Analysis I / Lineare Algebra 1
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- LINEARE ALGEBRA I -
+++
Zusammenfassung der Linearen Algebra I
für die Diplomstudiengänge Inf/WInf
im WS2003/04
an der Technischen Universität Darmstadt, TUD
Andreas Schwarzkopf
9. März 2004
1
Inhaltsverzeichnis
1 Vektoren und Zahlen
4
1.1
Pfeile
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Pfeile und Vektoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Äquivalenzrelation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Vektoraddition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.6
Axiome
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.7
Gesetze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.8
Skalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.9
Gesetze der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Geraden, Ebene, Koordinaten
2.1
6
Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.1
Gerade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.2
Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Ortsvektoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Koordinaten in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4
Rechnen mit Koordinaten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.5
Verktorkoordinaten im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.6
Punktkoordinaten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.7
Koordinatentransformation in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.8
Punktkoordinaten - Transformation (in der Ebene) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Skalarprodukt
7
3.1
Länge eines Vektors
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3
Cauchy - Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4
Dreiecksungleichung
8
3.5
Abstand Punkt Ebene
3.6
Hesse'sche Normalenform
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Determinanten
9
9
10
4.1
Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.2
Denition
10
4.3
Rechenregeln
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.4
Flächenberechnung mit Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.5
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
11
4.6
Entwicklungssatz der Vektorrechnung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.7
Grassmann'scher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.8
Volumenbestimmung, Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Komplexe Zahlen
11
5.1
Denition i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5.2
Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5.3
Darstellung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5.4
Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.5
Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.6
Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.7
Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.8
Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.9
Gesetze für komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.10 Polarkoordinaten und Kreisteilung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Lineare Gleichungen
12
13
6.1
Motivation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Betrachtung für den Raum
6.3
Das homogene Gleichungssystem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
6.4
Umformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6.5
Elementare Umformungen an Gleichungssystemen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6.6
Schreibweise, Gauÿ'scher Algorithmus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
R3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
13
13
7 Matrizenrechnung
7.1
Spalten
7.2
Zeilen
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
7.3
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
7.4
Matrizen und lineare Zusammenhänge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
7.5
Matrixschreibweise für Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
7.6
Matizenrechnung und Gleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
7.6.1
Summe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
7.6.2
Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
7.7
Einheitsmatrix
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8
Matrizenprodukt, Regeln
7.9
Inverse Matrix
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
7.10 Matrixinversion und Gleichungslösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
7.11 Gauÿ - Jordan - Algorithmus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
7.12 Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
7.13 Transformationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
8 Algebraische Strukturen
19
8.1
Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
8.2
Terme
19
8.3
Induktion
8.4
Termauswertung
8.5
Allgemeines Assoziativgesetz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
8.6
Kommutative Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
8.7
Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
8.8
Kommutative Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
8.9
Ringe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
8.10 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
8.11 Vektorräume
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
8.12 Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
8.13 Unterstrukturen
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Erzeugen
20
20
25
9.1
Erzeugungsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
9.2
Erzeugungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
9.3
Erzeugungsprozess
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
9.4
Erzeugnis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3
1
Vektoren und Zahlen
1.1 Pfeile
Zwei Pfeile sind äquivalent (P Q
∼ RS ),
wenn die zugehörigen
Punkte ein Parallelogramm bilden.
Es kommt dabei nicht auf die Orientierung an.
Liegen sie auf einer Geraden, kann ein beliebiger Hilfspfeil der nicht
auf der Geraden liegt gewählt werden; bilden nun diese 3 Pfeile
zueinander jeweils ein Parallelogramm, so sind sie ebenfalls äquivalent.
→ Satz von Desargues
1.2 Vektoren
Ein Vektor ist eindeutig durch Länge und Richtung bestimmt.
1. Vektoren sind Gröÿen, die durch Pfeile repräsentiert werden.
2. Jeder Pfeil PQ repräsentiert genau einen Vektor
3.
4.
−−→ −→
P Q ∼ RS genau dann, wenn PQ ∼ RS.
−−→ −→
Gilt P Q = RS , so ist P = R genau dann,
−−→
PQ
wenn Q = S.
1.3 Pfeile und Vektoren
Pfeile repräsentieren einen Vektor wenn sie äquivalent sind.
1.4 Äquivalenzrelation
Die Grundeigenschaften einer Gleichheitsrelation sind:
1.
PQ ∼ PQ
2.
P Q ∼ RS ⇒ RS ∼ P Q
(Symmetrie)
P Q ∼ U V ⇒ U V ∼ RS
(Transitivität)
3.
(Reexivität)
(→ Satz von Desargues)
1.5 Vektoraddition
Zu zwei
→
−
−
→
a, b
Vektoren gibt es genau einen Vektor
−c ,
→
so daÿ
→
−
−
→
→
a = P Q, b = QR, −
c = P R.
→
−
−c := −
→
→
a + b
1.6 Axiome
(A1 ) Zu jedem Punkt P und Vektor
Schreibe:
→
Q=−
v +P
→
−
v
gibt es genau einen Punkt Q mit
(A2 ) Zu zwei Punkten P, Q gibt es genau einen Vektor
Schreibe:
(A3 )
(A4 )
→
Q=−
v +P
→
→
(−
w +−
v)+P
(gleichwertig mit
−
→
→
w + (−
v + P)
→
−
Der Nullvektor: 0 = P P → hat
→
−
→
−
→
−
→
v + 0 =−
v und P + 0 = P
−
→
v
mit
A1 )
=
die Länge Null. Es gilt:
4
−
→
v = PQ
−
→
v = PQ
Damit gilt:
1.7 Gesetze
Für die Vektoren
(V1 )
(V2 )
(V3 )
(V4 )
−
→
→
→
v ,−
w,−
z
→
→
→
(−
v +−
w) + −
z
=
und r, s
∈
R gilt:
−
→
→
→
v + (−
w +−
z)
→
→
→
→
(−
v +−
w ) = (−
w +−
v)
→
−
→
−
→
v + 0 =−
v
→
−
→
−
→
v + (−−
v)= 0
(V 5 )
→
→
1·−
v =−
v
(V 6 )
→
→
→
→
r(−
v +−
w ) = r−
v + r−
w
(V 7 )
→
→
→
(r + s)−
v = r−
v + s−
v
(V 8 )
→
→
(rs)−
v = (r (s(−
v )))
1.8 Skalare
−→
R = Skalare. Zeichnet man auf einer Geraden zwei Punkte O 6= E ein und setzt −→e = −OE
, so kann man
die rationalen Zahlen erfassen.
Um auch reelle Punkte zu erfassen deklarieren wir die Zahlengerade mit allen ihren Punkten zum Skalarbereich.
−
→
r + s = Or + s
1
s
Multiplizieren gilt:
rs = r
1. Beim Addieren gilt:
2. Beim
bzw
−
→
r + s = Os + r
3. Man kann eine Gerade g nach g' verschieben - die Verhältnisse übertragen sich 1:1.
Es gilt:
(g, O, E, +) w (g 0 , O0 , E 0 , +0 )
Zu 1, 2, 3:
1.9 Gesetze der reellen Zahlen
Für die reellen Zahlen gelten die folgenden Grundgesetze der Arithmetik:
·
(V1 ) (x + y) + z = x + (y + z)
(V5 ) (x
(V2 ) 0 + x = x
(V 6 ) 1
·
(V3 ) x + (-x) = 0
(V 7 ) x
6=
(V4 ) x + y = y + x
(V 8 ) x
·
y)
·
z = x
·
(y
·
x = x
⇒
x
· x−1
y = y
·
x
0
= 1
(V10 ) (x + y)·z = xz + yz
(V9 ) x(y + z) = xy + xz
•
für kein x gilt x < x
•
entweder x < y oder x = y oder x > y
•
wenn x < y dann x + z < y + z
•
wenn x < y dann x
•
aus x < y und y < z folgt x < z
·
z < y
·
z (für z > 0)
5
z)
2
Geraden, Ebene, Koordinaten
2.1 Parameterdarstellung
2.1.1 Gerade
Sei g eine Gerade, A ein Punkt auf der Geraden g, so ergeben sich alle Geradenpunkte aus:
R
r∈
−
→
v = Richtungsvektor von g
A = Aufpunkt von g
→
Pr = r−
v +A
2.1.2 Ebene
Sei
ε
eine Ebene, seien
−
→
→
v,−
w
unabhängig und A ein Punkt auf der Ebene
ε.
