Aufgaben und Lösungen

Aufgaben und Lösungen
Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung “Analysis I“
Andreas Moor
Wintersemester 2008/2009
Anwesenheitsaufgaben
ÜBUNGEN MATHEMATIK
Übung am 02.12.2008
Andreas Moor
Übung 7
Einleitung
Vor den üblichen Fragen bezüglich der Unklarheiten in dem Hausaufgabenblatt soll eine 15-minutige Mikroklausur“ geschrieben werden. Wenn die Vorlesung nachgearbeitet
”
wurde, sollten mit der Bearbeitung der Aufgaben keine Probleme auftreten. Folgende
Aufgaben werden gestellt:
i)
ˆ Was ist eine Cauchyfolge?
ˆ Was ist ein Häufungspunkt der Folge (an )?
ˆ Definieren Sie limes superior und limes inferior einer beschränkten Folge.
ii) Welche dieser Aussagen ist richtig bzw. falsch?
ˆ Jede konvergente Folge hat einen Häufungspunkt.
ˆ Jede beschränkte Folge hat einen Häufungspunkt.
ˆ Jede beschränkte Folge ist konvergent.
ˆ Jede monotone beschränkte Folge ist konvergent.
ˆ Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge.
ˆ Jede monotone Folge ist eine Cauchyfolge.
ˆ Jede Cauchyfolge in R/C ist konvergent.
Die Definitionen sollten aus der Vorlesung bekannt sein, die Antworten aus die Fragen
auch. Hier geben wir jedoch diese kurz an, Begründung kann aus der Vorlesung erarbeitet
werden.
ˆ wahr (den Grenzwert)
ˆ wahr (Bolzano-Weierstraß und Satz 2.3.9)
ˆ falsch ((−1)n )
ˆ richtig (Monotonie und Begrenzung müssen aber i. A. zueinander passen, aber
beschränkt“ bedeutet, daß die Folge nach oben und unten beschränkt ist)
”
ˆ wahr (Bolzano-Weierstraß)
ˆ falsch (an = n ist monoton, aber nicht Cauchyfolge)
ˆ wahr (Satz 2.3.7)
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Wie bereits mehrmals erwähnt, lohnt es sich, die Vorlesung nachzuarbeiten, und zwar
aus folgenden zusätzlichen Gründen: Erstens, ist es für den Studiengang Bachelor wichtig,
sofort mitzukommen, denn, wenn der Diplom-Studiengang noch die Möglichkeit bot, relativ kurz nach Studienbeginn den Stoff notwendigerweise nachzuarbeiten (Vor-Diplom!),
besteht bei Bachelor-Studiengang diese Möglichkeit nicht. Somit ist man, nachdem man
die Grundlagen verpasst hat, später in einer mißlichen Lage. Zweitens, können wir in den
Übungsgruppen effizienter arbeiten, denn, wenn Begriffe klar/bekannt sind, werden wir
nicht bei deren Klärung sich aufhalten, sondern können zum eigentlichen Stoff kommen.
Beim Begriff der Reihe soll darauf hingewiesen werden, daß der Begriff der Konvergenz einer Reihe auf den Konvergenzbegriff für Folgen zurückgeführt wird, und zwar
ist die Folge, die man untersucht, die Folge von Partialsummen. Wenn der Grenzwert
dieser Folge existiert, schreibt man für diesen symbolisch denselben Ausdruck wie für die
Reihe selbst. Wichtig ist, bei der Untersuchung der Konvergenz von Reihen, daß, falls
die Reihenglieder selbst keine Nullfolge bilden, kann die Reihe bereits nicht konvergent
sein. Falls aber die Reihenglieder eine Nullfolge bilden, müssen weitere Untersuchungen
erfolgen (dazu sind Konvergenzkriterien für Reihen wichtiges Werkzeug), denn aus der
Nullfolgen-Eigenschaft der Reihenglieder folgt keinesfalls die Konvergenz der Reihe, wie
das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt.
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Aufgaben
Aufgabe 1
Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Seien (an ) und (bn ) Folgen mit
Häufungspunkten a und b. Dann ist (an + bn ) Folge mit Häufungspunkt a + b.
