizes i, j E 1 die Elemente von Xi als versehieden von allen Elementen aus X j ansieht.
(3) Differenz von Mengen. - Sind Xl, X 2 Teilmengen einer Menge X, so
heiBt
die Differenz von Xl und X 2 . Aueh dies ist wieder eine Teilmenge von X, sogar
von Xl.
(4) Kartesisehes Produkt von Mengen. - Es seien Xl, ... , X n Mengen. Dann
heiBt
n
II Xi := {(Xl> ... ,
X
n );
Xl
E Xl> ... , X n E Xn}
i=l
das karlesische Produkt der Mengen Xl, ... , X n , wobei man fUr dieses Produkt
aueh die Notation Xl x ... X X n verwendet bzw. X n , falls Xl = ... = X n = X
gilt. Die Elemente (Xl> ... , x n ) werden als n- Tupel mit Komponenten Xi E Xi,
i = 1, ... , n, bezeiehnet. Es gilt genau dann (Xl, ... , x n ) = (x~, ... , x~) fur zwei
n- Tupel, wenn man Xi = X~ fUr i = 1, ... , n hat. In ăhnlieher Weise IăBt sieh fUr
eine Indexmenge 1 das kartesisehe Produkt iliEI Xi von gegebenen Mengen Xi,
iEI, bilden. Man sehreibt die Elemente eines solchen Produktes als Familien
(Xi)iEI von Elementen Xi E Xi und meint damit Tupel, deren Eintrăge mittels
1 indiziert werden. Sind die Xi Exemplare ein und derselben Menge X, so
verwendet man statt iliEI Xi aueh die Notation Xl.
Als năehstes kommen wir auf den Begriff der Abbildung zwisehen Mengen
zu spreehen.
Definition 1. Eine Abbildung f: X
----+ Y zwischen zwei Mengen X und Y ist
eine Vorschrift, welche jedem X E X ein wohlbestimmtes Element y E Y zuordnet, das dann mit f(x) bezeichnet wird; man schreibt hierbei auch X 1----+ f(x).
Dabei heiftt X der Definitionsbereieh und Y der Bild- oder Wertebereieh der
Abbildung f.
1.1 Mengen und Abbildungen
11
Zu einer Menge X gibt es stets die identische Abbildung id x : X -----t X,
x. Im iibrigen kann man beispielsweise ein kartesisches Produkt des Typs
Xl auch als Menge aller Abbildungen 1 -----t X interpretieren.
Im folgenden sei f: X -----t Y wieder eine Abbildung zwischen zwei Mengen.
Ist g: Y -----t Z eine weitere Abbildung, so kann man f mit 9 komponieren; man
erhălt als Resultat die Abbildung
X 1----+
9 of: X
-----t
Z,
X 1----+
g(f(x)).
Fiir Teilmengen M C X und N C Y bezeichnet man
f(M)
:=
{y E Y; es exist iert ein x E M mit y = f(x)}
als das Bild von M unter
r
f sowie
1(N) := {x E X; f(x) E N}
als das Urbild von N unter f; es handelt sich hierbei um Teilmengen von Y bzw.
X. Besteht N aus nur einem einzigen Element y, also N = {y}, so schreibt man
f-l(y) anstelle von f-l({y}). Weiter nennt man f injektiv, wenn aus x,x' E X
mit f(x) = f(x') stets x = x' folgt, und surjektiv, wenn es zu jedem y E Y
ein x E X mit f(x) = y gibt. SchlieBlich heiBt f bijektiv, wenn f injektiv und
surjektiv zugleich ist.
Man kann sagen, daB f genau dann injektiv ist, wenn das Urbild f-l(y)
eines jeden Punktes y E Y entweder leer ist oder aus genau einem Punkt x E X
besteht. Weiter ist f genau dann surjektiv, wenn fiir jedes y E Y das Urbild
f-1(y) nicht leer ist. Somit ist f genau dann bijektiv, wenn fiir jedes Element
y E Y das Urbild f-1(y) aus genau einem Punkt x besteht. Man kann dann zu
f die sogenannte Umkehmbbildung g: Y -----t X betrachten. Sie ordnet einem
Punkt y E Y das eindeutig bestimmte Element x E j-l(y) zu, und es gilt
9 o f = id x sowie j o 9 = id y . Statt g: Y -----t X schreibt man meist auch
j-1: Y -----t X.
Aufgaben
1. Es seien A, B, C Teilmengen einer Menge X. Man zeige:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
An (B U C) = (A n B) U (A n C)
Au (B n C) = (A U B) n (A U C)
A - (B U C)
=
(A - B) n (A - C)
A - (B n C) = (A - B) U (A - C)
2. Es sei f: X --+ Y eine Abbildung zwischen Mengen. Man zeige fUr Teilmengen
M1,M2 C X und N 1,N2 C Y:
(i) f(M 1 U M 2 ) = f(Md U f(M2 )
(ii) f(M1 n M 2 ) c f(Md n f(M2 )
1 (N2)
1 (N1 U N2) =
1 (Nl) U
(iii)
r
r
r