Alle Punkte der Ebene ergeben sich aus:
R
r, s ∈
→
−
→
v ,−
w = Spannvektoren von ε
A = Aufpunkt von ε
→
→
Pr,s = r−
v + s−
w +A
2.2 Ortsvektoren
Zeichnet man einen Punkt O aus (und nennt ihn Ursprung), so spricht man in diesem System nun von
Ortsvektoren.
−
→
→
z.B.: →
x + O = r−
v +−
a +O
2.3 Koordinaten in der Ebene
Wir betrachten eine feste Ebene.
−
→
→
a1 , −
a2 sind linear unabhängig, wenn für einen (und damit jeden) Punkt O der Ebene gilt:
→
→
Die Punkte O, O + −
a1 , O + −
a2 liegen nicht auf einer Geraden.
→
→
→
Jeder Punkt dieser Ebene kann über −
x = x1 −
a1 + x2 −
a2 + O (x1 , x2 ∈ ) dargestellt werden.
→
−
→
−
→
Man sagt a1 , a2 bilden eine Basis α der Ebene. Die eindeutigen Skalare x1 , x2 heiÿen Koordinaten von −
x
bezüglich α. Schreibe:
x1
→
−
xα =
x2
Die Vektoren
R
2.4 Rechnen mit Koordinaten
Beim Rechnen mit Koordinaten gilt:
−
→ −
→
→
→
(−
x +−
y )α = xα + y α
x1
y1
x1 + y1
+
=
x2
y2
x2 + y2
−
→
→
(r · −
x )α = r(xα )
x1
rx1
r
=
x2
rx2
−
x1
x2
=
−x1
−x2
2.5 Verktorkoordinaten im Raum
Analog zur Ebene:
−
→
→
→
a1 , −
a2 , −
a3
müssen linear unabhängig sein; d.h.
→
→
→
O, O + −
a1 , O + −
a2 , O + −
a3
dürfen nicht
in einer Ebene liegen.
x1
−
→
x α = x2
x3
−
→
→
→
a1 , −
a2 , −
a3
x1 , x2 , x3
bilden eine Basis
α
des Raumes.
bilden die Koordinaten von
−
→
x
bezüglich
α.
2.6 Punktkoordinaten
Zeichnet man (z.B. in einer Ebene, im Raum) einen Punkt O als Ursprung aus, kann man Punkte durch
Ortsvektoren beschreiben.
→
→
α mit −
a1 , −
a2 , . . . , so erhält man ein anes Koordinatensystem mit Oα = O
−
→
−−→
α →
α
eines Punktes P so einführen: P = x ; −
x = OP
Hat man zusätzlich eine Basis
und kann die Koordinaten
6
2.7 Koordinatentransformation in der Ebene
Gegeben seien zwei Basen von
νε :
die alte
Dann gibt es eindeutig bestimmte Skalare
−
→
b1 =
→ −
−
→
→
→
α=−
a1 , −
a2 und die neue β = b1 , b2
tij , die die neue Basis in der alten ausdrücken:
→
t11 −
a1
→
−
t12 a2
−
→
b2 =
→
−
t21 b1
→
−
t22 b2
Die Transformationsmatrix α Tβ ist
t11 t12
α Tβ =
t21 t22
−
→
−
→
xα =α Tβ · xβ
2.8 Punktkoordinaten - Transformation (in der Ebene)
Gegeben seien zwei Koordinatensysteme
Oα , α
und
Oβ , β
der Ebene. Es gilt:
−
→
P α =α Tβ P β + (Oβ )α =α Tβ P β + v α
mit
3
−
→ −−−→
v α = Oα Oβ . Analog für den Raum; die Transformationsmtrix ist dort eine 3x3 Matrix.
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird errechnet durch:
y1
* x1
x2 y2
→
→
h−
x |−
y i = . .
.. ..
yn
xn
+
= (x1 · y1 + x2 · y2 + . . . + xn · yn )
Für das Skalarprodukt sind folgende Regeln gültig:
−
→
→
→
(E1 ) h→
x |−
y i = h−
y |−
xi
→
→
→
→
→
→
(E2 ) hr · −
x |−
y i = r · h−
x |−
y i = h−
x |r · −
yi
−
→
→
→
→
→
→
(E3 ) h→
x |−
y +−
z i = h−
x |−
y i + h−
x |−
zi
−
→
(E4 ) h→
x |−
xi
ist
>0
für alle
−
→
x 6= 0
Desweiteren gilt insbesondere:
→
→
h−
x |−
yi=0
→
|−
a|=
wenn
−
→
→
x ⊥−
y
p
→
→
h−
a |−
ai
→
−
→
→
Zur Skizze: h−
e | b i ergibt den Skalar (die reelle Zahl), um den −
e gestreckt werden muss um auf den Fusspunkt
→→
−
→
−
→
→
→
des Lotes zu zeigen. −
c = h−
e | b i−
e = (| b | · cos φ)−
e
Es gilt:
−c
→
ist die Komponente von
−
→
b
in Richtung
−
→
a,
wenn
→
→−
−
−c = h a | b i
→
−
|→
a |2
3.1 Länge eines Vektors
Die Länge eines Vektors im n-dimensionalen Raum beträgt:
v
u n
uX
→
−
x2
|x|=t
i
i=1
7
3.2 Orthonormalbasis
−
→
xα =
x1
x2
Vektoren
−→
−
→
→
e1 , −
e2 (, e3 )
der Ebene (des Raumes) bilden eine
recht aufeinander stehen.
Es gilt:
→
→
h−
e1 |−
e2 i =
1i=j
0i=
6 j
→
→
h−
e1 |−
x i = x1
→
→
h−
e2 |−
x i = x2
Beispiel:
→ −
−
→
ON B : f1 ⊥ f2
−
→
→
p ist die Projektion von −
x in die
→
−
→
−
f1 und f2 aufgespannte Ebene ε.
Dann gilt:
von
−
→
→
x −−
p ⊥ε
3.3 Cauchy - Schwarz
Es gilt:
→
−
→
−
→
→
|h−
a | b i| ≤ |−
a|·|b|
Folgrung:
−1 ≤
3.4 Dreiecksungleichung
→
−
−
→
a + b ist der kürzeste Weg, bzw. der direkte Weg ist immer
am kürzesten.
Es gilt:
Ortho-
normalbasis, wenn sie die Länge 1 haben und (paarweise) senk-
→
−
→
−
→
→
|−
a + b | ≤ |−
a|+|b|
8
→
−
→
|h−
a | b i|
→ ≤ 1 =: cosϕ
−
→
|−
a|·|b|
3.5 Abstand Punkt Ebene
Lösugsschritte:
1. Finden einer Normalen
zu
−
→
n
ε.
2. Normale normieren zu
3. Abstand d(O,
−
→0 .
n
ε) errechnen.
4. Abstand d(O, Pε ) errechnen
5. Der gesuchte Abstand ist
d(P,
ε)
= d(O,
Erklärung der Lösungsschritte:
Um den Abstand des Punktes zur Ebene zu erhalten, muss zuerst eine Normale
−
→
n
ε)
- d(O, Pε )
zur Ebene bestimmt
werden.
Die Normale muss nun auf die Länge 1 normiert werden.
Dieses
−
→0
n
kann jetzt mit den jeweiligen Skalaren so getreckt werden, daÿ man d(O,
der Ebene zum Ursrung bzw. d(O,
Pε )
Sakalare ergeben sich aus den Skalarprodukten von
−→
Pα
bzw.
−→
Aα
zu
−
→0
n
Es gilt:
d(O,
d(O,
→
→0 |−
Pε ) = h−
n
P αi
→
→0 |−
ε) = h−
n
Aα i
Der gesucht Abstand d(P,
ε)
ergibt sich nun aus: d(P,
3.6 Hesse'sche Normalenform
Anschaulich:
Alle Punkte einer Ebene
eine Bedingung:
∈ ε und P = O
→0 |−
→
h−
n
x i ist konstant
Ist P
+
ε
−
→
x,
(vgl. x oder y) erfüllen
so gilt:
für alle
−
→
x,
die Punkte der
Ebene sind.