Lösung
Diese Aussage ist mit Hilfe einer der trivialen Folgen widerlegbar: Man wähle, beispielweise, an = (−1)n und bn = (−1)n+1 . Dann haben beide Folgen die Häufungspunkte
a = ±1 und b = ±1. Dann gilt: Die Folge an + bn = 0 hat den Häufungspunkt 0,
während a + b = 0, ±2 ergibt (je nach Wahl von a und b). Es ist also so, daß bei einer
freien Wahl der Werte von a und b der Häufungspunkt von (an + bn ) nicht (a + b) ist.
Aufgabe 2
Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Seien (an ) und (bn ) beschränkte
Folgen, so gilt
lim (an + bn ) ≤ lim an + lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
Dazu kann Aufgabe 2 auf dem aktuellen Hausaufgabenblatt verwendet werden.
Lösung
Zunächst gilt, da (an ) und (bn ) beschränkt sind, daß die Folge (an + bn ) auch beschränkt
ist. Damit hat sie einige Häufungspunkte (eventuell auch nur einen) und die Menge aller
Häufungspunkte ist beschränkt. Es folgt, daß c := limn→∞ (an + bn ) existiert.
Aus Aufgabe 2 auf dem aktuellen Übungsblatt folgt: Für eine beschränkte Folge reeller
Zahlen (xn ) gilt:
lim xn = x ⇔ 1. ∀ ε > 0 : xn < x + ε für fast alle n ∈ N
n→∞
2. xn > x − ε für unendlich viele n ∈ N.
Sei nun a = limn→∞ an , b = limn→∞ bn und ε > 0 vorgegeben. Aus an + bn ≥ a + b + ε
folgt: an ≥ a + 2ε oder bn ≥ b + 2ε . Das ist aber nur für endlich viele n ∈ N möglich. Damit
gilt: limn→∞ (an + bn ) ≤ limn→∞ an + limn→∞ bn .
Eine weitere Möglichkeit benutzt den Hinweis nicht, sondern führt auf direktem Wege
zum Ziel. Betrachte dazu die Teilfolge (ank + bnk ), die gegen c konvergiert. Für die Folgen
(ank )n∈N bzw. (bnk )n∈N gilt: sie sind Teilfolgen von (an )n∈N bzw. (bn )n∈N . Man kann die
Folge (nk )k∈N so wählen, daß die Teilfolgen (ank )n∈N bzw. (bnk )n∈N konvergieren (gegen
irgendwelche Häufungspunkte von (an )n∈N bzw. (bn )n∈N ). Dann gilt:
lim (an + bn ) = lim (ank + bnk ) = lim ank + lim bnk ≤ lim an + lim bn .
n→∞
k→∞
k→∞
k→∞
n→∞
n→∞
Dabei folgt das zweite Gleichheitszeichen aus den Rechenregeln für konvergente Folgen.
Streng genommen, wäre noch die Behauptung zu zeigen, daß man die Folge (nk )k∈N so
wählen kann, daß die Teilfolgen (ank )n∈N bzw. (bnk )n∈N tatsächlich konvergieren und dies
keine Einschränkung darstellt. Dies wollen wir hier kurz vorführen.
Da c = limn→∞ (an + bn ) ein Häufungspunkt ist, existiert eine Teilfolge (an + bn )nk0 =
ank0 +bnk0 mit c = limk0 →∞ (ank0 +bnk0 ). Die Teilfolgen (ank0 ) bzw. (bnk0 ) von (an ) bzw. (bn )
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haben im Allgemeinen Häufungspunkte. Dann folgt, daß wiederum Teilfolgen existieren
(man beachte die Indizierung!), nämlich (ank0 ) von (ank0 ) (und damit auch von (an )) und
l
(bnk0 ) von (bnk0 ) (und damit auch von (bn )), mit der Eigenschaft, daß sie konvergieren und
m
zwar gegen einen bestimmten Häufungspunkt a0 von (ank0 ) bzw. b0 von (bnk0 ). Da diese
Grenzwerte Häufungspunkte der Folgen (an ) bzw. (bn ) sind, gilt stets: a0 ≤ limn→∞ an
und b0 ≤ limn→∞ bn . Ist nun der Durchschnitt der Indexmengen der Teilfolgen (ank0 )
l
0
und (bnk0 ) leer, so setze: nk = nkl0 = nkm
(dies bedeutet einfach eine Umbenennung der
m
Indexvariablen). Wenn aber der Durchschnitt der Indexmengen nicht leer ist, so wähle
man von den konvergenten Folgen (ank0 ) und (bnk0 ) gegen dieselben Grenzwerte a0 und
m
l
0 , d. h. die Indizes der
b0 konvergierenden Teilfolgen (ank0 ) und (bnk0 ) so, daß nkl00 = nkm
0
l0
m0
neuen Teilfolgen sollen im Durchschnitt der Indexmengen von (ank0 ) und (bnk0 ) liegen
m
l
(anschaulich ist dies das Wegstreichen“ der Folgenglieder von (ank0 ) und (bnk0 ) derart,
m
”
l
daß, wenn man die ursprünglichen Folgen übereinander in Zeilen aufschreibt, nur die für
(ank0 ) und (bnk0 ) übrig bleiben, die übereinander nach dem vorherigen Wegstreichen“
”
l0
m0
0 . Damit sind wir fertig.