Die Ebene lässt sich also darstellen durch:
→
→0 |−
→
ε = {−
x + O | h−
n
x i = c}
mit c
∈
ε)
den Abstand
den Abstand der Ebene des Punktes zum Ursprung erhält. Die
R
9
ε)
= d(O,
Pε )
- d(O,
ε)
4
Determinanten
4.1 Fläche
Es ist gegeben: ONB,
−
→
→
e1 , −
e2
Wir setzen fest: Quadrate der Seitenlänge 1 besitzen den Flächeninhalt 1.
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ergibt sich nach Archimedes aus
A = g·h, wobei g die Grundseite
(Länge) und h die Höhe senkrecht zu g bezeichnet.
4.2 Denition
Wir denieren die Determinante:
→
−
→
−
→
→
det(−
a , b ) = · F = |−
a | · | b | · sinφ
Wobei
φ
der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist und
1 falls 0◦ ≤ φ < 180◦ (Rechtssystem)
−1 falls 180◦ ≤ φ < 360◦ (Linkssystem)
=
4.3 Rechenregeln
D1
→
−
→ →
−
−
det(→
a , b ) = −det( b , −
a)
D2
→
−
→
−
→
−
→
→
→
det(r · −
a , b ) = r · det(−
a , b ) = det(−
a ,r · b )
D3
→
−
→
−
→ −
−
→
−
→
→
→
det(→
a , b + s−
a ) = det(−
a , b ) = det(−
a +sb, b)
D4
→ →
−
→
−
−
→
→
→
det(→
a, b +−
c ) = det(−
a , b ) + det(−
a ,−
c)
D5
−
→
det(→
a ,−
a)=0
D6
−
→
det(→
e1 , −
e2 ) = 1
4.4 Flächenberechnung mit Determinanten
−
→
→
e1 , −
e2
a1
→
−
→
→
a = a1 −
e1 + a2 −
e2 =
a2
Gegeben: ONB,
und
−
→
→
→
b = b1 −
e1 + b2 −
e2 =
Die Determinante ergibt sich aus:
b1
b2
→
−
→
det(−
a , b ) = a1 b2 − a2 b1
Und es gilt
> 0 falls positiv orientiert
→
−
→
< 0 falls negativ orientiert
det(−
a, b)=
= 0 falls linear abhängig
10
4.5 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) wird errechnet durch:
a1
b1
a2 b3 − a3 b2
a2 b3 − b2 a3
→
−
→
−
a × b = a2 × b2 = a3 b1 − a1 b3 = a3 b1 − b3 a1
a3
b3
a1 b2 − a2 b1
a1 b2 − b1 a2
Für das Vektorprodukt gelten folgende Rechenregeln:
→
−
→ →
−
−
V1 (→
a × b ) = −( b × −
a ) (keine Kommutativität)
→
−
→
−
→
−
→
→
→
V2 (r · −
a × b ) = r · (−
a × b ) = (−
a ×r· b)
→ →
−
→
−
→
→
→
→
a ×(b +−
c ) = (−
a × b ) + (−
a ×−
c)
V3 (a) −
→
−
→ −
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
(b) ( a + b ) × c = ( a × c ) + ( b × c )
Der Betrag
→
−
→
−
→
→
→
→
|−
v | des Vektors −
v =−
a × b repräsentiert den Flächeninhalt des von −
a und b aufgespannten
Parallelogramms.
→
−
→
−
−
→
→
→
a und b parallel, so ist −
v =−
a × b = 0.
→
−
→
−
→
→
→
hingegen −
a senkrecht zu b , so gilt |−
v | = |−
a | · | b |.
Sind demnach
Steht
→
−
−
→
a, b
Sind zwei Vektoren
vorgegeben, so ist
→
−
−c = −
→
→
a × b
ein Vektor, der senkrecht zu der von
aufgespanten Ebene steht.
4.6 Entwicklungssatz der Vektorrechnung
Für das doppelte Vektorprodukt gilt:
→ →
−
→
−
−
→
→
→
a ×(b ×−
c ) = (−
c × b)×−
a
4.7 Grassmann'scher Entwicklungssatz
Es gilt:
→
−
→
−
→→
−
→
→
→
→
→
(−
a × b)×−
c = h−
c |−
a i b − h−
c | b i−
a
4.8 Volumenbestimmung, Spatprodukt
Spannen
→ →
−
−
→
a , b ,−
c
einen Spat auf, so ergibt sich dessen Volumen aus dem Betrag von
→ →
−
→→
−
→
→
det(−
a , b ,−
c ) = h−
a × b |−
ci
−
→
b)
→
→
det(−
a ,−
a,
→
→
→
→
für ONB: det(−
e1 ,−
e2 ,−
e3 ) = 1
5
→
= det(−
a,
− −
→
b ,→
a)
→
− −
→
→
b ,→
a ,−
a)
= det(
= 0
Komplexe Zahlen
5.1 Denition i
Wir denieren i durch:
i2 = −1
5.2 Zahlenebene
C - Ebene ist die Ebene der komplexen Zahlen.
→
→
→
C: Skalarprodukt, ONB, −→
e1 , −
e2 , Orientierung mit det(−
e1 , −
e2 ) = 1
(C, +, ·, 0, 1) ist ein Körper mit dem Unterkörper R
Die
Gegeben auf
5.3 Darstellung
Jede Zahl hat eine eindeutige Darstellung
→
→
z = a−
e1 + b−
e2
Sie besteht aus einem Realteil a und einem Imaginärteil b.
Schreibe:
z = (a, bi)
(z.B. (3, 0i) für die reelle Zahl 3)
11
−
→
a
und
−
→
b
5.4 Betrag
Der Betrag einer komplexen Zahl (a, bi), ist ihr Abstand zum Ursprung:
|z| =
p
|a| + |bi|
5.5 Konjugation
Als konjugierte komplexe Zahl bezeichnet man eine komplexe Zahl, die den gleichen Realteil, aber den
z = (a, bi) = (a, −bi)
negierten Imaginärteil besitzt. Schreibe:
5.6 Argument
Das Argument arg(z) einer komplexen Zahl z, ist der Winkel
ϕ bezüglich des Ursprungs der Zahlenebene.
Für z = (a, b) gilt:
b
arg(z) = arctan( ) = ϕ
a
5.7 Drehung
Die Drehung eine komplexen Zahl ist die Addition zweier Winkel. Der Abstand der Zahl zum Ursprung
bleibt gleich.
Die Drehung ist auch Teil der komplexen Multiplikation. Es gilt:
arg(uz) = arg(u) + arg(z)
5.8 Multiplikation
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen (a, bi) und (c, di) ist deniert durch:
(a, bi) · (c, di) = (a · c − bi · di, a · di + bi · c)
5.9 Gesetze für komplexen Zahlen
Sei z eine komplexe Zahl; seien (a, bi) und (c, di) komplexe Zahlen.
(K 1 )
(a, bi) + (c, di) = ((a + c), (b + d)i)
(K 2 )
(a, bi) · (c, di) = (a · c − bi · di, a · di + bi · c)
(K 3 )
1
(a,bi)
(K 4 )
(K 5 )
z = (a, bi) ⇒ z = (a, −bi)
p
√
|z| = zz = |a| + |bi|
(K 6 )
R(z) = 12 (z + z)
(K 7 )
I(z) = 12 (z − z)
(K 8 )
z+w =z+w
(K 9 )
z·w =z·w
a
b
= ( a2 +b
2 , − a2 +b2 )
5.10 Polarkoordinaten und Kreisteilung
−
→
z
ist darstellbar durch:
−
→
z = r · (e1 · cos(ϕ) + e2 · sin(ϕ))
wobei r = |z| der Betrag von z ist und
ϕ den Winkel des Vektors z bezüglich der x-Achse der Zahlenebene
angibt.
Multiplikation:
(r · (e1 · cos(ϕ) + e2 · sin(ϕ))) · (s · (e1 · cos(φ) + e2 · sin(φ))) = rs (e1 · cos(ϕ + φ) + e2 · sin(ϕ + φ))
12
n-te Potenz:
n
(r · (e1 · cos(ϕ) + e2 · sin(ϕ))) = rn · (e1 · cos(n · ϕ) + e2 · sin(n · ϕ))
Die Längen der Vektoren werden also multipliziert, die Winkel addiert.
Die komplexe Multiplikation ist damit assoziativ und kommutativ (Weil das für Winkeladditionen gilt).
6
Lineare Gleichungen
6.1 Motivation
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b
x1 , x2 , x3 , . . . die Unbekannten bzw. Variablen darstellen.
→
x1 , x2 , x3 , . . . als Vektor −
x zu verstehen.
Eine lineare Gleichung drückt einen Zusammenhang
a1 , a2 , a3 . . . , b
aus, wobei
reelle Zahlen und
Es liegt nahe, die Gröÿen
Eine einzelne Lösung einer Gleichung ist also ein Tripel (im Raum) bzw. ein n-Tupel der Form
−
→
x =
x1
.
.
.
xn
Gesucht ist immer die Gesamtheit L aller Lösungen.
6.2 Betrachtung für den Raum R3
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b
a1 = a2 = a3 = 0
Betrachte:
Im entarteten Fall
bzw.
gibt es entweder keine Lösung oder alle Lösungen (
b = 0.
R3 ) falls b 6= 0
Ergeben die drei Gleichungen eines Gleichungssystems 3 Lösungsebenen, so ist die Lösungsmenge der
Schnitt der Ebenen.
Vier Fälle sind hier möglich:
1.
E1 , E 2 , E 3
liegen so, daÿ sie keinen gemeinsamen Schnitt haben: L = {}
a.
alle parallel zueinander - die Normalen liegen auf einer Gerade.
b.
zwei identisch, die dritte parallel dazu - die Normalen liegen auf einer Gerade.
c.
zwei mit Schnittgerade g und die dritte Parallel zu g - die Normalen spannen jeweils zu zweit
die gleiche Ebene auf.
2.
E1
schneidet
E2
in einer Gerade g,
E3
schneidet die Gerade g im Punkt P: L = {P}
- die Normalen liegen nicht in einer Ebene.
3.
E1
schneidet
E2
in einer Gerade g, die komplett in
E3
liegt. L = {g}
- die Normalen spannen jeweils zu zweit die gleiche Ebene auf.
4.
E1 = E2 = E 3 = L
Alle Ebenen sind identisch: L =
ε
- die Normalen liegen auf einer Gerade.
6.3 Das homogene Gleichungssystem
Das homogene Gleichungssystem
−
→
x =0
Es gilt: Für
n = 2, 3
a1 x1 +a2 x2 +a3 x3 = 0 hat immer mindestens eine (die triviale) Lösung:
hat ein homogenes System von n Gleichungen genau dann eine nichttriviale Lösung,
wenn die Determinante der zugehörigen Normalenvektoren 0 ist.
Umwandlung einer Gleichung des homogenen Systems in ein Skalarprodukt:
Für
−
→
x 6= 0
(die nichttriviale Lösung)
a1
x1
a2 · x2 = 0
a3
x3
→
→
ist −
a ⊥−
x , da ja oensichtlich
13
das Skalarprodukt 0 ist.
6.4 Umformung
Q, R, C, . . .). Sei (S) ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Variablen:
Se K ein Körper (
aij
sind jeweils feste Zahlen aus K.
a11 x1 +
a21 x1 +
a12 x2 +
a22 x2 +
.
.
.
.
.
.
ai1 x1 +
ai2 x2 +
.
.
.
.
.
.
...
...
+a1j xj +
+a2j xj +
...
...
+a1n xn =
+a2n xn =
b1
b2
.
.
.
.
.
.
+ain xn =
bi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
+aij xj +
...
.
.
.
−
→
x =
x1
.
.
.
xn
am1 x1 + am2 x2 + . . . +amj xj + . . . +amn xn = bm
−
→
x
ist eine Lösung von (S),
falls es alle Gleichungen erfüllt.
6.5 Elementare Umformungen an Gleichungssystemen
Satz: Geht (S'):(1')-(m') durch elementare Umformungen aus (S):(1)-(m) hervor, so haben (S) und (S')
den selben Lösungsraum.
Eine Umformung von (S) in ein neues Gleichungssystem (S') kann erfolgen durch:
G1
Subtraktion einer Gleichung (k) von einer anderen Gleichung (l)
G2
Vertauschen zweier Gleichungen (k) und (l)
G3
Multiplikation einer Gleichung (k) mit
G4
Weglassen trivialer Gleichungen
r 6= 0 ∈ K
0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = 0
6.6 Schreibweise, Gauÿ'scher Algorithmus
Der Gauÿ'sche Algorithmus überführt systematisch durch elementare Umformungen ein Gleichungssystem (S) in eine Stufenform
0 · xi
xi
der
direkt an den Kanten der Stufenform heiÿen Pivots, die entsprechenden Variablen
xij
Für Terme der Form
kann 0 bzw. nichts hingeschrieben werden, ebenso können die Variablen
Übersicht wegen weggelassen werden.
a11
a12
a22
...
...
a1j
a2j
..
.
.
.
.
aij
Die Zahlen
aij 6= 0
...
...
...
a1n = b1
a2n = b2
.
.
.
.
.
.
ain =
bi
heiÿen Pivotvariablen.
Bezeichnet man r als Anzahl der nichttrivialen Gleichungen, so ist r der Rang des Systems.
Für
(a)
r=m
hat man keine Gleichungen
Für die Gleichung
0 = bi
mit
0 = bi ,
bi 6= 0
für r = 0 hat man nur solche.
gibt es keine Lösung, das System ist
unlösbar.
Das homogene
System hat immer mindestens eine Lösung - die triviale Lösung 0.
(b)
(Sn ) ist lösbar mit genau einer Lösung, wenn
ist.
(c)
→
also die Pivots gerade die Diagonale
Ist (Sn ) lösbar, so gilt:
r = n, der
aii sind...
Rang gleich der Anzahl der Unbekannten
r≤n
Man kann in der Darstellung der allgemeinen Lösung x die Nichtpivotvariablen
wählen; d.h. man hat
7
r−n
xi
Freiheitsgrade.
Matrizenrechnung
7.1 Spalten
Sei K =
Q, R, C oder ein anderer Körper (→ es gelten also K1 − K10 ). Sei n ∈ N.
Dann besteht
Kn
aus allen Listen (n - Tupeln)
a1 . . . an
14
aus Elementen von K.
als freie Parameter
Das entscheidende ist, daÿ ein solches Tupel geschrieben als
a1
.
.
.
a=
an
durch seine Komponenten bzw. Koezienten
a = b, wenn a1
=
b1 , a2
=
b2 , . . . ,an
=
a1 . . . an
eindeutig bestimmt ist.
bn
Wir denieren die Addition und eine Multiplikation mit r (r
a1
.
.
.
b1
.
.
.
+
an
Für Gröÿen
a1 + b1
.
.
.
=
bn
und
an + bn
∈ K ):
a1
r · a1
r · ... = ...
an
r · an
x, y mit Werten in K kann man also neue Gröÿen in K n
Es gelten dann wegen
K1 − K10
oenbar auch die Regeln
Wir sprechen deshalb auch vom Vektorraum K
V1 − V8
denieren durch
x + y und r ·x.
wie für Vektoren des Raumes.
n
7.2 Zeilen
K n∗ der Zeilen, den
(a1 a2 . . . an ) = a1 , a2 , . . . an
Analog zu den Spalten bildet man den Raum
zu unterscheidendes Objekt ansieht.
man mit gutem Grund als ein von
Kn
Es gilt:
(a1 a2 . . . an ) + (b1 b2 . . . bn ) = (a1 + b1 a2 + b2 . . . an + bn )
sowie:
r · · · (a1 a2 . . . an ) = (ra1 ra2 . . . ran )
für
r∈K
7.3 Matrizen
aij
QRC
, , oder ein anderer Körper.
m×n Matrix wird angegeben durch ein (rechteckiges) Schema von Zahlen (Koezienten, Einträgen)
aus K, wobei i = 1 . . . m, j = 1 . . . n
Sei K =
Eine
Zeilen bzw. Spalten können demnach als eine Spezialform von Matrizen angesehen werden.
a11
a12
.
.
.
.
.
.
am1
am2
A = (aij ) = (aij )m×n =
Man notiert
m×n →
...
...
a1n
.
.
.
amn
zuerst die Zeilen, dann die Spalten.
7.4 Matrizen und lineare Zusammenhänge
Seien
u und x zusammengesetzte Gröÿen mit Komponenten aus K.
u über das Koezientenschema aij aus K linear zusammenhängt, wenn:
Wir sagen, daÿ
u=
u1
.
.
.
=
un
a11 x1
...
.
.
.
a1n xn
.
.