stehen). Dann setze: nk = nkl00 = nkm
0
Bemerkung
Es wurde mehrmals der Satz 2.3.9 benutzt. Man mache sich außerdem klar, daß jede
Teilfolge einer konvergenten Folge gegen denselben Grenzwert, wie die Folge selbst, konvergiert.
Aufgabe 3
Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussagen für Folgen (an ):
i) Ist (an ) konvergent, so ist an − an+1 eine Nullfolge.
ii) Ist an − an+1 eine Nullfolge, so ist (an ) konvergent.
Lösung
Die erste der beiden Aussagen ist richtig, die zweite falsch.
i) Wir bemerken zuerst, daß definitionsgemäß: ∀ x, y ∈ R : |x − y| = |y − x|. Nun
folgt der eigentliche Beweis der Richtigkeit dieser Aussage. Da (an ) konvergent ist,
gilt: ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N sodaß |an − a| < 2ε ∀ n ∈ N mit n ≥ n0 . Dann folgt:
ε ε
|an −an+1 | = |an −a+a−an+1 | ≤ |an −a|+|a−an+1 | = |an −a|+|an+1 −a| < + = ε
2 2
ab einem n0 ∈ N. Dabei haben wir im zweiten Schritt die Dreiecksungleichung
ausgenutzt.
ii) Es kann ein Gegenbeispiel gefunden werden, welches zeigt, daß diese Aussage falsch
ist. Als ein√Beispiel nehme man die Folge, die durch die Folgende Vorschrift definiert
ist: an = n. Es gilt: an − an+1 ist konvergent, jedoch divergiert die Folge an . (Die
Tatsache, daß an − an+1 konvergiert kann analog zu der Aufgabe 4 a) auf dem
Hausaufgabenblatt√4 gezeigt werden, denn es ist, bis auf das Vorzeichen, dieselbe
Folge.) Daß an = n divergiert folgt u. A. daraus, daß a1n = √1n eine Nullfolge ist,
oder auch daraus, daß die Menge der natürlichen Zahlen unbeschränkt ist.
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Anwesenheitsaufgaben
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Übung am 02.12.2008
Andreas Moor
Aufgabe 4
Wieviele Häufungspunkte kann eine Folge maximal haben?
i) endlich viele
ii) unendlich viele (abzählbar unendlich)
iii) überabzählbar viele
Lösung
Die richtige Antwort lautet: Eine Folge kann überabzählbar viele Häufungspunkte haben.
Als Beweis dieser Aufgabe, die, eigentlich, eine gute Mikroklausur“-Aufgabe wäre, dient
”
die Bemerkung nach Korollar 2.3.16, wonach es eine Folge existiert, die alle rationalen
Zahlen durchläuft (die Existenz reicht völlig aus, eine Vorschrift für diese Folge ist nicht
verlangt!). Bekanntlich ist jede reelle Zahl ein Häufungspunkt einer solchen Folge. Da,
nach Satz 2.3.17, die Menge der reellen Zahleh überabzählbar ist, hat eine Folge, die die
rationalen Zahlen durchläuft, überabzählbar viele Häufungspunkte.
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