.
= Ax
in
Km
am1 x1 . . . amn xn
x1
.
n
für x = .. in K
xn
Man erhält also die i-te Komponente von A, indem man die i-te Zeile von A komponentenweise mit
multipliziert und dann aufaddiert.
Lese: A angewendet auf
x bzw. A mal x.
Für die Matrix A, die Spalten
M1
M2
b und c und r ∈ K
erhält man:
b + c) = A b + A c
A(rb) = r(Ab)
A0 = 0
A(
15
x
7.5 Matrixschreibweise für Gleichungssysteme
Mithilfe einer Matrix und der Spaltenschreibweise erhält man eine einfache Form zur Darstellung eines
Gleichungssystems:
Man verwendet eine Spalte für die Variablen und eine Matrix (Koezientenmatrix des Systems)
Sei (S ) ein Gleichungssystem und (Sh ) das dazugehörige homogene System:
Schreibe:
(S ) A
x=b
(S h ) A
x=0
Satz: Ist
xh
die allgemeine Lösung bzw.
Xk
der Lösungsraum des homogenen Systems (Sh ) und ist
xs
eine (spezielle) Lösung von (S), so erhält man die allgemeine Lösung bzw. den Lösungsraum von (S) mit:
x = xs + xh bzw.X = xs + Xh = {xs + xh |xh inXh }
7.6 Matizenrechnung und Gleichungen
Wir denieren Summe und Produkt:
7.6.1 Summe
Es gilt für u und w, beide m × n Matrizen mal x:
u + w = (Ax + Bx) = (A+B)x
x
x
r(A ) = (rA)
A + B = (aij + bij )m×n
rA = (raij )m×n
Die
m×n
- Nullmatrix hat nur die Einträge 0.
Es gelten die Regeln
V1 − V 8
entsprechend.
7.6.2 Produkt
Hat man drei Gröÿen
u, v, w und die linearen Zusammenhänge u = Bv und v = Cw, so hat man auch
u und w
einen linearen Zusammenhang zwischen
u=B
v1
.
.
.
. . . +c1n wn
.
.
.
=B
.
.
.
cm1 w1 + . . .
vn
Man erhält:
c11 w1 +
cmn wn
u = B(Cw) = (BC)w
Das Produkt einer
l×m
und eine
m×n
Matrix ist eine
l×n
Matrix, deren Komponenten deniert sind
als:
A = B · C = (bij )l×m · (cjk )m×n = (bi1 c1k + . . . + bim cmk )l×n
Das heiÿt, man rechnet die i-te Zeile von B komponentenweise mal k-te Spalte von C und addiert auf,
um
⇒
aik
zu erhalten.
Voraussetzung: Zeilen von B = Spalten von C!
7.7 Einheitsmatrix
Die
n×n
Einheitsmatrix
En
hat die Diagonale
eii = 1,
16
die restlichen Komponente sind 0.
7.8 Matrizenprodukt, Regeln
Soweit die Operationen für Matrizen ausführbar sind, gelten die folgenden Regeln:
M3
B
·
(C + C') = BC + BC'
(B + B')
·
·
C = BC + B'C
M4
(r
M5
(AB)C = A(BC)
B)C = r(BC) = B(rC)
M6 E m A
= A = AE n
Warnung: Allgemein gilt
AB 6= BA
und man kann aus
A·B =0
nicht
A=0∨B =0
folgern.
7.9 Inverse Matrix
Lemma: Folgende Aussagen sind für zwei
(1)
AB = E = BA
(2)
für alle
x, u in K n
gilt:
n×n
Matrizen A, B äquivalent:
u = A x ⇔ x = Bu
Wenn zu A ein solches B existiert, so heiÿt A invertierbar, regulär oder nicht singulär.
B ist durch A eindeutig festgelegt und heiÿt Inverse zu A. Man schreibt:
B = A−1
Korollar:
- Aus AX = E folgt
X = A−1
- Aus YA = E folgt
Y = A−1
Ist A invertierbar, so hat Ax = b die eindeutig bestimmte Lösung x =
A−1 b.
Eine invertierbare Matrix enthält keine Nullspalte!
7.10 Matrixinversion und Gleichungslösen
Satz: folgende Aussagen sind für die
n×n
Matrix A äquivalent:
(1)
A ist invertierbar
(2)
Es gibt X mit AX = E
(3)
Es gibt Y mit YA = E
(4)
Jedes Gleichungssystem
(5)
Das Gleichungssystem
(6)
Bei jeder Umformung von A in eine Stufenform A' ergibt sich eine strikte Dreiecksmatrix
(7)
A lässt sich in eine strikte (obere) Dreiecksmatrix umformen
Ax = b
Ax = 0
ist lösbar
hat nur die Lösung
Dabei heiÿt A' strikte (obere) Dreiecksmatrix, wenn
0
a0ij = 0
für i > j und
a0jj 6= 0.
7.11 Gauÿ - Jordan - Algorithmus
Dieser Algorithmus dient zur Bestimmung einer Inversen zu einer gegebenen Matrix A.
Betrachte:
A
x = u ⇔ Bu = x (⇒ AB = E bzw. B = A−1 )
bzw. das Gleichungssystem
x = Eu
x-u=0
Ax - E u = 0
A
A
17
In Matrizenform wird das geschrieben als:
(A|E) =
x
−u
=0
Formt man das System jetzt per Gauÿ so um, daÿ A eine strikte obere Dreiecksmatrix ist, erhält man
das gleichwertige System
0
(A |C) =
x
−u
=0
Nun wird der Gauÿ-Algorithmus von unten nach oben angewandt (und das Pivot per multiplikation in 1
umgewandelt), um A in eine Einheitsmatrix umzuformen.
Man erhält E aus A':
(E|B) =
x
−u
=0
x = u äquivalent zu Bu = x und B ist die Inverse zu A.
Also ist A
Beispiel:
Gesucht ist die Inverse zu
2
1
−1
−3 −2 −1
10
3 −16
1
0
0
0
1
0
2
1
−1
A = −3 −2 −1
10
3 −16
·3
·5
0
0 ·2+
·1−
1
·1
2 1 −1 1 0 0
0 −1 −5 3 2 0 ·1
·5+ ·1+
0 0
1 11 4 −1
2 1 −1 1
0 −1 −5 3
0 2
11 5
⇒
2
0
0
0
1
0
0
0
1
70
:2
26 −6
−58 −22 5
11
4
−1
⇒
1
0
0
⇒
0
1
0
0
0
1
0
0
1
12
58
11
·1
4 −1
22 −5 ·1+ ·(−1)
4 −1
35
13 −3
−58 −22 5
11
4
−1
Also ist B =
35
13 −3
−58 −22 5
11
4
−1
2 1
0 −1
0 0
0 0
2 0 ·2
·1+
0 −1
die Inverse zu A.
7.12 Transponierte Matrix
Man erhält aus einer Matrix
Am×n
die Transponierte Matrix
Atn×m ,
indem man die Einträge von A an
der "Diagonalen spiegelt".
Es gilt:
At = (a0kl )n×m mita0kl = alk
Es gelten dann die folgenden Regeln:
(T 1 )
(At )t = A
(T 2 )
(A + B)t = At + B t
(T 3 )
(r · A)t = r · At
(T 4 )
(AB)t = B t At
(T 5 )
Et = E
7.13 Transformationsmatrix
Bezüglich zweier Basen
durch:
α, β
der Ebene bzw. des Raumes ist die Transformationsmatrix α Tβ deniert
−
→
→
v α =α Tβ −
vβ
18
für alle
−
→
v
Die Transformationsmatrix α Tβ ist damit eindeutig bestimmt. Man erhält α Tβ , indem man in ihre Spalten
die Koezienten der Basis
β
α
Vektoren ausgedrückt in Basis
Vektoren einsetzt.
Zur Erinnerung:
→ −
−
→
→
→
β
: b1 , b2 deniert durchα : −
a1 , −
a2
→
−
→
−
a · a1 +
c · a1 +
→
−
→
−
b1 =
und b2 =
→
→
b·−
a2
d·−
a2
Ist
und gilt:
so gilt:
αTβ =
a c
b d
Für die Transformation in umgekehrter Richtung gilt:
−
→
→
v β =β Tα −
vα
−1
Also gilt α Tβ
α
At A = E
bzw.
A−1 = At
ist.
eine Orthonormalbasis der Ebene bzw. des Raumes, so ist die Transformationsmatrix α Tβ
β
genau dann orthogonal, wenn
8
−
→
v
=β Tα
Eine reelle Matrix A heiÿt orthogonal, wenn
Satz: Ist
für alle
ebenfalls eine Orthonormalbasis ist.
Algebraische Strukturen
8.1 Monoide
Ein Monoid (auch Halbgruppe mit Eins) ist eine algebraische Struktur.
Zu einem Monoid A gehört eine Grundmenge bzw. die unterliegende Menge
tion
(x, y) → x · y
UA ,
eine zweistellige Opera-
auf A und eine Konstante e in A.
Für einen Monoid gelten die folgenden Gesetze:
(G 1 )
für alle x, y, z in G gilt
(G 2 )
für alle x in G gilt
x ·A (y ·A z) = (x ·A y) ·A z
eA ·A x = x = x ·A eA
x · y = xy .
eA = eA e0A = e0A
Die zweistellige Operation heiÿt auch Multiplikation des Monoids und man schreibt
Das Element e ist neutral und durch
Beispiel: Das Wortmonoid P
Ist eine Menge (Alphabet)
G2
eindeutig bestimmt - gilt
a1 , a2 . . . an
so
gegeben, so erhält man das Wortmonoid als die Menge
Listen
mit der leeren Liste
eA e0A = eA
mit
ai ∈
P∗
aller endlichen
X
als neutralem Element und der Verkettung als Multiplikation
(a1 , . . . , an ) · (b1 , . . . , bm ) = a1 , . . . , an , b1 , . . . , bb
Es gilt: v ist Präx von w, wenn es ein eindeutiges u gibt mit
v·u=w
In jeder algebraischen Struktur A vom Typ der Monoide deniert man rekursiv zu gegebenen b bzw.
b1 , b 2 . . .
in A:
b0 = eA
0
Y
bi = eA
und
i=1
Anschaulicher ist die Schreibweise:
bn+1 = bn ·A b
!
m+1
m
Y
Y
=
bi ·A bm+1
sowie
i=1
b1 · . . . · b m
statt
i=1
Qm
i=1 bi
8.2 Terme
Für algebraische Strukturen vom Typ der Monoide kann man den Begri Terme in den paarweise verschiedenen Variablen
xi
x1 , . . . , xn
-
Jedes
-
e ist ein Term
-
Sind s und t Terme, so ist
so einführen:
ist ein Term
(s · t)
auch ein Term
19
Die Menge der Terme ist eine Teilmenge des Wortmonoids mit den Variablen
{x1 , . . . , xn , ·, e, (, )}
( - vorausgesetzt die Symbole e, ·, (, ) treten unter
x1
bis
x1 ...xn und dem
xn nicht auf ).
Alphabet
Die Terme bilden eine algebraische Struktur vom Typ der Monoide mit Konstante e und Multiplikation
(s, t)
→
(s
·
t)
Um nachzuweisen, daÿ ein Wort ein Term ist, gibt man einen Herleitungsbaum an.
Ein Herleitungsbaum besteht aus einem ausgezeichneten Knoten (der Wurzel), der mit e bezeichnet wird.
An die isolierte Wurzel werden mit Pfeilen weitere Knoten (Blätter) angefügt.
Desweiteren muss eine Abbildung
σ
existieren, die jedem Knotenpunkt ein Wort zuordnet.
Bs mit der Tiefe ms und für t der Herleitungsbaum Bt mit der
(s · t) der Herleitungsbaum Bst mit der Tiefe mst = max{ms , mt } + 1 durch
(s · t) und Pfeile zu den ehemaligen Wurzeln der nun vereinigten Bäume Bs und
Existiert für s ein Herleitungsbaum
Tiefe
mt ,
so ergibt sich für
hinzufügen einer Wurzel
Bt
zieht.
8.3 Induktion
Um Aussagen über Terme treen zu können, bedient man sich des folgenden Prinzips:
Sei A(t) eine Aussage über Terme t und gelte
•
A(xi ) für jede Variable
•
A(e)
•
für alle s, t gilt: Gilt A(s) und A(t) so auch A(s
xi
· t)
Dann gilt A(t) für alle Terme t.
8.4 Termauswertung
Der Zweck von Termen (vom Typ der Monoide) ist, daÿ sie bei Vorgabe einer Algebraischen Struktur A
a1 . . . an
vom Typ der Monoide und einer Liste
von Elementen aus A auf eindeutige Weise ausgewertet
werden können.
(der Ausdruck
t(x1 . . . xn )
t(x1 . . . xn ) → tA (a1 . . . an ) ∈ A,
symbolisiere die Aufzählung der Variablen
x1
bis
xi )
so daÿ
(1)
xA
i (a1 , . . . , an )
(2)
eA (a1 , . . . , an ) = eA
(3)
(s · t)A (a1 , . . . , an ) = sA (a1 , . . . , an ) ·A tA (a1 , . . . , an )
= ai
(Jedem Term wird durch die Auswertung ein
Es gibt genau eine Abbildung
φ,
ai
zugeordnet)
die jedem Term
xi
einen Wert
ai
zuweist.
φ(xi ) = ai
φ(e) = eA
φ(s · t) = φ(s) ·A φ(t)
Es existiert eine für alle Terme mehrwertige Abbildung, eine Relation zwischen Termen und Elementen
von A. Diese Relation
Für diese Relation
(4)
xi ρai
(5)
eρeA
(6)
Aus
sρa
und
ρ
ρ
ist durch einen Erzeugungsprozess induktiv deniert.
gilt:
tρb
ergibt sich
(s · t)ρa ·A b
Um eine wohldenierte Abbildung zu erhalten, ist im Allgemeinen die Eindeutigkeit der Herleitung im
Erzeugungsprozess erforderlich.
(Peano)
20
(P1 )
xi 6= e, e 6= (s · t), (s · t) 6= xi
(P2 )
(s · t) = (s0 · t0 ) ⇒ s0 = s, t0 = t
Aus
sρa
und
sρa0
für alle Terme s, t, s', t'
folgt a = a'
Es sei hier vorvermerkt, daÿ s' die Normalform von s ist; die Normalform ist ein äquivalenter Term, der linksgeklammert ist. Zu jedem Term existiert eine Normalform.
8.5 Allgemeines Assoziativgesetz
Besagt: Die Auswertung eines Terms in einem Monoid ändert sich nicht, wenn man die Klammern umstellt.
Beschreibt die Liste
y1 , . . . , y n
das Vorkommen der Variablen im Term t (mit jeder Wiederholung), so
erhält man den linksgeklammerten Term zu t als
λ(t) =
n
Y
yi = (. . . ((y1 · y2 ) · y3 ) . . . yn )
i=1
Ein Term ist in Monoid-Normalform, wenn er linksgeklammertes Produkt von Variablen ist. Zu jedem
Term t vom Monoid-Typ gibt es einen Term t' in Monoid-Normalform so, daÿ
t ≈ t0
für Monoide gilt.
t' ist eindeutig bestimmt.
In jedem Monoid gilt:
bn+m = bn · bm
und
(bn )m = bn·m
8.6 Kommutative Monoide
Ein Monoid heiÿt kommutativ, wenn
(G 4 )
xy = yx für alle x, y in G gilt.
In einem kommutativen Monoid hängt die Auswertung eines Terms nur von der Häugkeit, nicht von der
Reihenfolge des Auftretens der Variablen ab. Die Normalform ergibt sich aus:
µ(t) =
n
Y
xki i
i=1
wobei
ki
die Häugkeit des Auftretens von
xi
ist.
In einem kommutativen Monoid gilt also:
tA (a1 , . . . , an ) ≈ µ(t)A (a1 , . . . , an ) =
n
Y
xki i
i=1
n
Y
i=1
aki i ·
n
Y
i=1
alii =
n
Y
aki i +li ⇒ (a + b)n = an + bn
i=1
8.7 Gruppen
Eine algebraische Struktur vom Typ der Gruppen wird angegeben durch eine (Grund-) Menge G, eine
zweistellige Operation (x, y)
→ x·y
= xy auf G und eine Konstante e in G.
Es handelt sich um eine Gruppe, wenn für alle x, y, z in G gilt:
(G 1 )
x(yz) = (xy)z
(G 2 )
ex = x = xe
(G 3 )
xx
−1
= e =
Mann nennt
·
Beispiel für (G, ·,
x−1 x
die Multiplikation der Gruppe,
−1
−1
die Inversion und e das neutrale Element.
Z, +, -, 0) oder die Vektoren (ν , +, -, −→0 )
, e): (
In einer Gruppe gelten:
21
(1)
a · b = a ⇒ b = e, b · a = a ⇒ b = e
(2)
b = a−1 ⇒ ab = e
(3)
(a−1 )−1 = a
(4)
(ab)−1 = b−1 a−1
ba = e
bzw.
Durch Induktion folgt für (4) bzw. (3)
a−n = (an )−1
Desweiteren gilt:
ax · ay = ax+y
Für Terme ist die Notation
t
−1
und
(ax )y = axy
für alle x, y
∈
Z
unhandlich, wir verstehen sie als andere Schreibweise für
ιt.
Also kommt für die Termerzeugung für Gruppen folgendes hinzu:
•
•
Ist t ein Term vom Typ der Gruppe, so auch
Ist
Bt
ein Herleitungsbaum für t, so erhält man den Herleitungsbaum für
Wurzel
•
ιt
ω
und einen Pfeil (ω ,
(P1 )
ιu 6= xi , e, (s · t)
(P2 )
ιu
ιu' ⇒
=
ωt )
hinzufügt und
ω
mit
ιt
ιt,
indem man eine neue
beschriftet.
u = u'
für alle i und Terme s, t, u
Gruppenterm:
Ein Gruppenterm ist in Gruppen-Normalform, wenn er folgende Gestalt hat:
m
Y
yizi
mit
zi ∈
Z und yi 6= yi+1 für alle i < m
i=1
t und t' werden in jeder Gruppe gleich ausgewertet.
8.8 Kommutative Gruppen
Die Gruppe G ist abelsch (kommutativ), wenn
(G 4 )
für alle x, y in G gilt: xy = yx
R\{0}, +, 0)
Beispiel: (
Man schreibt (a+ (-a)) = a - b
Y
ai
i
Es gilt für z, w
∈
ist
X
ai
az
Z
•
0a = 0
•
(-1)a = -a
•
(z + w)a = za + wa
•
z(a + b) = za + zb
•
z(wa) = (zw)a
(Additive Schreibweise!)
i
ist
za
Fasst man mit Hilfe der Kommutativität zusammen, erhält man aus der Gruppen-Normalform eine kommutative Gruppen-Normalform:
n
X
zi xi zi ∈
Z und xi 6= xj für i 6= j
i=1
In einer kommutativen Gruppe gelten alle Gleichungen von
22
Z!
8.9 Ringe
Eine algebraische Struktur R vom Typ der Ringe besteht aus einer additiv geschriebenen Struktur vom
Typ der Gruppen und einer multiplikativ geschriebenen Struktur vom Typ der Monoide auf der selben
Grundmenge.
Es handelt sich um einen Ring, wenn
•
(R, +, -, 0) eine abelsche Gruppe ist (R1
•
(R, ·, 1) ein Monoid ist (R5
− R4 )
− R6 )
und die Distributivgesetze gelten:
(R7 )
x(y + z) = xy + xz
(R8 )
(y + z)x = yx + zx
R ist kommutativ, wenn
(R9 )
xy = yx
für alle x, y, z in R
Beispiele: kommutative Ringe sind
Z, Q, R; nicht kommutativer Ring: Kn×m
In jedem Ring gelten:
• 0R r = 0R = r0R
• (−1R )r = −r
• z(1R · r) = zr = r(z · 1R )
sowie das allgemeine Distributivgesetz (systematisches Ausmultiplizieren)
n
Y
X
i=1
aij =
n
XY
aif (i)
f ∈A i=1
j∈Ji
wobei
A = {f |f : {1 . . . n} →
n
[
Ji , f (i) ∈ Ji }
i=1
die Menge aller Auswahlfunktionen ist.
In einem kommutativen Ring gelten alle Gleichungen von
Z!
Wir nutzen folgende Erzeugungsregeln für Terme vom Typ der Ringe:
•
Variablen, 0 und 1 sind Terme
•
Sind s und t Terme, so auch (s + t), (s
·
t) und -s
Auf Mitteilungsebene nutzen wir zur Einsparung von Klammern die Regel Punkt-vor-Strich und verstehen ungeklammerte Summen und Produkte als linksgeklammert.
8.10 Körper
Ein Körper ist die Erweiterung eines kommutativen Rings K mit
1 6= 0,
so daÿ
∀x.x 6= 0 ⇒ ∃y.xy = 1
M.a.W. zu jedem x 6= 0 existiert ein Inverses (xy = 1)
6= 0 bilden mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe; y ist durch x eindeutig bestimmt.
y = x−1
Das heiÿt: die x
Wir schreiben
In einem Körper gilt: ab = 0
⇒
a=0
∨
b=0 und somit die Kürzungsregel:
c 6= 0 ∧ ac = bc ⇒ a = b
23
8.11 Vektorräume
Sei K ein Körper. Eine algebraische Struktur V vom Typ der K-Vektorräume ist eine additiv geschriebene
Struktur vom Typ der Gruppen mit zusätzlich einer einstelligen Operation
wird als x
→
rV
zu jedem r
∈ K, die notiert
rx.
Zu jedem r des Körpers existiert die einstellige Operation
rV ,
die angewandt auf x
V ist ein K-Vektorraum, wenn (V, +, -, 0) eine abelsche Gruppe ist (V1
(V5 )
−
→
→
→
r(→
v +−
w ) = r−
v + r−
w
(V6 )
→
→
1−
v =−
v
(V7 )
→
→
→
(r + s)−
v = r−
v + s−
v
(V8 )
−
→
r(s→
v ) = (rs)−
v
für alle r, s
∈
K und
− V4 )
∈
V ein rx erzeugt.
und
−
→
→
v ,−
w ∈V
Die Elemente des Körpers K heiÿen Skalare, die von V Vektoren.
→
r−
v ist die Streckung des Vektors
−
→
v
um r.
Das neutrale Element bezüglich der Addition ist der Nullvektor
−
→
0.
Die Pfeile sind lediglich eine Dekoration für die Lesbarkeit.
Es gilt das allgemeine Assoziativ und Kommutativgesetz, sowie das allgemeine Distributivgesetz:
r
n
X
!
−
→
vi
=
i=1
"
n
X
n
X
→
r−
vi
i=1
#
−
ri →
v =
→
ri −
v
i=1
i=1
→ −
−
→
−
0→
v =r0 = 0
n
X
→
→
(−r)−
v = −(r−
v)
und
[3 + 2 · 4])
Werden mehrere Skalare miteinander verknüpft, so nutzen wir die Klammern
[, ]
Alternativ kann man die Multiplikation mit Skalaren auch als Abbildung (r,
−
→
→
v ) → r−
v
(z.B.
verstehen, was
den Begri der mehrsortigen algebraischen Struktur erfordert..
Für Terme gelten die Erzeugungsregeln:
−
→
xi
−
→
0
•
Jede Variable
•
Sind s, t Terme, so auch (s+t), -t, rt
wobei r
∈
und
ist Term
K
Mit den genannten Gesetzen erhält man sofort zu jedem Term eine K-Vektorraum-Normalform
N F (t) =
n
X
→
ri −
xi
i=1
8.12 Algebren
Sei K ein Körper. Eine algebraische Struktur vom Typ der K-Algebra besteht aus einer Struktur vom Typ
des K-Vektorraums und einer weiteren Struktur vom Typ des Rings mit der selben additiven Struktur.
Es handelt sich um eine K-Algebra, wenn es sich um einen K-Vektorraum und einen Ring handelt und
gilt:
(A)
r(a
·
b) = (ra)
für alle a, b
∈
·
b = a
A und r
·
(rb)
∈
K
Beispiel: Die Matrizen-Algebren
K n×n
24
8.13 Unterstrukturen
Eine Unterstruktur B einer algebraischen Struktur A wird bestimmt durch eine Teilmenge B von A, die
unter den Operationen von A abgeschlossen ist.
(1)
a, b
∈
B
⇒
a
·
b, e
∈
B
(2)
a, b
∈
B
⇒
a
·
b, e
∈
B; a
(3)
a, b
∈
B
⇒
a + b, a
·
(4)
a, b
∈
B
⇒
a + b, 0
∈
(5)
a, b
∈
B
⇒
a + b, a
·
→
für (1) - (5)
9
−1
∈
B
∈
B
⇒
ra
∈
B (r
∈
B
⇒
∈
B
⇒
b, 0, 1
∈
B; a
B; a
∈
b, 0, 1
B
∈
a
⇒
B; a
-a
∈
in
B
K)
-a, ra
∈
B (r
in
K)
Monoidtyp, Gruppentyp, Ringtyp, K-Vektorraumtyp, K-Algebratyp
Erzeugen
9.1 Erzeugungsprozesse
Erzeugungsprozesse werden durch Erzeugungsregeln deniert. Diese Regeln bewirken, daÿ einer Liste
a1 , . . . , an
von n Objekten durch den Erzeugungsschritt ein weiteres Objekt c zugeordnet wird.
Abstrakt notiert als:
a1 , . . . , an ` c
Im Erzeugungsprozess wird die Startmenge (meist leer) nach und nach durch die Ausführung der Erzeugungsschritte angereichert, indem das Erzeugnis neu in die Menge aufgenommen wird.
9.2 Erzeugungssysteme
Ein Erzeugungssystem
`
auf einer Menge M ist ein System von Erzeugungsschritten, die in der Form
a1 , . . . , an ` c
angegeben werden, wobei
a1 , . . . , an
a1 , . . . , an , c
Listen von Elementen aus M sind.
ist die Prämisse (das Antezedenz), c die Konklusion (das Sukzedenz) des Erzeugungsschritts.
Meist werden die Erzeugungsschritte nicht einzeln, sondern durch Erzeugungsregeln angegeben, die auf
die in M vorhandene Struktur bezug nehmen.
Sei ein Erzeugungssystem
`
auf M gegeben.
` - abgeschlossen,
∈ U.
Eine Teilmenge U von M heiÿt
sind
a1 , . . . , an ∈
U, so auch c
wenn für jeden Erzeugungsschritt
a1 , . . . , an ` c
gilt:
∗
Ein Erzeugungssystem ist einfach eine Relation zwischen Elementen von M und Elementen von M
9.3 Erzeugungsprozess
Sei ein Erzeugungssystem
`
auf M gegeben. Sei A eine Teilmenge von M.
Kann man c aus A herleiten und ist die Herleitungstiefe höchstens m, so schreibt man A
•
A
`0
•
A
`m+1
•
A
`∗
Es gilt A
A
`m
⇔
c
c
entweder ist c
⇔
A
`m
∈
c
⇒
A
`k
c oder es gibt einen Erzeugungsschritt
c für
`m c
für ein m
∈
b1 , . . . , b n `
c mit A
` m bi
φ`c
für i = 1
...
n
N
m≤k
c genau dann, wenn es einen Herleitungsbaum der Tiefe
Zu einem gegebenen Erzeugungssystem
a1 , . . . , an `
c
A, oder man kann c direkt herleiten über den Erzeugungsschritt
c genau dann, wenn A
`m
`m
`
auf M gilt
c, sowie:
25
≤
m für c aus A gibt.
{a1 , . . . , an } `∗
c für jeden Erzeugungsschritt
`∗
•
A
•
Wenn A
•
Gilt A
a für alle a
`∗
`∗
∈
A (
Reexivität)
b für alle b
∈
B und B
`∗
c, so gibt es ein endliches A'
c, so A
⊆
`∗
c (
A mit A'
Transitivität)
`∗
c (
endlicher Charakter)
9.4 Erzeugnis
Sei t
`
ein Erzeugungssystem auf M. Wir denieren das Erzeugnis
Spann` X = {c ∈ M | x `∗ c}
Ist
`
das Erzeugungssystem einer algebraischen Struktur A, schreiben wir SpannA statt Spann` .
Es gilt:
•
X
⊆ Spann` X
(Das Erzeugnis besteht mindestens aus den Elementen + eventuell weitere neu erzeugte)
•
X
⊆
Y
⇒ Spann` X ⊆ Spann` Y
(Das Erzeugnis einer Obermenge enthält alle Erzeugnisse ihrer Untermengen)
• Spann` Spann` X = Spann`
(Das Erzeugnis ist vollständig)
•
Ist X
⊆
B und B
`
- abgeschlossen, so ist
Spann` X ⊆
B.
(Ist die Obermenge bezüglich aller Erzeugnisse abgeschlossen, so enthält sie auch alle Erzeugnisse
nicht abgeschlossener Untermengen)
26
Index
Äquivalenz, 3
Inverse Matrix, 16
Äquivalenzrelation, 3
invertierbar, 16
äquivalent, 3
Jordan, 16
Abstand Punkt - Ebene, 8
Addition, 3
K-Algebratyp, 24
Addition, Spalten, 13
K-Algebren, 23
Addition, Zeilen, 14
K-Vektorraum-Normalform, 23
Algebraische Strukturen, 18
K-Vektorraumtyp, 24
Algebren, 23
Körper, 22
Allgemeines Assoziativgesetz, 20
Koezienten, 14
Allgemeines Distributivgesetz, 22
Koezientenschema, 14
Argument, 11
kommutative Gruppe, 21
Assoziativgesetz, 20
kommutativer Monoid, 20
Auswertung, Terme, 19
kommutativer Ring, 22
Axiome, Vektoren, 3
Komplexe Zahlen, 10
Komponente, 14
Betrag, komplexe Zahl, 11
Konjugation, komplexe Zahl, 11
Koordinaten, 5
Cauchy - Schwarz, 7
Koordinatentransformation, 6
Kreuzprodukt, 10
Denition i, 10
Desargues, Satz von, 3
Länge, Vektor, 6
Det, 9
Lineare Gleichungen, 12
Determinanten, 9
Distributivgesetz, 22
Matrixinversion, 16
Drehung, 11
Matrixschreibweise, 15
Dreiecksungleichung, 7
Matrizen, 14
Matrizenprodukt, 16
Ebene, 5
Matrizenrechnung, 13
Einheitsmatrix, 15
Monoid, 18
Entwicklungssatz, 10
Monoid-Normalform, 20
Erzeugen, 24
Monoidtyp, 24
Erzeugnis, 25
Multiplikation des Monoids, 18
Erzeugungsprozess, 19
Multiplikation Spalten, 13
Erzeugungsprozesse, 24
Multiplikation, komplexe, 11
Erzeugungsprozesse, 24
Multiplikation, Spalten, 14
Erzeugungssysteme, 24
Normalenform, 8
Fläche, 9
Normalform, 20
Flächenberechnung, 9
ONB, 7
Gauÿ - Jordan, 16
Orthonormalbasis, 7
Gauÿ'scher Algorithmus, 13
Ortsvektoren, 5
Gerade, 5
Gesetze, komplexe Zahlen, 11
Parallelogramm, 3
Gesetze, Vektoren, 4
Parameterdarstellung, 5
Gleichheitsrelation, 3
Pfeile, 3
Grassmann, 10
Polardarstellung, 11
Gruppe, 20
Polarkoordinaten, 11
Gruppennormalform, 21
Präx, 18
Gruppenterme, 21
Produkt, Matrix, 15
Gruppentyp, 24
Punkte, 3
Punktkoordinaten, 5
Herleitungsbaum, 24
Hesse, 8
Raum, 12
homogenes Gleichungssystem, 12
reelle Zahlen, 4
Reexivität, 3
Induktion, 19
Regeln, Determinante, 9
Inverse, 16
27
Regeln, Erzeugnis, 25
Regeln, Matrix, 16
Relation, 19
Richtungsvektor, 5
Ringe, 22
Ringtyp, 24
Skalare, 4
Skalarprodukt, 6
Spalten, 13
Spann, 25
Spatprodukt, 10
Summe, Matrix, 15
Symmetrie, 3
System, 12
Teilmenge, 24
Term, 18
Termaussagen, 19
Termauswertung, 19
Transformationsmatrix, 6, 17
Transitivität, 3
Transponierte Matrix, 17
Umformung, 13
Unterstrukturen, 24
Vektor, 3
Vektoraddition, 3
Vektoren, 3
Vektorkoordinaten, 5
Vektormultiplikation, 4
Vektorprodukt, 10
Vektorraum, 23
Vektorraum-Normalform, 23
Volumen, 10
Wortmonoid, 18
Zahlen, 3
Zahlenebene, 10
Zeilen, 14
28
